Сфера. Кълбо. Лице на повърхнина на сфера
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Сфера и кълбо
Сфера. Кълбо. Лице на повърхнина на сфера
Определения, елементи и формулите \(S = 4\pi r^2\) и \(S = \pi d^2\). 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок се запознаваме с последните две геометрични понятия от тази поредица — кълбото и сферата. Ще видим как се получават при завъртане на кръг, кои са елементите им и как се пресмята лицето на повърхнината на сфера с формулите \(S = 4\pi r^2\) и \(S = \pi d^2\). След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
📖 Сфера и кълбо — определения и елементи
При завъртането на кръг около произволен негов диаметър се получава тяло, наречено кълбо. Окръжността, ограничаваща този кръг, описва повърхнина, която се нарича сфера.
Центърът, радиусът и диаметърът на кръга се наричат съответно център, радиус и диаметър на кълбото и сферата. Както при окръжността, диаметърът е равен на 2 пъти радиуса: \(d = 2r\).
Сечението на сфера с равнина, минаваща през центъра ѝ, е окръжност с радиуса на сферата — тя се нарича голяма окръжност, а ограденият от нея кръг — голям кръг на сферата.
🧮 Лице на повърхнина на сфера
Лицето на повърхнината на сфера с радиус \(r\) и диаметър \(d\) се пресмята по формулите:
\[\boxed{\;S = 4\pi r^2\;}\qquad\text{или}\qquad\boxed{\;S = \pi d^2\;}\]
Двете формули са равносилни: като заместим \(d = 2r\), получаваме \(\pi d^2 = \pi\cdot(2r)^2 = 4\pi r^2\). Формулата може да се запомни и така: лицето на сферата е равно на 4 пъти лицето на големия ѝ кръг \(\pi r^2\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на сфера с радиус \(r = 3\) см.
▼
Решение\(S = 4\pi r^2 = 4\pi\cdot 9 = 36\pi\) кв. см.
2
Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на сфера с радиус \(r = 2{,}3\) дм.
▼
Решение\(S = 4\pi\cdot 2{,}3^2 = 4\pi\cdot 5{,}29 = 21{,}16\pi\) кв. дм.
3
Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на сфера, ако \(\dfrac{1}{8}\) от радиуса ѝ е 0,5 см.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 8\cdot 0{,}5 = 4\) см.
\(S = 4\pi\cdot 16 = 64\pi\) кв. см.
\(S = 4\pi\cdot 16 = 64\pi\) кв. см.
4
Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с радиус 105 мм (в квадратни сантиметри).
▼
РешениеПревръщаме: \(r = 10{,}5\) см.
\(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 110{,}25 = 1384{,}74\) кв. см.
\(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 110{,}25 = 1384{,}74\) кв. см.
5
Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с диаметър 28 мм (в квадратни сантиметри).
▼
РешениеПревръщаме: \(d = 2{,}8\) см.
\(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 7{,}84 = 24{,}6176\) кв. см.
\(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 7{,}84 = 24{,}6176\) кв. см.
6
Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с диаметър 2 м.
▼
Решение\(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 4 = 12{,}56\) кв. м.
7
Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на сфера с диаметър \(d = 3\dfrac{1}{4}\) дм.
▼
Решение\(d = 3{,}25\) дм.
\(S = \pi d^2 = \pi\cdot 3{,}25^2 = 10{,}5625\pi\) кв. дм.
\(S = \pi d^2 = \pi\cdot 3{,}25^2 = 10{,}5625\pi\) кв. дм.
8
Диаметърът на сфера е равен на страната на квадрат с лице 25 кв. см. Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на сферата.
▼
РешениеСтраната на квадрата е 5 см, тъй като \(5^2 = 25\). Значи \(d = 5\) см.
\(S = \pi d^2 = 25\pi\) кв. см.
\(S = \pi d^2 = 25\pi\) кв. см.
9
Диаметърът на сфера е равен на хипотенузата на правоъгълен триъгълник с лице 12 кв. см и височина към хипотенузата 24 мм. Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на сферата.
▼
РешениеВисочината е \(2{,}4\) см. От лицето на триъгълника \(12 = \dfrac{1}{2}\cdot c\cdot 2{,}4\) намираме хипотенузата \(c = \dfrac{24}{2{,}4} = 10\) см, значи \(d = 10\) см.
\(S = \pi d^2 = 100\pi\) кв. см.
\(S = \pi d^2 = 100\pi\) кв. см.
10
Намерете лицето на повърхнината на сфера, получена при завъртането на окръжност около произволен неин диаметър, ако дължината на тази окръжност е 75,36 см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
▼
РешениеПри завъртането окръжността описва сфера със същия радиус. От \(C = 2\pi r\): \(75{,}36 \approx 6{,}28r\), откъдето \(r \approx 12\) см.
\(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 144 = 1808{,}64\) кв. см.
\(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 144 = 1808{,}64\) кв. см.
11
Намерете лицето на повърхнината на сфера, получена при завъртането на окръжност с дължина 22 м около неин диаметър. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
▼
РешениеОт \(C = 2\pi r\): \(22 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot r\), откъдето \(r \approx 3{,}5\) м.
\(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 12{,}25 = 4\cdot 38{,}5 = 154\) кв. м.
\(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 12{,}25 = 4\cdot 38{,}5 = 154\) кв. м.
12
Окръжност с дължина \(4{,}2\pi\) дм е завъртяна около неин диаметър. Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината на получената сфера.
▼
РешениеОт \(2\pi r = 4{,}2\pi\) намираме \(r = 2{,}1\) дм.
\(S = 4\pi\cdot 4{,}41 = 17{,}64\pi\) кв. дм.
\(S = 4\pi\cdot 4{,}41 = 17{,}64\pi\) кв. дм.
13
В едно българско училище има стая с формата на земното кълбо. Повърхността ѝ е покрита със сателитни снимки на Земята от Космоса. Кълбото е с диаметър 6 м и може да се гледа отстрани, а също и да се влиза в него. Пресметнете лицето на повърхнината му. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
▼
Решение\(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 36 = 113{,}04\) кв. м.
14
Сфера има радиус, равен на \(\dfrac{7}{8}\) м. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и пресметнете: а) лицето на сферата в квадратни дециметри; б) с колко квадратни дециметра ще се увеличи лицето на сферата, ако нейният радиус се увеличи 4 пъти.
▼
РешениеПревръщаме: \(r = \dfrac{7}{8}\) м \(= 8{,}75\) дм.
а) \(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 76{,}5625 = 962{,}5\) кв. дм.
б) При \(r\) 4 пъти по-голям лицето се умножава по \(4^2 = 16\). Увеличението е \(16S - S = 15S \approx 15\cdot 962{,}5 = 14\,437{,}5\) кв. дм.
а) \(S = 4\pi r^2 \approx 4\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 76{,}5625 = 962{,}5\) кв. дм.
б) При \(r\) 4 пъти по-голям лицето се умножава по \(4^2 = 16\). Увеличението е \(16S - S = 15S \approx 15\cdot 962{,}5 = 14\,437{,}5\) кв. дм.
15
Сфера има лице 452,16 кв. см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете: а) радиуса на сферата в сантиметри; б) диаметъра на сферата в дециметри; в) дължината на голямата окръжност на сферата в метри; г) лицето на големия кръг на сферата в квадратни сантиметри.
▼
Решениеа) От \(S = 4\pi r^2\): \(r^2 \approx \dfrac{452{,}16}{12{,}56} = 36\). Тъй като \(6^2 = 36\), радиусът е \(r \approx 6\) см.
б) \(d \approx 12\) см \(= 1{,}2\) дм.
в) \(C = 2\pi r \approx 37{,}68\) см \(= 0{,}3768\) м.
г) Големият кръг има лице \(\pi r^2 \approx 3{,}14\cdot 36 = 113{,}04\) кв. см.
б) \(d \approx 12\) см \(= 1{,}2\) дм.
в) \(C = 2\pi r \approx 37{,}68\) см \(= 0{,}3768\) м.
г) Големият кръг има лице \(\pi r^2 \approx 3{,}14\cdot 36 = 113{,}04\) кв. см.
16
Намерете радиуса на сфера с лице на повърхнината \(100\pi\) кв. см.
▼
РешениеОт \(S = 4\pi r^2\): \(100\pi = 4\pi r^2\), значи \(r^2 = 25\). Тъй като \(5^2 = 25\), радиусът е \(r = 5\) см.
17
Намерете диаметъра на сфера с лице на повърхнината \(25\pi\) кв. дм.
▼
РешениеОт \(S = \pi d^2\): \(25\pi = \pi d^2\), значи \(d^2 = 25\), откъдето \(d = 5\) дм.
18
Как ще се измени лицето на повърхнината на сфера, ако: а) радиусът се умножи по 3; б) радиусът стане равен на една пета от първоначалния; в) диаметърът се умножи по 4?
▼
РешениеЛицето \(S = 4\pi r^2\) зависи от квадрата на радиуса (и на диаметъра).
а) Множителят е \(3^2 = 9\) — лицето се умножава по 9.
б) Множителят е \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{25}\) — лицето става равно на една двадесет и пета от първоначалното.
в) Множителят е \(4^2 = 16\) — лицето се умножава по 16.
а) Множителят е \(3^2 = 9\) — лицето се умножава по 9.
б) Множителят е \(\left(\dfrac{1}{5}\right)^2 = \dfrac{1}{25}\) — лицето става равно на една двадесет и пета от първоначалното.
в) Множителят е \(4^2 = 16\) — лицето се умножава по 16.
19
Лицето на околната повърхнина на цилиндър и лицето на повърхнината на сфера са равни. Намерете радиуса на цилиндъра, ако височината му е 2 см, а радиусът на сферата е 0,3 дм.
▼
РешениеРадиусът на сферата е 3 см, значи \(S_{\text{сф}} = 4\pi\cdot 9 = 36\pi\) кв. см.
За цилиндъра: \(2\pi R\cdot 2 = 4\pi R\). От \(4\pi R = 36\pi\) намираме \(R = 9\) см.
За цилиндъра: \(2\pi R\cdot 2 = 4\pi R\). От \(4\pi R = 36\pi\) намираме \(R = 9\) см.
20
Лицето на повърхнината на сфера е \(36\pi\) кв. дм. Намерете: а) радиуса на сферата; б) дължината на окръжност, чийто радиус е равен на радиуса на сферата; в) лицето на кръг, чийто радиус е равен на диаметъра на сферата.
▼
Решениеа) От \(36\pi = 4\pi r^2\): \(r^2 = 9\). Тъй като \(3^2 = 9\), радиусът е \(r = 3\) дм.
б) \(C = 2\pi\cdot 3 = 6\pi\) дм.
в) Кръгът има радиус \(d = 6\) дм и лице \(\pi\cdot 36 = 36\pi\) кв. дм.
б) \(C = 2\pi\cdot 3 = 6\pi\) дм.
в) Кръгът има радиус \(d = 6\) дм и лице \(\pi\cdot 36 = 36\pi\) кв. дм.
21
Средният диаметър на Земята е около 12 742 км. Единственият естествен спътник на Земята е Луната и нейният среден диаметър е приблизително 4 пъти по-малък от този на Земята. Около 70% от повърхността на Земята е покрита с вода. Като приемете, че Земята и Луната имат форма на кълбо, за \(\pi \approx 3{,}14\) пресметнете в квадратни километри и закръглете с точност до 1 кв. км: а) лицето на повърхността на Земята; б) лицето на повърхността на Луната; в) площта на сушата на Земята.
▼
Решениеа) \(S_{\text{З}} = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 12\,742^2 = 3{,}14\cdot 162\,358\,564 \approx 509\,805\,891\) кв. км.
б) Диаметърът на Луната е \(12\,742 : 4 = 3185{,}5\) км. \(S_{\text{Л}} \approx 3{,}14\cdot 3185{,}5^2 = 3{,}14\cdot 10\,147\,410{,}25 \approx 31\,862\,868\) кв. км.
в) Сушата е 30% от повърхността: \(\approx 0{,}3\cdot 509\,805\,890{,}96 \approx 152\,941\,767\) кв. км.
б) Диаметърът на Луната е \(12\,742 : 4 = 3185{,}5\) км. \(S_{\text{Л}} \approx 3{,}14\cdot 3185{,}5^2 = 3{,}14\cdot 10\,147\,410{,}25 \approx 31\,862\,868\) кв. км.
в) Сушата е 30% от повърхността: \(\approx 0{,}3\cdot 509\,805\,890{,}96 \approx 152\,941\,767\) кв. км.
22
Меркурий е най-малката планета в Слънчевата система. Диаметърът на планетата Венера се отнася към диаметъра на планетата Меркурий както \(62 : 25\), а диаметърът на планетата Марс се отнася към диаметъра на планетата Венера както \(35 : 62\). Намерете: а) как се отнася диаметърът на планетата Марс към диаметъра на планетата Меркурий; б) колко пъти лицето на повърхността на планетата Марс е по-голямо от лицето на повърхността на планетата Меркурий. Закръглете отговора с точност до 1.
▼
Решениеа) \(\dfrac{d_{\text{Марс}}}{d_{\text{Мерк}}} = \dfrac{d_{\text{Марс}}}{d_{\text{Вен}}}\cdot\dfrac{d_{\text{Вен}}}{d_{\text{Мерк}}} = \dfrac{35}{62}\cdot\dfrac{62}{25} = \dfrac{35}{25} = \dfrac{7}{5}\).
б) Лицата се отнасят както квадратите на диаметрите: \(\left(\dfrac{7}{5}\right)^2 = \dfrac{49}{25} = 1{,}96 \approx 2\) пъти.
б) Лицата се отнасят както квадратите на диаметрите: \(\left(\dfrac{7}{5}\right)^2 = \dfrac{49}{25} = 1{,}96 \approx 2\) пъти.
23
В куб с обем 125 куб. см е поставено възможно най-голямо кълбо. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете: а) лицето \(S_1\) на повърхнината на това кълбо; б) с колко процента \(S_1\) е по-малко от лицето \(S_2\) на повърхнината на куба, като закръглите отговора с точност до 0,1%.
▼
РешениеРъбът на куба е 5 см, тъй като \(5^3 = 125\). Най-голямото кълбо, което се побира в куба, допира стените му и има диаметър \(d = 5\) см.
а) \(S_1 = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 25 = 78{,}5\) кв. см.
б) \(S_2 = 6\cdot 25 = 150\) кв. см. Разликата е \(150 - 78{,}5 = 71{,}5\) кв. см, което е \(\dfrac{71{,}5}{150} \approx 47{,}7\%\) от \(S_2\). Значи \(S_1\) е с около 47,7% по-малко от \(S_2\).
а) \(S_1 = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 25 = 78{,}5\) кв. см.
б) \(S_2 = 6\cdot 25 = 150\) кв. см. Разликата е \(150 - 78{,}5 = 71{,}5\) кв. см, което е \(\dfrac{71{,}5}{150} \approx 47{,}7\%\) от \(S_2\). Значи \(S_1\) е с около 47,7% по-малко от \(S_2\).
24
В метална кутия с форма на цилиндър с образуваща 35 см и диаметър 7 см са поставени плътно една до друга 5 еднакви пластмасови топки, всяка от които е с диаметър 7 см. Вярно ли е, че сборът от лицата на повърхнините на петте топки е равен на лицето на околната повърхнина на цилиндричната кутия? Обосновете отговора си със съответните изчисления.
▼
РешениеСборът от лицата на петте топки е \(5\cdot\pi d^2 = 5\cdot 49\pi = 245\pi\) кв. см.
Околната повърхнина на цилиндъра е \(2\pi r h = \pi d\cdot h = \pi\cdot 7\cdot 35 = 245\pi\) кв. см.
Двете лица са равни — твърдението е вярно.
Околната повърхнина на цилиндъра е \(2\pi r h = \pi d\cdot h = \pi\cdot 7\cdot 35 = 245\pi\) кв. см.
Двете лица са равни — твърдението е вярно.
25
Две еднакви дървени кълба, всяко от които е с радиус 2,8 см, са прикрепени едно към друго в декоративна конструкция. Пресметнете колко грама боя ще са необходими за боядисването на конструкцията, ако за 1 кв. см са необходими 0,05 г боя. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и закръглете отговора с точност до 1 г.
▼
РешениеБоядисва се повърхнината на двете кълба, тоест лицата на две сфери с радиус 2,8 см: \(S = 2\cdot 4\pi r^2 = 8\pi r^2 \approx 8\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 7{,}84 = 8\cdot 24{,}64 = 197{,}12\) кв. см.
Необходимата боя е \(m \approx 197{,}12\cdot 0{,}05 = 9{,}856\) г \(\approx 10\) г.
Необходимата боя е \(m \approx 197{,}12\cdot 0{,}05 = 9{,}856\) г \(\approx 10\) г.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с радиус 5 см.
Отг.: \(S \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 25 = 314\) кв. см.
Отг.: \(S \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 25 = 314\) кв. см.
Задача 2Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с радиус 2,1 м.
Отг.: \(S \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 4{,}41 = 55{,}3896\) кв. м.
Отг.: \(S \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 4{,}41 = 55{,}3896\) кв. м.
Задача 3Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с диаметър 6 дм.
Отг.: \(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 36 = 113{,}04\) кв. дм.
Отг.: \(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 36 = 113{,}04\) кв. дм.
Задача 4Радиусът на сфера, измерен в сантиметри, е стойността на единственото просто четно число. Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината ѝ.
Отг.: \(r = 2\) см; \(S = 4\pi\cdot 4 = 16\pi\) кв. см.
Отг.: \(r = 2\) см; \(S = 4\pi\cdot 4 = 16\pi\) кв. см.
Задача 5Радиусът на сфера е 0,3% от 25 дм. Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината ѝ в квадратни сантиметри.
Отг.: \(r = 0{,}003\cdot 25 = 0{,}075\) дм \(= 0{,}75\) см; \(S = 4\pi\cdot 0{,}5625 = 2{,}25\pi\) кв. см.
Отг.: \(r = 0{,}003\cdot 25 = 0{,}075\) дм \(= 0{,}75\) см; \(S = 4\pi\cdot 0{,}5625 = 2{,}25\pi\) кв. см.
Задача 6Сфера има диаметър 2 дм. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и пресметнете: а) с колко квадратни дециметра ще се промени лицето на сферата, ако диаметърът ѝ се намали с 1 дм; б) колко пъти ще се увеличи лицето на сферата, ако диаметърът ѝ се увеличи 6 пъти.
Отг.: а) \(S_1 = \pi\cdot 4 = 4\pi\), \(S_2 = \pi\cdot 1 = \pi\); лицето намалява с \(3\pi \approx 9{,}42\) кв. дм; б) \(6^2 = 36\) пъти.
Отг.: а) \(S_1 = \pi\cdot 4 = 4\pi\), \(S_2 = \pi\cdot 1 = \pi\); лицето намалява с \(3\pi \approx 9{,}42\) кв. дм; б) \(6^2 = 36\) пъти.
Задача 7Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете диаметъра \(d\), дължината \(C\) на голямата окръжност и лицето \(S\) на сфера, ако лицето на големия кръг на сферата е равно на 50,24 кв. см.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{50{,}24}{3{,}14} = 16\Rightarrow r \approx 4\) см; \(d \approx 8\) см; \(C \approx 25{,}12\) см; \(S = 4\cdot 50{,}24 = 200{,}96\) кв. см.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{50{,}24}{3{,}14} = 16\Rightarrow r \approx 4\) см; \(d \approx 8\) см; \(C \approx 25{,}12\) см; \(S = 4\cdot 50{,}24 = 200{,}96\) кв. см.
Задача 8Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете диаметъра \(d\), дължината \(C\) на голямата окръжност и лицето \(S\) на сфера, ако лицето на големия кръг на сферата е равно на 254,34 кв. дм.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{254{,}34}{3{,}14} = 81\Rightarrow r \approx 9\) дм; \(d \approx 18\) дм; \(C \approx 56{,}52\) дм; \(S = 4\cdot 254{,}34 = 1017{,}36\) кв. дм.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{254{,}34}{3{,}14} = 81\Rightarrow r \approx 9\) дм; \(d \approx 18\) дм; \(C \approx 56{,}52\) дм; \(S = 4\cdot 254{,}34 = 1017{,}36\) кв. дм.
Задача 9Намерете радиуса на сфера, ако лицето на повърхнината ѝ е \(\dfrac{2}{3}\) от \(486\pi\) кв. см.
Отг.: \(S = 324\pi\); \(r^2 = 81\Rightarrow r = 9\) см (тъй като \(9^2 = 81\)).
Отг.: \(S = 324\pi\); \(r^2 = 81\Rightarrow r = 9\) см (тъй като \(9^2 = 81\)).
Задача 10Намерете радиуса на сфера, ако лицето на повърхнината ѝ е 20% от \(180\pi\) кв. дм.
Отг.: \(S = 36\pi\); \(r^2 = 9\Rightarrow r = 3\) дм.
Отг.: \(S = 36\pi\); \(r^2 = 9\Rightarrow r = 3\) дм.
Задача 11Радиусът на една сфера е равен на 3 пъти радиуса на втора сфера. Колко пъти лицето на повърхнината на първата сфера е по-голямо от това на втората сфера?
Отг.: Лицата се отнасят като квадратите на радиусите: \(3^2 = 9\) пъти.
Отг.: Лицата се отнасят като квадратите на радиусите: \(3^2 = 9\) пъти.
Задача 12Цилиндър и сфера имат един и същи диаметър. Сравнете лицето на околната повърхнина на цилиндъра с лицето на повърхнината на сферата, ако височината на цилиндъра е равна на диаметъра му.
Отг.: За цилиндъра: \(S = 2\pi r\cdot 2r = 4\pi r^2\); за сферата: \(S = 4\pi r^2\). Лицата са равни.
Отг.: За цилиндъра: \(S = 2\pi r\cdot 2r = 4\pi r^2\); за сферата: \(S = 4\pi r^2\). Лицата са равни.
Задача 13Намерете радиуса на сфера, ако лицето на повърхнината ѝ е \(\dfrac{2}{9}\) от лицето на околната повърхнина на конус с радиус 10 мм и образуваща 8 см.
Отг.: Конус: \(r = 1\) см; \(S_{\text{кон}} = \pi\cdot 1\cdot 8 = 8\pi\); сфера: \(4\pi r^2 = \frac{2}{9}\cdot 8\pi = \frac{16\pi}{9}\Rightarrow r^2 = \frac{4}{9}\), значи \(r = \frac{2}{3}\) см (тъй като \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\)).
Отг.: Конус: \(r = 1\) см; \(S_{\text{кон}} = \pi\cdot 1\cdot 8 = 8\pi\); сфера: \(4\pi r^2 = \frac{2}{9}\cdot 8\pi = \frac{16\pi}{9}\Rightarrow r^2 = \frac{4}{9}\), значи \(r = \frac{2}{3}\) см (тъй като \(\left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\)).
Задача 14За ушиване на футболна топка са изразходвани 24 еднакви кожени парчета. Колко квадратни сантиметра е едно парче, ако диаметърът на топката е 34 см и при шевовете се изразходват още 10% от необходимата за топката кожа? Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,01 кв. см.
Отг.: \(S = \pi\cdot 34^2 \approx 3{,}14\cdot 1156 = 3629{,}84\) кв. см; с шевовете: \(\approx 3992{,}824\) кв. см; едно парче: \(\approx 3992{,}824 : 24 \approx 166{,}37\) кв. см.
Отг.: \(S = \pi\cdot 34^2 \approx 3{,}14\cdot 1156 = 3629{,}84\) кв. см; с шевовете: \(\approx 3992{,}824\) кв. см; едно парче: \(\approx 3992{,}824 : 24 \approx 166{,}37\) кв. см.
Задача 15Едно от кубетата на православен храм има формата на полусфера и за позлатяването му са използвани 53,851 кг злато. За позлатяването на 1 кв. м от повърхността на кубето са използвани 175 г злато. На колко метра е равен диаметърът на кубето?
Отг.: Повърхността е \(53\,851 : 175 = 307{,}72\) кв. м; полусфера: \(2\pi r^2 \approx 307{,}72\Rightarrow r^2 \approx \frac{307{,}72}{6{,}28} = 49\), значи \(r \approx 7\) м и \(d \approx 14\) м.
Отг.: Повърхността е \(53\,851 : 175 = 307{,}72\) кв. м; полусфера: \(2\pi r^2 \approx 307{,}72\Rightarrow r^2 \approx \frac{307{,}72}{6{,}28} = 49\), значи \(r \approx 7\) м и \(d \approx 14\) м.
Задача 16Един модел футболна топка с диаметър 22 см се изработва от кожени парчета. За загуби на материал при разкрояването на парчетата и за изработване на шевовете трябва да се предвиди допълнително кожа, която е 9% от лицето на повърхнината на топката. Колко квадратни метра кожа са необходими за изработването на 100 броя такива топки? Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,1 кв. м.
Отг.: \(S = \pi\cdot 484 \approx 1519{,}76\) кв. см; с добавката: \(\approx 1656{,}5384\) кв. см; за 100 топки: \(\approx 165\,653{,}84\) кв. см \(\approx 16{,}6\) кв. м.
Отг.: \(S = \pi\cdot 484 \approx 1519{,}76\) кв. см; с добавката: \(\approx 1656{,}5384\) кв. см; за 100 топки: \(\approx 165\,653{,}84\) кв. см \(\approx 16{,}6\) кв. м.
Задача 17За сфера с лице на повърхнината, равно на сбора от лицата на повърхнините на сфера с радиус 6 см и на сфера с радиус 8 см, намерете: а) радиуса ѝ; б) дължината на голямата ѝ окръжност (чрез \(\pi\)).
Отг.: а) \(4\pi R^2 = 4\pi\cdot 36 + 4\pi\cdot 64 = 4\pi\cdot 100\Rightarrow R^2 = 100\), значи \(R = 10\) см; б) \(C = 2\pi\cdot 10 = 20\pi\) см.
Отг.: а) \(4\pi R^2 = 4\pi\cdot 36 + 4\pi\cdot 64 = 4\pi\cdot 100\Rightarrow R^2 = 100\), значи \(R = 10\) см; б) \(C = 2\pi\cdot 10 = 20\pi\) см.
Задача 18Куб има страна 3 см, а кълбо има радиус 1,5 см. Може ли кълбото да се помести в дадения куб? Сравнете лицето на повърхнината на сферата, ограждаща кълбото, и лицето на повърхнината на куба. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: Диаметърът на кълбото е 3 см, колкото страната на куба, значи кълбото се помества (допира стените). \(S_{\text{сф}} = 4\pi\cdot 2{,}25 = 9\pi \approx 28{,}26\) кв. см; \(S_{\text{куб}} = 6\cdot 9 = 54\) кв. см. Повърхнината на куба е по-голяма.
Отг.: Диаметърът на кълбото е 3 см, колкото страната на куба, значи кълбото се помества (допира стените). \(S_{\text{сф}} = 4\pi\cdot 2{,}25 = 9\pi \approx 28{,}26\) кв. см; \(S_{\text{куб}} = 6\cdot 9 = 54\) кв. см. Повърхнината на куба е по-голяма.
Задача 19Докажете, че лицето на повърхнината на сфера е равно на 4 пъти лицето на големия ѝ кръг.
Отг.: Големият кръг има лице \(\pi r^2\), а сферата: \(S = 4\pi r^2 = 4\cdot\pi r^2\).
Отг.: Големият кръг има лице \(\pi r^2\), а сферата: \(S = 4\pi r^2 = 4\cdot\pi r^2\).
Задача 20Дължината на голямата окръжност на сфера е 31,4 см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете лицето на повърхнината на сферата.
Отг.: От \(2\pi r \approx 31{,}4\): \(r \approx 5\) см; \(S \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 25 = 314\) кв. см.
Отг.: От \(2\pi r \approx 31{,}4\): \(r \approx 5\) см; \(S \approx 4\cdot 3{,}14\cdot 25 = 314\) кв. см.
Задача 21Намерете лицето на повърхнината на полукълбо с радиус 6 см (кривата част заедно с кръглата основа). Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: Кривата част е половин сфера: \(2\pi r^2\); основата е кръг: \(\pi r^2\). Общо \(3\pi r^2 = 108\pi \approx 339{,}12\) кв. см.
Отг.: Кривата част е половин сфера: \(2\pi r^2\); основата е кръг: \(\pi r^2\). Общо \(3\pi r^2 = 108\pi \approx 339{,}12\) кв. см.
Задача 22Радиусът на сфера се увеличава от 4 см на 6 см. Изразете чрез \(\pi\) с колко квадратни сантиметра нараства лицето на повърхнината ѝ.
Отг.: \(4\pi\cdot 36 - 4\pi\cdot 16 = 144\pi - 64\pi = 80\pi\) кв. см.
Отг.: \(4\pi\cdot 36 - 4\pi\cdot 16 = 144\pi - 64\pi = 80\pi\) кв. см.
Задача 23Сфера има лице на повърхнината \(144\pi\) кв. см. Намерете радиуса ѝ и изразете чрез \(\pi\) лицето на големия ѝ кръг.
Отг.: \(r^2 = 36\Rightarrow r = 6\) см; големият кръг има лице \(36\pi\) кв. см.
Отг.: \(r^2 = 36\Rightarrow r = 6\) см; големият кръг има лице \(36\pi\) кв. см.
Задача 24Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с диаметър 1,4 м.
Отг.: \(S = \pi d^2 \approx \frac{22}{7}\cdot 1{,}96 = 6{,}16\) кв. м.
Отг.: \(S = \pi d^2 \approx \frac{22}{7}\cdot 1{,}96 = 6{,}16\) кв. м.
Задача 25Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете лицето на повърхнината на сфера с радиус 10,5 см.
Отг.: \(S \approx 4\cdot\frac{22}{7}\cdot 110{,}25 = 1386\) кв. см.
Отг.: \(S \approx 4\cdot\frac{22}{7}\cdot 110{,}25 = 1386\) кв. см.
Задача 26Училищен глобус има диаметър 0,5 м. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете лицето на повърхнината му.
Отг.: \(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 0{,}25 = 0{,}785\) кв. м.
Отг.: \(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 0{,}25 = 0{,}785\) кв. м.
Задача 27Намерете диаметъра на сфера с лице на повърхнината \(64\pi\) кв. см.
Отг.: От \(\pi d^2 = 64\pi\): \(d^2 = 64\), значи \(d = 8\) см (тъй като \(8^2 = 64\)).
Отг.: От \(\pi d^2 = 64\pi\): \(d^2 = 64\), значи \(d = 8\) см (тъй като \(8^2 = 64\)).
Задача 28Докажете, че лицето на повърхнината на цилиндър, получен при въртенето на квадрат около една от неговите страни, е равно на лицето на сфера с радиус, равен на страната на квадрата.
Отг.: При въртене на квадрат със страна \(a\): \(r = h = a\); \(S_1 = 2\pi a(a + a) = 4\pi a^2\). Сфера с радиус \(a\): \(S = 4\pi a^2\). Лицата са равни.
Отг.: При въртене на квадрат със страна \(a\): \(r = h = a\); \(S_1 = 2\pi a(a + a) = 4\pi a^2\). Сфера с радиус \(a\): \(S = 4\pi a^2\). Лицата са равни.
Задача 29Пресметнете с колко процента ще се увеличи лицето на повърхнината на кълбо, ако радиусът на кълбото се увеличи с 20%.
Отг.: Множителят е \(1{,}2^2 = 1{,}44\) — лицето се увеличава с 44%.
Отг.: Множителят е \(1{,}2^2 = 1{,}44\) — лицето се увеличава с 44%.
Задача 30Сфера има лице на повърхнината \(200\pi\) кв. см. Изразете чрез \(\pi\) лицето на големия ѝ кръг.
Отг.: Големият кръг е една четвърт от лицето на сферата: \(200\pi : 4 = 50\pi\) кв. см.
Отг.: Големият кръг е една четвърт от лицето на сферата: \(200\pi : 4 = 50\pi\) кв. см.
✅ Онлайн тест
Тест: Сфера. Кълбо. Лице на повърхнина на сфера
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя е формулата за лице на повърхнина на сфера чрез радиуса?
2Лицето на повърхнината на сфера чрез диаметъра е:
3Кълбо се получава при завъртането на:
4Сферата е:
5Лицето на повърхнината на сфера с радиус 3 см е:
6Лицето на повърхнината на сфера с диаметър 4 дм е:
7Ако \(S = 100\pi\) кв. см, радиусът на сферата е:
8Ако радиусът се удвои, лицето на повърхнината:
9Ако радиусът стане равен на една трета от първоначалния, лицето:
10Ако диаметърът се умножи по 5, лицето се умножава по:
11Лицето на сферата е равно на лицето на големия ѝ кръг, умножено по:
12Голямата окръжност на сфера с радиус 7 см има дължина (за \(\pi \approx \frac{22}{7}\)):
13Цилиндър с височина, равна на диаметъра му, и сфера със същия диаметър имат:
14Сфери с радиуси \(r\) и \(3r\) имат лица в отношение:
15Лицето на повърхнината на сфера с диаметър 10 см е:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
🔺
Обем на конус
Урок за 6. клас — формулите \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\) и \(V = \tfrac{1}{3}Bh\) и връзката с обема на цилиндъра. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📐
Прав кръгов конус. Развивка и лице на повърхнина
Урок за 6. клас — елементи на конуса, развивка и формулите \(S = \pi r l\) и \(S_1 = \pi r(l + r)\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🛢️
Обем на цилиндър
Урок за 6. клас — формулите \(V = \pi r^2 h\) и \(V = Bh\), мерни единици за обем и вместимост. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар