Четене, писане и сравняване на естествени числа
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Начален преговор › Естествени числа › Четене, писане и сравняване на естествени числа
Четене, писане и сравняване на естествени числа
Редица на естествените числа, разредни единици и класове, запис като сбор от разредни единици и правила за сравняване. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
С този урок започваме началния преговор в 5. клас. Връщаме се към естествените числа, изучени в 4. клас, и подреждаме най-важното на едно място: как всяка цифра заема определен разред, как три съседни разреда образуват клас, как се четат и записват числата и как се сравняват без извършване на пресмятания. Материалът е познат, но върху него стъпва обучението през цялата учебна година, затова е важно да бъде преговорен внимателно. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🔢 Естествени числа. Разреди и класове
Числата \(1,\ 2,\ 3,\ \ldots,\ 100,\ 101,\ \ldots,\ 1\,000\,000,\ \ldots\), с които броим предмети, се наричат естествени числа. Те образуват редицата на естествените числа.
• Най-малкото естествено число е 1.
• Няма най-голямо естествено число — след всяко число идва следващо.
• Най-малкото естествено число е 1.
• Няма най-голямо естествено число — след всяко число идва следващо.
Мястото на всяка цифра в записа на числото определя нейния разред. Разредите се броят отдясно наляво, а съответните им разредни единици са:
\[1,\quad 10,\quad 100,\quad 1000,\quad 10\,000,\quad 100\,000,\quad 1\,000\,000,\ \ldots\]
Всеки три съседни разреда образуват клас: клас на единиците, клас на хилядите, клас на милионите, клас на милиардите и така нататък.
| Клас на милиардите | Клас на милионите | Клас на хилядите | Клас на единиците | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| стомилиарди | десетомилиарди | милиарди | стомилиони | десетомилиони | милиони | стохиляди | десетохиляди | хиляди | стотици | десетици | единици |
| 5 | 2 | 8 | 8 | 3 | 0 | 4 | 2 | 0 | 1 | ||
5 288 304 201 — пет милиарда двеста осемдесет и осем милиона триста и четири хиляди двеста и едно.
Всеки клас има по три разреда. Защрихованите клетки показват, че в класа на милиардите разредите на стомилиардите и десетомилиардите не са запълнени — числото е само десетцифрено.
Внимание: цифрата 0 също заема място в записа на числото. В числото 5 288 304 201 нулите в разредите на десетохилядите и на десетиците показват, че в тях няма разредни единици. Те обаче не могат да бъдат пропуснати, защото запазват местата на останалите цифри.
🗂 Четене и записване на естествени числа
Четене. Числото се чете по класове отляво надясно. След всеки ненулев клас, с изключение на класа на единиците, се произнася името му — милиарди, милиони, хиляди. Клас, съставен само от нули, не се чете.
\[\underbrace{5}_{\text{милиарда}}\ \underbrace{288}_{\text{милиона}}\ \underbrace{304}_{\text{хиляди}}\ \underbrace{201}_{\phantom{\text{ед.}}}\]
При числото 4 000 000 007 класовете на милионите и на хилядите са само от нули и затова не се четат: четири милиарда и седем.
Всяко естествено число може да се запише като сбор от съответните му разредни единици. Всяко събираемо се получава, като цифрата се умножи по разредната единица на своя разред:
\[52\,804 = 5\cdot 10\,000 + 2\cdot 1000 + 8\cdot 100 + 0\cdot 10 + 4 = 50\,000 + 2000 + 800 + 4.\]
Когато числото е зададено чрез броя на единиците от различни разреди, умножаваме всеки брой по съответната разредна единица и събираме получените числа. Броят на единиците от даден разред може да бъде и по-голям от 9 — тогава част от тях се преобразуват в единици от следващия разред: 30 стотици са 3 хиляди, 40 десетици са 4 стотици, а 60 единици са 6 десетици.
30 стотици, 40 десетици и 60 единици \(\;=\; 30\cdot 100 + 40\cdot 10 + 60 = 3000 + 400 + 60 = 3460.\)
30 стотици, 40 десетици и 60 единици \(\;=\; 30\cdot 100 + 40\cdot 10 + 60 = 3000 + 400 + 60 = 3460.\)
📋 Сравняване на естествени числа
Правило за сравняване.
1) Ако две естествени числа имат различен брой цифри, по-голямо е онова с повече цифри.
\(1\,384\,254 \gt 999\,876\), защото първото е седемцифрено, а второто — шестцифрено.
2) Ако имат еднакъв брой цифри, сравняваме цифрите отляво надясно, разред по разред. По-голямо е числото, в което първата различаваща се цифра е по-голяма.
\(907\,259 \gt 901\,863\), защото \(9=9\), \(0=0\), а \(7 \gt 1\).
1) Ако две естествени числа имат различен брой цифри, по-голямо е онова с повече цифри.
\(1\,384\,254 \gt 999\,876\), защото първото е седемцифрено, а второто — шестцифрено.
2) Ако имат еднакъв брой цифри, сравняваме цифрите отляво надясно, разред по разред. По-голямо е числото, в което първата различаваща се цифра е по-голяма.
\(907\,259 \gt 901\,863\), защото \(9=9\), \(0=0\), а \(7 \gt 1\).
За естественото число \(n\) числото \(n+1\) се нарича непосредствено следващо, а числото \(n-1\) (когато \(n \gt 1\)) — непосредствено предхождащо.
Непосредствено следващото на 200 999 е 201 000; непосредствено предхождащото на 10 000 е 9999.
Непосредствено следващото на 200 999 е 201 000; непосредствено предхождащото на 10 000 е 9999.
Между две естествени числа \(a\) и \(b\), при \(a \lt b\), се намират \(b - a - 1\) естествени числа.
Между 27 768 и 27 772 има \(27\,772 - 27\,768 - 1 = 3\) числа: 27 769, 27 770 и 27 771.
Между 27 768 и 27 772 има \(27\,772 - 27\,768 - 1 = 3\) числа: 27 769, 27 770 и 27 771.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Прочетете числата: 2 385 284; 54 273 502; 723 824 355; 300 802 100.
▼
РешениеРазделяме на класове по три цифри отдясно наляво и четем отляво надясно.
2 385 284 — два милиона триста осемдесет и пет хиляди двеста осемдесет и четири.
54 273 502 — петдесет и четири милиона двеста седемдесет и три хиляди петстотин и два.
723 824 355 — седемстотин двадесет и три милиона осемстотин двадесет и четири хиляди триста петдесет и пет.
300 802 100 — триста милиона осемстотин и две хиляди и сто.
2 385 284 — два милиона триста осемдесет и пет хиляди двеста осемдесет и четири.
54 273 502 — петдесет и четири милиона двеста седемдесет и три хиляди петстотин и два.
723 824 355 — седемстотин двадесет и три милиона осемстотин двадесет и четири хиляди триста петдесет и пет.
300 802 100 — триста милиона осемстотин и две хиляди и сто.
2
Запишете с цифри числата: а) осем милиона четиридесет хиляди и шест; б) двеста и три милиона петстотин хиляди и деветдесет; в) четири милиарда и седем.
▼
РешениеВсеки клас след най-високия се записва с точно три цифри; най-високият клас не се допълва с нули отляво. Ако в даден разред няма единици, записваме цифрата 0.
а) 8 | 040 | 006 \(\Rightarrow\) 8 040 006.
б) 203 | 500 | 090 \(\Rightarrow\) 203 500 090.
в) 4 | 000 | 000 | 007 \(\Rightarrow\) 4 000 000 007.
а) 8 | 040 | 006 \(\Rightarrow\) 8 040 006.
б) 203 | 500 | 090 \(\Rightarrow\) 203 500 090.
в) 4 | 000 | 000 | 007 \(\Rightarrow\) 4 000 000 007.
3
Запишете с цифри и прочетете числото, което съдържа: а) 7 милиона, 6 стохиляди, 4 десетохиляди, 2 хиляди и 7 единици; б) 22 милиона, 304 хиляди и 254 единици.
▼
Решениеа) \(7\cdot 1\,000\,000 + 6\cdot 100\,000 + 4\cdot 10\,000 + 2\cdot 1000 + 7 = 7\,000\,000 + 600\,000 + 40\,000 + 2000 + 7 = \mathbf{7\,642\,007}\).
Чете се: седем милиона шестстотин четиридесет и две хиляди и седем.
б) 22 | 304 | 254 \(\Rightarrow\) 22 304 254 — двадесет и два милиона триста и четири хиляди двеста петдесет и четири.
Чете се: седем милиона шестстотин четиридесет и две хиляди и седем.
б) 22 | 304 | 254 \(\Rightarrow\) 22 304 254 — двадесет и два милиона триста и четири хиляди двеста петдесет и четири.
4
Запишете с цифри числото, което съдържа: а) 3 единици, 5 десетици, 6 стотици, 5 хиляди, 7 десетохиляди, 8 стохиляди и 2 милиона; б) 32 единици, 7 стотици, 8 хиляди, 9 десетохиляди и 5 стохиляди.
▼
Решениеа) \(2\,000\,000 + 800\,000 + 70\,000 + 5000 + 600 + 50 + 3 = \mathbf{2\,875\,653}\).
б) Тук единиците са 32 — повече от 9. Умножаваме всеки брой по съответната разредна единица и събираме, като 32-те единици образуват 3 десетици и 2 единици:
\(500\,000 + 90\,000 + 8000 + 700 + 32 = \mathbf{598\,732}\).
б) Тук единиците са 32 — повече от 9. Умножаваме всеки брой по съответната разредна единица и събираме, като 32-те единици образуват 3 десетици и 2 единици:
\(500\,000 + 90\,000 + 8000 + 700 + 32 = \mathbf{598\,732}\).
5
Запишете числото, което съдържа: а) 30 стотици, 40 десетици и 60 единици; б) 12 единици, 35 десетици и 42 стотици.
▼
Решениеа) \(30\cdot 100 + 40\cdot 10 + 60 = 3000 + 400 + 60 = \mathbf{3460}\).
б) \(42\cdot 100 + 35\cdot 10 + 12 = 4200 + 350 + 12 = \mathbf{4562}\).
б) \(42\cdot 100 + 35\cdot 10 + 12 = 4200 + 350 + 12 = \mathbf{4562}\).
6
Запишете всяко от числата като сбор от съответни разредни единици: а) 52 804; б) 384 225; в) 7 234 005.
▼
Решениеа) \(52\,804 = 50\,000 + 2000 + 800 + 4\).
б) \(384\,225 = 300\,000 + 80\,000 + 4000 + 200 + 20 + 5\).
в) \(7\,234\,005 = 7\,000\,000 + 200\,000 + 30\,000 + 4000 + 5\).
Събираемите, които са равни на 0, не се записват в сбора.
б) \(384\,225 = 300\,000 + 80\,000 + 4000 + 200 + 20 + 5\).
в) \(7\,234\,005 = 7\,000\,000 + 200\,000 + 30\,000 + 4000 + 5\).
Събираемите, които са равни на 0, не се записват в сбора.
7
Прочетете числото и го запишете с цифри: а) \(9\cdot 10\,000 + 4\cdot 1000 + 5\cdot 10 + 3\); б) \(8\cdot 100\,000 + 5\cdot 100 + 7\cdot 10 + 9\); в) \(3\cdot 1\,000\,000 + 7\cdot 100\,000 + 3\cdot 10\,000 + 2\cdot 10\); г) \(6\cdot 100\,000\,000 + 2\cdot 10\,000\,000 + 5\cdot 1000 + 6\).
▼
Решениеа) \(90\,000 + 4000 + 50 + 3 = \mathbf{94\,053}\).
б) \(800\,000 + 500 + 70 + 9 = \mathbf{800\,579}\).
в) \(3\,000\,000 + 700\,000 + 30\,000 + 20 = \mathbf{3\,730\,020}\).
г) \(600\,000\,000 + 20\,000\,000 + 5000 + 6 = \mathbf{620\,005\,006}\).
Липсващите разреди се попълват с нули.
б) \(800\,000 + 500 + 70 + 9 = \mathbf{800\,579}\).
в) \(3\,000\,000 + 700\,000 + 30\,000 + 20 = \mathbf{3\,730\,020}\).
г) \(600\,000\,000 + 20\,000\,000 + 5000 + 6 = \mathbf{620\,005\,006}\).
Липсващите разреди се попълват с нули.
8
Запишете с цифри числата: а) 721 308 хиляди; б) 15 372 милиона; в) 1375 милиарда.
▼
РешениеДописваме съответния брой нули: за хиляди — три, за милиони — шест, за милиарди — девет.
а) 721 308 000.
б) 15 372 000 000.
в) 1 375 000 000 000.
а) 721 308 000.
б) 15 372 000 000.
в) 1 375 000 000 000.
9
Запишете: а) колко единици, стотици и хиляди има числото 385 422; б) цифрата на стотиците в числото 2 827 333; в) цифрата на милионите в числото 89 342 502.
▼
Решениеа) Внимавайте: питат се всички единици, стотици и хиляди, а не цифрите в тези разреди.
Единици: 385 422.
Пълни стотици: една стотица е 100. Закриваме последните две цифри — те дават 22 единици, което не стига за още една стотица. Остава 3854. Проверка: \(385\,422 = 3854\cdot 100 + 22\).
Пълни хиляди: закриваме последните три цифри — те дават 422 единици. Остава 385. Проверка: \(385\,422 = 385\cdot 1000 + 422\).
б) 2 827 333 — цифрата на стотиците е 3.
в) 89 342 502 — цифрата на милионите е 9 (8 е цифрата на десетомилионите).
Единици: 385 422.
Пълни стотици: една стотица е 100. Закриваме последните две цифри — те дават 22 единици, което не стига за още една стотица. Остава 3854. Проверка: \(385\,422 = 3854\cdot 100 + 22\).
Пълни хиляди: закриваме последните три цифри — те дават 422 единици. Остава 385. Проверка: \(385\,422 = 385\cdot 1000 + 422\).
б) 2 827 333 — цифрата на стотиците е 3.
в) 89 342 502 — цифрата на милионите е 9 (8 е цифрата на десетомилионите).
10
За числото 82 365 471 900 запишете цифрите от класа на милионите. Кой е най-високият му разред? Прочетете числото.
▼
РешениеРазделяме на класове: 82 | 365 | 471 | 900.
Класът на милионите е 365, тоест цифрите са 3, 6 и 5.
Числото е единадесетцифрено, а класът на милиардите е 82 — значи най-високият разред е разредът на десетомилиардите, а цифрата в него е 8.
Чете се: осемдесет и два милиарда триста шестдесет и пет милиона четиристотин седемдесет и една хиляди и деветстотин.
Класът на милионите е 365, тоест цифрите са 3, 6 и 5.
Числото е единадесетцифрено, а класът на милиардите е 82 — значи най-високият разред е разредът на десетомилиардите, а цифрата в него е 8.
Чете се: осемдесет и два милиарда триста шестдесет и пет милиона четиристотин седемдесет и една хиляди и деветстотин.
11
Сравнете числата: а) 907 259 и 901 863; б) 112 205 и 112 502; в) 1 384 254 и 999 876; г) 5 384 051 и 5 384 101; д) 2 милиона и 2000 хиляди.
▼
Решениеа) Еднакъв брой цифри. \(9=9,\ 0=0,\ 7 \gt 1 \Rightarrow 907\,259 \gt 901\,863\).
б) \(1=1,\ 1=1,\ 2=2,\ 2 \lt 5 \Rightarrow 112\,205 \lt 112\,502\).
в) Първото число е седемцифрено, а второто — шестцифрено, следователно \(1\,384\,254 \gt 999\,876\).
г) \(5=5,\ 3=3,\ 8=8,\ 4=4,\ 0 \lt 1 \Rightarrow 5\,384\,051 \lt 5\,384\,101\).
д) \(2\) милиона \(= 2\,000\,000\) и \(2000\) хиляди \(= 2\,000\,000 \Rightarrow\) числата са равни.
б) \(1=1,\ 1=1,\ 2=2,\ 2 \lt 5 \Rightarrow 112\,205 \lt 112\,502\).
в) Първото число е седемцифрено, а второто — шестцифрено, следователно \(1\,384\,254 \gt 999\,876\).
г) \(5=5,\ 3=3,\ 8=8,\ 4=4,\ 0 \lt 1 \Rightarrow 5\,384\,051 \lt 5\,384\,101\).
д) \(2\) милиона \(= 2\,000\,000\) и \(2000\) хиляди \(= 2\,000\,000 \Rightarrow\) числата са равни.
12
Подредете числата 238 352, 999 995, 3 000 035, 578 300 и 81 021 402 по големина, като започнете от най-малкото.
▼
РешениеПърво броим цифрите: 238 352, 999 995 и 578 300 са шестцифрени; 3 000 035 е седемцифрено; 81 021 402 е осемцифрено.
Сред шестцифрените: \(238\,352 \lt 578\,300 \lt 999\,995\).
Окончателно:
\(238\,352 \lt 578\,300 \lt 999\,995 \lt 3\,000\,035 \lt 81\,021\,402\).
Сред шестцифрените: \(238\,352 \lt 578\,300 \lt 999\,995\).
Окончателно:
\(238\,352 \lt 578\,300 \lt 999\,995 \lt 3\,000\,035 \lt 81\,021\,402\).
13
Запишете числото, което следва непосредствено след: а) 200 999; б) 29 999 999; в) 3 000 000.
▼
РешениеПрибавяме 1.
а) \(200\,999 + 1 = \mathbf{201\,000}\).
б) \(29\,999\,999 + 1 = \mathbf{30\,000\,000}\).
в) \(3\,000\,000 + 1 = \mathbf{3\,000\,001}\).
а) \(200\,999 + 1 = \mathbf{201\,000}\).
б) \(29\,999\,999 + 1 = \mathbf{30\,000\,000}\).
в) \(3\,000\,000 + 1 = \mathbf{3\,000\,001}\).
14
Запишете числото, което предхожда непосредствено числото: а) 10 000; б) 7 800 003; в) 1 000 000.
▼
РешениеИзваждаме 1.
а) \(10\,000 - 1 = \mathbf{9999}\).
б) \(7\,800\,003 - 1 = \mathbf{7\,800\,002}\).
в) \(1\,000\,000 - 1 = \mathbf{999\,999}\).
а) \(10\,000 - 1 = \mathbf{9999}\).
б) \(7\,800\,003 - 1 = \mathbf{7\,800\,002}\).
в) \(1\,000\,000 - 1 = \mathbf{999\,999}\).
15
Запишете числата, които се намират между 27 768 и 27 772. Колко са те?
▼
РешениеТова са 27 769, 27 770 и 27 771.
Проверяваме броя им по правилото: \(27\,772 - 27\,768 - 1 = 3\) числа.
Проверяваме броя им по правилото: \(27\,772 - 27\,768 - 1 = 3\) числа.
16
Намерете колко числа има в редицата на естествените числа: а) преди числото 66; б) между числата 150 и 470; в) между числата 102 и 371.
▼
Решениеа) Това са 1, 2, ..., 65 \(\Rightarrow\) 65 числа. (Редицата започва от 1, а не от 0!)
б) \(470 - 150 - 1 = \mathbf{319}\) числа.
в) \(371 - 102 - 1 = \mathbf{268}\) числа.
б) \(470 - 150 - 1 = \mathbf{319}\) числа.
в) \(371 - 102 - 1 = \mathbf{268}\) числа.
17
Напишете най-малкото и най-голямото число от: а) четирицифрените; б) петцифрените; в) шестцифрените.
▼
РешениеНай-малкото започва с 1 и продължава с нули; най-голямото е само от деветки.
а) 1000 и 9999.
б) 10 000 и 99 999.
в) 100 000 и 999 999.
а) 1000 и 9999.
б) 10 000 и 99 999.
в) 100 000 и 999 999.
18
Напишете най-малкото петцифрено число, чиято цифра на стотиците е 7.
▼
РешениеЧислото е петцифрено, а цифрата на стотиците му е дадена. Търсим възможно най-малко число, затова започваме отляво:
• цифрата на десетохилядите не може да е 0, иначе числото ще е четирицифрено \(\Rightarrow\) избираме 1;
• цифрата на хилядите \(\Rightarrow\) 0;
• цифрата на стотиците е дадена \(\Rightarrow\) 7;
• десетиците и единиците \(\Rightarrow\) 0 и 0.
Числото е 10 700.
• цифрата на десетохилядите не може да е 0, иначе числото ще е четирицифрено \(\Rightarrow\) избираме 1;
• цифрата на хилядите \(\Rightarrow\) 0;
• цифрата на стотиците е дадена \(\Rightarrow\) 7;
• десетиците и единиците \(\Rightarrow\) 0 и 0.
Числото е 10 700.
19
Колко на брой са всички: а) двуцифрени числа; б) трицифрени числа; в) четирицифрени числа?
▼
РешениеБроим от най-малкото до най-голямото по правилото „последно минус първо плюс едно“.
а) От 10 до 99: \(99 - 10 + 1 = \mathbf{90}\).
б) От 100 до 999: \(999 - 100 + 1 = \mathbf{900}\).
в) От 1000 до 9999: \(9999 - 1000 + 1 = \mathbf{9000}\).
а) От 10 до 99: \(99 - 10 + 1 = \mathbf{90}\).
б) От 100 до 999: \(999 - 100 + 1 = \mathbf{900}\).
в) От 1000 до 9999: \(9999 - 1000 + 1 = \mathbf{9000}\).
20
Кои са възможните цифри, които могат да се запишат на мястото на \(*\) така, че: а) \(284\,154 \gt 284\,{*}54\); б) \(7\,836\,354 \lt 7\,83{*}\,354\); в) \(5\,322\,844 \gt 5\,3{*}2\,844\); г) \(1\,008\,3{*}5 \gt 1\,008\,385\)?
▼
РешениеЧислата имат еднакъв брой цифри, затова сравняваме разред по разред, докато стигнем до \(*\).
а) Първите три цифри съвпадат; трябва \(1 \gt *\) \(\Rightarrow\) \(* = \mathbf{0}\).
б) Трябва \(6 \lt *\) \(\Rightarrow\) \(* \in \{\mathbf{7,\,8,\,9}\}\).
в) Трябва \(2 \gt *\) \(\Rightarrow\) \(* \in \{\mathbf{0,\,1}\}\).
г) Трябва \(* \gt 8\) \(\Rightarrow\) \(* = \mathbf{9}\).
а) Първите три цифри съвпадат; трябва \(1 \gt *\) \(\Rightarrow\) \(* = \mathbf{0}\).
б) Трябва \(6 \lt *\) \(\Rightarrow\) \(* \in \{\mathbf{7,\,8,\,9}\}\).
в) Трябва \(2 \gt *\) \(\Rightarrow\) \(* \in \{\mathbf{0,\,1}\}\).
г) Трябва \(* \gt 8\) \(\Rightarrow\) \(* = \mathbf{9}\).
21
Разместете цифрите на числото 27 384 059 така, че да се получат възможно най-голямото и възможно най-малкото осемцифрено число. Кое е най-голямото осемцифрено число, което може да се запише само с една от цифрите на даденото число? А кое е най-малкото?⭐ повишена трудност
▼
РешениеЦифрите са 2, 7, 3, 8, 4, 0, 5, 9.
Най-голямо: подреждаме ги в намаляващ ред \(\Rightarrow\) 98 754 320.
Най-малко: в нарастващ ред получаваме 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, но числото не може да започва с 0 — тогава щеше да е седемцифрено. Затова отпред слагаме най-малката ненулева цифра 2, след нея нулата, а останалите в нарастващ ред \(\Rightarrow\) 20 345 789.
Само с една цифра: най-голямото е 99 999 999. Най-малкото не може да е 00 000 000 — най-малката ненулева цифра е 2, значи 22 222 222.
Най-голямо: подреждаме ги в намаляващ ред \(\Rightarrow\) 98 754 320.
Най-малко: в нарастващ ред получаваме 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, но числото не може да започва с 0 — тогава щеше да е седемцифрено. Затова отпред слагаме най-малката ненулева цифра 2, след нея нулата, а останалите в нарастващ ред \(\Rightarrow\) 20 345 789.
Само с една цифра: най-голямото е 99 999 999. Най-малкото не може да е 00 000 000 — най-малката ненулева цифра е 2, значи 22 222 222.
22
Задраскайте една от цифрите на числото 287 063, за да получите възможно най-голямо петцифрено число. Кое число получихте?⭐ повишена трудност
▼
РешениеОстаналите цифри запазват реда си. Възможните числа са:
87 063; 27 063; 28 063; 28 763; 28 703; 28 706.
Най-голямото е 87 063.
Как се разсъждава по-бързо: най-важна е първата цифра. Тръгваме отляво и задраскваме първата цифра, която е по-малка от съседната ѝ отдясно. Тук \(2 \lt 8\), значи задраскваме двойката.
87 063; 27 063; 28 063; 28 763; 28 703; 28 706.
Най-голямото е 87 063.
Как се разсъждава по-бързо: най-важна е първата цифра. Тръгваме отляво и задраскваме първата цифра, която е по-малка от съседната ѝ отдясно. Тук \(2 \lt 8\), значи задраскваме двойката.
23
а) Кое е най-малкото осемцифрено число, сборът от цифрите на което е 6? б) Кое е най-малкото осемцифрено число, записано с различни цифри?⭐ повишена трудност
▼
Решениеа) За да е числото малко, първата цифра трябва да е възможно най-малка, но не 0 \(\Rightarrow\) избираме 1. За останалите седем цифри остава сбор 5. За да получим възможно най-малко число, поставяме нули на първите шест свободни места, а цифрата 5 — на последното:
10 000 005. Проверка: \(1+0+0+0+0+0+0+5 = 6\). ✓
б) Цифрите трябва да са осем различни. Избираме най-малките възможни: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Отпред не може да стои 0, затова започваме с 1, после 0, после останалите в нарастващ ред:
10 234 567.
10 000 005. Проверка: \(1+0+0+0+0+0+0+5 = 6\). ✓
б) Цифрите трябва да са осем различни. Избираме най-малките възможни: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Отпред не може да стои 0, затова започваме с 1, после 0, после останалите в нарастващ ред:
10 234 567.
24
Да се намерят всички двуцифрени числа, които са четири пъти по-големи от сбора на цифрите си.⭐ повишена трудност
▼
РешениеОзначаваме сбора на цифрите със \(s\). Числото е \(4s\). За двуцифрено число сборът на цифрите е поне \(1+0=1\) и най-много \(9+9=18\); освен това \(4s\) трябва да е двуцифрено, значи \(s \ge 3\). Проверяваме всички възможни стойности на \(s\) от 3 до 18: пресмятаме \(4s\) и проверяваме дали сборът на цифрите на полученото число е равен на \(s\).
Търсените числа са 12, 24, 36 и 48.
По-кратко решение за любознателни. Нека цифрата на десетиците е \(a\), а на единиците — \(b\). Тогава числото е \(10a + b\), а сборът на цифрите му е \(a+b\):
\[10a + b = 4(a+b) \;\Rightarrow\; 6a = 3b \;\Rightarrow\; b = 2a.\]
Понеже \(b\) е цифра, \(b \le 9\), значи \(a\) е 1, 2, 3 или 4 и се получават същите четири числа.
| \(s\) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(4s\) | 12 | 16 | 20 | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 | 48 | 52 | 56 | 60 | 64 | 68 | 72 |
| сбор | 3 | 7 | 2 | 6 | 10 | 5 | 9 | 4 | 8 | 12 | 7 | 11 | 6 | 10 | 14 | 9 |
| =\(s\)? | ✔ | ✘ | ✘ | ✔ | ✘ | ✘ | ✔ | ✘ | ✘ | ✔ | ✘ | ✘ | ✘ | ✘ | ✘ | ✘ |
По-кратко решение за любознателни. Нека цифрата на десетиците е \(a\), а на единиците — \(b\). Тогава числото е \(10a + b\), а сборът на цифрите му е \(a+b\):
\[10a + b = 4(a+b) \;\Rightarrow\; 6a = 3b \;\Rightarrow\; b = 2a.\]
Понеже \(b\) е цифра, \(b \le 9\), значи \(a\) е 1, 2, 3 или 4 и се получават същите четири числа.
25
Колко са двуцифрените числа, на които цифрата на десетиците е по-малка от цифрата на единиците?⭐ повишена трудност
▼
РешениеНека цифрата на десетиците е \(a\), а цифрата на единиците — \(b\), като \(a \lt b\). Броим по стойността на \(a\):
• \(a=1\): \(b\) може да е 2, 3, ..., 9 \(\Rightarrow\) 8 числа;
• \(a=2\): \(b = 3, \ldots, 9\) \(\Rightarrow\) 7 числа;
• \(a=3 \Rightarrow\) 6 числа; \(a=4 \Rightarrow\) 5; \(a=5 \Rightarrow\) 4; \(a=6 \Rightarrow\) 3; \(a=7 \Rightarrow\) 2; \(a=8 \Rightarrow\) 1;
• \(a=9\): няма цифра, по-голяма от 9 \(\Rightarrow\) 0 числа.
Общо: \(8+7+6+5+4+3+2+1 = \mathbf{36}\) числа.
• \(a=1\): \(b\) може да е 2, 3, ..., 9 \(\Rightarrow\) 8 числа;
• \(a=2\): \(b = 3, \ldots, 9\) \(\Rightarrow\) 7 числа;
• \(a=3 \Rightarrow\) 6 числа; \(a=4 \Rightarrow\) 5; \(a=5 \Rightarrow\) 4; \(a=6 \Rightarrow\) 3; \(a=7 \Rightarrow\) 2; \(a=8 \Rightarrow\) 1;
• \(a=9\): няма цифра, по-голяма от 9 \(\Rightarrow\) 0 числа.
Общо: \(8+7+6+5+4+3+2+1 = \mathbf{36}\) числа.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Прочетете числата: 4 000 517; 65 038 204; 703 025 260; 209 600 803.
Отг.: четири милиона петстотин и седемнадесет; шестдесет и пет милиона тридесет и осем хиляди двеста и четири; седемстотин и три милиона двадесет и пет хиляди двеста и шестдесет; двеста и девет милиона шестстотин хиляди осемстотин и три.
Отг.: четири милиона петстотин и седемнадесет; шестдесет и пет милиона тридесет и осем хиляди двеста и четири; седемстотин и три милиона двадесет и пет хиляди двеста и шестдесет; двеста и девет милиона шестстотин хиляди осемстотин и три.
Задача 2Прочетете и запишете с думи числото 6 203 940 815.
Отг.: шест милиарда двеста и три милиона деветстотин и четиридесет хиляди осемстотин и петнадесет.
Отг.: шест милиарда двеста и три милиона деветстотин и четиридесет хиляди осемстотин и петнадесет.
Задача 3Обиколката на Земята по екватора е четиридесет хиляди и седемдесет и пет километра, а средното разстояние от Земята до Марс е двеста двадесет и пет милиона километра. Запишете тези дължини с цифри.
Отг.: 40 075 km и 225 000 000 km.
Отг.: 40 075 km и 225 000 000 km.
Задача 4Запишете числото, което има 5 десетохиляди, 8 хиляди, 0 стотици, 4 десетици и 6 единици.
Отг.: \(50\,000 + 8000 + 40 + 6 = 58\,046\).
Отг.: \(50\,000 + 8000 + 40 + 6 = 58\,046\).
Задача 5Запишете числото, което има 9 стохиляди, 0 десетохиляди, 7 хиляди, 4 стотици, 0 десетици и 8 единици.
Отг.: \(900\,000 + 7000 + 400 + 8 = 907\,408\).
Отг.: \(900\,000 + 7000 + 400 + 8 = 907\,408\).
Задача 6Запишете и прочетете числата, съдържащи: седем десетохиляди, четири хиляди, нула стотици, осем десетици и две единици; седем десетохиляди, четири хиляди, една стотица, осем десетици и една единица; седем десетохиляди, четири хиляди, нула стотици, седем десетици и две единици. Кое от тези числа е най-малкото и кое е най-голямото?
Отг.: 74 082; 74 181; 74 072. Най-малко е 74 072, най-голямо — 74 181.
Отг.: 74 082; 74 181; 74 072. Най-малко е 74 072, най-голямо — 74 181.
Задача 7Запишете като сбор от съответни разредни единици: а) 70 802; б) 4 050 600.
Отг.: а) \(70\,000 + 800 + 2\); б) \(4\,000\,000 + 50\,000 + 600\).
Отг.: а) \(70\,000 + 800 + 2\); б) \(4\,000\,000 + 50\,000 + 600\).
Задача 8Прочетете числото и го запишете с цифри: а) \(6\cdot 1\,000\,000 + 3\cdot 10\,000 + 9\cdot 100 + 4\); б) \(8\cdot 10\,000\,000 + 2\cdot 100\,000 + 7\).
Отг.: а) 6 030 904; б) 80 200 007.
Отг.: а) 6 030 904; б) 80 200 007.
Задача 9Запишете с цифри числата: а) 630 хиляди; б) 47 милиона; в) 8 милиарда.
Отг.: а) 630 000; б) 47 000 000; в) 8 000 000 000.
Отг.: а) 630 000; б) 47 000 000; в) 8 000 000 000.
Задача 10За числото 486 217 903 запишете цифрите от класа на хилядите.
Отг.: 486 | 217 | 903 — класът на хилядите е 217, тоест цифрите 2, 1 и 7.
Отг.: 486 | 217 | 903 — класът на хилядите е 217, тоест цифрите 2, 1 и 7.
Задача 11Запишете: а) цифрата на десетохилядите в числото 63 927 410; б) цифрата на милионите в числото 8 704 156.
Отг.: а) 2; б) 8.
Отг.: а) 2; б) 8.
Задача 12Прочетете текста: а) Времето между две последователни пълнолуния е равно на 2 551 443 секунди. б) Земята прави едно пълно завъртане около Слънцето за 31 556 926 секунди. Посочете кои са най-високите разредни единици на числата от текста.
Отг.: а) 2 551 443 е седемцифрено → най-високата разредна единица е 1 000 000, тоест най-високият разред е разредът на милионите; б) 31 556 926 е осемцифрено → най-високата разредна единица е 10 000 000, тоест най-високият разред е разредът на десетомилионите.
Отг.: а) 2 551 443 е седемцифрено → най-високата разредна единица е 1 000 000, тоест най-високият разред е разредът на милионите; б) 31 556 926 е осемцифрено → най-високата разредна единица е 10 000 000, тоест най-високият разред е разредът на десетомилионите.
Задача 13От числата 8 452 300, 640 275 118, 72 906 431, 30 000 000, 58 104 000 и 5 617 617 617 запишете тези от тях, за които десетомилионите са най-голямата разредна единица.
Отг.: това са осемцифрените числа: 72 906 431, 30 000 000 и 58 104 000. При тях най-високата разредна единица е 10 000 000, тоест най-високият разред е разредът на десетомилионите.
Отг.: това са осемцифрените числа: 72 906 431, 30 000 000 и 58 104 000. При тях най-високата разредна единица е 10 000 000, тоест най-високият разред е разредът на десетомилионите.
Задача 14Сравнете числата: а) 461 097 и 461 079; б) 385 224 и 383 442.
Отг.: а) \(461\,097 \gt 461\,079\) (първата разлика е \(9 \gt 7\)); б) \(385\,224 \gt 383\,442\) (първата разлика е \(5 \gt 3\)).
Отг.: а) \(461\,097 \gt 461\,079\) (първата разлика е \(9 \gt 7\)); б) \(385\,224 \gt 383\,442\) (първата разлика е \(5 \gt 3\)).
Задача 15Препишете и на мястото на многоточието поставете един от знаците \(\gt\), \(=\) или \(\lt\): а) 5 069 428 ... 5 140 236; б) 7 милиона ... 7000 хиляди.
Отг.: а) \(5\,069\,428 \lt 5\,140\,236\); б) \(7\) милиона \(= 7000\) хиляди.
Отг.: а) \(5\,069\,428 \lt 5\,140\,236\); б) \(7\) милиона \(= 7000\) хиляди.
Задача 16Подредете числата 4 093 620, 409 174, 410 806, 4 205 300 и 486 019 по големина, като започнете от най-голямото.
Отг.: \(4\,205\,300 \gt 4\,093\,620 \gt 486\,019 \gt 410\,806 \gt 409\,174\).
Отг.: \(4\,205\,300 \gt 4\,093\,620 \gt 486\,019 \gt 410\,806 \gt 409\,174\).
Задача 17Подредете числата 52 063, 50 264, 420 063, 520 063, 50 620 и 52 036 по големина, като започнете от най-голямото.
Отг.: \(520\,063 \gt 420\,063 \gt 52\,063 \gt 52\,036 \gt 50\,620 \gt 50\,264\).
Отг.: \(520\,063 \gt 420\,063 \gt 52\,063 \gt 52\,036 \gt 50\,620 \gt 50\,264\).
Задача 18Дадени са числата 4 916 300, 5 208 174, 887 059, 5 023 641 и 5 077 463. Кои от тях можем да поставим на мястото на \(*\), за да е вярно \(* \gt 5\,077\,462\)?
Отг.: 5 208 174 и 5 077 463. Останалите са по-малки: 887 059 е шестцифрено; 4 916 300 започва с цифра 4; числото 5 023 641 е по-малко от 5 077 462, защото първата различаваща се цифра е в разреда на десетохилядите: \(2 \lt 7\).
Отг.: 5 208 174 и 5 077 463. Останалите са по-малки: 887 059 е шестцифрено; 4 916 300 започва с цифра 4; числото 5 023 641 е по-малко от 5 077 462, защото първата различаваща се цифра е в разреда на десетохилядите: \(2 \lt 7\).
Задача 19Запишете най-малкото естествено число, което е между числата 760 999 и 770 999.
Отг.: 761 000.
Отг.: 761 000.
Задача 20Запишете числата, които са между: а) 843 и 847; б) 3178 и 3183; в) 67 412 и 67 424. Колко са те във всеки случай?
Отг.: а) 844, 845, 846 — 3 числа; б) 3179, 3180, 3181, 3182 — 4 числа; в) 67 413, 67 414, ..., 67 423 — 11 числа.
Отг.: а) 844, 845, 846 — 3 числа; б) 3179, 3180, 3181, 3182 — 4 числа; в) 67 413, 67 414, ..., 67 423 — 11 числа.
Задача 21Мира написала 12 последователни числа в нарастващ ред. Последното число е 348. Запишете първото и четвъртото от написаните числа.
Отг.: от първото до дванадесетото има 11 стъпки, значи първото е \(348 - 11 = 337\), а четвъртото — \(337 + 3 = 340\).
Отг.: от първото до дванадесетото има 11 стъпки, значи първото е \(348 - 11 = 337\), а четвъртото — \(337 + 3 = 340\).
Задача 22Кое е непосредствено следващото и кое е непосредствено предхождащото число на числото 100 000? А на числото 8 000 000?
Отг.: непосредствено следващите числа са 100 001 и 8 000 001, а непосредствено предхождащите са 99 999 и 7 999 999.
Отг.: непосредствено следващите числа са 100 001 и 8 000 001, а непосредствено предхождащите са 99 999 и 7 999 999.
Задача 23Между кои числа непосредствено се намира числото: а) 507 130; б) 2 964 500; в) 41 088 200?
Отг.: а) 507 129 и 507 131; б) 2 964 499 и 2 964 501; в) 41 088 199 и 41 088 201.
Отг.: а) 507 129 и 507 131; б) 2 964 499 и 2 964 501; в) 41 088 199 и 41 088 201.
Задача 24Запишете най-малкото и най-голямото шестцифрено число, всички цифри на които са различни.
Отг.: най-малко 102 345 (не 012 345, защото то е петцифрено); най-голямо 987 654.
Отг.: най-малко 102 345 (не 012 345, защото то е петцифрено); най-голямо 987 654.
Задача 25Запишете най-малкото петцифрено четно и най-голямото петцифрено нечетно число, всички цифри на които са различни.
Отг.: четно: 10 234 (последната цифра трябва да е четна и различна от вече използваните 1, 0, 2, 3 — най-малката такава е 4); нечетно: 98 765.
Отг.: четно: 10 234 (последната цифра трябва да е четна и различна от вече използваните 1, 0, 2, 3 — най-малката такава е 4); нечетно: 98 765.
Задача 26Запишете най-малкото и най-голямото петцифрено число, което съдържа всяка от цифрите 0, 2, 4, 6 и 9.
Отг.: най-малко 20 469; най-голямо 96 420.
Отг.: най-малко 20 469; най-голямо 96 420.
Задача 27Разместете цифрите на числото 508 623 така, че да се получат възможно най-голямото и възможно най-малкото шестцифрено число.
Отг.: най-голямо 865 320; най-малко 203 568.
Отг.: най-голямо 865 320; най-малко 203 568.
Задача 28Запишете трицифрено число, в което цифрата на единиците е два пъти по-голяма от цифрата на стотиците и три пъти по-малка от цифрата на десетиците.
Отг.: ако стотиците са \(a\), то единиците са \(2a\), а десетиците — \(6a\). Понеже \(6a \le 9\), остава \(a = 1\) и числото е 162.
Отг.: ако стотиците са \(a\), то единиците са \(2a\), а десетиците — \(6a\). Понеже \(6a \le 9\), остава \(a = 1\) и числото е 162.
Задача 29Колко пъти ще се среща цифрата 7, ако запишете всички числа от 1 до 200?
Отг.: на мястото на единиците: 7, 17, ..., 197 — 20 пъти; на мястото на десетиците: 70–79 и 170–179 — още 20 пъти. В разглежданите числа цифрата на стотиците никога не е 7. Общо 40 пъти.
Отг.: на мястото на единиците: 7, 17, ..., 197 — 20 пъти; на мястото на десетиците: 70–79 и 170–179 — още 20 пъти. В разглежданите числа цифрата на стотиците никога не е 7. Общо 40 пъти.
Задача 30Ученикът с номер 1 в клас изработил три играчки за коледната елха, ученикът с номер 2 — пет, ученикът с номер 3 — осем, ученикът с номер 4 — дванадесет, ученикът с номер 5 — седемнадесет, а ученикът с номер 6 — двадесет и три играчки. Колко играчки е изработил ученикът с номер 10, ако се запази същата закономерност?
Отг.: разликите са 2, 3, 4, 5, 6 — всеки път с 1 повече. Значи №7: \(23+7 = 30\); №8: \(30+8 = 38\); №9: \(38+9 = 47\); №10: \(47+10 = 57\) играчки.
Отг.: разликите са 2, 3, 4, 5, 6 — всеки път с 1 повече. Значи №7: \(23+7 = 30\); №8: \(30+8 = 38\); №9: \(38+9 = 47\); №10: \(47+10 = 57\) играчки.
✅ Онлайн тест
Тест: Четене, писане и сравняване на естествени числа
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Най-малкото естествено число е:
2Кое от твърденията е вярно?
3Числото 5 288 304 201 се чете:
4Числото, което съдържа 7 милиона, 6 стохиляди, 4 десетохиляди, 2 хиляди и 7 единици, е:
5Цифрата на стотиците в числото 2 827 333 е:
6Числото 52 804, записано като сбор от разредни единици, е:
7Кое от сравненията е вярно?
8Непосредствено следващото число на 29 999 999 е:
9Непосредствено предхождащото число на 10 000 е:
10Колко естествени числа има между 27 768 и 27 772?
11Най-малкото петцифрено число е:
12Колко на брой са всички трицифрени числа?
13Най-малкото четирицифрено число, всички цифри на което са различни, е:
14Ако задраскаме една цифра от числото 287 063, най-голямото петцифрено число, което можем да получим, е:
15Двуцифрените числа, които са четири пъти по-големи от сбора на цифрите си, са:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
1
Събиране и изваждане на естествени числа
Урок за 5. клас — следващата тема от началния преговор: свойства на събирането, връзка между събирането и изваждането, рационално пресмятане и намиране на неизвестно число.
Към урока →
0
Историята на числото нула
Защо нулата не е естествено число, но без нея не бихме могли да запишем 5 288 304 201. Как се ражда идеята за нулата.
Към материала →
∞
Колко е голяма безкрайността?
Няма най-голямо естествено число — но какво точно значи това? Популярно обяснение защо не всички безкрайности са еднакви.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар