📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Дробни числа › Привеждане към общ знаменател

Привеждане на обикновени дроби към общ знаменател. Най-малък общ знаменател (НОЗ)

Общ знаменател, най-малък общ знаменател като \(\text{НОК}\) на знаменателите, допълнителен множител, правило в четири стъпки, естествено число като дроб. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

5. клас Дробни числа Общ знаменател НОЗ Допълнителен множител

С дроби с еднакви знаменатели се работи лесно, защото те представят части с еднаква големина. Когато знаменателите са различни, частите са различни по големина и дробите трудно се съпоставят. Затова се научаваме да заменяме дадените дроби с равни на тях дроби, които имат един и същ знаменател. Това се нарича привеждане към общ знаменател, а най-удобният общ знаменател е най-малкият — той се получава от \(\text{НОК}\) на знаменателите. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

🧮 Общ знаменател

Когато заменим няколко дроби с равни на тях дроби, които имат един и същ знаменател, казваме, че привеждаме дробите към общ знаменател.

Замяната се извършва с основното свойство на дробите — чрез разширяване или чрез съкращаване. Затова стойността на всяка дроб не се променя, променя се само записът ѝ.

\(\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3}\)

Частите са различни по големина. Разделяме всяка лента на \(6\) равни части:

\(\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{6}\)

\(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\)

Сега двете дроби имат общ знаменател \(6\).

🎯 Най-малък общ знаменател (НОЗ)

Преди да търсим най-малкия общ знаменател, съкращаваме всички съкратими дроби. Най-малкото общо кратно на получените знаменатели се нарича най-малък общ знаменател (НОЗ) на дробите.

Нека \(\dfrac{m}{n}\) и \(\dfrac{p}{q}\) са две дроби с различни знаменатели и \(k = \text{НОК}(n, q)\). Ако \(k : n = r\) и \(k : q = l\), то разширяваме дробите съответно с множителите \(r\) и \(l\) и получаваме дроби с равни знаменатели: \[\frac{m}{n} = \frac{m \cdot r}{k} \qquad \text{и} \qquad \frac{p}{q} = \frac{p \cdot l}{k}.\] Числата \(r\) и \(l\) са допълнителните множители на двете дроби.

Общи знаменатели има много (например произведението на знаменателите винаги е общ знаменател), но най-малкият от тях е \(\text{НОК}\) на знаменателите, получени след съкращаването. С него числата остават най-малки и работата е най-лека.
Затова съкращаването е първата стъпка. Например при \(\dfrac{2}{4}\) и \(\dfrac{1}{6}\) не търсим \(\text{НОК}(4, 6) = 12\): първо съкращаваме \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\) и тогава \(\text{НОЗ} = \text{НОК}(2, 6) = 6\), тоест \(\dfrac{3}{6}\) и \(\dfrac{1}{6}\).

📋 Правило за привеждане към НОЗ

1. Съкращаваме всички съкратими дроби.
2. Намираме \(\text{НОК}\) на всички знаменатели — това е \(\text{НОЗ}\).
3. Определяме допълнителния множител на всяка от дробите, като разделим \(\text{НОК}\) на съответния знаменател.
4. Разширяваме всяка дроб със съответния допълнителен множител.

Пример. Да приведем към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{3}{4},\ \dfrac{5}{12},\ \dfrac{11}{8}\) и \(\dfrac{1}{6}\).
Дробите са несъкратими. Разлагаме знаменателите: \(4 = 2 \cdot 2\), \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\), \(6 = 2 \cdot 3\), затова \(\text{НОК}(4, 12, 8, 6) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 24\).

Дроб	\(\dfrac{3}{4}\)	\(\dfrac{5}{12}\)	\(\dfrac{11}{8}\)	\(\dfrac{1}{6}\)
Допълнителен множител	\(24 : 4 = 6\)	\(24 : 12 = 2\)	\(24 : 8 = 3\)	\(24 : 6 = 4\)
След разширяване	\(\dfrac{18}{24}\)	\(\dfrac{10}{24}\)	\(\dfrac{33}{24}\)	\(\dfrac{4}{24}\)

💡 Полезни частни случаи

Единият знаменател се дели на другия. Тогава \(\text{НОЗ}\) е по-големият знаменател и разширяваме само едната дроб. Например при \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{6}\) имаме \(\text{НОЗ} = 6\) и \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\).
Знаменателите са взаимно прости. Тогава \(\text{НОК}\) им е произведението, тоест \(\text{НОЗ}\) е произведението на знаменателите. Например при \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{2}{7}\) имаме \(\text{НОЗ} = 21\).
Естествено число. Всяко естествено число \(a\) може да се запише като дроб \(\dfrac{a}{1}\) и после се разширява като всяка друга дроб. Например \(5 = \dfrac{5}{1} = \dfrac{35}{7}\).

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.

1

Разширете дробта: а) \(\dfrac{7}{6}\) до знаменател \(18\); б) \(\dfrac{3}{15}\) до знаменател \(60\); в) \(\dfrac{14}{13}\) до знаменател \(78\).

▼

РешениеНамираме допълнителния множител, като разделим новия знаменател на стария.
а) \(18 : 6 = 3\) → \(\dfrac{7}{6} = \dfrac{21}{18}\).
б) \(60 : 15 = 4\) → \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{12}{60}\).
в) \(78 : 13 = 6\) → \(\dfrac{14}{13} = \dfrac{84}{78}\).

2

Разширете дробта: а) \(\dfrac{5}{6}\) до знаменател \(24\); б) \(\dfrac{12}{13}\) до знаменател \(117\); в) \(\dfrac{11}{19}\) до знаменател \(57\).

▼

Решениеа) \(24 : 6 = 4\) → \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{20}{24}\).
б) \(117 : 13 = 9\) → \(\dfrac{12}{13} = \dfrac{108}{117}\).
в) \(57 : 19 = 3\) → \(\dfrac{11}{19} = \dfrac{33}{57}\).

3

Приведете дробите към общ знаменател, като разширите само едната от тях: а) \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{6}\); б) \(\dfrac{1}{5}\) и \(\dfrac{3}{15}\); в) \(\dfrac{3}{22}\) и \(\dfrac{13}{11}\).

▼

РешениеЕдиният знаменател се дели на другия, затова той е общият знаменател.
а) \(6 : 3 = 2\) → \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{6}\); дробите са \(\dfrac{2}{6}\) и \(\dfrac{1}{6}\).
б) \(15 : 5 = 3\) → \(\dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{15}\); дробите са \(\dfrac{3}{15}\) и \(\dfrac{3}{15}\).
в) \(22 : 11 = 2\) → \(\dfrac{13}{11} = \dfrac{26}{22}\); дробите са \(\dfrac{3}{22}\) и \(\dfrac{26}{22}\).

4

Приведете дробите към общ знаменател, като съкратите само едната от тях: а) \(\dfrac{2}{7}\) и \(\dfrac{6}{21}\); б) \(\dfrac{3}{5}\) и \(\dfrac{12}{20}\); в) \(\dfrac{36}{42}\) и \(\dfrac{6}{7}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{6}{21} = \dfrac{2}{7}\) (на \(3\)); дробите са \(\dfrac{2}{7}\) и \(\dfrac{2}{7}\).
б) \(\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\) (на \(4\)); дробите са \(\dfrac{3}{5}\) и \(\dfrac{3}{5}\).
в) \(\dfrac{36}{42} = \dfrac{6}{7}\) (на \(6\)); дробите са \(\dfrac{6}{7}\) и \(\dfrac{6}{7}\).

5

Приведете дробите към общ знаменател, като разширите и двете: а) \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{2}{7}\); б) \(\dfrac{3}{10}\) и \(\dfrac{5}{9}\).

▼

Решениеа) \(3\) и \(7\) са взаимно прости, затова \(\text{НОЗ} = 3 \cdot 7 = 21\). Допълнителни множители \(7\) и \(3\): \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{21}\), \(\dfrac{2}{7} = \dfrac{6}{21}\).
б) \(10\) и \(9\) са взаимно прости, затова \(\text{НОЗ} = 90\). Допълнителни множители \(9\) и \(10\): \(\dfrac{3}{10} = \dfrac{27}{90}\), \(\dfrac{5}{9} = \dfrac{50}{90}\).

6

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{3}{8}\).

▼

Решениеа) \(\text{НОК}(4, 6) = 12\); допълнителни множители \(3\) и \(2\): \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{12}\), \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{10}{12}\).
б) \(\text{НОК}(6, 8) = 24\); допълнителни множители \(4\) и \(3\): \(\dfrac{1}{6} = \dfrac{4}{24}\), \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}\).

7

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{5}{9}\) и \(\dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{4}{9}\) и \(\dfrac{7}{15}\).

▼

Решениеа) \(9 = 3 \cdot 3\), \(6 = 2 \cdot 3\) → \(\text{НОК}(9, 6) = 18\); допълнителни множители \(2\) и \(3\): \(\dfrac{5}{9} = \dfrac{10}{18}\), \(\dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{18}\).
б) \(9 = 3 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\) → \(\text{НОК}(9, 15) = 45\); допълнителни множители \(5\) и \(3\): \(\dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{45}\), \(\dfrac{7}{15} = \dfrac{21}{45}\).

8

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{7}{6}\) и \(\dfrac{4}{15}\); б) \(\dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{1}{8}\).

▼

Решениеа) \(6 = 2 \cdot 3\), \(15 = 3 \cdot 5\) → \(\text{НОК}(6, 15) = 30\); допълнителни множители \(5\) и \(2\): \(\dfrac{7}{6} = \dfrac{35}{30}\), \(\dfrac{4}{15} = \dfrac{8}{30}\).
б) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\) → \(\text{НОК}(12, 8) = 24\); допълнителни множители \(2\) и \(3\): \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{10}{24}\), \(\dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{24}\).

9

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{7}{12}\) и \(\dfrac{9}{2}\); б) \(\dfrac{11}{20}\) и \(\dfrac{7}{8}\).

▼

Решениеа) \(12\) се дели на \(2\), затова \(\text{НОЗ} = 12\); \(\dfrac{9}{2} = \dfrac{54}{12}\), а \(\dfrac{7}{12}\) остава непроменена.
б) \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\), \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\) → \(\text{НОК}(20, 8) = 40\); допълнителни множители \(2\) и \(5\): \(\dfrac{11}{20} = \dfrac{22}{40}\), \(\dfrac{7}{8} = \dfrac{35}{40}\).

10

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{11}{12}\); б) \(\dfrac{13}{12}\) и \(\dfrac{13}{18}\).

▼

Решениеа) \(15 = 3 \cdot 5\), \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) → \(\text{НОК} = 60\); допълнителни множители \(4\) и \(5\): \(\dfrac{8}{15} = \dfrac{32}{60}\), \(\dfrac{11}{12} = \dfrac{55}{60}\).
б) \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\), \(18 = 2 \cdot 3 \cdot 3\) → \(\text{НОК} = 36\); допълнителни множители \(3\) и \(2\): \(\dfrac{13}{12} = \dfrac{39}{36}\), \(\dfrac{13}{18} = \dfrac{26}{36}\).

11

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{11}{30}\) и \(\dfrac{8}{45}\); б) \(\dfrac{9}{10}\) и \(\dfrac{5}{12}\).

▼

Решениеа) \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(45 = 3 \cdot 3 \cdot 5\) → \(\text{НОК} = 90\); допълнителни множители \(3\) и \(2\): \(\dfrac{11}{30} = \dfrac{33}{90}\), \(\dfrac{8}{45} = \dfrac{16}{90}\).
б) \(10 = 2 \cdot 5\), \(12 = 2 \cdot 2 \cdot 3\) → \(\text{НОК} = 60\); допълнителни множители \(6\) и \(5\): \(\dfrac{9}{10} = \dfrac{54}{60}\), \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{25}{60}\).

12

Чрез намиране на \(\text{НОК}\) на знаменателите приведете към общ знаменател дробите: а) \(\dfrac{5}{7}\) и \(\dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{7}{20}\) и \(\dfrac{1}{15}\).

▼

Решениеа) \(7\) и \(2\) са взаимно прости → \(\text{НОК} = 14\); \(\dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{14}\), \(\dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{14}\).
б) \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\), \(15 = 3 \cdot 5\) → \(\text{НОК} = 60\); допълнителни множители \(3\) и \(4\): \(\dfrac{7}{20} = \dfrac{21}{60}\), \(\dfrac{1}{15} = \dfrac{4}{60}\).

13

Приведете към общ знаменател дробите: а) \(\dfrac{3}{26}\) и \(\dfrac{5}{39}\); б) \(\dfrac{8}{11}\) и \(\dfrac{5}{8}\).

▼

Решениеа) \(26 = 2 \cdot 13\), \(39 = 3 \cdot 13\) → \(\text{НОК} = 2 \cdot 3 \cdot 13 = 78\); допълнителни множители \(3\) и \(2\): \(\dfrac{3}{26} = \dfrac{9}{78}\), \(\dfrac{5}{39} = \dfrac{10}{78}\).
б) \(11\) и \(8\) са взаимно прости → \(\text{НОК} = 88\); допълнителни множители \(8\) и \(11\): \(\dfrac{8}{11} = \dfrac{64}{88}\), \(\dfrac{5}{8} = \dfrac{55}{88}\).

14

Приведете към общ знаменател дробите: а) \(\dfrac{7}{13}\) и \(\dfrac{2}{11}\); б) \(\dfrac{3}{22}\) и \(\dfrac{2}{33}\); в) \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{20}{51}\).

▼

Решениеа) \(13\) и \(11\) са взаимно прости → \(\text{НОК} = 143\); \(\dfrac{7}{13} = \dfrac{77}{143}\), \(\dfrac{2}{11} = \dfrac{26}{143}\).
б) \(22 = 2 \cdot 11\), \(33 = 3 \cdot 11\) → \(\text{НОК} = 66\); \(\dfrac{3}{22} = \dfrac{9}{66}\), \(\dfrac{2}{33} = \dfrac{4}{66}\).
в) \(51 = 3 \cdot 17\) се дели на \(3\) → \(\text{НОЗ} = 51\); \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{34}{51}\), а \(\dfrac{20}{51}\) остава непроменена.

15

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{4}{7},\ \dfrac{5}{14}\) и \(\dfrac{2}{21}\).

▼

Решение\(7\), \(14 = 2 \cdot 7\) и \(21 = 3 \cdot 7\) → \(\text{НОК}(7, 14, 21) = 2 \cdot 3 \cdot 7 = 42\).
Допълнителни множители: \(42 : 7 = 6\), \(42 : 14 = 3\), \(42 : 21 = 2\).
\(\dfrac{4}{7} = \dfrac{24}{42}\), \(\dfrac{5}{14} = \dfrac{15}{42}\), \(\dfrac{2}{21} = \dfrac{4}{42}\).

16

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{8}{9}\); б) \(\dfrac{5}{2},\ \dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{5}{36}\).

▼

Решениеа) \(3\), \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\), \(9 = 3 \cdot 3\) → \(\text{НОК} = 72\); допълнителни множители \(24, 9\) и \(8\): \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{48}{72}\), \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{27}{72}\), \(\dfrac{8}{9} = \dfrac{64}{72}\).
б) \(36\) се дели и на \(2\), и на \(12\) → \(\text{НОЗ} = 36\); \(\dfrac{5}{2} = \dfrac{90}{36}\), \(\dfrac{5}{12} = \dfrac{15}{36}\), \(\dfrac{5}{36}\) остава непроменена.

17

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{1}{3},\ \dfrac{5}{4}\) и \(\dfrac{7}{15}\); б) \(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{3}{8}\).

▼

Решениеа) \(3\), \(4 = 2 \cdot 2\), \(15 = 3 \cdot 5\) → \(\text{НОК} = 60\); допълнителни множители \(20, 15\) и \(4\): \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{20}{60}\), \(\dfrac{5}{4} = \dfrac{75}{60}\), \(\dfrac{7}{15} = \dfrac{28}{60}\).
б) \(4 = 2 \cdot 2\), \(3\), \(8 = 2 \cdot 2 \cdot 2\) → \(\text{НОК} = 24\); допълнителни множители \(6, 8\) и \(3\): \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{24}\), \(\dfrac{2}{3} = \dfrac{16}{24}\), \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{24}\).

18

Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): а) \(\dfrac{12}{15}\) и \(\dfrac{42}{49}\); б) \(\dfrac{25}{45}\) и \(\dfrac{40}{140}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\) и \(\dfrac{42}{49} = \dfrac{6}{7}\); \(\text{НОК}(5, 7) = 35\) → \(\dfrac{28}{35}\) и \(\dfrac{30}{35}\).
б) \(\dfrac{25}{45} = \dfrac{5}{9}\) и \(\dfrac{40}{140} = \dfrac{2}{7}\); \(\text{НОК}(9, 7) = 63\) → \(\dfrac{35}{63}\) и \(\dfrac{18}{63}\).

19

Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): а) \(\dfrac{50}{150}\) и \(\dfrac{15}{36}\); б) \(\dfrac{9}{42}\) и \(\dfrac{13}{91}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{50}{150} = \dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\); \(12\) се дели на \(3\) → \(\text{НОЗ} = 12\): \(\dfrac{4}{12}\) и \(\dfrac{5}{12}\).
б) \(\dfrac{9}{42} = \dfrac{3}{14}\) и \(\dfrac{13}{91} = \dfrac{1}{7}\); \(14\) се дели на \(7\) → \(\text{НОЗ} = 14\): \(\dfrac{3}{14}\) и \(\dfrac{2}{14}\).

20

Като запишете естественото число като дроб, приведете към \(\text{НОЗ}\): а) \(1\) и \(\dfrac{5}{6}\); б) \(5\) и \(\dfrac{5}{7}\); в) \(\dfrac{1}{2},\ 3\) и \(\dfrac{2}{3}\).

▼

РешениеВсяко естествено число \(a\) записваме като \(\dfrac{a}{1}\).
а) \(1 = \dfrac{1}{1}\); \(\text{НОК}(1, 6) = 6\) → \(\dfrac{6}{6}\) и \(\dfrac{5}{6}\).
б) \(5 = \dfrac{5}{1}\); \(\text{НОК}(1, 7) = 7\) → \(\dfrac{35}{7}\) и \(\dfrac{5}{7}\).
в) \(3 = \dfrac{3}{1}\); \(\text{НОК}(2, 1, 3) = 6\) → \(\dfrac{3}{6},\ \dfrac{18}{6}\) и \(\dfrac{4}{6}\).

21

Извършете необходимите действия, съкратете дробите \(\dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{35}\) и \(\dfrac{14}{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7}\) и ги приведете към \(\text{НОЗ}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеПресмятаме числителя и знаменателя: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\) и \(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 56\).
Съкращаваме: \(\dfrac{15}{35} = \dfrac{3}{7}\) (на \(5\)) и \(\dfrac{14}{56} = \dfrac{1}{4}\) (на \(14\)).
\(7\) и \(4\) са взаимно прости → \(\text{НОЗ} = 28\); допълнителни множители \(4\) и \(7\): \(\dfrac{12}{28}\) и \(\dfrac{7}{28}\).

22

Запишете дроб с числител най-малкото просто едноцифрено число и знаменател \(\text{НОК}(3, 5)\), както и дроб с числител \(\text{НОД}(18, 45)\) и знаменател стойността на израза \((7 + 35) : 2\). Приведете двете дроби към \(\text{НОЗ}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеНай-малкото просто едноцифрено число е \(2\), а \(\text{НОК}(3, 5) = 15\) → първата дроб е \(\dfrac{2}{15}\).
\(\text{НОД}(18, 45) = 9\) и \((7 + 35) : 2 = 42 : 2 = 21\) → втората дроб е \(\dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}\).
\(15 = 3 \cdot 5\) и \(7\) са взаимно прости → \(\text{НОЗ} = 105\); допълнителни множители \(7\) и \(15\): \(\dfrac{2}{15} = \dfrac{14}{105}\) и \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{45}{105}\).

23

Дадени са дробите \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{m}{n}\) със знаменател \(n = (18 - 14) \cdot 2\) и числител \(m = \text{НОД}(24, 33)\). Намерете дробта \(\dfrac{m}{n}\) и приведете двете дроби към \(\text{НОЗ}\).⭐ повишена трудност

▼

Решение\(n = (18 - 14) \cdot 2 = 4 \cdot 2 = 8\); \(24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3\) и \(33 = 3 \cdot 11\), затова \(m = \text{НОД}(24, 33) = 3\). Значи \(\dfrac{m}{n} = \dfrac{3}{8}\).
\(5\) и \(8\) са взаимно прости → \(\text{НОЗ} = 40\); допълнителни множители \(8\) и \(5\): \(\dfrac{2}{5} = \dfrac{16}{40}\) и \(\dfrac{3}{8} = \dfrac{15}{40}\).

24

Приведете дробите към дроби с равни числители: а) \(\dfrac{3}{7}\) и \(\dfrac{5}{3}\); б) \(\dfrac{2}{7},\ \dfrac{6}{11}\) и \(\dfrac{12}{5}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеТук работим по същия начин, но с числителите: намираме \(\text{НОК}\) на числителите и разширяваме.
а) \(\text{НОК}(3, 5) = 15\); допълнителни множители \(5\) и \(3\): \(\dfrac{3}{7} = \dfrac{15}{35}\) и \(\dfrac{5}{3} = \dfrac{15}{9}\).
б) \(\text{НОК}(2, 6, 12) = 12\); допълнителни множители \(6, 2\) и \(1\): \(\dfrac{2}{7} = \dfrac{12}{42}\), \(\dfrac{6}{11} = \dfrac{12}{22}\), \(\dfrac{12}{5}\) остава непроменена.

25

Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите: а) \(\dfrac{37}{105}\) и \(\dfrac{38}{175}\); б) \(\dfrac{7}{60},\ \dfrac{13}{540}\) и \(\dfrac{9}{20}\).⭐ повишена трудност

▼

Решениеа) \(105 = 3 \cdot 5 \cdot 7\) и \(175 = 5 \cdot 5 \cdot 7\) → \(\text{НОК} = 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 = 525\).
Допълнителни множители: \(525 : 105 = 5\) и \(525 : 175 = 3\), затова \(\dfrac{37}{105} = \dfrac{185}{525}\) и \(\dfrac{38}{175} = \dfrac{114}{525}\).
б) \(60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(540 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5\), \(20 = 2 \cdot 2 \cdot 5\) → \(\text{НОК} = 540\).
Допълнителни множители: \(540 : 60 = 9\), \(540 : 540 = 1\), \(540 : 20 = 27\), затова \(\dfrac{7}{60} = \dfrac{63}{540}\), \(\dfrac{13}{540}\) остава непроменена и \(\dfrac{9}{20} = \dfrac{243}{540}\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Разширете дробта \(\dfrac{5}{6}\) до знаменател \(30\), дробта \(\dfrac{3}{8}\) до знаменател \(40\) и дробта \(\dfrac{7}{9}\) до знаменател \(72\).
Отг.: \(\dfrac{25}{30},\ \dfrac{15}{40},\ \dfrac{56}{72}\).

Задача 2Разширете дробта \(\dfrac{2}{7}\) до знаменател \(21\) и дробта \(\dfrac{11}{12}\) до знаменател \(96\).
Отг.: \(\dfrac{6}{21}\) и \(\dfrac{88}{96}\).

Задача 3Приведете към общ знаменател, като разширите само едната дроб: а) \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{7}{25}\).
Отг.: а) \(\dfrac{4}{8}\) и \(\dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{10}{25}\) и \(\dfrac{7}{25}\).

Задача 4Приведете към общ знаменател, като съкратите само едната дроб: а) \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{10}{40}\); б) \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{8}{12}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{2}{3}\).

Задача 5Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{3}{4}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 20\); \(\dfrac{8}{20}\) и \(\dfrac{15}{20}\).

Задача 6Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{5}{18}\) и \(\dfrac{1}{6}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 18\); \(\dfrac{5}{18}\) и \(\dfrac{3}{18}\).

Задача 7Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{3}{10}\) и \(\dfrac{2}{5}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 10\); \(\dfrac{3}{10}\) и \(\dfrac{4}{10}\).

Задача 8Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{4}{7}\) и \(\dfrac{5}{14}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 14\); \(\dfrac{8}{14}\) и \(\dfrac{5}{14}\).

Задача 9Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{3}{5}\) и \(\dfrac{3}{10}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 10\); \(\dfrac{6}{10}\) и \(\dfrac{3}{10}\).

Задача 10Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{4}{7},\ \dfrac{5}{14}\) и \(\dfrac{1}{21}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 42\); \(\dfrac{24}{42},\ \dfrac{15}{42}\) и \(\dfrac{2}{42}\).

Задача 11Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{4}{35},\ \dfrac{5}{7}\) и \(\dfrac{3}{15}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}\); \(\text{НОЗ} = \text{НОК}(35, 7, 5) = 35\); \(\dfrac{4}{35},\ \dfrac{25}{35}\) и \(\dfrac{7}{35}\).

Задача 12Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{7}{12},\ \dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{5}{16}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 48\); \(\dfrac{28}{48},\ \dfrac{8}{48}\) и \(\dfrac{15}{48}\).

Задача 13Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{11}{18},\ \dfrac{1}{8}\) и \(\dfrac{5}{12}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 72\); \(\dfrac{44}{72},\ \dfrac{9}{72}\) и \(\dfrac{30}{72}\).

Задача 14Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{2}{3},\ \dfrac{3}{5}\) и \(\dfrac{8}{15}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 15\); \(\dfrac{10}{15},\ \dfrac{9}{15}\) и \(\dfrac{8}{15}\).

Задача 15Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{5}{18},\ \dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{7}{12}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 36\); \(\dfrac{10}{36},\ \dfrac{9}{36}\) и \(\dfrac{21}{36}\).

Задача 16Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{1}{8},\ \dfrac{5}{28}\) и \(\dfrac{9}{14}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 56\); \(\dfrac{7}{56},\ \dfrac{10}{56}\) и \(\dfrac{36}{56}\).

Задача 17Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{5}{9}\) и \(\dfrac{4}{15}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 45\); \(\dfrac{25}{45}\) и \(\dfrac{12}{45}\).

Задача 18Приведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{5}{12}\) и \(\dfrac{7}{18}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 36\); \(\dfrac{15}{36}\) и \(\dfrac{14}{36}\).

Задача 19Чрез намиране на \(\text{НОК}\) на знаменателите приведете към общ знаменател дробите \(\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{7}{8}\).
Отг.: \(\text{НОК}(6, 8) = 24\); \(\dfrac{20}{24}\) и \(\dfrac{21}{24}\).

Задача 20Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{12}{16}\) и \(\dfrac{20}{25}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{4}{5}\); \(\text{НОЗ} = 20\); \(\dfrac{15}{20}\) и \(\dfrac{16}{20}\).

Задача 21Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{13}{39}\) и \(\dfrac{56}{24}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{7}{3}\); \(\text{НОЗ} = 3\); дробите вече имат общ знаменател.

Задача 22Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{22}{55},\ \dfrac{6}{45}\) и \(\dfrac{11}{30}\).
Отг.: \(\dfrac{2}{5},\ \dfrac{2}{15}\) и \(\dfrac{11}{30}\); \(\text{НОЗ} = 30\); \(\dfrac{12}{30},\ \dfrac{4}{30}\) и \(\dfrac{11}{30}\).

Задача 23Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{2}{8},\ \dfrac{12}{16}\) и \(\dfrac{4}{9}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{4}{9}\); \(\text{НОЗ} = 36\); \(\dfrac{9}{36},\ \dfrac{27}{36}\) и \(\dfrac{16}{36}\).

Задача 24Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{6}{21},\ 2 = \dfrac{2}{1}\) и \(\dfrac{3}{42}\).
Отг.: \(\dfrac{2}{7},\ \dfrac{2}{1}\) и \(\dfrac{1}{14}\); \(\text{НОЗ} = 14\); \(\dfrac{4}{14},\ \dfrac{28}{14}\) и \(\dfrac{1}{14}\).

Задача 25Съкратете дробите и след това ги приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{13}{4},\ \dfrac{39}{12}\) и \(\dfrac{65}{20}\).
Отг.: и трите са равни на \(\dfrac{13}{4}\); \(\text{НОЗ} = 4\).

Задача 26Като запишете естественото число като дроб, приведете към \(\text{НОЗ}\): \(4\) и \(\dfrac{3}{8}\).
Отг.: \(4 = \dfrac{4}{1}\); \(\text{НОЗ} = 8\); \(\dfrac{32}{8}\) и \(\dfrac{3}{8}\).

Задача 27Като запишете естественото число като дроб, приведете към \(\text{НОЗ}\): \(\dfrac{1}{6},\ 2\) и \(\dfrac{3}{4}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 12\); \(\dfrac{2}{12},\ \dfrac{24}{12}\) и \(\dfrac{9}{12}\).

Задача 28Приведете дробите \(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{3}{2},\ \dfrac{8}{11}\) и \(\dfrac{24}{29}\) към дроби с равни числители.
Отг.: \(\text{НОК}(1, 3, 8, 24) = 24\); \(\dfrac{24}{96},\ \dfrac{24}{16},\ \dfrac{24}{33}\) и \(\dfrac{24}{29}\).

Задача 29Запишете всички правилни дроби с положителен числител, чиито знаменатели са двете най-малки прости числа. Намерете \(\text{НОЗ}\) на тези дроби.
Отг.: двете най-малки прости числа са \(2\) и \(3\); дробите са \(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{2}{3}\); \(\text{НОЗ} = \text{НОК}(2, 3) = 6\).

Задача 30 — с повишена трудностПриведете към \(\text{НОЗ}\) дробите \(\dfrac{3}{400},\ \dfrac{19}{6000}\) и \(\dfrac{29}{1500}\).
Отг.: \(\text{НОК}(400, 6000, 1500) = 6000\); допълнителни множители \(15, 1\) и \(4\); \(\dfrac{45}{6000},\ \dfrac{19}{6000}\) и \(\dfrac{116}{6000}\).

---

✅ Онлайн тест

Тест: Привеждане на обикновени дроби към общ знаменател. Най-малък общ знаменател (НОЗ)

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Кога казваме, че привеждаме дроби към общ знаменател?

когато ги съкратим до несъкратими дробикогато ги заменим с равни на тях дроби с един и същ знаменателкогато ги запишем с равни числителикогато съберем знаменателите им

2След като съкратим съкратимите дроби, най-малкият общ знаменател на дробите е:

\(\text{НОД}\) на знаменателитепроизведението на числителите\(\text{НОК}\) на знаменателитенай-големият от знаменателите

3Най-малкият общ знаменател на \(\dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{3}{4}\) е:

\(9\)\(20\)\(5\)\(40\)

4Най-малкият общ знаменател на \(\dfrac{5}{18}\) и \(\dfrac{1}{6}\) е:

\(6\)\(24\)\(18\)\(108\)

5Допълнителният множител на всяка дроб се намира, като:

умножим \(\text{НОК}\) по съответния знаменателразделим \(\text{НОК}\) на съответния знаменателсъберем всички знаменателиразделим знаменателя на \(\text{НОК}\)

6Дробта \(\dfrac{7}{6}\), разширена до знаменател \(18\), е:

\(\dfrac{7}{18}\)\(\dfrac{21}{18}\)\(\dfrac{14}{18}\)\(\dfrac{18}{6}\)

7Дробите \(\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{1}{6}\), приведени към \(\text{НОЗ}\), са:

\(\dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{1}{6}\)\(\dfrac{2}{6}\) и \(\dfrac{1}{6}\)\(\dfrac{3}{6}\) и \(\dfrac{1}{6}\)\(\dfrac{1}{18}\) и \(\dfrac{3}{18}\)

8Най-малкият общ знаменател на \(\dfrac{7}{12},\ \dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{5}{16}\) е:

\(16\)\(96\)\(48\)\(24\)

9Ако знаменателите на две дроби са взаимно прости числа, то \(\text{НОЗ}\) е:

по-големият знаменателпроизведението на знаменателитесборът на знаменателите\(1\)

10Ако единият знаменател се дели на другия, то \(\text{НОЗ}\) е:

произведението на знаменателитепо-малкият знаменателпо-големият знаменател\(\text{НОД}\) на знаменателите

11Числото \(5\), записано като дроб със знаменател \(7\), е:

\(\dfrac{5}{7}\)\(\dfrac{12}{7}\)\(\dfrac{35}{7}\)\(\dfrac{7}{5}\)

12Дробите \(\dfrac{5}{9}\) и \(\dfrac{4}{15}\), приведени към \(\text{НОЗ}\), са:

\(\dfrac{25}{45}\) и \(\dfrac{12}{45}\)\(\dfrac{5}{45}\) и \(\dfrac{4}{45}\)\(\dfrac{15}{45}\) и \(\dfrac{12}{45}\)\(\dfrac{25}{135}\) и \(\dfrac{4}{135}\)

13Коя е първата стъпка от правилото за привеждане към \(\text{НОЗ}\)?

да разширим всички дробида съкратим съкратимите дробида умножим всички знаменателида намерим \(\text{НОД}\) на знаменателите

14Дробите \(\dfrac{12}{15}\) и \(\dfrac{42}{49}\), съкратени и приведени към \(\text{НОЗ}\), са:

\(\dfrac{28}{35}\) и \(\dfrac{30}{35}\)\(\dfrac{12}{35}\) и \(\dfrac{42}{35}\)\(\dfrac{4}{5}\) и \(\dfrac{6}{7}\)\(\dfrac{60}{105}\) и \(\dfrac{90}{105}\)

15Дробите \(\dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{3}{8}\), приведени към \(\text{НОЗ}\), са:

\(\dfrac{16}{40}\) и \(\dfrac{15}{40}\)\(\dfrac{2}{40}\) и \(\dfrac{3}{40}\)\(\dfrac{6}{16}\) и \(\dfrac{6}{15}\)\(\dfrac{10}{40}\) и \(\dfrac{24}{40}\)

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

15

Основно свойство на дробите. Разширяване и съкращаване на обикновени дроби

Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: основно свойство на дробите, разширяване с допълнителен множител, съкращаване, несъкратима и съкратима дроб.

Към урока →

12

Общо кратно. Най-малко общо кратно (НОК)

Урок за 5. клас — понятието, върху което стъпва НОЗ: общо кратно, най-малко общо кратно чрез разлагане на прости множители, текстови задачи с НОК.

Към урока →

14

Правилни и неправилни дроби

Урок за 5. клас — кога дробта е правилна и кога неправилна, сравнение с единица, дроб равна на 1, реципрочна (обратна) дроб.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆