📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Дробни числа › Събиране при различни знаменатели

Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели. Разместително и съдружително свойства на действието събиране

Привеждане към общ знаменател преди събирането, разместително и съдружително свойство, рационално пресмятане, събиране на естествено число и дроб, събиране на смесени числа. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

5. клас Дробни числа Събиране на дроби Различни знаменатели Свойства на събирането

Дроби с еднакви знаменатели вече умеем да събираме — просто броим еднаквите части. Когато знаменателите са различни, частите са различни по големина и не могат да се броят заедно. Затова първо привеждаме дробите към общ знаменател, а после събираме. В този урок ще усвоим и двете свойства на събирането, които правят пресмятанията бързи, и ще се научим да събираме смесени числа. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

➕ Правило за събиране при различни знаменатели

Обикновени дроби с различни знаменатели се събират, като предварително се приведат към общ знаменател (най-удобно към \(\text{НОЗ}\)), след което се събират числителите.
Получената дроб се съкращава, а ако е неправилна, при необходимост я записваме и като смесено число.

Пример. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\): \(\text{НОЗ} = 6\), затова \[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}.\] Ако някоя от дробите е съкратима, първо я съкращаваме: \(\dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{18} = \dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).

\(\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3}\)

\(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\)

🔁 Разместително свойство

Сборът не се променя, ако разменим местата на събираемите: \[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{c}{d} + \frac{a}{b}.\]

🔗 Съдружително свойство

Сборът не се променя, ако групираме събираемите по различен начин: \[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) + \frac{m}{n} = \frac{a}{b} + \left(\frac{c}{d} + \frac{m}{n}\right).\] Съдружителното свойство позволява да групираме три и повече събираеми по различен начин, без сборът да се променя — затова записът \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} + \dfrac{m}{n}\) има смисъл и без скоби.

Двете свойства заедно дават рационалното пресмятане: разместваме и групираме така, че първо да съберем дробите с еднакви знаменатели или тези, чийто сбор е цяло число.
Пример. \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{3}{8} + \left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}\right) = \dfrac{3}{8} + 1 = \dfrac{11}{8}\).

\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\)

🔢 Естествено число и дроб

Естественото число записваме като дроб с подходящ знаменател: \[4 + \frac{7}{11} = \frac{44}{11} + \frac{7}{11} = \frac{51}{11}, \qquad \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3}.\]

🧮 Събиране на смесени числа

Смесени числа събираме, като поотделно съберем целите части и дробните части. Ако дробните части имат различни знаменатели, първо ги привеждаме към общ знаменател.

Пример. \(7\dfrac{2}{3} + 3\dfrac{1}{6} = (7 + 3) + \left(\dfrac{4}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = 10 + \dfrac{5}{6} = 10\dfrac{5}{6}\).
Ако сборът на дробните части е неправилна дроб, изключваме цялото и го прибавяме към цялата част: \[2\dfrac{3}{4} + 1\dfrac{5}{6} = 3 + \left(\frac{9}{12} + \frac{10}{12}\right) = 3 + \frac{19}{12} = 3 + 1\dfrac{7}{12} = 4\dfrac{7}{12}.\]

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.

1

Съкратете предварително една от дробите и намерете сбора: а) \(\dfrac{1}{9} + \dfrac{4}{18}\); б) \(\dfrac{3}{25} + \dfrac{32}{100}\); в) \(\dfrac{5}{40} + \dfrac{3}{8}\).

▼

РешениеСлед съкращаването знаменателите стават равни.
а) \(\dfrac{4}{18} = \dfrac{2}{9}\) → \(\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).
б) \(\dfrac{32}{100} = \dfrac{8}{25}\) → \(\dfrac{3}{25} + \dfrac{8}{25} = \dfrac{11}{25}\).
в) \(\dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}\) → \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).

2

Съкратете предварително една от дробите и намерете сбора: а) \(\dfrac{12}{60} + \dfrac{3}{5}\); б) \(\dfrac{7}{30} + \dfrac{40}{600}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\) → \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{4}{5}\).
б) \(\dfrac{40}{600} = \dfrac{1}{15}\) → \(\dfrac{7}{30} + \dfrac{2}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}\).

3

Разширете предварително една от дробите с подходящ допълнителен множител и намерете сбора: а) \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{16}\); б) \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{5}{24}\); в) \(\dfrac{4}{15} + \dfrac{7}{60}\).

▼

РешениеЕдиният знаменател се дели на другия, затова разширяваме само едната дроб.
а) \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{6}{16}\) → \(\dfrac{6}{16} + \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\).
б) \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{24}\) → \(\dfrac{4}{24} + \dfrac{5}{24} = \dfrac{9}{24} = \dfrac{3}{8}\).
в) \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{16}{60}\) → \(\dfrac{16}{60} + \dfrac{7}{60} = \dfrac{23}{60}\).

4

Разширете предварително една от дробите и намерете сбора: а) \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{2}{5}\); б) \(\dfrac{5}{16} + \dfrac{9}{32}\); в) \(\dfrac{7}{1000} + \dfrac{4}{100}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}\) → \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10} = \dfrac{7}{10}\).
б) \(\dfrac{5}{16} = \dfrac{10}{32}\) → \(\dfrac{10}{32} + \dfrac{9}{32} = \dfrac{19}{32}\).
в) \(\dfrac{4}{100} = \dfrac{40}{1000}\) → \(\dfrac{7}{1000} + \dfrac{40}{1000} = \dfrac{47}{1000}\).

5

Като приведете дробите към общ знаменател, намерете сбора: а) \(\dfrac{5}{9} + \dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{6}\); в) \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{10}\).

▼

Решениеа) \(\text{НОЗ} = 18\): \(\dfrac{10}{18} + \dfrac{15}{18} = \dfrac{25}{18}\).
б) \(\text{НОЗ} = 30\): \(\dfrac{12}{30} + \dfrac{5}{30} = \dfrac{17}{30}\).
в) \(\text{НОЗ} = 40\): \(\dfrac{25}{40} + \dfrac{28}{40} = \dfrac{53}{40}\).

6

Намерете сбора: а) \(\dfrac{7}{20} + \dfrac{7}{12}\); б) \(\dfrac{9}{20} + \dfrac{3}{8}\); в) \(\dfrac{11}{14} + \dfrac{8}{21}\).

▼

Решениеа) \(\text{НОЗ} = 60\): \(\dfrac{21}{60} + \dfrac{35}{60} = \dfrac{56}{60} = \dfrac{14}{15}\).
б) \(\text{НОЗ} = 40\): \(\dfrac{18}{40} + \dfrac{15}{40} = \dfrac{33}{40}\).
в) \(\text{НОЗ} = 42\): \(\dfrac{33}{42} + \dfrac{16}{42} = \dfrac{49}{42} = \dfrac{7}{6}\).

7

Намерете сбора: а) \(\dfrac{1}{3} + 1\); б) \(\dfrac{7}{8} + 2\); в) \(4 + \dfrac{7}{11}\).

▼

РешениеЗаписваме естественото число като дроб с подходящ знаменател.
а) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{3} = \dfrac{4}{3}\).  б) \(\dfrac{7}{8} + \dfrac{16}{8} = \dfrac{23}{8}\).  в) \(\dfrac{44}{11} + \dfrac{7}{11} = \dfrac{51}{11}\).

8

Намерете сбора: а) \(\dfrac{9}{11} + \dfrac{2}{13}\); б) \(\dfrac{3}{19} + \dfrac{6}{29}\).

▼

РешениеИ в двата случая знаменателите са взаимно прости, затова \(\text{НОЗ}\) е произведението им.
а) \(\text{НОЗ} = 143\): \(\dfrac{117}{143} + \dfrac{22}{143} = \dfrac{139}{143}\).
б) \(\text{НОЗ} = 551\): \(\dfrac{87}{551} + \dfrac{114}{551} = \dfrac{201}{551}\).

9

Намерете: а) сбора на дробите \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{3}{17}\); б) числото, което е с \(\dfrac{12}{25}\) по-голямо от \(\dfrac{27}{50}\).

▼

Решениеа) \(\text{НОЗ} = 51\): \(\dfrac{34}{51} + \dfrac{9}{51} = \dfrac{43}{51}\).
б) „с толкова по-голямо“ означава събиране: \(\dfrac{27}{50} + \dfrac{24}{50} = \dfrac{51}{50}\).

10

Намерете стойността на израза: а) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12}\); б) \(\dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{5}\).

▼

Решениеа) \(\text{НОЗ} = 12\): \(\dfrac{4}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{7}{12}\).
б) \(\text{НОЗ} = 60\): \(\dfrac{3}{60} + \dfrac{10}{60} + \dfrac{24}{60} = \dfrac{37}{60}\).

11

Намерете стойността на израза: а) \(\dfrac{3}{4} + \left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{1}{6}\right)\); б) \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{7}{12}\right) + \left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{9}{20}\right)\).

▼

РешениеПърво пресмятаме в скобите.
а) \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\), значи \(\dfrac{9}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3}\).
б) \(\dfrac{8}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\) и \(\dfrac{6}{20} + \dfrac{9}{20} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\), значи \(\dfrac{5}{4} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{8}{4} = 2\).

12

Пресметнете по рационален начин: а) \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}\); б) \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{9} + \dfrac{5}{7}\).

▼

РешениеИзползваме разместителното и съдружителното свойство: разместваме и групираме дробите така, че първо да съберем тези с еднакви знаменатели.
а) \(\dfrac{3}{8} + \left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}\right) = \dfrac{3}{8} + 1 = \dfrac{11}{8}\).
б) \(\left(\dfrac{4}{9} + \dfrac{5}{9}\right) + \left(\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7}\right) = 1 + 1 = 2\).

13

Пресметнете по рационален начин: а) \(\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{7}\); б) \(\dfrac{5}{9} + \dfrac{13}{8} + \dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{9}\).

▼

РешениеРазместваме и групираме така, че да получим цели числа.
а) \(\left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\right) + \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right) = 1 + 1 = 2\).
б) \(\left(\dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9}\right) + \left(\dfrac{13}{8} + \dfrac{3}{8}\right) = 1 + 2 = 3\).

14

Проверете верността на равенствата: а) \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{7} + \dfrac{5}{8} + \dfrac{6}{7} = 2\); б) \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{6} = 2\dfrac{1}{10}\).

▼

Решениеа) \(\left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}\right) + \left(\dfrac{1}{7} + \dfrac{6}{7}\right) = 1 + 1 = 2\) → вярно.
б) \(\text{НОЗ} = 30\): \(\dfrac{20}{30} + \dfrac{18}{30} + \dfrac{25}{30} = \dfrac{63}{30} = \dfrac{21}{10} = 2\dfrac{1}{10}\) → вярно.

15

Сравнете сборовете, без да ги пресмятате: а) \(\dfrac{3}{11} + \dfrac{5}{13}\) и \(\dfrac{5}{13} + \dfrac{3}{11}\); б) \(\left(\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{14}\right) + \dfrac{3}{28}\) и \(\dfrac{2}{7} + \left(\dfrac{5}{14} + \dfrac{3}{28}\right)\).

▼

Решениеа) Двата сбора са равни по разместителното свойство — разменени са само местата на събираемите.
б) Двата сбора са равни по съдружителното свойство — променена е само групировката.

16

Приведете дробните части на смесените числа към общ знаменател: а) \(5\dfrac{1}{2}\) и \(7\dfrac{2}{3}\); б) \(4\dfrac{1}{9}\) и \(3\dfrac{7}{27}\); в) \(1\dfrac{1}{4}\), \(2\dfrac{2}{3}\) и \(3\dfrac{1}{8}\).

▼

Решениеа) \(\text{НОЗ} = 6\): \(5\dfrac{3}{6}\) и \(7\dfrac{4}{6}\).
б) \(\text{НОЗ} = 27\): \(4\dfrac{3}{27}\) и \(3\dfrac{7}{27}\).
в) \(\text{НОЗ} = 24\): \(1\dfrac{6}{24}\), \(2\dfrac{16}{24}\) и \(3\dfrac{3}{24}\).

17

Намерете сбора, като поотделно съберете целите и дробните части: а) \(2\dfrac{2}{7} + 5\dfrac{3}{7}\); б) \(7\dfrac{1}{8} + 9\dfrac{5}{8}\); в) \(11\dfrac{3}{13} + 32\dfrac{5}{13}\).

▼

Решениеа) \((2 + 5) + \left(\dfrac{2}{7} + \dfrac{3}{7}\right) = 7 + \dfrac{5}{7} = 7\dfrac{5}{7}\).
б) \(16 + \dfrac{6}{8} = 16\dfrac{3}{4}\).
в) \(43 + \dfrac{8}{13} = 43\dfrac{8}{13}\).

18

Намерете сбора: а) \(1 + 3\dfrac{2}{9}\); б) \(8\dfrac{3}{11} + 22\); в) \(\dfrac{13}{29} + 29\).

▼

РешениеЕстественото число се прибавя към цялата част.
а) \(4\dfrac{2}{9}\).  б) \(30\dfrac{3}{11}\).  в) \(29\dfrac{13}{29}\).

19

Намерете сбора на смесените числа: а) \(3\dfrac{1}{6} + 2\dfrac{5}{18}\); б) \(1\dfrac{3}{4} + 7\dfrac{7}{9}\).

▼

Решениеа) Целите части: \(3 + 2 = 5\). Дробните части при \(\text{НОЗ} = 18\): \(\dfrac{3}{18} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}\). Сборът е \(5\dfrac{4}{9}\).
б) Целите части: \(1 + 7 = 8\). Дробните части при \(\text{НОЗ} = 36\): \(\dfrac{27}{36} + \dfrac{28}{36} = \dfrac{55}{36} = 1\dfrac{19}{36}\).
Изключваме цялото и го прибавяме: \(8 + 1\dfrac{19}{36} = 9\dfrac{19}{36}\).

20

Ако \(a = 12\dfrac{1}{2}\), а \(b\) е с \(3\dfrac{1}{5}\) по-голямо от \(a\), намерете \(a + b\).

▼

Решение\(b = 12\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{5} = 15 + \left(\dfrac{5}{10} + \dfrac{2}{10}\right) = 15\dfrac{7}{10}\).
\(a + b = 12\dfrac{1}{2} + 15\dfrac{7}{10} = 27 + \left(\dfrac{5}{10} + \dfrac{7}{10}\right) = 27 + \dfrac{12}{10} = 27 + 1\dfrac{1}{5} = 28\dfrac{1}{5}\).

21

В една касетка има \(8\dfrac{3}{10}\) kg грозде, а в друга — с \(1\dfrac{2}{5}\) kg повече. Колко грозде има общо в двете касетки?⭐ повишена трудност

▼

РешениеВъв втората касетка: \(8\dfrac{3}{10} + 1\dfrac{2}{5} = 9 + \left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{4}{10}\right) = 9\dfrac{7}{10}\) kg.
Общо в двете касетки: \(8\dfrac{3}{10} + 9\dfrac{7}{10} = 17 + \dfrac{10}{10} = 17 + 1 = 18\) kg.

22

Върху хълм с височина \(60\dfrac{3}{5}\) m над морското равнище е построена кула с височина \(18\dfrac{1}{2}\) m. На каква надморска височина се издига най-високата част на кулата?⭐ повишена трудност

▼

РешениеТърсената височина е сборът от височината на хълма и височината на кулата:
\(60\dfrac{3}{5} + 18\dfrac{1}{2} = 78 + \left(\dfrac{6}{10} + \dfrac{5}{10}\right) = 78 + \dfrac{11}{10} = 78 + 1\dfrac{1}{10} = 79\dfrac{1}{10}\) m.

23

За отливане на статуя смесили \(25\dfrac{3}{5}\) kg мед, \(6\dfrac{7}{20}\) kg цинк и \(3\dfrac{1}{4}\) kg олово. Колко ще тежи отлятата статуя, ако при обработката не се губи материал?⭐ повишена трудност

▼

РешениеПривеждаме дробните части към \(\text{НОЗ} = 20\): \(25\dfrac{12}{20}\), \(6\dfrac{7}{20}\), \(3\dfrac{5}{20}\).
Цели части: \(25 + 6 + 3 = 34\). Дробни части: \(\dfrac{12 + 7 + 5}{20} = \dfrac{24}{20} = 1\dfrac{1}{5}\).
Статуята тежи \(34 + 1\dfrac{1}{5} = 35\dfrac{1}{5}\) kg.

24

Една тръба пълни за \(1\) час \(\dfrac{3}{11}\) от басейна, а друга тръба пълни за \(1\) час с \(\dfrac{1}{9}\) от басейна повече от първата. Каква част от басейна ще напълнят за \(1\) час двете тръби заедно?⭐ повишена трудност

▼

РешениеВтората тръба пълни \(\dfrac{3}{11} + \dfrac{1}{9}\) от басейна. При \(\text{НОЗ} = 99\): \(\dfrac{27}{99} + \dfrac{11}{99} = \dfrac{38}{99}\).
Двете заедно: \(\dfrac{27}{99} + \dfrac{38}{99} = \dfrac{65}{99}\) от басейна за \(1\) час.

25

Сравнете числата \(a\) и \(b\), ако \(a = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{5}\) и \(b = \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8} + \dfrac{8}{9}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеНе е необходимо да пресмятаме сборовете — достатъчно е да сравним събираемите по двойки:
\(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{5}{6}\), защото \(\dfrac{3}{6} \lt \dfrac{5}{6}\);
\(\dfrac{2}{3} \lt \dfrac{7}{8}\), защото \(\dfrac{16}{24} \lt \dfrac{21}{24}\);
\(\dfrac{4}{5} \lt \dfrac{8}{9}\), защото \(\dfrac{36}{45} \lt \dfrac{40}{45}\).
Всяко събираемо на \(a\) е по-малко от съответното събираемо на \(b\), затова \(a \lt b\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Съкратете предварително една от дробите и намерете сбора: а) \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{6}{21}\); б) \(\dfrac{9}{45} + \dfrac{2}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{4}{7}\); б) \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}\).

Задача 2Разширете предварително една от дробите и намерете сбора: а) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{5}{27}\).
Отг.: а) \(\dfrac{2}{8} + \dfrac{3}{8} = \dfrac{5}{8}\); б) \(\dfrac{6}{27} + \dfrac{5}{27} = \dfrac{11}{27}\).

Задача 3Намерете сбора: а) \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\); б) \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{4}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{13}{20}\).

Задача 4Намерете сбора: а) \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{7}{10} + \dfrac{4}{15}\).
Отг.: а) \(\dfrac{9}{12} + \dfrac{10}{12} = \dfrac{19}{12}\); б) \(\dfrac{21}{30} + \dfrac{8}{30} = \dfrac{29}{30}\).

Задача 5Намерете сбора: а) \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{7}{18} + \dfrac{5}{12}\).
Отг.: а) \(\dfrac{10}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{19}{24}\); б) \(\dfrac{14}{36} + \dfrac{15}{36} = \dfrac{29}{36}\).

Задача 6Намерете сбора: а) \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{7}\); б) \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{21}{35} + \dfrac{5}{35} = \dfrac{26}{35}\); б) \(\dfrac{20}{45} + \dfrac{18}{45} = \dfrac{38}{45}\).

Задача 7Намерете сбора: а) \(\dfrac{5}{6} + 3\); б) \(4 + \dfrac{2}{9}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{18}{6} = \dfrac{23}{6}\); б) \(\dfrac{36}{9} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{38}{9}\).

Задача 8Намерете сбора: а) \(\dfrac{11}{21} + \dfrac{5}{7}\); б) \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{3}{4}\).
Отг.: а) \(\dfrac{11}{21} + \dfrac{15}{21} = \dfrac{26}{21}\); б) \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{9}{12} = \dfrac{14}{12} = \dfrac{7}{6}\).

Задача 9Намерете числото, което е с \(\dfrac{3}{8}\) по-голямо от \(\dfrac{7}{12}\).
Отг.: \(\dfrac{14}{24} + \dfrac{9}{24} = \dfrac{23}{24}\).

Задача 10Намерете сбора на дробите \(\dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{3}{13}\).
Отг.: \(\dfrac{26}{65} + \dfrac{15}{65} = \dfrac{41}{65}\).

Задача 11Намерете стойността на израза \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}\).
Отг.: \(\dfrac{4}{8} + \dfrac{2}{8} + \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}\).

Задача 12Намерете стойността на израза \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12}\).
Отг.: \(\dfrac{8}{12} + \dfrac{2}{12} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{11}{12}\).

Задача 13Намерете стойността на израза \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{15}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 30\); \(\dfrac{9}{30} + \dfrac{5}{30} + \dfrac{4}{30} = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}\).

Задача 14Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{9} + \dfrac{2}{5}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{9}\right) + \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\right) = 1 + 1 = 2\).

Задача 15Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{5}{13} + \dfrac{7}{6} + \dfrac{8}{13} + \dfrac{5}{6}\).
Отг.: \(1 + 2 = 3\).

Задача 16Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{11} + \dfrac{5}{8}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}\right) + \dfrac{5}{11} = 1 + \dfrac{5}{11} = \dfrac{16}{11}\).

Задача 17Проверете верността на равенството \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{9} + \dfrac{3}{4} + \dfrac{4}{9} = 2\).
Отг.: вярно — \(\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right) + \left(\dfrac{5}{9} + \dfrac{4}{9}\right) = 1 + 1 = 2\).

Задача 18Сравнете сборовете, без да ги пресмятате: \(\left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{10}\right) + \dfrac{7}{20}\) и \(\dfrac{1}{5} + \left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{20}\right)\).
Отг.: равни са по съдружителното свойство на събирането.

Задача 19Приведете дробните части на смесените числа \(2\dfrac{1}{6}\) и \(5\dfrac{3}{8}\) към общ знаменател.
Отг.: \(\text{НОЗ} = 24\); \(2\dfrac{4}{24}\) и \(5\dfrac{9}{24}\).

Задача 20Намерете сбора \(4\dfrac{1}{9} + 3\dfrac{5}{9}\).
Отг.: \(7\dfrac{6}{9} = 7\dfrac{2}{3}\).

Задача 21Намерете сбора \(12\dfrac{2}{7} + 5\dfrac{3}{14}\).
Отг.: \(17 + \left(\dfrac{4}{14} + \dfrac{3}{14}\right) = 17\dfrac{7}{14} = 17\dfrac{1}{2}\).

Задача 22Намерете сбора \(6\dfrac{5}{8} + 2\dfrac{3}{4}\).
Отг.: \(8 + \left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{6}{8}\right) = 8 + \dfrac{11}{8} = 8 + 1\dfrac{3}{8} = 9\dfrac{3}{8}\).

Задача 23Намерете сборовете: а) \(9 + 4\dfrac{3}{11}\); б) \(7\dfrac{2}{13} + 20\).
Отг.: а) \(13\dfrac{3}{11}\); б) \(27\dfrac{2}{13}\).

Задача 24Ако \(a = 8\dfrac{1}{4}\), а \(b\) е с \(2\dfrac{1}{3}\) по-голямо от \(a\), намерете \(a + b\).
Отг.: \(b = 10 + \left(\dfrac{3}{12} + \dfrac{4}{12}\right) = 10\dfrac{7}{12}\); \(a + b = 18 + \left(\dfrac{3}{12} + \dfrac{7}{12}\right) = 18\dfrac{10}{12} = 18\dfrac{5}{6}\).

Задача 25Ученик учил по математика \(\dfrac{2}{5}\) от часа, по български език \(\dfrac{1}{6}\) от часа и по английски език \(\dfrac{5}{12}\) от часа. Каква част от един час е учил общо ученикът?
Отг.: \(\text{НОЗ} = 60\); \(\dfrac{24}{60} + \dfrac{10}{60} + \dfrac{25}{60} = \dfrac{59}{60}\) от часа.

Задача 26В една леха лалетата заемат \(\dfrac{5}{12}\) от лехата, а минзухарите — с \(\dfrac{1}{6}\) повече от лалетата. Каква част от лехата заемат общо двата вида цветя?
Отг.: минзухарите заемат \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\); общо \(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12} = \dfrac{12}{12} = 1\), тоест цялата леха.

Задача 27Сутрин едно дете изпива \(\dfrac{1}{3}\) от препоръчителното дневно количество вода, на обяд — \(\dfrac{1}{4}\), а следобед — още \(\dfrac{1}{6}\) от количеството. Каква част е изпило общо и каква част му остава до препоръчителното количество?
Отг.: \(\text{НОЗ} = 12\); \(\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\); остава \(\dfrac{1}{4}\) от количеството.

Задача 28През първия ден асфалтирали \(\dfrac{9}{20}\) km от нов път, а през втория ден — с \(\dfrac{1}{5}\) km повече от първия. Колко километра са асфалтирали за двата дни?
Отг.: втория ден \(\dfrac{9}{20} + \dfrac{4}{20} = \dfrac{13}{20}\) km; общо \(\dfrac{9}{20} + \dfrac{13}{20} = \dfrac{22}{20} = \dfrac{11}{10} = 1\dfrac{1}{10}\) km.

Задача 29В една касетка има \(5\dfrac{4}{5}\) kg ябълки, а в друга — с \(2\dfrac{3}{10}\) kg повече. Колко ябълки има общо в двете касетки?
Отг.: втората касетка \(5\dfrac{4}{5} + 2\dfrac{3}{10} = 7 + \dfrac{11}{10} = 8\dfrac{1}{10}\) kg; общо \(5\dfrac{4}{5} + 8\dfrac{1}{10} = 13 + \dfrac{9}{10} = 13\dfrac{9}{10}\) kg.

Задача 30 — с повишена трудностЧислото \(x\) е с \(\dfrac{2}{9}\) по-голямо от сбора на числата \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{5}{18}\). Намерете числото \(x\).
Отг.: сборът е \(\dfrac{6}{18} + \dfrac{5}{18} = \dfrac{11}{18}\); \(x = \dfrac{11}{18} + \dfrac{4}{18} = \dfrac{15}{18} = \dfrac{5}{6}\).

---

✅ Онлайн тест

Тест: Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели. Свойства на събирането

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Дроби с различни знаменатели се събират, като:

съберем отделно числителите и отделно знаменателитепредварително ги приведем към общ знаменателги съкратим до несъкратими дробиги сравним по големина

2Сборът \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\) е равен на:

\(\dfrac{2}{5}\)\(\dfrac{5}{6}\)\(\dfrac{1}{6}\)\(\dfrac{2}{6}\)

3Сборът \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{16}\) е равен на:

\(\dfrac{8}{24}\)\(\dfrac{11}{16}\)\(\dfrac{8}{16}\)\(\dfrac{15}{128}\)

4Сборът \(\dfrac{5}{6} + 3\) е равен на:

\(\dfrac{8}{9}\)\(\dfrac{23}{6}\)\(\dfrac{5}{18}\)\(\dfrac{8}{6}\)

5Разместителното свойство на събирането гласи, че:

\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{c}{d} + \dfrac{a}{b}\)\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a + c}{b + d}\)\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d + c \cdot b}{b + d}\)сборът винаги е неправилна дроб

6Съдружителното свойство на събирането позволява:

да съкращаваме знаменателитеда групираме събираемите по удобен начинда сравняваме дроби без общ знаменателда умножаваме дроби

7Изразът \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}\) е равен на:

\(\dfrac{11}{8}\)\(\dfrac{15}{32}\)\(1\)\(\dfrac{3}{8}\)

8Сборът \(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{9} + \dfrac{5}{7}\) е равен на:

\(1\)\(2\)\(\dfrac{16}{9}\)\(3\)

9Сборът \(2\dfrac{2}{7} + 5\dfrac{3}{7}\) е равен на:

\(7\dfrac{5}{7}\)\(7\dfrac{5}{14}\)\(8\dfrac{1}{7}\)\(7\dfrac{1}{7}\)

10Сборът \(3\dfrac{1}{6} + 2\dfrac{5}{18}\) е равен на:

\(5\dfrac{6}{24}\)\(5\dfrac{4}{9}\)\(5\dfrac{1}{3}\)\(6\dfrac{4}{9}\)

11Сборът \(1\dfrac{3}{4} + 7\dfrac{7}{9}\) е равен на:

\(8\dfrac{10}{13}\)\(9\dfrac{19}{36}\)\(8\dfrac{19}{36}\)\(9\dfrac{5}{13}\)

12При събиране на смесени числа:

събираме поотделно целите и дробните частиумножаваме целите частисъбираме само дробните частисъбираме числителите и знаменателите

13Ако сборът на дробните части е неправилна дроб, тогава:

записът се оставя такаизключваме цялото и го прибавяме към цялата частсъкращаваме знаменателязадачата няма решение

14Числото, което е с \(\dfrac{3}{8}\) по-голямо от \(\dfrac{7}{12}\), е:

\(\dfrac{23}{24}\)\(\dfrac{10}{20}\)\(\dfrac{5}{6}\)\(\dfrac{21}{96}\)

15За числата \(a = \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\) и \(b = \dfrac{5}{6} + \dfrac{7}{8}\) е вярно:

\(a \gt b\)\(a = b\)\(a \lt b\)не могат да се сравнят

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

19

Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна обикновена дроб и обратно

Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: цяла и дробна част, изключване на цялото, преминаване към неправилна дроб и обратно.

Към урока →

16

Привеждане на обикновени дроби към общ знаменател. Най-малък общ знаменател (НОЗ)

Урок за 5. клас — умението, без което събирането при различни знаменатели е невъзможно: НОЗ като НОК на знаменателите и допълнителен множител.

Към урока →

18

Събиране и изваждане на обикновени дроби с равни знаменатели

Урок за 5. клас — правилото, до което свеждаме всяко събиране при различни знаменатели, след като приведем дробите към общ знаменател.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆