Обем на цилиндър
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Обем на цилиндър
Обем на цилиндър
Формулите \(V = \pi r^2 h\) и \(V = Bh\), мерни единици за обем и вместимост. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок намираме обема на прав кръгов цилиндър. Ще видим, че формулата е същата като при правата призма — лице на основата по височина — и ще я използваме и в двата ѝ вида: \(V = \pi r^2 h\) и \(V = Bh\). Специално внимание отделяме на мерните единици и на връзката между обем и вместимост. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🧮 Формула за обем на цилиндър
Обемът \(V\) на прав кръгов цилиндър с радиус \(r\), височина \(h\) и лице на една от основите \(B\) се пресмята по формулите:
\[\boxed{\;V = \pi r^2 h\;}\qquad\text{или}\qquad\boxed{\;V = B\cdot h\;}\]
Основата на цилиндъра е кръг с лице \(B = \pi r^2\). Затова двете формули са равносилни — втората е същата като при правата призма: лице на основата по височина. За прав кръгов цилиндър височината \(h\) е равна на образуващата \(l\).
От основната формула получаваме и следствията:
\[h = \dfrac{V}{\pi r^2} = \dfrac{V}{B},\qquad B = \dfrac{V}{h},\qquad r^2 = \dfrac{V}{\pi h}.\]
Мерни единици за обем: \(1\) куб. м \(= 1000\) куб. дм, \(1\) куб. дм \(= 1000\) куб. см. За вместимост: \(1\) литър (л) \(= 1\) куб. дм, тоест \(1\) л \(= 1000\) куб. см и \(1\) куб. м \(= 1000\) л. В задачите често се дава колко тежи \(1\) куб. см или \(1\) куб. дм от даден материал.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Намерете обема на цилиндър с радиус \(r = 2\) м и височина \(h = 3\) м (изразен чрез \(\pi\)).
▼
Решение\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 2^2\cdot 3 = 12\pi\) куб. м.
2
Намерете обема на цилиндър с радиус \(r = 1{,}5\) см и височина \(h = 2\) дм (чрез \(\pi\)).
▼
РешениеПревръщаме височината в сантиметри: \(2\) дм \(= 20\) см.
\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 1{,}5^2\cdot 20 = \pi\cdot 2{,}25\cdot 20 = 45\pi\) куб. см.
\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 1{,}5^2\cdot 20 = \pi\cdot 2{,}25\cdot 20 = 45\pi\) куб. см.
3
Намерете обема на цилиндър с радиус \(r = 15\) см, ако височината му е равна на една трета от радиуса (чрез \(\pi\)).
▼
РешениеВисочината е \(h = 15 : 3 = 5\) см.
\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 225\cdot 5 = 1125\pi\) куб. см.
\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 225\cdot 5 = 1125\pi\) куб. см.
4
Намерете обема на цилиндър в кубични сантиметри, ако лицето на основата е \(B = 42\) кв. см, а височината \(h = 8{,}2\) см.
▼
Решение\(V = B\cdot h = 42\cdot 8{,}2 = 344{,}4\) куб. см.
5
Намерете обема на цилиндър в кубични сантиметри, ако \(B = 6{,}8\) кв. см и \(h = 0{,}095\) м.
▼
РешениеПревръщаме височината: \(0{,}095\) м \(= 9{,}5\) см.
\(V = B\cdot h = 6{,}8\cdot 9{,}5 = 64{,}6\) куб. см.
\(V = B\cdot h = 6{,}8\cdot 9{,}5 = 64{,}6\) куб. см.
6
Намерете обема на цилиндър в кубични сантиметри, ако \(B = 3{,}21\) кв. дм и \(h = 14{,}5\) см.
▼
РешениеПревръщаме лицето: \(3{,}21\) кв. дм \(= 321\) кв. см.
\(V = B\cdot h = 321\cdot 14{,}5 = 4654{,}5\) куб. см.
\(V = B\cdot h = 321\cdot 14{,}5 = 4654{,}5\) куб. см.
7
За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете в кубични сантиметри обема на цилиндър с радиус 6 см и височина 7 см.
▼
Решение\(V = \pi r^2 h \approx \dfrac{22}{7}\cdot 36\cdot 7 = 22\cdot 36 = 792\) куб. см.
8
За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете обема на цилиндър с радиус 2,8 см и височина 10 см.
▼
Решение\(V = \pi r^2 h \approx \dfrac{22}{7}\cdot 2{,}8^2\cdot 10 = \dfrac{22}{7}\cdot 7{,}84\cdot 10 = 22\cdot 1{,}12\cdot 10 = 246{,}4\) куб. см.
9
За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете в кубични сантиметри обема на цилиндър с радиус 15 мм и височина 1,4 дм.
▼
РешениеПревръщаме: \(15\) мм \(= 1{,}5\) см, \(1{,}4\) дм \(= 14\) см.
\(V \approx \dfrac{22}{7}\cdot 2{,}25\cdot 14 = 22\cdot 2{,}25\cdot 2 = 99\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{22}{7}\cdot 2{,}25\cdot 14 = 22\cdot 2{,}25\cdot 2 = 99\) куб. см.
10
За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете в кубични дециметри обема на цилиндър с диаметър 10 см и височина 2 дм.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 5\) см \(= 0{,}5\) дм, а височината \(h = 2\) дм.
\(V = \pi r^2 h \approx 3{,}14\cdot 0{,}25\cdot 2 = 1{,}57\) куб. дм.
\(V = \pi r^2 h \approx 3{,}14\cdot 0{,}25\cdot 2 = 1{,}57\) куб. дм.
11
За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете в кубични дециметри обема на цилиндър с диаметър 5 дм и височина 1,6 м.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 2{,}5\) дм, а височината \(h = 16\) дм.
\(V \approx 3{,}14\cdot 6{,}25\cdot 16 = 314\) куб. дм.
\(V \approx 3{,}14\cdot 6{,}25\cdot 16 = 314\) куб. дм.
12
Батерия с цилиндрична форма има дължина 50 мм и диаметър 14 мм. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете обема на батерията в кубични сантиметри.
▼
РешениеПревръщаме: дължина (височина) \(h = 5\) см, диаметър \(1{,}4\) см, значи \(r = 0{,}7\) см.
\(V = \pi r^2 h \approx \dfrac{22}{7}\cdot 0{,}49\cdot 5 = 22\cdot 0{,}07\cdot 5 = 7{,}7\) куб. см.
\(V = \pi r^2 h \approx \dfrac{22}{7}\cdot 0{,}49\cdot 5 = 22\cdot 0{,}07\cdot 5 = 7{,}7\) куб. см.
13
Намерете радиуса \(r\) на цилиндър с височина 2 дм и обем \(V = 32\pi\) куб. дм.
▼
РешениеОт \(V = \pi r^2 h\): \(32\pi = \pi r^2\cdot 2\), значи \(r^2 = 16\). Тъй като \(4^2 = 16\), радиусът е \(r = 4\) дм.
14
Намерете височината на цилиндър, ако \(r = 4\) см и \(V = 32\pi\) куб. см.
▼
РешениеОт \(V = \pi r^2 h\): \(32\pi = \pi\cdot 16\cdot h\), откъдето \(h = 2\) см.
15
Намерете височината на цилиндър с обем \(V = 24\) куб. см и диаметър на основата 4 см. Изразете отговора чрез \(\pi\).
▼
РешениеРадиусът е \(r = 2\) см, значи \(B = \pi r^2 = 4\pi\) кв. см.
\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{24}{4\pi} = \dfrac{6}{\pi}\) см.
\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{24}{4\pi} = \dfrac{6}{\pi}\) см.
16
Намерете лицето на основата на цилиндър, ако \(V = 8750\) куб. см, а \(h = 7\) см.
▼
Решение\(B = \dfrac{V}{h} = \dfrac{8750}{7} = 1250\) кв. см.
17
Намерете височината на цилиндър, ако \(V = 8750\) куб. см, а лицето на основата е 2,5 кв. дм.
▼
РешениеПревръщаме: \(2{,}5\) кв. дм \(= 250\) кв. см.
\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{8750}{250} = 35\) см.
\(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{8750}{250} = 35\) см.
18
За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) цилиндър има лице на основата \(B = 154\) кв. см и обем \(V = 1617\) куб. см. Намерете: а) височината \(h\); б) радиуса \(r\).
▼
Решениеа) \(h = \dfrac{V}{B} = \dfrac{1617}{154} = 10{,}5\) см.
б) От \(B = \pi r^2\): \(154 \approx \dfrac{22}{7}\cdot r^2\), значи \(r^2 \approx 154\cdot\dfrac{7}{22} = 49\). Тъй като \(7^2 = 49\), радиусът е \(r \approx 7\) см.
б) От \(B = \pi r^2\): \(154 \approx \dfrac{22}{7}\cdot r^2\), значи \(r^2 \approx 154\cdot\dfrac{7}{22} = 49\). Тъй като \(7^2 = 49\), радиусът е \(r \approx 7\) см.
19
Обемът на цилиндър с образуваща 30 см е \(750\pi\) куб. см. Намерете: а) радиуса на цилиндъра; б) лицето на една от основите за \(\pi \approx 3{,}14\).
▼
РешениеЗа прав кръгов цилиндър височината е равна на образуващата: \(h = 30\) см.
а) От \(V = \pi r^2 h\): \(750\pi = \pi r^2\cdot 30\), значи \(r^2 = 25\). Тъй като \(5^2 = 25\), радиусът е \(r = 5\) см.
б) \(B = \pi r^2 \approx 3{,}14\cdot 25 = 78{,}5\) кв. см.
а) От \(V = \pi r^2 h\): \(750\pi = \pi r^2\cdot 30\), значи \(r^2 = 25\). Тъй като \(5^2 = 25\), радиусът е \(r = 5\) см.
б) \(B = \pi r^2 \approx 3{,}14\cdot 25 = 78{,}5\) кв. см.
20
Вместимостта на съд с форма на цилиндър е 8478 л. Ако радиусът на цилиндъра е 3 м, намерете височината на съда в метри (\(\pi \approx 3{,}14\)).
▼
РешениеПревръщаме вместимостта в кубични метри: \(8478\) л \(= 8478\) куб. дм \(= 8{,}478\) куб. м.
От \(V = \pi r^2 h\): \(8{,}478 \approx 3{,}14\cdot 9\cdot h = 28{,}26h\), откъдето \(h \approx 0{,}3\) м.
От \(V = \pi r^2 h\): \(8{,}478 \approx 3{,}14\cdot 9\cdot h = 28{,}26h\), откъдето \(h \approx 0{,}3\) м.
21
Правоъгълник с какви измерения трябва да се завърти около едната си страна, за да се получи цилиндър с: а) радиус 5 см и обем 973,4 куб. см (\(\pi \approx 3{,}14\)); б) образуваща 14 см и обем 1100 куб. см (\(\pi \approx \dfrac{22}{7}\))?
▼
РешениеПри въртенето дължината на страната, около която завъртаме, е равна на височината, а другата страна — на радиуса.
а) От \(V = \pi r^2 h\): \(973{,}4 \approx 3{,}14\cdot 25\cdot h = 78{,}5h\), откъдето \(h \approx 12{,}4\) см. Правоъгълникът е с измерения приблизително 5 см и 12,4 см.
б) Височината е \(h = l = 14\) см. От \(1100 \approx \dfrac{22}{7}\cdot r^2\cdot 14 = 44r^2\) намираме \(r^2 \approx 25\), значи \(r \approx 5\) см. Правоъгълникът е с измерения приблизително 5 см и 14 см.
а) От \(V = \pi r^2 h\): \(973{,}4 \approx 3{,}14\cdot 25\cdot h = 78{,}5h\), откъдето \(h \approx 12{,}4\) см. Правоъгълникът е с измерения приблизително 5 см и 12,4 см.
б) Височината е \(h = l = 14\) см. От \(1100 \approx \dfrac{22}{7}\cdot r^2\cdot 14 = 44r^2\) намираме \(r^2 \approx 25\), значи \(r \approx 5\) см. Правоъгълникът е с измерения приблизително 5 см и 14 см.
22
Аквариум с формата на цилиндър има височина 56 см и радиус на дъното 3,5 дм. Водата в него заема 75% от вместимостта му. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и пресметнете колко литра вода има в аквариума. Колко най-много рибки могат да се отглеждат в него, ако за една рибка са необходими 3,5 л вода?
▼
РешениеПревръщаме: \(r = 3{,}5\) дм \(= 35\) см.
Обемът на аквариума е \(V = \pi r^2 h \approx \dfrac{22}{7}\cdot 1225\cdot 56 = 22\cdot 175\cdot 56 = 215\,600\) куб. см.
Водата заема 75%: \(V_{\text{вода}} \approx 0{,}75\cdot 215\,600 = 161\,700\) куб. см \(= 161{,}7\) л.
Броят на рибките е най-много \(161{,}7 : 3{,}5 = 46{,}2\). Следователно в аквариума могат да се отглеждат най-много 46 рибки.
Обемът на аквариума е \(V = \pi r^2 h \approx \dfrac{22}{7}\cdot 1225\cdot 56 = 22\cdot 175\cdot 56 = 215\,600\) куб. см.
Водата заема 75%: \(V_{\text{вода}} \approx 0{,}75\cdot 215\,600 = 161\,700\) куб. см \(= 161{,}7\) л.
Броят на рибките е най-много \(161{,}7 : 3{,}5 = 46{,}2\). Следователно в аквариума могат да се отглеждат най-много 46 рибки.
23
Воденичен камък с цилиндрична форма има диаметър 1,12 м и височина 30 см. В средата на камъка има отвор с формата на цилиндър с радиус 0,7 дм. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) пресметнете колко килограма тежи воденичният камък, ако един кубичен метър от скалата, от която е изработен, тежи 2,25 т. (Закръглете отговора с точност до 1 кг.)
▼
РешениеПревръщаме всичко в сантиметри: \(R = 56\) см, \(h = 30\) см, \(r = 7\) см.
Обем на камъка без отвора: \(V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h(R^2 - r^2) \approx \dfrac{22}{7}\cdot 30\cdot(3136 - 49) = \dfrac{22}{7}\cdot 30\cdot 3087 = 22\cdot 30\cdot 441 = 291\,060\) куб. см.
Превръщаме: \(V \approx 0{,}29106\) куб. м.
Тегло: \(m \approx 0{,}29106\cdot 2{,}25 = 0{,}654885\) т \(\approx 654{,}885\) кг \(\approx 655\) кг.
Обем на камъка без отвора: \(V = \pi R^2 h - \pi r^2 h = \pi h(R^2 - r^2) \approx \dfrac{22}{7}\cdot 30\cdot(3136 - 49) = \dfrac{22}{7}\cdot 30\cdot 3087 = 22\cdot 30\cdot 441 = 291\,060\) куб. см.
Превръщаме: \(V \approx 0{,}29106\) куб. м.
Тегло: \(m \approx 0{,}29106\cdot 2{,}25 = 0{,}654885\) т \(\approx 654{,}885\) кг \(\approx 655\) кг.
24
Желязно парче има формата на половин цилиндър с диаметър 12 см и дължина 14 см. По цялата му дължина е изрязана и отстранена част с формата на половин цилиндър с диаметър 6 см. а) За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) пресметнете колко килограма тежи изработената машинна част, ако 1 куб. см желязо тежи 7,8 г. Закръглете отговора до 0,01 кг. б) Намерете каква част от материала на първоначалното парче желязо е отстранена.
▼
РешениеРадиусите са \(R = 6\) см и \(r = 3\) см, дължината \(h = 14\) см.
а) Обемът на машинната част е половината от обема на тръбовиден цилиндър: \(V = \dfrac{1}{2}\pi h(R^2 - r^2) \approx \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 14\cdot(36 - 9) = 22\cdot 27 = 594\) куб. см.
Тегло: \(m \approx 594\cdot 7{,}8 = 4633{,}2\) г \(= 4{,}6332\) кг \(\approx 4{,}63\) кг.
б) Обемът на цялото парче (половин цилиндър с \(R = 6\)): \(V_0 = \dfrac{1}{2}\pi R^2 h\). Отстраненият обем е \(\dfrac{1}{2}\pi r^2 h\). Частта е \(\dfrac{r^2}{R^2} = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\) от материала.
а) Обемът на машинната част е половината от обема на тръбовиден цилиндър: \(V = \dfrac{1}{2}\pi h(R^2 - r^2) \approx \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 14\cdot(36 - 9) = 22\cdot 27 = 594\) куб. см.
Тегло: \(m \approx 594\cdot 7{,}8 = 4633{,}2\) г \(= 4{,}6332\) кг \(\approx 4{,}63\) кг.
б) Обемът на цялото парче (половин цилиндър с \(R = 6\)): \(V_0 = \dfrac{1}{2}\pi R^2 h\). Отстраненият обем е \(\dfrac{1}{2}\pi r^2 h\). Частта е \(\dfrac{r^2}{R^2} = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\) от материала.
25
Цилиндър има лице на околната повърхнина \(S = 324\pi\) кв. см и лице на повърхнината \(S_1 = 486\pi\) кв. см. Изразете чрез \(\pi\) обема \(V\) на цилиндъра в кубични сантиметри.
▼
РешениеОт \(S_1 = S + 2B\) намираме лицата на двете основи: \(2B = S_1 - S = 486\pi - 324\pi = 162\pi\), значи \(B = 81\pi\) кв. см.
От \(B = \pi r^2 = 81\pi\) следва \(r^2 = 81\). Тъй като \(9^2 = 81\), радиусът е \(r = 9\) см.
От \(S = 2\pi r h\): \(324\pi = 2\pi\cdot 9\cdot h = 18\pi h\), откъдето \(h = 18\) см.
\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 81\cdot 18 = 1458\pi\) куб. см.
От \(B = \pi r^2 = 81\pi\) следва \(r^2 = 81\). Тъй като \(9^2 = 81\), радиусът е \(r = 9\) см.
От \(S = 2\pi r h\): \(324\pi = 2\pi\cdot 9\cdot h = 18\pi h\), откъдето \(h = 18\) см.
\(V = \pi r^2 h = \pi\cdot 81\cdot 18 = 1458\pi\) куб. см.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете обема на цилиндър с радиус \(r = 5\) см и височина \(h = 8\) см (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(V = \pi\cdot 25\cdot 8 = 200\pi\) куб. см.
Отг.: \(V = \pi\cdot 25\cdot 8 = 200\pi\) куб. см.
Задача 2Намерете обема на цилиндър с радиус \(r = 20\) см, ако дължината на радиуса е \(\frac{3}{8}\) от дължината на височината (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(h = 20\cdot\frac{8}{3} = \frac{160}{3}\) см; \(V = \pi\cdot 400\cdot\frac{160}{3} = \frac{64\,000}{3}\pi\) куб. см.
Отг.: \(h = 20\cdot\frac{8}{3} = \frac{160}{3}\) см; \(V = \pi\cdot 400\cdot\frac{160}{3} = \frac{64\,000}{3}\pi\) куб. см.
Задача 3Страната на квадрат с лице 36 кв. дм е 6 дм. Намерете обема на цилиндър, чиито радиус и височина са съответно 7% и 0,03 от дължината на тази страна (чрез \(\pi\), в кубични сантиметри).
Отг.: \(r = 0{,}07\cdot 60 = 4{,}2\) см; \(h = 0{,}03\cdot 60 = 1{,}8\) см; \(V = \pi\cdot 17{,}64\cdot 1{,}8 = 31{,}752\pi\) куб. см.
Отг.: \(r = 0{,}07\cdot 60 = 4{,}2\) см; \(h = 0{,}03\cdot 60 = 1{,}8\) см; \(V = \pi\cdot 17{,}64\cdot 1{,}8 = 31{,}752\pi\) куб. см.
Задача 4Намерете височината на цилиндър, ако \(V\), измерен в кубични сантиметри, е равен на \(\frac{3}{2}\pi\), а дължината на радиуса е 8% от 10 см.
Отг.: \(r = 0{,}8\) см; \(\frac{3}{2}\pi = \pi\cdot 0{,}64\cdot h\Rightarrow h = \frac{3}{2\cdot 0{,}64} = 2{,}34375\) см.
Отг.: \(r = 0{,}8\) см; \(\frac{3}{2}\pi = \pi\cdot 0{,}64\cdot h\Rightarrow h = \frac{3}{2\cdot 0{,}64} = 2{,}34375\) см.
Задача 5Колко трябва да е височината на цилиндричен съд за вода, за който се изисква да има диаметър на основата 14 дм и да събира 616 литра вода (1 куб. дм = 1 л)? За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: \(r = 7\) дм; \(B \approx \frac{22}{7}\cdot 49 = 154\) кв. дм; \(h \approx \frac{616}{154} = 4\) дм.
Отг.: \(r = 7\) дм; \(B \approx \frac{22}{7}\cdot 49 = 154\) кв. дм; \(h \approx \frac{616}{154} = 4\) дм.
Задача 6Водна кула има форма на цилиндър, висок 7 м. Околната ѝ повърхнина е 176 кв. м. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете колко литра вода събира кулата, ако се напълни догоре.
Отг.: От \(S = 2\pi r h\): \(176 \approx \frac{44}{7}\cdot 7\cdot r = 44r\Rightarrow r \approx 4\) м; \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 16\cdot 7 = 352\) куб. м \(= 352\,000\) л.
Отг.: От \(S = 2\pi r h\): \(176 \approx \frac{44}{7}\cdot 7\cdot r = 44r\Rightarrow r \approx 4\) м; \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 16\cdot 7 = 352\) куб. м \(= 352\,000\) л.
Задача 7При построяването на една сграда е необходимо да се излеят 6 еднакви колони с форма на цилиндър. Колко кубически метра бетон са необходими, ако обиколката на всяка колона е 132 см и височината ѝ е 4 м? За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: От \(C = 2\pi r = 132\): \(r \approx 21\) см \(= 0{,}21\) м; \(V_1 \approx \frac{22}{7}\cdot 0{,}0441\cdot 4 = 0{,}5544\) куб. м; общо \(6\cdot 0{,}5544 \approx 3{,}33\) куб. м.
Отг.: От \(C = 2\pi r = 132\): \(r \approx 21\) см \(= 0{,}21\) м; \(V_1 \approx \frac{22}{7}\cdot 0{,}0441\cdot 4 = 0{,}5544\) куб. м; общо \(6\cdot 0{,}5544 \approx 3{,}33\) куб. м.
Задача 8Сравнете обемите на два цилиндъра, ако лицето на основата и височината на първия са съответно 154 кв. см и 3 см, а вторият има радиус 5 см и височина \(5\frac{22}{25}\) см. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: \(V_1 = 154\cdot 3 = 462\) куб. см; \(V_2 \approx \frac{22}{7}\cdot 25\cdot\frac{147}{25} = 22\cdot 21 = 462\) куб. см — обемите са равни.
Отг.: \(V_1 = 154\cdot 3 = 462\) куб. см; \(V_2 \approx \frac{22}{7}\cdot 25\cdot\frac{147}{25} = 22\cdot 21 = 462\) куб. см — обемите са равни.
Задача 9Колко килограма тежи медна цилиндрична тръба с външен радиус 12 см, вътрешен радиус 10 см и дължина 2 м, ако 1 куб. см мед тежи 8,9 г? За \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: \(V \approx 3{,}14\cdot 200\cdot(144 - 100) = 3{,}14\cdot 200\cdot 44 = 27\,632\) куб. см; тегло \(\approx 27\,632\cdot 8{,}9 = 245\,924{,}8\) г \(\approx 245{,}9\) кг.
Отг.: \(V \approx 3{,}14\cdot 200\cdot(144 - 100) = 3{,}14\cdot 200\cdot 44 = 27\,632\) куб. см; тегло \(\approx 27\,632\cdot 8{,}9 = 245\,924{,}8\) г \(\approx 245{,}9\) кг.
Задача 10Как ще се измени обемът на цилиндър, ако радиусът стане равен на една трета от първоначалния, а височината остане непроменена?
Отг.: \(V = \pi r^2 h\); множителят е \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) — обемът става равен на една девета от първоначалния.
Отг.: \(V = \pi r^2 h\); множителят е \(\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\) — обемът става равен на една девета от първоначалния.
Задача 11Как ще се измени обемът на цилиндър, ако височината се удвои, а радиусът остане непроменен?
Отг.: Обемът се удвоява.
Отг.: Обемът се удвоява.
Задача 12Как ще се измени обемът на цилиндър, ако лицето на основата му се умножи по 5, а височината остане непроменена?
Отг.: \(V = Bh\) — обемът се умножава по 5.
Отг.: \(V = Bh\) — обемът се умножава по 5.
Задача 13Как ще се измени обемът на цилиндър, ако височината се умножи по 5, а радиусът се намали 5 пъти?
Отг.: Множителят е \(5\cdot\frac{1}{25} = \frac{1}{5}\) — обемът става равен на една пета от първоначалния.
Отг.: Множителят е \(5\cdot\frac{1}{25} = \frac{1}{5}\) — обемът става равен на една пета от първоначалния.
Задача 14Намерете обема на цилиндър, ако радиусът му е 5 см, а дължината на височината е с 2,5% по-голяма от радиуса (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(h = 1{,}025\cdot 5 = 5{,}125\) см; \(V = \pi\cdot 25\cdot 5{,}125 = 128{,}125\pi\) куб. см.
Отг.: \(h = 1{,}025\cdot 5 = 5{,}125\) см; \(V = \pi\cdot 25\cdot 5{,}125 = 128{,}125\pi\) куб. см.
Задача 15Лицето на основата на цилиндър е равно на лицето на квадрат със страна 2,3 см, а височината му е 1,7 дм. Намерете обема му.
Отг.: \(B = 5{,}29\) кв. см; \(h = 17\) см; \(V = 5{,}29\cdot 17 = 89{,}93\) куб. см.
Отг.: \(B = 5{,}29\) кв. см; \(h = 17\) см; \(V = 5{,}29\cdot 17 = 89{,}93\) куб. см.
Задача 16Лицето на основата на цилиндър е 2 пъти лицето на правоъгълен триъгълник с катети 3 см и 4 см, а височината му в сантиметри е най-голямото двуцифрено число. Намерете обема му.
Отг.: \(B = 2\cdot 6 = 12\) кв. см; \(h = 99\) см; \(V = 12\cdot 99 = 1188\) куб. см.
Отг.: \(B = 2\cdot 6 = 12\) кв. см; \(h = 99\) см; \(V = 12\cdot 99 = 1188\) куб. см.
Задача 17Цилиндричен съд с вместимост 21 литра има лице на основата 1400 кв. см. На какво разстояние от дъното на съда е нивото на водата, заемаща \(\frac{2}{3}\) от обема му?
Отг.: \(V_{\text{вода}} = \frac{2}{3}\cdot 21\,000 = 14\,000\) куб. см; \(h = \frac{14\,000}{1400} = 10\) см.
Отг.: \(V_{\text{вода}} = \frac{2}{3}\cdot 21\,000 = 14\,000\) куб. см; \(h = \frac{14\,000}{1400} = 10\) см.
Задача 18Метален съд с форма на цилиндър има вместимост 63 л и лице на дъното 3150 кв. см. На какво разстояние от дъното на съда е нивото на водата, ако тя заема \(\frac{4}{5}\) от обема на съда?
Отг.: \(V_{\text{вода}} = \frac{4}{5}\cdot 63\,000 = 50\,400\) куб. см; \(h = \frac{50\,400}{3150} = 16\) см.
Отг.: \(V_{\text{вода}} = \frac{4}{5}\cdot 63\,000 = 50\,400\) куб. см; \(h = \frac{50\,400}{3150} = 16\) см.
Задача 19В цилиндрична шахта с вода е изпуснат скален блок с форма на куб с дължина на ръба 1 м, който е изцяло потопен във водата. Радиусът на основата на шахтата е 2 м, а нивото на водата след изпускането на блока станало 3,5 м, като водата не е излязла от шахтата. Колко литра вода има в шахтата? Изразете чрез \(\pi\) и за \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: Обем до нивото: \(\pi\cdot 4\cdot 3{,}5 = 14\pi\) куб. м; вода \(= 14\pi - 1\) куб. м \(\approx 42{,}96\) куб. м \(= 42\,960\) л.
Отг.: Обем до нивото: \(\pi\cdot 4\cdot 3{,}5 = 14\pi\) куб. м; вода \(= 14\pi - 1\) куб. м \(\approx 42{,}96\) куб. м \(= 42\,960\) л.
Задача 20Диаметърът на цилиндър е равен на височината му. Лицето на повърхнината на цилиндъра е \(\frac{3}{2}\pi\) кв. см. Намерете обема на цилиндъра.
Отг.: \(h = 2r\); \(S_1 = 2\pi r(h + r) = 6\pi r^2 = \frac{3}{2}\pi\Rightarrow r^2 = \frac{1}{4}\), значи \(r = \frac{1}{2}\) см (защото \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)); \(h = 1\) см; \(V = \pi\cdot\frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{\pi}{4}\) куб. см.
Отг.: \(h = 2r\); \(S_1 = 2\pi r(h + r) = 6\pi r^2 = \frac{3}{2}\pi\Rightarrow r^2 = \frac{1}{4}\), значи \(r = \frac{1}{2}\) см (защото \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)); \(h = 1\) см; \(V = \pi\cdot\frac{1}{4}\cdot 1 = \frac{\pi}{4}\) куб. см.
Задача 21Силоз за съхраняване на зърно има форма на цилиндър с височина 6,3 м и радиус 2,5 м. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете най-много колко тона зърно могат да се насипят в силоза, ако зърното не бива да заема повече от 80% от вместимостта му, а 1 куб. дм зърно тежи 540 г.
Отг.: \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 6{,}25\cdot 6{,}3 = 123{,}75\) куб. м; 80%: \(\approx 99\) куб. м \(= 99\,000\) куб. дм; тегло \(\approx 99\,000\cdot 0{,}54 = 53\,460\) кг \(= 53{,}46\) т.
Отг.: \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 6{,}25\cdot 6{,}3 = 123{,}75\) куб. м; 80%: \(\approx 99\) куб. м \(= 99\,000\) куб. дм; тегло \(\approx 99\,000\cdot 0{,}54 = 53\,460\) кг \(= 53{,}46\) т.
Задача 22За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете лицето на повърхнината на цилиндър с обем 3140 куб. см и образуваща 10 см.
Отг.: \(B = \frac{3140}{10} = 314\) кв. см; \(r^2 \approx 100\Rightarrow r \approx 10\) см; \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 10\cdot 20 = 1256\) кв. см.
Отг.: \(B = \frac{3140}{10} = 314\) кв. см; \(r^2 \approx 100\Rightarrow r \approx 10\) см; \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 10\cdot 20 = 1256\) кв. см.
Задача 23За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете лицето на повърхнината на цилиндър с обем 628 куб. дм и образуваща 0,8 м.
Отг.: \(h = 8\) дм; \(B = \frac{628}{8} = 78{,}5\) кв. дм; \(r^2 \approx 25\Rightarrow r \approx 5\) дм; \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 13 = 408{,}2\) кв. дм.
Отг.: \(h = 8\) дм; \(B = \frac{628}{8} = 78{,}5\) кв. дм; \(r^2 \approx 25\Rightarrow r \approx 5\) дм; \(S_1 \approx 2\cdot 3{,}14\cdot 5\cdot 13 = 408{,}2\) кв. дм.
Задача 24Цилиндрично парче восък с радиус 8 см и височина 15 см и друго цилиндрично парче восък с радиус 10 см и височина 6,4 см са претопени и от восъка е отлято ново цилиндрично парче с диаметър 40 см. Приемете, че при претопяването няма загуба на материал. Намерете височината на получения цилиндър.
Отг.: \(V = \pi(64\cdot 15 + 100\cdot 6{,}4) = \pi\cdot 1600\) куб. см; новият радиус е 20 см: \(\pi\cdot 400\cdot h = 1600\pi\Rightarrow h = 4\) см.
Отг.: \(V = \pi(64\cdot 15 + 100\cdot 6{,}4) = \pi\cdot 1600\) куб. см; новият радиус е 20 см: \(\pi\cdot 400\cdot h = 1600\pi\Rightarrow h = 4\) см.
Задача 25Цилиндър е получен при въртене на правоъгълник със страни \(a\) и \(b\) около страната \(b\). За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете обема на цилиндъра, ако \(a\) е с 2 см по-дълга от \(b\) и периметърът на правоъгълника е 16 см.
Отг.: \(a + b = 8\), \(a = b + 2\Rightarrow b = 3\) см, \(a = 5\) см; при въртене около \(b\): \(h = 3\) см, \(r = 5\) см; \(V \approx 3{,}14\cdot 25\cdot 3 = 235{,}5\) куб. см.
Отг.: \(a + b = 8\), \(a = b + 2\Rightarrow b = 3\) см, \(a = 5\) см; при въртене около \(b\): \(h = 3\) см, \(r = 5\) см; \(V \approx 3{,}14\cdot 25\cdot 3 = 235{,}5\) куб. см.
Задача 26Цилиндър е получен при въртене на правоъгълник със страни \(a\) и \(b\) около страната \(b\). За \(\pi \approx 3{,}14\) намерете обема на цилиндъра, ако \(a\) е два пъти по-дълга от \(b\) и периметърът на правоъгълника е 30 см.
Отг.: \(a + b = 15\), \(a = 2b\Rightarrow b = 5\) см, \(a = 10\) см; \(h = 5\) см, \(r = 10\) см; \(V \approx 3{,}14\cdot 100\cdot 5 = 1570\) куб. см.
Отг.: \(a + b = 15\), \(a = 2b\Rightarrow b = 5\) см, \(a = 10\) см; \(h = 5\) см, \(r = 10\) см; \(V \approx 3{,}14\cdot 100\cdot 5 = 1570\) куб. см.
Задача 27Правоъгълник с измерения \(a = 21\) см и \(b = 8\) см е завъртян около една от по-дългите си страни. Изразете чрез \(\pi\) обема на полученото ротационно тяло в кубични сантиметри.
Отг.: Около по-дългата страна: \(h = 21\) см, \(r = 8\) см; \(V = \pi\cdot 64\cdot 21 = 1344\pi\) куб. см.
Отг.: Около по-дългата страна: \(h = 21\) см, \(r = 8\) см; \(V = \pi\cdot 64\cdot 21 = 1344\pi\) куб. см.
Задача 28Цилиндър с радиус \(r_1\) и височина \(h_1\) има обем \(V_1 = 600\) куб. см. Намерете обема \(V_2\) на цилиндър с радиус \(r_2 = 3r_1\) и височина \(h_2 = \frac{1}{3}h_1\).
Отг.: Множителят е \(9\cdot\frac{1}{3} = 3\); \(V_2 = 3\cdot 600 = 1800\) куб. см.
Отг.: Множителят е \(9\cdot\frac{1}{3} = 3\); \(V_2 = 3\cdot 600 = 1800\) куб. см.
Задача 29За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) пресметнете колко килограма тежат 200 м арматурно желязо с форма на цилиндър с диаметър 14 мм, ако 1 куб. см от това желязо тежи 7,8 г.
Отг.: \(r = 0{,}7\) см, \(h = 20\,000\) см; \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 0{,}49\cdot 20\,000 = 30\,800\) куб. см; тегло \(\approx 30\,800\cdot 7{,}8 = 240\,240\) г \(\approx 240{,}24\) кг.
Отг.: \(r = 0{,}7\) см, \(h = 20\,000\) см; \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 0{,}49\cdot 20\,000 = 30\,800\) куб. см; тегло \(\approx 30\,800\cdot 7{,}8 = 240\,240\) г \(\approx 240{,}24\) кг.
Задача 30Мраморна колона има формата на цилиндър с диаметър 56 см и височина 3 м. За \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) намерете: а) колко килограма тежи тази колона, ако 1 куб. дм мрамор тежи 2,75 кг; б) колко тона тежат 8 такива колони, като закръглите отговора до 0,1 т.
Отг.: \(r = 2{,}8\) дм, \(h = 30\) дм; \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 7{,}84\cdot 30 = 739{,}2\) куб. дм; а) \(\approx 739{,}2\cdot 2{,}75 = 2032{,}8\) кг; б) \(\approx 8\cdot 2032{,}8 = 16\,262{,}4\) кг \(\approx 16{,}3\) т.
Отг.: \(r = 2{,}8\) дм, \(h = 30\) дм; \(V \approx \frac{22}{7}\cdot 7{,}84\cdot 30 = 739{,}2\) куб. дм; а) \(\approx 739{,}2\cdot 2{,}75 = 2032{,}8\) кг; б) \(\approx 8\cdot 2032{,}8 = 16\,262{,}4\) кг \(\approx 16{,}3\) т.
✅ Онлайн тест
Тест: Обем на цилиндър
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя е формулата за обем на прав кръгов цилиндър?
2Обемът на цилиндър чрез лицето на основата \(B\) е:
3Обемът на цилиндър с \(r = 2\) см и \(h = 5\) см е:
4Ако \(B = 30\) кв. см и \(h = 4\) см, обемът е:
51 литър е равен на:
6Ако \(V = 100\pi\) куб. см и \(r = 5\) см, височината е:
7Ако \(V = 84\) куб. см и \(h = 7\) см, лицето на основата е:
8Ако радиусът се удвои, а височината остане непроменена, обемът:
9Ако височината се удвои, а радиусът остане непроменен, обемът:
10На колко кубични сантиметра е равен 1 куб. дм?
11За прав кръгов цилиндър височината \(h\) и образуващата \(l\) са:
12Ако \(V = 32\pi\) куб. дм и \(h = 2\) дм, то \(r^2\) е равно на:
13Обемът на цилиндър с диаметър 6 см и височина 10 см е:
14Съд с вместимост 5 л събира:
15Формулата \(V = Bh\) важи и за:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
🛢️
Прав кръгов цилиндър. Развивка и лице на повърхнина
Урок за 6. клас — елементи на цилиндъра, развивка и формулите \(S = 2\pi r h\) и \(S_1 = 2\pi r(h + r)\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🔻
Обем на пирамида
Урок за 6. клас — формулата \(V = \tfrac{1}{3}Bh\) и следствията \(B = \tfrac{3V}{h}\), \(h = \tfrac{3V}{B}\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🧱
Обем на права призма
Урок за 6. клас — формулата \(V = Bh\) при различни основи и мерните единици за обем. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар