Общо кратно. Най-малко общо кратно (НОК)
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Делимост на числата › Общо кратно. Най-малко общо кратно (НОК)
Общо кратно. Най-малко общо кратно (НОК)
Общо кратно на две и повече числа, най-малко общо кратно, намиране на НОК чрез разлагане на прости множители, НОК на взаимно прости числа и текстови задачи. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В предишния урок търсехме най-голямото число, което дели няколко дадени числа. Сега ще търсим обратното — най-малкото число, което се дели на всяко от тях. То се нарича най-малко общо кратно и е точно толкова полезно в практиката: с него отговаряме кога два автобуса ще тръгнат отново заедно, след колко дни ще съвпаднат две тренировки или кога два звънеца ще звъннат едновременно. В този урок ще научим какво е общо кратно, кое е най-малкото общо кратно (НОК) и как да го намираме чрез разлагане на прости множители. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🔁 Общо кратно и най-малко общо кратно
Общо кратно на две, три или повече положителни естествени числа се нарича всяко положително естествено число, което се дели на всяко от тези числа.
Най-малкото положително общо кратно се нарича най-малко общо кратно (НОК).
Най-малкото положително общо кратно се нарича най-малко общо кратно (НОК).
Например кратните на \(6\) са \(6, 12, 18, 24, 30, 36, \ldots\), а на \(8\) — \(8, 16, 24, 32, 40, 48, \ldots\). Общи кратни на \(6\) и \(8\) са \(24, 48, \ldots\), а най-малкото от тях е \(24\). Записваме \(\text{НОК}(6, 8) = 24\).
✖️ Намиране на НОК чрез разлагане на прости множители
За да намерим НОК на няколко числа:
• разлагаме числата на прости множители;
• вземаме всеки прост множител, който се среща в разлаганията, толкова пъти, колкото е най-големият брой на срещанията му в някое от тях;
• намираме тяхното произведение.
• разлагаме числата на прости множители;
• вземаме всеки прост множител, който се среща в разлаганията, толкова пъти, колкото е най-големият брой на срещанията му в някое от тях;
• намираме тяхното произведение.
Например \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\) и \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\). Множителят \(2\) участва най-много три пъти (в \(24\)), а \(3\) — най-много два пъти (в \(36\)). Затова \(\text{НОК}(24, 36) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 72\).
🔗 НОК на взаимно прости числа
Ако две числа са взаимно прости (нямат общ делител, по-голям от \(1\)), тяхното най-малко общо кратно е равно на произведението им.
Например \(4\) и \(5\) са взаимно прости, затова \(\text{НОК}(4, 5) = 4\cdot 5 = 20\). А когато едното число се дели на другото, НОК е равно на по-голямото: \(\text{НОК}(7, 21) = 21\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Намерете две общи кратни на числата \(6\) и \(8\).
▼
РешениеОбщото кратно трябва да се дели и на \(6\), и на \(8\). Най-малкото такова е \(\text{НОК}(6, 8) = 24\).
Следващите общи кратни са кратните на \(24\): например \(24\) и \(48\).
Следващите общи кратни са кратните на \(24\): например \(24\) и \(48\).
2
Дадени са числата \(12, 15, 40, 48, 60, 120\). Кои от тях са общи кратни на \(12\) и \(15\)?
▼
РешениеОбщото кратно на \(12\) и \(15\) трябва да се дели и на двете. \(\text{НОК}(12, 15) = 60\), затова общите кратни са кратните на \(60\).
От дадените числа това са \(60\) и \(120\).
От дадените числа това са \(60\) и \(120\).
3
Намерете \(\text{НОК}(16, 24)\).
▼
Решение\(16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) и \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\). Множителят \(2\) участва най-много четири пъти (в \(16\)), а \(3\) — веднъж.
\(\text{НОК}(16, 24) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 48\).
\(\text{НОК}(16, 24) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 48\).
4
Намерете \(\text{НОК}(20, 35)\).
▼
Решение\(20 = 2\cdot 2\cdot 5\) и \(35 = 5\cdot 7\). Вземаме \(2\) два пъти, \(5\) веднъж и \(7\) веднъж.
\(\text{НОК}(20, 35) = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7 = 140\).
\(\text{НОК}(20, 35) = 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7 = 140\).
5
Намерете чрез разлагане на прости множители \(\text{НОК}(36, 48)\).
▼
Решение\(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\) и \(48 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\). Множителят \(2\) участва най-много четири пъти (в \(48\)), а \(3\) — най-много два пъти (в \(36\)).
\(\text{НОК}(36, 48) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 144\).
\(\text{НОК}(36, 48) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 144\).
6
Намерете \(\text{НОК}(8, 12, 20)\).
▼
Решение\(8 = 2\cdot 2\cdot 2\); \(12 = 2\cdot 2\cdot 3\); \(20 = 2\cdot 2\cdot 5\). Множителят \(2\) участва най-много три пъти (в \(8\)), \(3\) — веднъж, \(5\) — веднъж.
\(\text{НОК}(8, 12, 20) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 120\).
\(\text{НОК}(8, 12, 20) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 120\).
7
Кога НОК на две числа е равно на едното от тях? Отговорете с пример.
▼
РешениеКогато едното число се дели на другото, НОК е равно на по-голямото от тях.
Например \(21\) се дели на \(7\), затова \(\text{НОК}(7, 21) = 21\).
Например \(21\) се дели на \(7\), затова \(\text{НОК}(7, 21) = 21\).
8
Кога НОК на две числа е равно на тяхното произведение? Отговорете с пример.
▼
РешениеКогато двете числа са взаимно прости (нямат общ делител, по-голям от \(1\)), НОК е равно на произведението им.
Например \(9\) и \(10\) са взаимно прости, затова \(\text{НОК}(9, 10) = 9\cdot 10 = 90\).
Например \(9\) и \(10\) са взаимно прости, затова \(\text{НОК}(9, 10) = 9\cdot 10 = 90\).
9
Намерете НОК на числата: а) \(15\) и \(18\); б) \(24\) и \(36\); в) \(45\) и \(75\).
▼
Решениеа) \(15 = 3\cdot 5\), \(18 = 2\cdot 3\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 90\).
б) \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 72\).
в) \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\), \(75 = 3\cdot 5\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 225\).
б) \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(36 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 72\).
в) \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\), \(75 = 3\cdot 5\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5 = 225\).
10
Намерете чрез разлагане на прости множители \(\text{НОК}(750, 900)\).
▼
Решение\(750 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5\) и \(900 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\). Вземаме \(2\) най-много два пъти, \(3\) най-много два пъти и \(5\) най-много три пъти.
\(\text{НОК}(750, 900) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 4\,500\).
\(\text{НОК}(750, 900) = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 5 = 4\,500\).
11
Намерете \(\text{НОК}(42, 63)\).
▼
Решение\(42 = 2\cdot 3\cdot 7\) и \(63 = 3\cdot 3\cdot 7\). Вземаме \(2\) веднъж, \(3\) най-много два пъти, \(7\) веднъж.
\(\text{НОК}(42, 63) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7 = 126\).
\(\text{НОК}(42, 63) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 7 = 126\).
12
Намерете две числа, чието НОК е: а) \(12\); б) \(30\); в) \(45\).
▼
РешениеДостатъчно е да изберем подходящи двойки.
а) \(\text{НОК}(4, 6) = 12\); б) \(\text{НОК}(6, 10) = 30\); в) \(\text{НОК}(9, 15) = 45\).
а) \(\text{НОК}(4, 6) = 12\); б) \(\text{НОК}(6, 10) = 30\); в) \(\text{НОК}(9, 15) = 45\).
13
Проверете вярно ли е равенството \(\text{НОК}(54, 63)\cdot \text{НОД}(54, 63) = 54\cdot 63\).
▼
Решение\(54 = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\), \(63 = 3\cdot 3\cdot 7\). Тогава \(\text{НОД}(54, 63) = 3\cdot 3 = 9\), а \(\text{НОК}(54, 63) = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 7 = 378\).
Проверяваме: \(378\cdot 9 = 3\,402\), а \(54\cdot 63 = 3\,402\). Равенството е вярно.
За всеки две положителни естествени числа произведението на техните НОК и НОД е равно на произведението на самите числа.
Проверяваме: \(378\cdot 9 = 3\,402\), а \(54\cdot 63 = 3\,402\). Равенството е вярно.
За всеки две положителни естествени числа произведението на техните НОК и НОД е равно на произведението на самите числа.
14
Иван се упражнява на пиано в едно читалище на всеки \(5\) дни, а Васил — на всеки \(6\) дни. Ако започнат да свирят днес, след колко дни пак ще се срещнат в читалището?
▼
РешениеЩе се срещнат след толкова дни, колкото е най-малкото общо кратно на \(5\) и \(6\).
\(5\) и \(6\) са взаимно прости, затова \(\text{НОК}(5, 6) = 5\cdot 6 = 30\). Ще се срещнат след \(30\) дни.
\(5\) и \(6\) са взаимно прости, затова \(\text{НОК}(5, 6) = 5\cdot 6 = 30\). Ще се срещнат след \(30\) дни.
15
Три автобуса тръгват едновременно от крайна спирка. Единият се връща на всеки \(80\) min, вторият — на всеки \(60\) min, а третият — на всеки \(40\) min. Най-малко след колко време трите автобуса ще бъдат едновременно на началната спирка?
▼
РешениеТърсим \(\text{НОК}(80, 60, 40)\).
\(80 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\), \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\), \(40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\). Вземаме \(2\) най-много четири пъти, \(3\) веднъж, \(5\) веднъж.
\(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 240\) min, тоест \(4\) часа.
\(80 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\), \(60 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\), \(40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\). Вземаме \(2\) най-много четири пъти, \(3\) веднъж, \(5\) веднъж.
\(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 240\) min, тоест \(4\) часа.
16
В училище има два звънеца — първият звъни на всеки \(6\) минути, а вторият — на всеки \(8\) минути. Двата звънеца звънят заедно в \(8{:}00\) часа. Най-малко след колко минути ще звъннат отново едновременно?
▼
РешениеТърсим \(\text{НОК}(6, 8)\). \(6 = 2\cdot 3\), \(8 = 2\cdot 2\cdot 2\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24\).
Ще звъннат отново едновременно след \(24\) минути, тоест в \(8{:}24\) часа.
Ще звъннат отново едновременно след \(24\) минути, тоест в \(8{:}24\) часа.
17
На градска спирка пристигат едновременно автобус, тролей и трамвай. Автобусът прави пълна обиколка за \(2\) часа, тролеят — за \(3\) часа, а трамваят — за \(4\) часа. След колко време трите превозни средства ще бъдат отново заедно на спирката?
▼
РешениеТърсим \(\text{НОК}(2, 3, 4)\).
\(2 = 2\), \(3 = 3\), \(4 = 2\cdot 2\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3 = 12\).
Ще бъдат отново заедно след \(12\) часа.
\(2 = 2\), \(3 = 3\), \(4 = 2\cdot 2\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3 = 12\).
Ще бъдат отново заедно след \(12\) часа.
18
През лятната ваканция Рая ходи на плуване всеки \(4\)-ти ден, Мая — всеки \(8\)-ми ден, а Ния — всеки \(6\)-ти ден. Днес и трите са на плуване. След колко дни ще тренират отново заедно в един и същи ден?
▼
РешениеТърсим \(\text{НОК}(4, 8, 6)\).
\(4 = 2\cdot 2\), \(8 = 2\cdot 2\cdot 2\), \(6 = 2\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24\).
Ще тренират заедно отново след \(24\) дни.
\(4 = 2\cdot 2\), \(8 = 2\cdot 2\cdot 2\), \(6 = 2\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3 = 24\).
Ще тренират заедно отново след \(24\) дни.
19
Намерете неизвестното число \(x\), където \(x + \text{НОК}(6, 7) = \text{НОК}(12, 16)\).
▼
Решение\(6\) и \(7\) са взаимно прости → \(\text{НОК}(6, 7) = 42\). За \(12\) и \(16\): \(12 = 2\cdot 2\cdot 3\), \(16 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\) → \(\text{НОК}(12, 16) = 48\).
От \(x + 42 = 48\) следва \(x = 6\).
От \(x + 42 = 48\) следва \(x = 6\).
20
Докажете, че ако числата \(a\) и \(b\) са делители на числото \(c\), то \(\text{НОК}(a, b)\) също е делител на \(c\).
▼
РешениеЩом \(a\) и \(b\) са делители на \(c\), числото \(c\) се дели и на \(a\), и на \(b\). Следователно \(c\) е общо кратно на \(a\) и \(b\).
Всяко общо кратно на две числа се дели на тяхното най-малко общо кратно. Затова \(c\) се дели на \(\text{НОК}(a, b)\), тоест \(\text{НОК}(a, b)\) е делител на \(c\).
Всяко общо кратно на две числа се дели на тяхното най-малко общо кратно. Затова \(c\) се дели на \(\text{НОК}(a, b)\), тоест \(\text{НОК}(a, b)\) е делител на \(c\).
21
Ако \(\text{НОК}(a, b) = 40\), а \(\text{НОК}(b, c) = 80\), намерете \(\text{НОК}(a, b, c)\).⭐ повишена трудност
▼
Решение\(\text{НОК}(a, b, c)\) трябва да се дели на всяко от трите числа, значи е общо кратно едновременно на \(\text{НОК}(a, b)\) и на \(\text{НОК}(b, c)\).
Затова \(\text{НОК}(a, b, c) = \text{НОК}(40, 80)\). Понеже \(80\) се дели на \(40\), то \(\text{НОК}(40, 80) = 80\).
Затова \(\text{НОК}(a, b, c) = \text{НОК}(40, 80)\). Понеже \(80\) се дели на \(40\), то \(\text{НОК}(40, 80) = 80\).
22
Намерете неизвестното число \(x\), където \(\text{НОК}(22, 39) - 19\cdot x = \text{НОК}(15, 20)\).⭐ повишена трудност
▼
Решение\(22 = 2\cdot 11\) и \(39 = 3\cdot 13\) са взаимно прости → \(\text{НОК}(22, 39) = 22\cdot 39 = 858\).
\(15 = 3\cdot 5\), \(20 = 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОК}(15, 20) = 60\).
От \(858 - 19\cdot x = 60\) следва \(19\cdot x = 798\), тоест \(x = 42\).
\(15 = 3\cdot 5\), \(20 = 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОК}(15, 20) = 60\).
От \(858 - 19\cdot x = 60\) следва \(19\cdot x = 798\), тоест \(x = 42\).
23
Нека \(a\) и \(b\) са две естествени числа, за които \(\text{НОД}(a, b) = 8\) и \(\text{НОК}(a, b) = 240\). Числото \(5\) дели по-малкото от числата и не дели по-голямото. Намерете двете числа.⭐ повишена трудност
▼
РешениеПроизведението на двете числа е равно на \(\text{НОК}\cdot \text{НОД} = 240\cdot 8 = 1\,920\). Понеже НОД е \(8\), нека \(a = 8\cdot m\) и \(b = 8\cdot n\), където \(m\) и \(n\) са взаимно прости. Тогава \(\text{НОК} = 8\cdot m\cdot n = 240\), значи \(m\cdot n = 30\).
Взаимно прости двойки с произведение \(30\) са \((1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)\). Числото \(5\) трябва да дели по-малкото и да не дели по-голямото — това е двойката \((5, 6)\): \(a = 40\) и \(b = 48\).
Проверка: \(\text{НОД}(40, 48) = 8\), \(\text{НОК}(40, 48) = 240\), и \(5\) дели \(40\), но не и \(48\). ✓
Взаимно прости двойки с произведение \(30\) са \((1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)\). Числото \(5\) трябва да дели по-малкото и да не дели по-голямото — това е двойката \((5, 6)\): \(a = 40\) и \(b = 48\).
Проверка: \(\text{НОД}(40, 48) = 8\), \(\text{НОК}(40, 48) = 240\), и \(5\) дели \(40\), но не и \(48\). ✓
24
Установете, че най-малкото общо кратно на две последователни положителни естествени числа е равно на произведението им.⭐ повишена трудност
▼
РешениеНека числата са \(n\) и \(n + 1\), където \(n\) е положително естествено число. Те винаги са взаимно прости — общ делител на \(n\) и \(n + 1\) би трябвало да дели и разликата им \(1\), а единственият делител на \(1\) е \(1\).
Затова \(\text{НОК}(n,\ n + 1) = n\cdot (n + 1)\). Например \(\text{НОК}(7, 8) = 56\).
Затова \(\text{НОК}(n,\ n + 1) = n\cdot (n + 1)\). Например \(\text{НОК}(7, 8) = 56\).
25
На спортен празник се опитали да подредят участниците в редици по \(5, 6, 7\) и \(8\) ученици, но винаги оставал един. Намерете колко ученици са участвали, ако броят им е трицифрено число с цифра на стотиците \(8\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеАко отделим единия ученик, който винаги остава, броят на останалите трябва да се дели на \(5, 6, 7\) и \(8\).
\(5 = 5\), \(6 = 2\cdot 3\), \(7 = 7\), \(8 = 2\cdot 2\cdot 2\). Следователно \(\text{НОК}(5, 6, 7, 8) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 840\).
Всички общи кратни на \(5, 6, 7\) и \(8\) са кратни на \(840\). Следващото след \(840\) е \(1\,680\), затова единственото общо кратно, което е трицифрено число с цифра на стотиците \(8\), е \(840\).
Прибавяме отделения ученик: \(840 + 1 = 841\). Участвали са \(841\) ученици.
\(5 = 5\), \(6 = 2\cdot 3\), \(7 = 7\), \(8 = 2\cdot 2\cdot 2\). Следователно \(\text{НОК}(5, 6, 7, 8) = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 840\).
Всички общи кратни на \(5, 6, 7\) и \(8\) са кратни на \(840\). Следващото след \(840\) е \(1\,680\), затова единственото общо кратно, което е трицифрено число с цифра на стотиците \(8\), е \(840\).
Прибавяме отделения ученик: \(840 + 1 = 841\). Участвали са \(841\) ученици.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете две общи кратни на числата \(6\) и \(10\).
Отг.: \(\text{НОК}(6, 10) = 30\) → общи кратни 30 и 60.
Отг.: \(\text{НОК}(6, 10) = 30\) → общи кратни 30 и 60.
Задача 2Дадени са числата \(20, 24, 40, 60, 72, 120\). Кои от тях са общи кратни на \(8\) и \(15\)?
Отг.: \(\text{НОК}(8, 15) = 120\) → само 120.
Отг.: \(\text{НОК}(8, 15) = 120\) → само 120.
Задача 3Намерете \(\text{НОК}(15, 20)\).
Отг.: \(15 = 3\cdot 5\), \(20 = 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 60\).
Отг.: \(15 = 3\cdot 5\), \(20 = 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 60\).
Задача 4Намерете \(\text{НОК}(30, 42)\).
Отг.: \(30 = 2\cdot 3\cdot 5\), \(42 = 2\cdot 3\cdot 7\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210\).
Отг.: \(30 = 2\cdot 3\cdot 5\), \(42 = 2\cdot 3\cdot 7\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 7 = 210\).
Задача 5Намерете чрез разлагане на прости множители \(\text{НОК}(24, 40)\).
Отг.: \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 120\).
Отг.: \(24 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\), \(40 = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 120\).
Задача 6Намерете \(\text{НОК}(9, 12, 15)\).
Отг.: \(9 = 3\cdot 3\), \(12 = 2\cdot 2\cdot 3\), \(15 = 3\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 180\).
Отг.: \(9 = 3\cdot 3\), \(12 = 2\cdot 2\cdot 3\), \(15 = 3\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 180\).
Задача 7Намерете \(\text{НОК}(5, 8)\).
Отг.: 5 и 8 са взаимно прости → \(\text{НОК} = 5\cdot 8 = 40\).
Отг.: 5 и 8 са взаимно прости → \(\text{НОК} = 5\cdot 8 = 40\).
Задача 8Намерете \(\text{НОК}(11, 22)\).
Отг.: 22 се дели на 11 → \(\text{НОК} = 22\).
Отг.: 22 се дели на 11 → \(\text{НОК} = 22\).
Задача 9Намерете НОК на числата: а) \(21\) и \(28\); б) \(50\) и \(75\); в) \(16\) и \(40\).
Отг.: а) 84; б) 150; в) 80.
Отг.: а) 84; б) 150; в) 80.
Задача 10Намерете чрез разлагане на прости множители \(\text{НОК}(425, 510)\).
Отг.: \(425 = 5\cdot 5\cdot 17\), \(510 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 17\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 17 = 2\,550\).
Отг.: \(425 = 5\cdot 5\cdot 17\), \(510 = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 17\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 17 = 2\,550\).
Задача 11Намерете \(\text{НОК}(6, 9, 12)\).
Отг.: \(6 = 2\cdot 3\), \(9 = 3\cdot 3\), \(12 = 2\cdot 2\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 36\).
Отг.: \(6 = 2\cdot 3\), \(9 = 3\cdot 3\), \(12 = 2\cdot 2\cdot 3\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3 = 36\).
Задача 12Намерете \(\text{НОК}(60, 72, 90)\).
Отг.: \(60 = 2^2\cdot 3\cdot 5\), \(72 = 2^3\cdot 3^2\), \(90 = 2\cdot 3^2\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2^3\cdot 3^2\cdot 5 = 360\).
Отг.: \(60 = 2^2\cdot 3\cdot 5\), \(72 = 2^3\cdot 3^2\), \(90 = 2\cdot 3^2\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2^3\cdot 3^2\cdot 5 = 360\).
Задача 13Намерете две числа, чието НОК е: а) \(24\); б) \(36\).
Отг.: например а) 8 и 12; б) 12 и 18 (сами проверете НОК).
Отг.: например а) 8 и 12; б) 12 и 18 (сами проверете НОК).
Задача 14Кога НОК на две числа е равно на произведението им?
Отг.: когато числата са взаимно прости.
Отг.: когато числата са взаимно прости.
Задача 15Намерете неизвестното число \(x\), където \(x\cdot \text{НОК}(4, 6) = \text{НОК}(8, 12)\).
Отг.: \(\text{НОК}(4, 6) = 12\), \(\text{НОК}(8, 12) = 24\); \(12\cdot x = 24\) → \(x = 2\).
Отг.: \(\text{НОК}(4, 6) = 12\), \(\text{НОК}(8, 12) = 24\); \(12\cdot x = 24\) → \(x = 2\).
Задача 16В училище има два звънеца — първият звъни на всеки \(9\) минути, а вторият — на всеки \(12\) минути. Най-малко след колко минути ще звъннат отново едновременно?
Отг.: \(\text{НОК}(9, 12) = 36\) минути.
Отг.: \(\text{НОК}(9, 12) = 36\) минути.
Задача 17Два влака тръгват от една гара — единият на всеки \(15\) минути, другият на всеки \(25\) минути. Най-малко след колко минути ще тръгнат отново заедно?
Отг.: \(\text{НОК}(15, 25) = 75\) минути.
Отг.: \(\text{НОК}(15, 25) = 75\) минути.
Задача 18Три приятели спортуват: единият на всеки \(6\) дни, вторият на всеки \(8\), третият на всеки \(12\). Днес спортуват заедно. След колко дни ще се съберат отново?
Отг.: \(\text{НОК}(6, 8, 12) = 24\) дни.
Отг.: \(\text{НОК}(6, 8, 12) = 24\) дни.
Задача 19Проверете вярно ли е равенството \(\text{НОК}(12, 18)\cdot \text{НОД}(12, 18) = 12\cdot 18\).
Отг.: \(\text{НОК} = 36\), \(\text{НОД} = 6\); \(36\cdot 6 = 216 = 12\cdot 18\). Вярно е.
Отг.: \(\text{НОК} = 36\), \(\text{НОД} = 6\); \(36\cdot 6 = 216 = 12\cdot 18\). Вярно е.
Задача 20Кое е най-малкото число, което се дели едновременно на \(2, 3, 4, 5\) и \(6\)?
Отг.: \(\text{НОК}(2, 3, 4, 5, 6) = 60\).
Отг.: \(\text{НОК}(2, 3, 4, 5, 6) = 60\).
Задача 21Установете, че \(6\) дели \(24\) и \(36\) и че \(\text{НОК}(6, 24, 36) = \text{НОК}(24, 36)\).
Отг.: 24 и 36 се делят на 6, затова добавянето на 6 не променя НОК; \(\text{НОК}(24, 36) = 72\).
Отг.: 24 и 36 се делят на 6, затова добавянето на 6 не променя НОК; \(\text{НОК}(24, 36) = 72\).
Задача 22Числата \(7\) и \(15\) са взаимно прости. Намерете \(\text{НОК}(7, 15)\).
Отг.: \(7\cdot 15 = 105\).
Отг.: \(7\cdot 15 = 105\).
Задача 23Намерете \(x\), ако \(\text{НОК}(12, x) = 36\) и \(x\) е кратно на \(9\).
Отг.: \(x = 9, 18\) или \(36\), защото \(\text{НОК}(12, 9) = \text{НОК}(12, 18) = \text{НОК}(12, 36) = 36\).
Отг.: \(x = 9, 18\) или \(36\), защото \(\text{НОК}(12, 9) = \text{НОК}(12, 18) = \text{НОК}(12, 36) = 36\).
Задача 24Нека \(a\) и \(b\) са прости числа и \(\text{НОК}(a, b) = 35\). Намерете \(a\) и \(b\).
Отг.: щом са прости, \(\text{НОК} = a\cdot b = 35 = 5\cdot 7\) → числата са 5 и 7.
Отг.: щом са прости, \(\text{НОК} = a\cdot b = 35 = 5\cdot 7\) → числата са 5 и 7.
Задача 25Днес д-р Василев и д-р Иванова дежурят заедно. Василев дежури на всеки \(4\) дни, Иванова — на всеки \(5\) дни. След колко дни ще дежурят отново заедно?
Отг.: \(\text{НОК}(4, 5) = 20\) дни (4 и 5 са взаимно прости).
Отг.: \(\text{НОК}(4, 5) = 20\) дни (4 и 5 са взаимно прости).
Задача 26Намерете \(\text{НОК}(18, 45)\).
Отг.: \(18 = 2\cdot 3\cdot 3\), \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 90\).
Отг.: \(18 = 2\cdot 3\cdot 3\), \(45 = 3\cdot 3\cdot 5\) → \(\text{НОК} = 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5 = 90\).
Задача 27Ангел ходи на футбол всеки \(3\)-ти ден, Борис — всеки \(5\)-ти, Владимир — всеки \(10\)-ти. Днес играят заедно. След колко дни ще играят отново заедно?
Отг.: \(\text{НОК}(3, 5, 10) = 30\) дни.
Отг.: \(\text{НОК}(3, 5, 10) = 30\) дни.
Задача 28Намерете \(\text{НОК}(212, 318, 530)\).
Отг.: \(212 = 2^2\cdot 53\), \(318 = 2\cdot 3\cdot 53\), \(530 = 2\cdot 5\cdot 53\) → \(\text{НОК} = 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 53 = 3\,180\).
Отг.: \(212 = 2^2\cdot 53\), \(318 = 2\cdot 3\cdot 53\), \(530 = 2\cdot 5\cdot 53\) → \(\text{НОК} = 2^2\cdot 3\cdot 5\cdot 53 = 3\,180\).
Задача 29Намерете \(\text{НОК}(1, 9, 27)\).
Отг.: понеже 27 се дели на 9, а всяко естествено число се дели на 1, получаваме \(\text{НОК}(1, 9, 27) = 27\).
Отг.: понеже 27 се дели на 9, а всяко естествено число се дели на 1, получаваме \(\text{НОК}(1, 9, 27) = 27\).
Задача 30 — с повишена трудностБроят на вилиците и лъжиците в един ученически стол е по-голям от \(300\) и по-малък от \(400\). Ако тези прибори се отделят в групи по \(10\) или по \(12\), и в двата случая се получава цяло число групи. Колко са приборите?
Отг.: броят е общо кратно на 10 и 12, тоест кратно на \(\text{НОК}(10, 12) = 60\); строго между 300 и 400 това е само \(360\).
Отг.: броят е общо кратно на 10 и 12, тоест кратно на \(\text{НОК}(10, 12) = 60\); строго между 300 и 400 това е само \(360\).
✅ Онлайн тест
Тест: Общо кратно. Най-малко общо кратно (НОК)
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1На колко е равно \(\text{НОК}(6, 8)\)?
2На колко е равно \(\text{НОК}(10, 15)\)?
3Кое се нарича най-малко общо кратно на две числа?
4На колко е равно \(\text{НОК}(4, 5)\)?
5На колко е равно \(\text{НОК}(9, 18)\)?
6На колко е равно \(\text{НОК}(12, 18)\)?
7Ако \(x + \text{НОК}(6, 9) = \text{НОК}(10, 15)\), то \(x\) е:
8Два звънеца звънят на всеки \(6\) и на всеки \(8\) минути. Най-малко след колко минути ще звъннат заедно?
9На колко е равно \(\text{НОК}(2, 3, 5)\)?
10НОК на две взаимно прости числа е равно на:
11На колко е равно \(\text{НОК}(15, 25)\)?
12Три превозни средства правят обиколка за \(2, 3\) и \(4\) часа. След колко часа ще бъдат заедно?
13На колко е равно \(\text{НОК}(8, 12, 20)\)?
14За всеки две положителни естествени числа произведението \(\text{НОК}\cdot \text{НОД}\) е равно на:
15Ученици се строяват в редици по \(5, 6, 7\) и \(8\), но винаги остава един. Колко са, ако броят им е трицифрено число с цифра на стотиците \(8\)?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
11
Най-голям общ делител (НОД). Взаимно прости числа
Урок за 5. клас — предходната тема от глава „Делимост на числата“: общи делители, най-голям общ делител чрез разлагане на прости множители, взаимно прости числа.
Към урока →
10
Прости и съставни числа
Урок за 5. клас — прости и съставни числа, таблица на простите до 100, разлагане на прости множители.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Когато едно число се дели точно на друго, второто число е негов делител. Любопитен материал за делителите и закономерностите в естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар