Умножение. Свойства на умножението. Умножение с едноцифрено число
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Начален преговор › Естествени числа › Умножение. Свойства на умножението
Умножение. Свойства на умножението
Множители и произведение, разместително, съдружително и разпределително свойство, умножение с едноцифрено число, рационално пресмятане и ред на действията. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
Продължаваме началния преговор в 5. клас. След събирането и изваждането идва редът на умножението. Умножението е съкратен запис на сбор от еднакви събираеми — и точно оттам идват свойствата му. Ще си припомним трите основни свойства, ще видим как чрез тях сметките стават значително по-леки и ще упражним умножението с едноцифрено число. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
✖️ Умножение. Множители и произведение
Умножението е съкратен запис на събиране на еднакви събираеми. Ако \(a\) и \(b\) са естествени числа, то
\[a\cdot b = \underbrace{b + b + \cdots + b}_{a\ \text{пъти}}.\]
Числата, които умножаваме, се наричат множители, а резултатът — произведение.
\[\underbrace{2413}_{\text{множител}} \;\cdot\; \underbrace{3}_{\text{множител}} \;=\; \underbrace{7239}_{\text{произведение}}\]
Нека \(a\), \(b\) и \(c\) са естествени числа. Тогава:
• \(a\cdot b = b\cdot a\) — разместително (комутативно) свойство;
• \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\) — съдружително (асоциативно) свойство;
• \(a\cdot 1 = 1\cdot a = a\) — умножението с 1 не променя числото;
• \(a\cdot 0 = 0\cdot a = 0\) — умножението с 0 дава 0.
• \(a\cdot b = b\cdot a\) — разместително (комутативно) свойство;
• \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\) — съдружително (асоциативно) свойство;
• \(a\cdot 1 = 1\cdot a = a\) — умножението с 1 не променя числото;
• \(a\cdot 0 = 0\cdot a = 0\) — умножението с 0 дава 0.
Първите две свойства позволяват множителите да се разместват и групират както ни е удобно. Затова си струва да помним три двойки, които дават кръгли числа:
\[2\cdot 5 = 10, \qquad 4\cdot 25 = 100, \qquad 8\cdot 125 = 1000.\]
Например \(5\cdot 1743\cdot 2 = (5\cdot 2)\cdot 1743 = 10\cdot 1743 = 17\,430\) — наум, без стълб.
📋 Разпределително свойство
За естествени числа \(a\), \(b\) и \(c\):
\[(a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\]
Това е разпределителното свойство на умножението относно събирането.
Същото важи и при изваждане (когато \(a\) не е по-малко от \(b\)):
\[(a - b)\cdot c = a\cdot c - b\cdot c.\]
Проверка: \((1846 - 1246)\cdot 6 = 600\cdot 6 = 3600\), а \(1846\cdot 6 - 1246\cdot 6 = 11\,076 - 7476 = 3600\). ✓
Разпределителното свойство може да се използва и отдясно наляво — тогава изнасяме общия множител пред скоба:
\[36\,214\cdot 4 + 12\,508\cdot 4 = (36\,214 + 12\,508)\cdot 4 = 48\,722\cdot 4 = 194\,888.\]
Вместо две умножения правим едно. Особено полезно е, когато сборът в скобата е кръгло число.
🗂 Умножение с едноцифрено число. Ред на действията
• Ако единият множител е различен от 0 и се запази, а другият се увеличи \(n\) пъти, произведението се увеличава \(n\) пъти.
• Ако единият множител е различен от 0 и се запази, а другият расте, произведението също расте: \[40\,723\cdot 6 \;\lt\; 215\,348\cdot 6 \;\lt\; 400\,205\cdot 6.\] Уточнението е съществено: ако запазеният множител е 0, произведението остава 0, колкото и да расте другият множител — нали \(a\cdot 0 = 0\).
• Ако единият множител е различен от 0 и се запази, а другият расте, произведението също расте: \[40\,723\cdot 6 \;\lt\; 215\,348\cdot 6 \;\lt\; 400\,205\cdot 6.\] Уточнението е съществено: ако запазеният множител е 0, произведението остава 0, колкото и да расте другият множител — нали \(a\cdot 0 = 0\).
Ред на действията. Ако в израза има събиране, изваждане и умножение, първо се извършват умноженията, а след това събиранията и изважданията отляво надясно. Ако има скоби, първо се пресмята изразът в скобите.
\[2085\cdot 6 + 3742\cdot 5 + 27\,043 = 12\,510 + 18\,710 + 27\,043 = 58\,263.\]
Когато единият множител е близо до кръгло число, разпределителното свойство спестява целия стълб:
\[6\cdot 99\,998 = 6\cdot (100\,000 - 2) = 600\,000 - 12 = 599\,988.\]
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Пресметнете произведенията: а) \(2413\cdot 3\); б) \(4256\cdot 7\); в) \(60\,418\cdot 5\); г) \(4\cdot 2735\).
▼
РешениеУмножаваме в стълб, разред по разред, отдясно наляво.
а) \(2413\cdot 3 = \mathbf{7239}\).
б) \(4256\cdot 7 = \mathbf{29\,792}\).
в) \(60\,418\cdot 5 = \mathbf{302\,090}\).
г) По разместителното свойство \(4\cdot 2735 = 2735\cdot 4 = \mathbf{10\,940}\).
а) \(2413\cdot 3 = \mathbf{7239}\).
б) \(4256\cdot 7 = \mathbf{29\,792}\).
в) \(60\,418\cdot 5 = \mathbf{302\,090}\).
г) По разместителното свойство \(4\cdot 2735 = 2735\cdot 4 = \mathbf{10\,940}\).
2
Пресметнете произведенията: а) \(205\,341\cdot 6\); б) \(3\,508\,264\cdot 4\); в) \(8\cdot 1\,043\,507\); г) \(9\,264\,158\cdot 1\); д) \(573\,620\cdot 0\).
▼
Решениеа) \(205\,341\cdot 6 = \mathbf{1\,232\,046}\).
б) \(3\,508\,264\cdot 4 = \mathbf{14\,033\,056}\).
в) \(8\cdot 1\,043\,507 = \mathbf{8\,348\,056}\).
г) Тук не се смята нищо: \(a\cdot 1 = a\), значи \(9\,264\,158\cdot 1 = \mathbf{9\,264\,158}\).
д) Също: \(a\cdot 0 = 0\), значи \(573\,620\cdot 0 = \mathbf{0}\).
б) \(3\,508\,264\cdot 4 = \mathbf{14\,033\,056}\).
в) \(8\cdot 1\,043\,507 = \mathbf{8\,348\,056}\).
г) Тук не се смята нищо: \(a\cdot 1 = a\), значи \(9\,264\,158\cdot 1 = \mathbf{9\,264\,158}\).
д) Също: \(a\cdot 0 = 0\), значи \(573\,620\cdot 0 = \mathbf{0}\).
3
Намерете произведението \(a\cdot 6\), ако \(a\) е равно на: 40 723; 215 348; 400 205. Как се променя произведението, ако единият множител се запазва, а другият се увеличава?
▼
Решение\(40\,723\cdot 6 = \mathbf{244\,338}\);
\(215\,348\cdot 6 = \mathbf{1\,292\,088}\);
\(400\,205\cdot 6 = \mathbf{2\,401\,230}\).
Извод: вторият множител е един и същ и е различен от 0, а първият расте — расте и произведението. Ако единият множител е различен от 0 и се запази, а другият се увеличи \(n\) пъти, произведението също се увеличава \(n\) пъти.
\(215\,348\cdot 6 = \mathbf{1\,292\,088}\);
\(400\,205\cdot 6 = \mathbf{2\,401\,230}\).
Извод: вторият множител е един и същ и е различен от 0, а първият расте — расте и произведението. Ако единият множител е различен от 0 и се запази, а другият се увеличи \(n\) пъти, произведението също се увеличава \(n\) пъти.
4
Пресметнете израза по два начина: а) \(36\,214\cdot 4 + 12\,508\cdot 4\); б) \(152\,306\cdot 3 + 3\cdot 47\,694\); в) \(7\cdot 1\,305\,428 + 194\,572\cdot 7\).
▼
РешениеПървият начин е да пресметнем всяко произведение и да съберем. Вторият — да изнесем общия множител пред скоба.
а) Първи начин: \(36\,214\cdot 4 = 144\,856\) и \(12\,508\cdot 4 = 50\,032\); \(144\,856 + 50\,032 = \mathbf{194\,888}\).
Втори начин: \((36\,214 + 12\,508)\cdot 4 = 48\,722\cdot 4 = \mathbf{194\,888}\).
б) Първи начин: \(152\,306\cdot 3 = 456\,918\) и \(3\cdot 47\,694 = 143\,082\); \(456\,918 + 143\,082 = \mathbf{600\,000}\).
Втори начин: \((152\,306 + 47\,694)\cdot 3 = 200\,000\cdot 3 = \mathbf{600\,000}\).
в) Първи начин: \(7\cdot 1\,305\,428 = 9\,137\,996\) и \(194\,572\cdot 7 = 1\,362\,004\); \(9\,137\,996 + 1\,362\,004 = \mathbf{10\,500\,000}\).
Втори начин: \((1\,305\,428 + 194\,572)\cdot 7 = 1\,500\,000\cdot 7 = \mathbf{10\,500\,000}\).
И двата начина дават едно и също — това е разпределителното свойство. При б) и в) обаче вторият начин е несравнимо по-лек: сборът в скобата е кръгло число и умножението се прави наум.
а) Първи начин: \(36\,214\cdot 4 = 144\,856\) и \(12\,508\cdot 4 = 50\,032\); \(144\,856 + 50\,032 = \mathbf{194\,888}\).
Втори начин: \((36\,214 + 12\,508)\cdot 4 = 48\,722\cdot 4 = \mathbf{194\,888}\).
б) Първи начин: \(152\,306\cdot 3 = 456\,918\) и \(3\cdot 47\,694 = 143\,082\); \(456\,918 + 143\,082 = \mathbf{600\,000}\).
Втори начин: \((152\,306 + 47\,694)\cdot 3 = 200\,000\cdot 3 = \mathbf{600\,000}\).
в) Първи начин: \(7\cdot 1\,305\,428 = 9\,137\,996\) и \(194\,572\cdot 7 = 1\,362\,004\); \(9\,137\,996 + 1\,362\,004 = \mathbf{10\,500\,000}\).
Втори начин: \((1\,305\,428 + 194\,572)\cdot 7 = 1\,500\,000\cdot 7 = \mathbf{10\,500\,000}\).
И двата начина дават едно и също — това е разпределителното свойство. При б) и в) обаче вторият начин е несравнимо по-лек: сборът в скобата е кръгло число и умножението се прави наум.
5
Пресметнете: а) \((18\,476 + 23\,524)\cdot 5\); б) \((2\,605\,318 + 1\,394\,682)\cdot 3\); в) \(42\,837\cdot 6 + 6\cdot 57\,163\).
▼
Решениеа) \(18\,476 + 23\,524 = 42\,000\); \(42\,000\cdot 5 = \mathbf{210\,000}\).
б) \(2\,605\,318 + 1\,394\,682 = 4\,000\,000\); \(4\,000\,000\cdot 3 = \mathbf{12\,000\,000}\).
в) Изнасяме шестицата: \((42\,837 + 57\,163)\cdot 6 = 100\,000\cdot 6 = \mathbf{600\,000}\).
б) \(2\,605\,318 + 1\,394\,682 = 4\,000\,000\); \(4\,000\,000\cdot 3 = \mathbf{12\,000\,000}\).
в) Изнасяме шестицата: \((42\,837 + 57\,163)\cdot 6 = 100\,000\cdot 6 = \mathbf{600\,000}\).
6
Като използвате разместителното и съдружителното свойство, пресметнете по рационален начин: а) \(5\cdot 1743\cdot 2\); б) \(4\cdot 2867\cdot 25\); в) \(8\cdot 1359\cdot 125\); г) \(2\cdot 3465\cdot 50\).
▼
РешениеТърсим двойка множители, която дава кръгло число, и я групираме.
а) \((5\cdot 2)\cdot 1743 = 10\cdot 1743 = \mathbf{17\,430}\).
б) \((4\cdot 25)\cdot 2867 = 100\cdot 2867 = \mathbf{286\,700}\).
в) \((8\cdot 125)\cdot 1359 = 1000\cdot 1359 = \mathbf{1\,359\,000}\).
г) \((2\cdot 50)\cdot 3465 = 100\cdot 3465 = \mathbf{346\,500}\).
а) \((5\cdot 2)\cdot 1743 = 10\cdot 1743 = \mathbf{17\,430}\).
б) \((4\cdot 25)\cdot 2867 = 100\cdot 2867 = \mathbf{286\,700}\).
в) \((8\cdot 125)\cdot 1359 = 1000\cdot 1359 = \mathbf{1\,359\,000}\).
г) \((2\cdot 50)\cdot 3465 = 100\cdot 3465 = \mathbf{346\,500}\).
7
Установете, че \(1846\cdot 6 - 1246\cdot 6 = (1846 - 1246)\cdot 6\). Използвайте това свойство и пресметнете по рационален начин изразите: а) \(3172\cdot 8 - 2172\cdot 8\); б) \(9\cdot 4085 - 9\cdot 1085\); в) \(738\,419\cdot 5 - 5\cdot 238\,419\).
▼
РешениеПроверка: \(1846\cdot 6 = 11\,076\) и \(1246\cdot 6 = 7476\), значи лявата страна е \(11\,076 - 7476 = 3600\). Дясната страна: \((1846 - 1246)\cdot 6 = 600\cdot 6 = 3600\). Равни са. ✓
Това е разпределителното свойство на умножението относно изваждането.
а) \((3172 - 2172)\cdot 8 = 1000\cdot 8 = \mathbf{8000}\).
б) \(9\cdot (4085 - 1085) = 9\cdot 3000 = \mathbf{27\,000}\).
в) \((738\,419 - 238\,419)\cdot 5 = 500\,000\cdot 5 = \mathbf{2\,500\,000}\).
Това е разпределителното свойство на умножението относно изваждането.
а) \((3172 - 2172)\cdot 8 = 1000\cdot 8 = \mathbf{8000}\).
б) \(9\cdot (4085 - 1085) = 9\cdot 3000 = \mathbf{27\,000}\).
в) \((738\,419 - 238\,419)\cdot 5 = 500\,000\cdot 5 = \mathbf{2\,500\,000}\).
8
Намерете: а) числото, което е седем пъти по-голямо от числото 483 265; б) числото, което е 999 999 пъти по-голямо от числото 8.
▼
Решениеа) \(483\,265\cdot 7 = \mathbf{3\,382\,855}\).
б) Тук стълбът е излишен. Използваме разпределителното свойство:
\(8\cdot 999\,999 = 8\cdot (1\,000\,000 - 1) = 8\,000\,000 - 8 = \mathbf{7\,999\,992}\).
б) Тук стълбът е излишен. Използваме разпределителното свойство:
\(8\cdot 999\,999 = 8\cdot (1\,000\,000 - 1) = 8\,000\,000 - 8 = \mathbf{7\,999\,992}\).
9
Пресметнете: а) \(405\,217 + 128\,634 + 30\,512\cdot 4\); б) \(2085\cdot 6 + 3742\cdot 5 + 27\,043\); в) \(3126\cdot 4 + (28\,475 + 41\,525)\cdot 3\).
▼
РешениеПърво скобите, после умноженията, накрая събиранията.
а) \(30\,512\cdot 4 = 122\,048\); \(405\,217 + 128\,634 + 122\,048 = \mathbf{655\,899}\).
б) \(2085\cdot 6 = 12\,510\); \(3742\cdot 5 = 18\,710\); \(12\,510 + 18\,710 + 27\,043 = \mathbf{58\,263}\).
в) \(28\,475 + 41\,525 = 70\,000\); \(70\,000\cdot 3 = 210\,000\); \(3126\cdot 4 = 12\,504\); \(12\,504 + 210\,000 = \mathbf{222\,504}\).
а) \(30\,512\cdot 4 = 122\,048\); \(405\,217 + 128\,634 + 122\,048 = \mathbf{655\,899}\).
б) \(2085\cdot 6 = 12\,510\); \(3742\cdot 5 = 18\,710\); \(12\,510 + 18\,710 + 27\,043 = \mathbf{58\,263}\).
в) \(28\,475 + 41\,525 = 70\,000\); \(70\,000\cdot 3 = 210\,000\); \(3126\cdot 4 = 12\,504\); \(12\,504 + 210\,000 = \mathbf{222\,504}\).
10
Сборът на числата 63 428 и 36 572 умножете с числото 7.
▼
Решение\(63\,428 + 36\,572 = 100\,000\);
\(100\,000\cdot 7 = \mathbf{700\,000}\).
\(100\,000\cdot 7 = \mathbf{700\,000}\).
11
Произведението на числата 2 407 316 и 4 съберете с числото 683 725.
▼
Решение\(2\,407\,316\cdot 4 = 9\,629\,264\);
\(9\,629\,264 + 683\,725 = \mathbf{10\,312\,989}\).
\(9\,629\,264 + 683\,725 = \mathbf{10\,312\,989}\).
12
Произведението на числата 24 736 и 9 извадете от числото 415 200.
▼
Решение\(24\,736\cdot 9 = 222\,624\);
\(415\,200 - 222\,624 = \mathbf{192\,576}\).
Обърнете внимание на реда: от 415 200 трябва да извадим произведението, а не обратното.
\(415\,200 - 222\,624 = \mathbf{192\,576}\).
Обърнете внимание на реда: от 415 200 трябва да извадим произведението, а не обратното.
13
Към разликата на числата 874 205 и 316 890 прибавете произведението на числата 62 418 и 6.
▼
Решение\(874\,205 - 316\,890 = 557\,315\);
\(62\,418\cdot 6 = 374\,508\);
\(557\,315 + 374\,508 = \mathbf{931\,823}\).
\(62\,418\cdot 6 = 374\,508\);
\(557\,315 + 374\,508 = \mathbf{931\,823}\).
14
Ако \(a = 1846\cdot 7\) и \(b = 5\cdot 2374\), намерете: а) \(a + b\); б) \(a - b\).
▼
РешениеПърво намираме \(a\) и \(b\):
\(a = 1846\cdot 7 = 12\,922\); \(b = 5\cdot 2374 = 11\,870\).
а) \(a + b = 12\,922 + 11\,870 = \mathbf{24\,792}\).
б) \(a - b = 12\,922 - 11\,870 = \mathbf{1052}\).
\(a = 1846\cdot 7 = 12\,922\); \(b = 5\cdot 2374 = 11\,870\).
а) \(a + b = 12\,922 + 11\,870 = \mathbf{24\,792}\).
б) \(a - b = 12\,922 - 11\,870 = \mathbf{1052}\).
15
Сърцето на здрав възрастен човек прави около 72 удара в минута. Колко удара прави за 8 минути? А за един час?
▼
РешениеПонеже стойността 72 удара в минута е приблизителна, приблизителни са и получените резултати.
За 8 минути сърцето прави около \(72\cdot 8 = \mathbf{576}\) удара.
Един час е 60 минути, значи за един час прави около \(72\cdot 60 = \mathbf{4320}\) удара.
За 8 минути сърцето прави около \(72\cdot 8 = \mathbf{576}\) удара.
Един час е 60 минути, значи за един час прави около \(72\cdot 60 = \mathbf{4320}\) удара.
16
Влак изминал 185 km за известно време. Колко път ще измине този влак за пет пъти повече време, ако се движи със същата скорост?
▼
РешениеПри една и съща скорост, ако времето се увеличи 5 пъти, изминатият път също се увеличава 5 пъти:
\(185\cdot 5 = \mathbf{925}\) km.
\(185\cdot 5 = \mathbf{925}\) km.
17
Пет камиона доставят пясък на строителен обект. Всеки камион вози по 6 t на курс и прави по 3 курса дневно. Колко тона пясък ще доставят тези камиони за 4 дни?
▼
РешениеВървим стъпка по стъпка.
Един камион за един ден: \(6\cdot 3 = 18\) t.
Пет камиона за един ден: \(18\cdot 5 = 90\) t.
За 4 дни: \(90\cdot 4 = \mathbf{360}\) t.
Може и наведнъж: \(5\cdot 6\cdot 3\cdot 4 = 360\) t — разместителното и съдружителното свойство ни позволяват да разместваме и групираме множителите по удобен начин.
Един камион за един ден: \(6\cdot 3 = 18\) t.
Пет камиона за един ден: \(18\cdot 5 = 90\) t.
За 4 дни: \(90\cdot 4 = \mathbf{360}\) t.
Може и наведнъж: \(5\cdot 6\cdot 3\cdot 4 = 360\) t — разместителното и съдружителното свойство ни позволяват да разместваме и групираме множителите по удобен начин.
18
Един кошер дава 9 kg мед за сезон. Пчеларят има 8 кошера. Колко килограма мед ще събере за един сезон? А за 4 сезона, ако добивът се запази?
▼
РешениеЗа един сезон: \(9\cdot 8 = \mathbf{72}\) kg.
За 4 сезона: \(72\cdot 4 = \mathbf{288}\) kg.
За 4 сезона: \(72\cdot 4 = \mathbf{288}\) kg.
19
Сравнете, без да пресмятате: а) \(6\cdot 84\,317\) и \(7\cdot 84\,317\); б) \(5\cdot 269\,048\) и \(5\cdot 269\,084\); в) \(8\cdot 135\,062\) и \(135\,062\cdot 8\).
▼
Решениеа) Вторият множител е един и същ. Понеже \(6 \lt 7\), то \(6\cdot 84\,317 \;\mathbf{\lt}\; 7\cdot 84\,317\).
б) Първият множител е един и същ. Понеже \(269\,048 \lt 269\,084\) (първата разлика е в разреда на десетиците), то \(5\cdot 269\,048 \;\mathbf{\lt}\; 5\cdot 269\,084\).
в) Същите два множителя, само разменени — по разместителното свойство \(8\cdot 135\,062 \;\mathbf{=}\; 135\,062\cdot 8\).
б) Първият множител е един и същ. Понеже \(269\,048 \lt 269\,084\) (първата разлика е в разреда на десетиците), то \(5\cdot 269\,048 \;\mathbf{\lt}\; 5\cdot 269\,084\).
в) Същите два множителя, само разменени — по разместителното свойство \(8\cdot 135\,062 \;\mathbf{=}\; 135\,062\cdot 8\).
20
Попълнете таблицата и сравнете резултатите от последните две колони. Направете съответните изводи.
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(a\cdot b\) | \(b\cdot c\) | \((a\cdot b)\cdot c\) | \(a\cdot (b\cdot c)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 25 | 17 | ||||
| 2 | 8 | 125 | ||||
| 5 | 3 | 62 |
▼
Решение
Извод: и в трите реда последните две колони съвпадат. Това е съдружителното свойство на умножението: \((a\cdot b)\cdot c = a\cdot (b\cdot c)\) — можем да променяме групирането на множителите, без да променяме техния ред.
Забележете още: в първия ред е по-лесно да тръгнем от \(a\cdot b = 100\), а във втория — от \(b\cdot c = 1000\). Точно това правим при рационалното пресмятане.
| \(a\) | \(b\) | \(c\) | \(a\cdot b\) | \(b\cdot c\) | \((a\cdot b)\cdot c\) | \(a\cdot (b\cdot c)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 25 | 17 | 100 | 425 | 1700 | 1700 |
| 2 | 8 | 125 | 16 | 1000 | 2000 | 2000 |
| 5 | 3 | 62 | 15 | 186 | 930 | 930 |
Забележете още: в първия ред е по-лесно да тръгнем от \(a\cdot b = 100\), а във втория — от \(b\cdot c = 1000\). Точно това правим при рационалното пресмятане.
21
Мартин започнал да чете книга, когато Ния вече била прочела 30 страници от нея. Ако Мартин чете по 16 страници, а Ния — по 10 страници на ден, ще настигне ли Мартин Ния след 4 дни? А след колко дни ще я настигне?⭐ повишена трудност
▼
РешениеСлед 4 дни.
Мартин е прочел \(16\cdot 4 = 64\) страници.
Ния е прочела \(30 + 10\cdot 4 = 30 + 40 = 70\) страници.
Понеже \(64 \lt 70\), Мартин още не я е настигнал — изостава с 6 страници.
Кога ще я настигне. Всеки ден Мартин чете с \(16 - 10 = 6\) страници повече от Ния, тоест намалява изоставането си с 6 страници дневно. Началното изоставане е 30 страници.
За колко дни ще се стопи изоставането от 30 страници, ако всеки ден то намалява с 6 страници? За 5 дни, защото \(6\cdot 5 = 30\).
Проверка след 5 дни: Мартин \(16\cdot 5 = 80\); Ния \(30 + 10\cdot 5 = 80\). Равни са. ✓
Мартин настига Ния след 5 дни.
Мартин е прочел \(16\cdot 4 = 64\) страници.
Ния е прочела \(30 + 10\cdot 4 = 30 + 40 = 70\) страници.
Понеже \(64 \lt 70\), Мартин още не я е настигнал — изостава с 6 страници.
Кога ще я настигне. Всеки ден Мартин чете с \(16 - 10 = 6\) страници повече от Ния, тоест намалява изоставането си с 6 страници дневно. Началното изоставане е 30 страници.
За колко дни ще се стопи изоставането от 30 страници, ако всеки ден то намалява с 6 страници? За 5 дни, защото \(6\cdot 5 = 30\).
Проверка след 5 дни: Мартин \(16\cdot 5 = 80\); Ния \(30 + 10\cdot 5 = 80\). Равни са. ✓
Мартин настига Ния след 5 дни.
22
Преди 5 години сборът от годините на една майка и двете ѝ дъщери е бил 42. Колко ще бъде този сбор след 5 години?⭐ повишена трудност
▼
РешениеХитростта е, че не ни трябват годините на всеки поотделно.
От „преди 5 години“ до „след 5 години“ минават \(5 + 5 = 10\) години. През това време всеки от тримата ще е с 10 години по-възрастен.
Значи сборът се увеличава с \(3\cdot 10 = 30\) години:
\[42 + 30 = \mathbf{72}.\]Внимание: честа грешка е да се прибави само \(3\cdot 5 = 15\) — но това дава сбора днес (57), а не след 5 години.
От „преди 5 години“ до „след 5 години“ минават \(5 + 5 = 10\) години. През това време всеки от тримата ще е с 10 години по-възрастен.
Значи сборът се увеличава с \(3\cdot 10 = 30\) години:
\[42 + 30 = \mathbf{72}.\]Внимание: честа грешка е да се прибави само \(3\cdot 5 = 15\) — но това дава сбора днес (57), а не след 5 години.
23
От град \(A\) за град \(B\), разстоянието между които е 64 km, тръгват едновременно велосипедист със скорост 12 km в час и пешеходец със скорост 4 km в час. След колко часа велосипедистът ще бъде 3 пъти по-близо до \(B\), отколкото пешеходецът?⭐ повишена трудност
▼
РешениеЩе опитаме час по час и ще следим двете разстояния до \(B\).
След 4 часа на велосипедиста остават 16 km, а на пешеходеца — 48 km. Понеже \(48 = 3\cdot 16\), отговорът е 4 часа.
По-кратко разсъждение. Двамата тръгват от една точка, значи разстоянията им до \(B\) намаляват. Търсим момента, в който оставащото разстояние на пешеходеца до \(B\) е три пъти оставащото разстояние на велосипедиста. След \(t\) часа велосипедистът е на \(64 - 12t\) km от \(B\), а пешеходецът — на \(64 - 4t\) km. Условието е \(64 - 4t = 3\cdot(64 - 12t)\), откъдето \(t = 4\).
| след | велосипедистът е изминал (km) | остават му до \(B\) (km) | пешеходецът е изминал (km) | остават му до \(B\) (km) | 3 пъти? |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 час | 12 | 52 | 4 | 60 | ✘ |
| 2 часа | 24 | 40 | 8 | 56 | ✘ |
| 3 часа | 36 | 28 | 12 | 52 | ✘ |
| 4 часа | 48 | 16 | 16 | 48 | ✔ |
По-кратко разсъждение. Двамата тръгват от една точка, значи разстоянията им до \(B\) намаляват. Търсим момента, в който оставащото разстояние на пешеходеца до \(B\) е три пъти оставащото разстояние на велосипедиста. След \(t\) часа велосипедистът е на \(64 - 12t\) km от \(B\), а пешеходецът — на \(64 - 4t\) km. Условието е \(64 - 4t = 3\cdot(64 - 12t)\), откъдето \(t = 4\).
24
Пресметнете по рационален начин, без да умножавате в стълб: а) \(6\cdot 99\,998\); б) \(8\cdot 10\,003\); в) \(9\cdot 49\,999 + 9\cdot 50\,001\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеИдеята е една и съща: представяме неудобното число като сбор или разлика на кръгло число и малко число.
а) \(99\,998 = 100\,000 - 2\), значи
\(6\cdot 99\,998 = 6\cdot 100\,000 - 6\cdot 2 = 600\,000 - 12 = \mathbf{599\,988}\).
б) \(10\,003 = 10\,000 + 3\), значи
\(8\cdot 10\,003 = 8\cdot 10\,000 + 8\cdot 3 = 80\,000 + 24 = \mathbf{80\,024}\).
в) Тук общият множител е 9. Изнасяме го пред скоба:
\(9\cdot (49\,999 + 50\,001) = 9\cdot 100\,000 = \mathbf{900\,000}\).
Забележете, че при в) изобщо не се наложи да умножаваме петцифрено число.
а) \(99\,998 = 100\,000 - 2\), значи
\(6\cdot 99\,998 = 6\cdot 100\,000 - 6\cdot 2 = 600\,000 - 12 = \mathbf{599\,988}\).
б) \(10\,003 = 10\,000 + 3\), значи
\(8\cdot 10\,003 = 8\cdot 10\,000 + 8\cdot 3 = 80\,000 + 24 = \mathbf{80\,024}\).
в) Тук общият множител е 9. Изнасяме го пред скоба:
\(9\cdot (49\,999 + 50\,001) = 9\cdot 100\,000 = \mathbf{900\,000}\).
Забележете, че при в) изобщо не се наложи да умножаваме петцифрено число.
25
Произведението на две естествени числа е 72. Кои може да са тези числа, ако едното от тях е едноцифрено?⭐ повишена трудност
▼
РешениеЕдноцифрените естествени числа са 1, 2, ..., 9. Проверяваме кои от тях могат да бъдат множители, тоест на кои от тях 72 се дели без остатък:
• \(1\cdot 72 = 72\) ✓ • \(2\cdot 36 = 72\) ✓ • \(3\cdot 24 = 72\) ✓ • \(4\cdot 18 = 72\) ✓
• \(5\cdot ? = 72\) — няма такова естествено число ✘
• \(6\cdot 12 = 72\) ✓ • \(7\cdot ? = 72\) ✘ • \(8\cdot 9 = 72\) ✓ • \(9\cdot 8 = 72\) ✓
Последните две дават една и съща двойка числа, само разменени.
Търсените двойки са 6 на брой:
\(1\) и \(72\); \(\;2\) и \(36\); \(\;3\) и \(24\); \(\;4\) и \(18\); \(\;6\) и \(12\); \(\;8\) и \(9\).
• \(1\cdot 72 = 72\) ✓ • \(2\cdot 36 = 72\) ✓ • \(3\cdot 24 = 72\) ✓ • \(4\cdot 18 = 72\) ✓
• \(5\cdot ? = 72\) — няма такова естествено число ✘
• \(6\cdot 12 = 72\) ✓ • \(7\cdot ? = 72\) ✘ • \(8\cdot 9 = 72\) ✓ • \(9\cdot 8 = 72\) ✓
Последните две дават една и съща двойка числа, само разменени.
Търсените двойки са 6 на брой:
\(1\) и \(72\); \(\;2\) и \(36\); \(\;3\) и \(24\); \(\;4\) и \(18\); \(\;6\) и \(12\); \(\;8\) и \(9\).
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Пресметнете произведенията: а) \(3524\cdot 2\); б) \(1836\cdot 6\); в) \(45\,207\cdot 4\); г) \(7\cdot 6218\).
Отг.: а) 7048; б) 11 016; в) 180 828; г) 43 526.
Отг.: а) 7048; б) 11 016; в) 180 828; г) 43 526.
Задача 2Пресметнете произведенията: а) \(108\,425\cdot 3\); б) \(2\,617\,043\cdot 5\); в) \(9\cdot 1\,205\,608\); г) \(4\,738\,291\cdot 1\); д) \(682\,405\cdot 0\).
Отг.: а) 325 275; б) 13 085 215; в) 10 850 472; г) 4 738 291 (защото \(a\cdot 1 = a\)); д) 0 (защото \(a\cdot 0 = 0\)).
Отг.: а) 325 275; б) 13 085 215; в) 10 850 472; г) 4 738 291 (защото \(a\cdot 1 = a\)); д) 0 (защото \(a\cdot 0 = 0\)).
Задача 3Намерете произведението \(a\cdot 8\), ако \(a\) е равно на: 30 615; 142 507; 600 304. Как се променя произведението, ако единият множител се запазва, а другият се увеличава?
Отг.: 244 920; 1 140 056; 4 802 432. Единият множител е един и същ, а другият расте — расте и произведението.
Отг.: 244 920; 1 140 056; 4 802 432. Единият множител е един и същ, а другият расте — расте и произведението.
Задача 4Пресметнете израза по два начина: а) \(24\,318\cdot 5 + 15\,682\cdot 5\); б) \(3\cdot 186\,245 + 3\cdot 13\,755\); в) \(4\,072\,165\cdot 6 + 6\cdot 927\,835\).
Отг.: а) \((24\,318 + 15\,682)\cdot 5 = 40\,000\cdot 5 = 200\,000\); б) \(3\cdot 200\,000 = 600\,000\); в) \(6\cdot 5\,000\,000 = 30\,000\,000\).
Отг.: а) \((24\,318 + 15\,682)\cdot 5 = 40\,000\cdot 5 = 200\,000\); б) \(3\cdot 200\,000 = 600\,000\); в) \(6\cdot 5\,000\,000 = 30\,000\,000\).
Задача 5Пресметнете: а) \((26\,384 + 43\,616)\cdot 4\); б) \((1\,508\,273 + 2\,491\,727)\cdot 5\); в) \(63\,209\cdot 7 + 7\cdot 36\,791\).
Отг.: а) \(70\,000\cdot 4 = 280\,000\); б) \(4\,000\,000\cdot 5 = 20\,000\,000\); в) \((63\,209 + 36\,791)\cdot 7 = 100\,000\cdot 7 = 700\,000\).
Отг.: а) \(70\,000\cdot 4 = 280\,000\); б) \(4\,000\,000\cdot 5 = 20\,000\,000\); в) \((63\,209 + 36\,791)\cdot 7 = 100\,000\cdot 7 = 700\,000\).
Задача 6Като използвате разместителното и съдружителното свойство, пресметнете по рационален начин: а) \(2\cdot 4318\cdot 5\); б) \(25\cdot 1276\cdot 4\); в) \(125\cdot 2054\cdot 8\); г) \(50\cdot 3728\cdot 2\).
Отг.: а) \(10\cdot 4318 = 43\,180\); б) \(100\cdot 1276 = 127\,600\); в) \(1000\cdot 2054 = 2\,054\,000\); г) \(100\cdot 3728 = 372\,800\).
Отг.: а) \(10\cdot 4318 = 43\,180\); б) \(100\cdot 1276 = 127\,600\); в) \(1000\cdot 2054 = 2\,054\,000\); г) \(100\cdot 3728 = 372\,800\).
Задача 7Пресметнете по рационален начин: а) \(4283\cdot 7 - 3283\cdot 7\); б) \(6\cdot 5124 - 6\cdot 2124\); в) \(856\,037\cdot 9 - 9\cdot 356\,037\).
Отг.: а) \((4283 - 3283)\cdot 7 = 1000\cdot 7 = 7000\); б) \(6\cdot 3000 = 18\,000\); в) \(500\,000\cdot 9 = 4\,500\,000\).
Отг.: а) \((4283 - 3283)\cdot 7 = 1000\cdot 7 = 7000\); б) \(6\cdot 3000 = 18\,000\); в) \(500\,000\cdot 9 = 4\,500\,000\).
Задача 8Намерете: а) числото, което е шест пъти по-голямо от числото 372 458; б) числото, което е 999 998 пъти по-голямо от числото 5.
Отг.: а) 2 234 748; б) \(5\cdot (1\,000\,000 - 2) = 5\,000\,000 - 10 = 4\,999\,990\).
Отг.: а) 2 234 748; б) \(5\cdot (1\,000\,000 - 2) = 5\,000\,000 - 10 = 4\,999\,990\).
Задача 9Пресметнете: а) \(312\,456 + 205\,083 + 40\,271\cdot 5\); б) \(4128\cdot 3 + 2765\cdot 4 + 18\,502\); в) \(5217\cdot 6 + (36\,815 + 43\,185)\cdot 2\).
Отг.: а) 718 894; б) 41 946; в) 191 302.
Отг.: а) 718 894; б) 41 946; в) 191 302.
Задача 10Сборът на числата 47 619 и 52 381 умножете с числото 8.
Отг.: \(47\,619 + 52\,381 = 100\,000\); \(100\,000\cdot 8 = 800\,000\).
Отг.: \(47\,619 + 52\,381 = 100\,000\); \(100\,000\cdot 8 = 800\,000\).
Задача 11Произведението на числата 1 826 405 и 5 съберете с числото 743 210.
Отг.: \(1\,826\,405\cdot 5 = 9\,132\,025\); \(9\,132\,025 + 743\,210 = 9\,875\,235\).
Отг.: \(1\,826\,405\cdot 5 = 9\,132\,025\); \(9\,132\,025 + 743\,210 = 9\,875\,235\).
Задача 12Произведението на числата 38 507 и 7 извадете от числото 512 640.
Отг.: \(38\,507\cdot 7 = 269\,549\); \(512\,640 - 269\,549 = 243\,091\).
Отг.: \(38\,507\cdot 7 = 269\,549\); \(512\,640 - 269\,549 = 243\,091\).
Задача 13Към разликата на числата 926 348 и 407 195 прибавете произведението на числата 84 217 и 4.
Отг.: \(926\,348 - 407\,195 = 519\,153\); \(84\,217\cdot 4 = 336\,868\); \(519\,153 + 336\,868 = 856\,021\).
Отг.: \(926\,348 - 407\,195 = 519\,153\); \(84\,217\cdot 4 = 336\,868\); \(519\,153 + 336\,868 = 856\,021\).
Задача 14Ако \(a = 2364\cdot 5\) и \(b = 8\cdot 1207\), намерете: а) \(a + b\); б) \(a - b\).
Отг.: \(a = 11\,820\), \(b = 9656\); а) 21 476; б) 2164.
Отг.: \(a = 11\,820\), \(b = 9656\); а) 21 476; б) 2164.
Задача 15Помпа изпомпва 85 литра вода за една минута. Колко литра ще изпомпи за 9 минути?
Отг.: \(85\cdot 9 = 765\) литра.
Отг.: \(85\cdot 9 = 765\) литра.
Задача 16Автомобил изминал 96 km за известно време. Колко път ще измине за три пъти повече време при същата скорост?
Отг.: \(96\cdot 3 = 288\) km.
Отг.: \(96\cdot 3 = 288\) km.
Задача 17Четири камиона доставят чакъл. Всеки вози по 7 t на курс и прави по 2 курса дневно. Колко тона чакъл ще доставят за 5 дни?
Отг.: един камион за ден: \(7\cdot 2 = 14\) t; четирите за ден: \(14\cdot 4 = 56\) t; за 5 дни: \(56\cdot 5 = 280\) t.
Отг.: един камион за ден: \(7\cdot 2 = 14\) t; четирите за ден: \(14\cdot 4 = 56\) t; за 5 дни: \(56\cdot 5 = 280\) t.
Задача 18В овощна градина има 9 реда ябълкови дървета, по 8 дървета във всеки ред. Всяко дърво дава по 6 каси ябълки. Колко каси ябълки се събират от градината?
Отг.: дърветата са \(9\cdot 8 = 72\); касите са \(72\cdot 6 = 432\).
Отг.: дърветата са \(9\cdot 8 = 72\); касите са \(72\cdot 6 = 432\).
Задача 19Сравнете, без да пресмятате: а) \(4\cdot 72\,518\) и \(6\cdot 72\,518\); б) \(7\cdot 315\,047\) и \(7\cdot 315\,074\); в) \(9\cdot 124\,306\) и \(124\,306\cdot 9\).
Отг.: а) \(\lt\) (един и същ втори множител, а \(4 \lt 6\)); б) \(\lt\) (един и същ пръв множител, а \(315\,047 \lt 315\,074\)); в) \(=\) (разместително свойство).
Отг.: а) \(\lt\) (един и същ втори множител, а \(4 \lt 6\)); б) \(\lt\) (един и същ пръв множител, а \(315\,047 \lt 315\,074\)); в) \(=\) (разместително свойство).
Задача 20Пресметнете \((a\cdot b)\cdot c\) и \(a\cdot (b\cdot c)\) и сравнете резултатите, ако: а) \(a = 5\), \(b = 20\), \(c = 13\); б) \(a = 4\), \(b = 2\), \(c = 125\); в) \(a = 3\), \(b = 6\), \(c = 45\).
Отг.: а) 1300 и 1300; б) 1000 и 1000; в) 810 и 810. И в трите случая резултатите съвпадат — съдружително свойство. Забележете, че при а) е удобно да тръгнем от \(a\cdot b = 100\), а при б) — от \(b\cdot c = 250\).
Отг.: а) 1300 и 1300; б) 1000 и 1000; в) 810 и 810. И в трите случая резултатите съвпадат — съдружително свойство. Забележете, че при а) е удобно да тръгнем от \(a\cdot b = 100\), а при б) — от \(b\cdot c = 250\).
Задача 21Установете, че \((a + b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c\) при \(a = 348\), \(b = 152\) и \(c = 6\).
Отг.: лявата страна: \((348 + 152)\cdot 6 = 500\cdot 6 = 3000\); дясната: \(348\cdot 6 + 152\cdot 6 = 2088 + 912 = 3000\). Равни са.
Отг.: лявата страна: \((348 + 152)\cdot 6 = 500\cdot 6 = 3000\); дясната: \(348\cdot 6 + 152\cdot 6 = 2088 + 912 = 3000\). Равни са.
Задача 22Пресметнете по рационален начин: а) \(7\cdot 99\,999\); б) \(5\cdot 20\,004\); в) \(6\cdot 49\,998 + 6\cdot 50\,002\).
Отг.: а) \(7\cdot (100\,000 - 1) = 700\,000 - 7 = 699\,993\); б) \(5\cdot (20\,000 + 4) = 100\,000 + 20 = 100\,020\); в) \(6\cdot (49\,998 + 50\,002) = 6\cdot 100\,000 = 600\,000\).
Отг.: а) \(7\cdot (100\,000 - 1) = 700\,000 - 7 = 699\,993\); б) \(5\cdot (20\,000 + 4) = 100\,000 + 20 = 100\,020\); в) \(6\cdot (49\,998 + 50\,002) = 6\cdot 100\,000 = 600\,000\).
Задача 23Мая има 6 кутии с по 8 молива, а Ния — 4 кутии с по 9 молива. Коя от двете има повече моливи и с колко?
Отг.: Мая има \(6\cdot 8 = 48\), Ния — \(4\cdot 9 = 36\). Мая има с \(48 - 36 = 12\) молива повече.
Отг.: Мая има \(6\cdot 8 = 48\), Ния — \(4\cdot 9 = 36\). Мая има с \(48 - 36 = 12\) молива повече.
Задача 24При преброяване в един парк са отчетени 2854 дървета, а храстите са били 3 пъти повече. Колко са били храстите?
Отг.: \(2854\cdot 3 = 8562\) храста.
Отг.: \(2854\cdot 3 = 8562\) храста.
Задача 25В библиотека има 5 еднакви шкафа. Всеки шкаф има 6 рафта, а на всеки рафт стоят по 48 книги. Колко книги има в библиотеката?
Отг.: в един шкаф: \(48\cdot 6 = 288\) книги; в петте: \(288\cdot 5 = 1440\) книги.
Отг.: в един шкаф: \(48\cdot 6 = 288\) книги; в петте: \(288\cdot 5 = 1440\) книги.
Задача 26Преди 4 години сборът от годините на един дядо и двамата му внуци е бил 68. Колко ще бъде този сбор след 4 години?
Отг.: от „преди 4 години“ до „след 4 години“ минават 8 години. За тези 8 години сборът на възрастите им се увеличава с \(3\cdot 8 = 24\) години, значи става \(68 + 24 = 92\).
Отг.: от „преди 4 години“ до „след 4 години“ минават 8 години. За тези 8 години сборът на възрастите им се увеличава с \(3\cdot 8 = 24\) години, значи става \(68 + 24 = 92\).
Задача 27Симона започнала да чете книга, когато Калин вече бил прочел 45 страници. Ако Симона чете по 20 страници, а Калин — по 11 страници на ден, ще настигне ли Симона Калин след 4 дни? А след колко дни ще го настигне?
Отг.: след 4 дни Симона е прочела \(20\cdot 4 = 80\) страници, а Калин — \(45 + 11\cdot 4 = 89\). Понеже \(80 \lt 89\), още не го е настигнала. Всеки ден намалява изоставането с \(20 - 11 = 9\) страници, а началното изоставане е 45, значи го настига след \(45 : 9 = 5\) дни.
Отг.: след 4 дни Симона е прочела \(20\cdot 4 = 80\) страници, а Калин — \(45 + 11\cdot 4 = 89\). Понеже \(80 \lt 89\), още не го е настигнала. Всеки ден намалява изоставането с \(20 - 11 = 9\) страници, а началното изоставане е 45, значи го настига след \(45 : 9 = 5\) дни.
Задача 28Произведението на две естествени числа е 60. Кои може да са тези числа, ако едното от тях е едноцифрено?
Отг.: шест двойки — 1 и 60; 2 и 30; 3 и 20; 4 и 15; 5 и 12; 6 и 10. (За 7, 8 и 9 няма естествен множител, с който произведението да е 60.)
Отг.: шест двойки — 1 и 60; 2 и 30; 3 и 20; 4 и 15; 5 и 12; 6 и 10. (За 7, 8 и 9 няма естествен множител, с който произведението да е 60.)
Задача 29Пресметнете стойността на израза \(A = 8\cdot x\), ако \(x\) е равно на: а) 12 405; б) 130 072; в) 1 000 500.
Отг.: а) 99 240; б) 1 040 576; в) 8 004 000.
Отг.: а) 99 240; б) 1 040 576; в) 8 004 000.
Задача 30Един самолет изразходва 6 тона гориво на час. Колко тона гориво ще изразходва за 9 часа полет? А три такива самолета за същото време?
Отг.: един самолет: \(6\cdot 9 = 54\) t; три самолета: \(54\cdot 3 = 162\) t.
Отг.: един самолет: \(6\cdot 9 = 54\) t; три самолета: \(54\cdot 3 = 162\) t.
✅ Онлайн тест
Тест: Умножение. Свойства на умножението
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Кое равенство изразява разместителното свойство на умножението?
2Кое равенство изразява разпределителното свойство на умножението относно събирането?
3На колко е равно \(a\cdot 0\)?
4На колко е равно \(7\,842\,309\cdot 1\)?
5Произведението \(2413\cdot 3\) е равно на:
6Изразът \(36\,214\cdot 4 + 12\,508\cdot 4\) е равен на:
7Кой начин е най-удобен за пресмятането на \(5\cdot 1743\cdot 2\)?
8Изразът \(3172\cdot 8 - 2172\cdot 8\) е равен на:
9Числото, което е седем пъти по-голямо от числото 483 265, е:
10Ако единият множител е различен от 0 и се запази, а другият се увеличи 3 пъти, произведението:
11Колело прави 48 оборота за една минута. За 7 минути ще направи:
12Произведението \(6\cdot 99\,998\) е равно на:
13Кое действие в израза \(2085\cdot 6 + 3742\cdot 5\) се извършва първо?
14Произведението на две естествени числа е 72, а едното от тях е едноцифрено. Колко на брой са възможните двойки числа?
15Пет камиона возят по 6 t пясък на курс и правят по 3 курса дневно. За 4 дни ще доставят:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
1
Събиране и изваждане на естествени числа
Урок за 5. клас — предходната тема от началния преговор: свойства на събирането, връзка между събирането и изваждането, рационално пресмятане и намиране на неизвестно число.
Към урока →
0
Четене, писане и сравняване на естествени числа
Урок за 5. клас — с него започва началният преговор: редица на естествените числа, разреди и класове, запис като сбор от разредни единици и правила за сравняване.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Когато търсим кои числа при умножение дават 72, всъщност търсим делителите на числото 72. Любопитен материал за скритите закономерности в естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар