📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Прав кръгов конус

Прав кръгов конус. Развивка и лице на повърхнина

Елементи на конуса, развивка и формулите \(S = \pi r l\) и \(S_1 = \pi r(l + r)\). 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

6. клас Прав кръгов конус Развивка S = πrl Образуваща Д-р Атанас Илчев

В този урок разглеждаме правия кръгов конус, неговите елементи и развивката му. Ще видим защо околната повърхнина се разгъва в кръгов сектор и ще използваме формулите \(S = \pi r l\) и \(S_1 = \pi r(l + r)\) при решаването на различни задачи. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

📖 Прав кръгов конус — определение и елементи

Прав кръгов конус се получава, когато правоъгълен триъгълник се завърти около един от катетите му. В този урок за краткост ще го наричаме само конус.

Елементи на конуса:
• катетът, около който завъртаме триъгълника, лежи върху оста на конуса, а дължината му е равна на височината \(h\);
• другият катет при въртенето описва основата — кръг с радиус \(r\), с център в точката \(O\), в която се пресичат оста и основата;
• хипотенузата описва околната повърхнина; всяко нейно положение при въртенето е образуваща \(l\);
• общата точка на всички образуващи се нарича връх на конуса.

За разлика от цилиндъра, при конуса образуващата и височината са различни: образуващата \(l\) винаги е по-дълга от височината \(h\), защото е хипотенуза в правоъгълен триъгълник с катети \(h\) и \(r\).

🧮 Развивка и лице на повърхнина

За да получим развивката на конуса, разрязваме околната му повърхнина по една образуваща и отделяме основата. Получаваме един кръгов сектор с радиус \(l\) и дъга с дължина \(2\pi r\) — развивката на околната повърхнина, и един кръг с радиус \(r\) — основата.

За конус с радиус \(r\), образуваща \(l\), лице на основата \(B\), лице на околната повърхнина \(S\) и лице на повърхнината \(S_1\) са в сила формулите: \[\boxed{\;S = \pi r l\;}\] \[\boxed{\;S_1 = S + B = \pi r l + \pi r^2 = \pi r(l + r)\;}\]

Дъгата на кръговия сектор от развивката е равна на обиколката на основата \(C = 2\pi r\). Понеже цялата окръжност с радиус \(l\) има дължина \(2\pi l\), секторът е \(\dfrac{2\pi r}{2\pi l} = \dfrac{r}{l}\) част от целия кръг. Затова ъгълът на сектора е \(\alpha = \dfrac{r}{l}\cdot 360^\circ\). Оттук следва и друг запис на формулата за околната повърхнина: \(S = \dfrac{1}{2}\,C\cdot l\).

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.

1

Намерете лицето \(S\) на околната повърхнина и лицето \(S_1\) на повърхнината на конус с радиус \(r = 3\) см и образуваща \(l = 5\) см (чрез \(\pi\)).

▼

РешениеНай-напред намираме лицето на околната повърхнина: \(S = \pi r l = \pi\cdot 3\cdot 5 = 15\pi\) кв. см.
За лицето на повърхнината използваме формулата \(S_1 = \pi r(l + r) = \pi\cdot 3\cdot(5 + 3) = 24\pi\) кв. см.

2

Намерете \(S\) и \(S_1\) на конус с радиус \(r = 50\) мм и образуваща \(l = 13\) см (чрез \(\pi\)).

▼

РешениеПревръщаме: \(r = 50\) мм \(= 5\) см.
\(S = \pi\cdot 5\cdot 13 = 65\pi\) кв. см; \(S_1 = \pi\cdot 5\cdot(13 + 5) = 90\pi\) кв. см.

3

Намерете \(S\) и \(S_1\) на конус с радиус \(r = 0{,}4\) дм и образуваща \(l = 50\) мм (чрез \(\pi\)).

▼

РешениеПревръщаме: \(r = 4\) см, \(l = 5\) см.
\(S = \pi\cdot 4\cdot 5 = 20\pi\) кв. см; \(S_1 = \pi\cdot 4\cdot 9 = 36\pi\) кв. см.

4

Намерете \(S\) и \(S_1\) на конус с радиус \(r = 15\) мм, ако образуващата е равна на 3 пъти радиуса (чрез \(\pi\)).

▼

Решение\(r = 1{,}5\) см; \(l = 3\cdot 1{,}5 = 4{,}5\) см.
\(S = \pi\cdot 1{,}5\cdot 4{,}5 = 6{,}75\pi\) кв. см; \(S_1 = \pi\cdot 1{,}5\cdot 6 = 9\pi\) кв. см.

5

Намерете \(S\) и \(S_1\) на конус с образуваща \(l = 25\) см, ако радиусът е 20% от образуващата (чрез \(\pi\)).

▼

Решение\(r = 0{,}2\cdot 25 = 5\) см.
\(S = \pi\cdot 5\cdot 25 = 125\pi\) кв. см; \(S_1 = \pi\cdot 5\cdot 30 = 150\pi\) кв. см.

6

Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете в квадратни сантиметри лицето на околната повърхнина на конус с радиус 10 см и образуваща 14 см.

▼

Решение\(S = \pi r l \approx 3{,}14\cdot 10\cdot 14 = 439{,}6\) кв. см.

7

Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете лицето на околната повърхнина на конус с радиус 0,5 дм и образуваща 0,2 м (в квадратни сантиметри).

▼

РешениеПревръщаме: \(r = 5\) см, \(l = 20\) см.
\(S \approx 3{,}14\cdot 5\cdot 20 = 314\) кв. см.

8

Изразете чрез \(\pi\) лицето на околната повърхнина на конус с радиус \(r = 1{,}9\) см и образуваща \(l = 2r\).

▼

Решение\(l = 2\cdot 1{,}9 = 3{,}8\) см.
\(S = \pi\cdot 1{,}9\cdot 3{,}8 = 7{,}22\pi\) кв. см.

9

Обиколката на основата на конус е \(C = 12\pi\) см, а образуващата му е \(l = 15\) см. Изразете чрез \(\pi\) лицето на околната повърхнина.

▼

РешениеОт \(C = 2\pi r = 12\pi\) намираме \(r = 6\) см.
\(S = \pi r l = \pi\cdot 6\cdot 15 = 90\pi\) кв. см.

10

Лицето на основата на конус е \(B = 81\pi\) кв. см, а образуващата е с 4,2 см по-голяма от радиуса. Изразете чрез \(\pi\) лицето на околната повърхнина.

▼

РешениеОт \(B = \pi r^2 = 81\pi\) следва \(r^2 = 81\). Тъй като \(9^2 = 81\), радиусът е \(r = 9\) см.
Образуващата е \(l = 9 + 4{,}2 = 13{,}2\) см.
\(S = \pi\cdot 9\cdot 13{,}2 = 118{,}8\pi\) кв. см.

11

Намерете радиуса на основата на конус, ако образуващата е 10 см, а лицето на околната повърхнина е 2512 кв. мм. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).

▼

РешениеПревръщаме: \(2512\) кв. мм \(= 25{,}12\) кв. см.
От \(S = \pi r l\): \(25{,}12 \approx 3{,}14\cdot r\cdot 10 = 31{,}4r\), откъдето \(r \approx 0{,}8\) см \(= 8\) мм.

12

Намерете дължината на образуващата на конус, ако лицето на околната повърхнина е 301,44 кв. см, а радиусът на основата е 8 см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).

▼

РешениеОт \(S = \pi r l\): \(301{,}44 \approx 3{,}14\cdot 8\cdot l = 25{,}12l\), откъдето \(l \approx 12\) см.

13

Намерете дължината на образуващата на конус, ако лицето на повърхнината му е \(28{,}5\pi\) кв. см, а радиусът е 3 см.

▼

РешениеОт \(S_1 = \pi r(l + r)\): \(28{,}5\pi = \pi\cdot 3\cdot(l + 3)\), значи \(l + 3 = 9{,}5\), откъдето \(l = 6{,}5\) см.

14

Лицето на околната повърхнина на конус е 23,1 кв. см, а образуващата му е 7 см. Намерете обиколката и лицето на основата му. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).

▼

РешениеОт \(S = \dfrac{1}{2}C\cdot l\): \(C = \dfrac{2S}{l} = \dfrac{46{,}2}{7} = 6{,}6\) см.
От \(C = 2\pi r\): \(6{,}6 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot r\), откъдето \(r \approx 6{,}6\cdot\dfrac{7}{44} = 1{,}05\) см.
\(B = \pi r^2 \approx \dfrac{22}{7}\cdot 1{,}1025 = 3{,}465\) кв. см.

15

За прав кръгов конус с обиколка на основата \(C\) и образуваща \(l\) докажете, че \(S = \dfrac{1}{2}C\cdot l\). Пресметнете \(S\), ако \(C = 5\) см и \(l = 4{,}5\) см.

▼

РешениеОт \(C = 2\pi r\) следва \(\pi r = \dfrac{C}{2}\). Тогава \(S = \pi r l = \dfrac{C}{2}\cdot l = \dfrac{1}{2}C\cdot l\).
За \(C = 5\) см и \(l = 4{,}5\) см: \(S = \dfrac{1}{2}\cdot 5\cdot 4{,}5 = 11{,}25\) кв. см.

16

Лицето на околната повърхнина на конус е \(S = 96\) кв. см, а образуващата е \(l = 16\) см. Намерете обиколката \(C\) на основата.

▼

РешениеОт \(S = \dfrac{1}{2}C\cdot l\): \(C = \dfrac{2S}{l} = \dfrac{192}{16} = 12\) см.

17

Два конуса имат равни образуващи и равни лица на повърхнините. Сравнете радиусите им.

▼

РешениеПри една и съща образуваща \(l\) имаме \(S_1 = \pi r(l + r)\). Изразът \(r(l + r)\) нараства, когато \(r\) нараства. Затова, ако лицата на повърхнините са равни, радиусите също трябва да са равни — двата конуса имат равни радиуси.

18

Как ще се промени лицето на околната повърхнина на конус, ако: а) образуващата се умножи по 5, а радиусът се запази; б) радиусът стане равен на една пета от първоначалния, а образуващата се запази; в) образуващата се умножи по 3, а радиусът стане равен на една трета от първоначалния?

▼

РешениеЛицето \(S = \pi r l\) зависи право пропорционално и от \(r\), и от \(l\).
а) Лицето се умножава по 5.
б) Лицето става равно на една пета от първоначалното.
в) Множителят е \(3\cdot\dfrac{1}{3} = 1\) — лицето се запазва.

19

Правоъгълен триъгълник с катети \(a = 2{,}1\) см и \(b = 2{,}8\) см и хипотенуза \(c = 3{,}5\) см е завъртян около катета \(a\). Намерете радиуса \(r\), образуващата \(l\), височината \(h\) и обиколката \(C\) на основата на получения конус. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).

▼

РешениеПри въртенето катетът \(a\) лежи върху оста, значи височината е \(h = a = 2{,}1\) см. Другият катет описва основата: \(r = b = 2{,}8\) см. Хипотенузата описва околната повърхнина: \(l = c = 3{,}5\) см.
Обиколката е \(C = 2\pi r \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 2{,}8 = 17{,}6\) см.

20

Правоъгълен триъгълник с катет 6,3 см и хипотенуза 8,9 см е завъртян около другия си катет. Намерете лицето на повърхнината на полученото ротационно тяло. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).

▼

РешениеПолученото тяло е конус с радиус \(r = 6{,}3\) см и образуваща \(l = 8{,}9\) см.
\(S_1 = \pi r(l + r) \approx \dfrac{22}{7}\cdot 6{,}3\cdot(8{,}9 + 6{,}3) = 19{,}8\cdot 15{,}2 = 300{,}96\) кв. см.

21

Лицето на повърхнината на конус с радиус 12 см е 942 кв. см. Намерете на колко сантиметра е равна образуващата на конуса. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).

▼

РешениеОт \(S_1 = \pi r(l + r)\): \(942 \approx 3{,}14\cdot 12\cdot(l + 12) = 37{,}68\cdot(l + 12)\).
Значи \(l + 12 \approx \dfrac{942}{37{,}68} = 25\), откъдето \(l \approx 13\) см.

22

Лицето на повърхнината на прав кръгов конус е \(96\pi\) кв. см, а лицето на основата му е \(36\pi\) кв. см. Намерете образуващата на конуса.

▼

РешениеОт \(B = \pi r^2 = 36\pi\) следва \(r^2 = 36\). Тъй като \(6^2 = 36\), радиусът е \(r = 6\) см.
Лицето на околната повърхнина е \(S = S_1 - B = 96\pi - 36\pi = 60\pi\) кв. см.
От \(S = \pi r l\): \(60\pi = \pi\cdot 6\cdot l\), откъдето \(l = 10\) см.

23

Павилион има ламаринен покрив с формата на прав кръгов конус с диаметър 3,2 м и образуваща 2 м. Колко флакона боя трябва да се купят за боядисването на външната горна част на покрива, ако за боядисването на 1 кв. м се изразходват 0,35 кг боя, а в един флакон има 0,5 кг боя? Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).

▼

РешениеРадиусът е \(r = 1{,}6\) м. Боядисва се околната повърхнина: \(S = \pi r l \approx 3{,}14\cdot 1{,}6\cdot 2 = 10{,}048\) кв. м.
Необходимата боя е \(m \approx 10{,}048\cdot 0{,}35 = 3{,}5168\) кг.
Броят на флаконите е \(3{,}5168 : 0{,}5 = 7{,}0336\). Следователно трябва да се купят 8 флакона.

24

Петър приготвил за рождения ден на брат си Станислав 12 пъстри картонени шапки с форма на конус с радиус 15 см и с образуваща 25 см. За залепването на всяка шапка предвидил допълнително картон с лице, равно на 4% от лицето на околната повърхнина на шапката. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и пресметнете колко квадратни метра картон е изразходвал Петър за тези шапки. Закръглете отговора до 0,1 кв. м.

▼

РешениеЛицето на околната повърхнина на една шапка е \(S = \pi r l \approx 3{,}14\cdot 15\cdot 25 = 1177{,}5\) кв. см.
С добавката от 4% за една шапка е нужен картон \(\approx 1177{,}5\cdot 1{,}04 = 1224{,}6\) кв. см.
За 12 шапки: \(\approx 12\cdot 1224{,}6 = 14\,695{,}2\) кв. см \(= 1{,}46952\) кв. м \(\approx 1{,}5\) кв. м.

25

Лицето на околната повърхнина на конус се отнася към лицето на основата му както \(9 : 4\). На колко градуса е равен ъгълът на кръговия сектор, който е развивка на околната повърхнина на конуса?

▼

РешениеОтношението е \(\dfrac{S}{B} = \dfrac{\pi r l}{\pi r^2} = \dfrac{l}{r} = \dfrac{9}{4}\), значи \(\dfrac{r}{l} = \dfrac{4}{9}\).
Ъгълът на сектора е \(\alpha = \dfrac{r}{l}\cdot 360^\circ = \dfrac{4}{9}\cdot 360^\circ = 160^\circ\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете в квадратни сантиметри лицето \(S\) на околната повърхнина и лицето \(S_1\) на повърхнината на конус с радиус \(r = 3\) см и образуваща \(l = 5\) см.
Отг.: \(S \approx 3{,}14\cdot 3\cdot 5 = 47{,}1\) кв. см; \(B \approx 3{,}14\cdot 9 = 28{,}26\) кв. см; \(S_1 \approx 75{,}36\) кв. см.

Задача 2Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете \(S\) и \(S_1\) на конус с радиус \(r = 15\) мм и образуваща \(l = 0{,}9\) дм (в квадратни сантиметри).
Отг.: \(r = 1{,}5\) см, \(l = 9\) см; \(S \approx 42{,}39\) кв. см; \(B \approx 7{,}065\) кв. см; \(S_1 \approx 49{,}455\) кв. см.

Задача 3Правоъгълен триъгълник с катети 1,5 дм и 2 дм и хипотенуза 2,5 дм е завъртян около катета с дължина 2 дм. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете лицето на повърхнината на получения конус.
Отг.: \(r = 1{,}5\) дм, \(l = 2{,}5\) дм; \(S_1 \approx 3{,}14\cdot 1{,}5\cdot 4 = 18{,}84\) кв. дм.

Задача 4Обиколката на основата на конус е 6,28 см, а образуващата му е 4 см. Намерете лицето на околната повърхнина, без да пресмятате радиуса.
Отг.: \(S = \frac{1}{2}C\cdot l = \frac{1}{2}\cdot 6{,}28\cdot 4 = 12{,}56\) кв. см.

Задача 5Лицето на околната повърхнина на прав кръгов конус е \(91\pi\) кв. см. Ако образуващата на конуса е \(l = 2{,}6\) дм, намерете радиуса на основата.
Отг.: \(l = 26\) см; от \(91\pi = \pi r\cdot 26\) следва \(r = 3{,}5\) см.

Задача 6Прав кръгов конус има радиус \(r = 6\) см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете лицето на основата \(B\) и обиколката \(C\).
Отг.: \(B \approx 3{,}14\cdot 36 = 113{,}04\) кв. см; \(C \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 6 = 37{,}68\) см.

Задача 7Намерете \(S\), ако \(r = 3{,}5\) см, \(l = 11\) см и \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: \(S \approx \frac{22}{7}\cdot 3{,}5\cdot 11 = 11\cdot 11 = 121\) кв. см.

Задача 8Намерете \(S\), без да пресмятате \(r\), ако \(C = 26{,}4\) см и \(l = 9{,}5\) см.
Отг.: \(S = \frac{1}{2}\cdot 26{,}4\cdot 9{,}5 = 125{,}4\) кв. см.

Задача 9Намерете \(S_1\), ако \(r = 8{,}4\) см, \(l = 15\) см и \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: \(S_1 \approx \frac{22}{7}\cdot 8{,}4\cdot(15 + 8{,}4) = 26{,}4\cdot 23{,}4 = 617{,}76\) кв. см.

Задача 10Намерете \(S_1\) и \(l\), ако \(C = 40{,}82\) см, \(S = 346{,}97\) кв. см и \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: \(r \approx \frac{40{,}82}{6{,}28} = 6{,}5\) см; \(B \approx 132{,}665\) кв. см; \(S_1 \approx 479{,}635\) кв. см; \(l = \frac{2S}{C} \approx 17\) см.

Задача 11Намерете лицето на повърхнината на конус, ако радиусът на основата му е 0,15 дм, а лицето на околната му повърхнина е 4 пъти лицето на основата. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: \(r = 1{,}5\) см; \(S = 4B\), значи \(S_1 = 5B \approx 5\cdot 3{,}14\cdot 2{,}25 = 35{,}325\) кв. см.

Задача 12Лицето на околната повърхнина на конус е 42 кв. дм, а лицето на повърхнината му е 5 пъти лицето на основата. Намерете лицето на повърхнината.
Отг.: От \(S_1 = S + B\) и \(S_1 = 5B\) следва \(S = 4B\), значи \(B = 42 : 4 = 10{,}5\) кв. дм; \(S_1 = 5\cdot 10{,}5 = 52{,}5\) кв. дм.

Задача 13Конус има радиус 4 см и образуваща 10 см. Как се изменя лицето на околната повърхнина, ако образуващата стане последователно 20 см, 30 см и 40 см, а радиусът не се променя?
Отг.: От \(S = \pi r l\): при \(l = 10\): \(40\pi\); при 20: \(80\pi\); при 30: \(120\pi\); при 40: \(160\pi\) кв. см — лицето се умножава по 2, 3 и 4.

Задача 14Конус има образуваща 20 см и радиус 4 см. Как се изменя лицето на околната повърхнина, ако радиусът стане последователно 8 см, 12 см и 16 см, а образуващата не се променя?
Отг.: При \(r = 4\): \(80\pi\); при 8: \(160\pi\); при 12: \(240\pi\); при 16: \(320\pi\) кв. см — лицето се умножава по 2, 3 и 4.

Задача 15Втори прав кръгов конус има радиус \(r^* = 2r\) и образуваща \(l^* = 4l\). Ако лицето на околната повърхнина на първия конус е \(S = 35\) кв. см, пресметнете лицето \(S^*\) на околната повърхнина на втория.
Отг.: Множителят е \(2\cdot 4 = 8\); \(S^* = 8\cdot 35 = 280\) кв. см.

Задача 16Дадени са два конуса с равни образуващи \(l_1 = l_2 = 8\) см и радиуси \(r_1 = 6\) см и \(r_2 = 7\) см. Каква част от лицето на околната повърхнина на втория конус е лицето на околната повърхнина на първия?
Отг.: \(\frac{S^{(1)}}{S^{(2)}} = \frac{\pi\cdot 6\cdot 8}{\pi\cdot 7\cdot 8} = \frac{6}{7}\).

Задача 17Дадени са два конуса с равни радиуси \(r_1 = r_2 = 5\) см и образуващи \(l_1 = 12\) см и \(l_2 = 11\) см. Каква част от лицето на околната повърхнина на първия конус е лицето на околната повърхнина на втория?
Отг.: \(\frac{S^{(2)}}{S^{(1)}} = \frac{11}{12}\).

Задача 18Цилиндър и конус имат равни радиуси на основите и равни образуващи. Докажете, че лицето на околната повърхнина на цилиндъра е 2 пъти лицето на околната повърхнина на конуса.
Отг.: За цилиндъра \(S_{\text{цил}} = 2\pi r l\), а за конуса \(S_{\text{кон}} = \pi r l\). Отношението е \(\frac{2\pi r l}{\pi r l} = 2\).

Задача 19Направени са развивки на цилиндър и конус от картон. За коя от двете развивки е използван повече картон и колко пъти повече, ако радиусът и образуващата на конуса са съответно 2 см и 3 см, а за цилиндъра те са съответно 3 см и 2 см?
Отг.: Конус: \(S_1 = \pi\cdot 2\cdot(3 + 2) = 10\pi\) кв. см. Цилиндър: \(S_1 = 2\pi\cdot 3\cdot(2 + 3) = 30\pi\) кв. см. За цилиндъра е използван 3 пъти повече картон.

Задача 20Намерете лицето на повърхнината на конус с радиус \(r = 5\) дм, ако образуващата е с 20% по-дълга от радиуса (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(l = 1{,}2\cdot 5 = 6\) дм; \(S_1 = \pi\cdot 5\cdot 11 = 55\pi\) кв. дм.

Задача 21Намерете лицето на повърхнината на конус с образуваща \(l = 13\) см, ако \(\frac{2}{3}\) от радиуса му са 8 см (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(r = 8\cdot\frac{3}{2} = 12\) см; \(S_1 = \pi\cdot 12\cdot 25 = 300\pi\) кв. см.

Задача 22Конус има образуваща \(l = 100\) мм и радиус \(r = 99\) мм. Изразете чрез \(\pi\) лицето на повърхнината му в квадратни сантиметри.
Отг.: Превръщаме: \(l = 10\) см, \(r = 9{,}9\) см; \(S_1 = \pi\cdot 9{,}9\cdot 19{,}9 = 197{,}01\pi\) кв. см.

Задача 23Намерете образуващата на конус, за който лицето на основата е \(625\pi\) кв. см, а лицето на повърхнината му е \(1375\pi\) кв. см.
Отг.: От \(r^2 = 625\) и \(25^2 = 625\): \(r = 25\) см; \(S = 1375\pi - 625\pi = 750\pi\); от \(\pi\cdot 25\cdot l = 750\pi\): \(l = 30\) см.

Задача 24Диаметърът на основата на конус е равен на образуващата му. Намерете частното на лицето на околната повърхнина и лицето на основата.
Отг.: \(l = 2r\); \(\frac{S}{B} = \frac{\pi r\cdot 2r}{\pi r^2} = 2\).

Задача 25Диаметърът на основата на конус е равен на образуващата му. Ако лицето на повърхнината е \(48\pi\) кв. см, намерете дължината на образуващата.
Отг.: \(l = 2r\); \(S_1 = \pi r(2r + r) = 3\pi r^2 = 48\pi\Rightarrow r^2 = 16\). Тъй като \(4^2 = 16\): \(r = 4\) см и \(l = 8\) см.

Задача 26Правоъгълен триъгълник с катети 6 см и 8 см и хипотенуза 10 см е завъртян веднъж около по-малкия катет и втори път около по-големия катет. Пресметнете и сравнете лицата на повърхнините на получените конуси (чрез \(\pi\)).
Отг.: Около катета 6: \(r = 8\), \(l = 10\); \(S_1 = \pi\cdot 8\cdot 18 = 144\pi\) кв. см. Около катета 8: \(r = 6\), \(l = 10\); \(S_1 = \pi\cdot 6\cdot 16 = 96\pi\) кв. см. Първият конус има по-голямо лице на повърхнината.

Задача 27Сравнете лицето на околната повърхнина на конус с радиус 3 см и образуваща 0,7 дм с лицето на околната повърхнина на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб 11 см и апотема 3 см. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: Конус: \(S \approx \frac{22}{7}\cdot 3\cdot 7 = 66\) кв. см. Пирамида: \(S = \frac{1}{2}\cdot 44\cdot 3 = 66\) кв. см. Лицата са равни.

Задача 28На колко градуса е равен ъгълът на кръговия сектор, който е развивка на околната повърхнина на конус с: а) \(r = 4\) см и \(l = 10\) см; б) \(r = 9\) см и \(l = 2{,}5\) дм; в) \(l = 4{,}5r\)?
Отг.: а) \(\alpha = \frac{4}{10}\cdot 360^\circ = 144^\circ\); б) \(l = 25\) см, \(\alpha = \frac{9}{25}\cdot 360^\circ = 129{,}6^\circ\); в) \(\alpha = \frac{1}{4{,}5}\cdot 360^\circ = 80^\circ\).

Задача 29Кръгов сектор с ъгъл \(\alpha\) е развивка на околната повърхнина на конус с радиус \(r\) и образуваща \(l\). Намерете: а) \(r\), ако \(l = 12\) см и \(\alpha = 60^\circ\); б) \(l\), ако \(r = 8\) дм и \(\alpha = 160^\circ\).
Отг.: От \(\alpha = \frac{r}{l}\cdot 360^\circ\): а) \(r = 12\cdot\frac{60}{360} = 2\) см; б) \(l = 8\cdot\frac{360}{160} = 18\) дм.

Задача 30Кръгов сектор с ъгъл \(\alpha = 180^\circ\) е развивка на околната повърхнина на конус с радиус \(r = 7\) см. Намерете лицето на околната повърхнина. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: От \(\frac{r}{l} = \frac{180}{360} = \frac{1}{2}\): \(l = 14\) см; \(S \approx \frac{22}{7}\cdot 7\cdot 14 = 308\) кв. см.

---

✅ Онлайн тест

Тест: Прав кръгов конус. Развивка и лице на повърхнина

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Коя е формулата за лице на околната повърхнина на конус?

\(S = 2\pi r l\)\(S = \pi r l\)\(S = \pi r^2 l\)\(S = \pi r h\)

2Лицето на повърхнината на конус е:

\(S_1 = 2\pi r(l + r)\)\(S_1 = \pi r(h + r)\)\(S_1 = \pi r(l + r)\)\(S_1 = \pi l(l + r)\)

3Прав кръгов конус се получава при завъртане на:

правоъгълник около една от страните муправоъгълен триъгълник около хипотенузата муправоъгълен триъгълник около един от катетите муравнобедрен триъгълник около основата му

4За прав кръгов конус образуващата \(l\) и височината \(h\) са:

равни\(l\) е по-дълга от \(h\)\(h\) е по-дълга от \(l\)несравними

5Развивката на конус се състои от:

правоъгълник и два кръгакръгов сектор и кръгтриъгълник и кръгдва кръгови сектора

6Лицето на околната повърхнина на конус с \(r = 2\) см и \(l = 5\) см е:

\(7\pi\) кв. см\(10\pi\) кв. см\(20\pi\) кв. см\(14\pi\) кв. см

7Лицето на повърхнината на конус с \(r = 3\) см и \(l = 7\) см е:

\(21\pi\) кв. см\(30\pi\) кв. см\(63\pi\) кв. см\(10\pi\) кв. см

8Ако \(S = 36\pi\) кв. см и \(r = 4\) см, образуващата е:

8 см9 см12 см6 см

9Ако образуващата се удвои, а радиусът се запази, лицето на околната повърхнина:

се удвоявасе умножава по 4запазва сенамалява наполовина

10Дъгата на кръговия сектор от развивката на конуса е равна на:

образуващатарадиуса на основатаобиколката на основатависочината

11Ако \(C = 10\pi\) см, радиусът на основата е:

10 см2,5 см5 см20 см

12Връзката между \(S_1\), \(S\) и \(B\) е:

\(S_1 = S - B\)\(S_1 = S + B\)\(S_1 = S + 2B\)\(S_1 = 2S + B\)

13Цилиндър и конус имат равни радиуси и равни образуващи. Лицето на околната повърхнина на цилиндъра е:

равно на това на конуса2 пъти това на конуса3 пъти това на конусаедна втора от това на конуса

14Ако лицето на основата на конус е \(49\pi\) кв. см, радиусът е:

49 см24,5 см14 см7 см

15Формулата \(S = \dfrac{1}{2}C\cdot l\) следва от:

\(C = \pi r^2\)\(C = 2\pi r\)\(B = \pi r^2\)\(S_1 = S + B\)

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

🛢️

Обем на цилиндър

Урок за 6. клас — формулите \(V = \pi r^2 h\) и \(V = Bh\), мерни единици за обем и вместимост. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.

Към урока →

📐

Прав кръгов цилиндър. Развивка и лице на повърхнина

Урок за 6. клас — елементи на цилиндъра, развивка и формулите \(S = 2\pi r h\) и \(S_1 = 2\pi r(h + r)\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.

Към урока →

🔺

Пирамида. Развивка и лице на повърхнина

Урок за 6. клас — елементи на пирамидата, развивка и формулите за лице на околната повърхнина и на повърхнината. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆