Обем на конус
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Обем на конус
Обем на конус
Формулите \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\) и \(V = \frac{1}{3}Bh\) и връзката с обема на цилиндъра. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок намираме обема на прав кръгов конус. Формулата отново е „лице на основата по височина“, но с множител една трета — същия, който познаваме от обема на пирамидата. Ще видим и връзката с цилиндъра: цилиндър и конус с равни радиуси и равни височини имат обеми, които се отнасят както \(3 : 1\). След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🧮 Формула за обем на конус
Обемът \(V\) на прав кръгов конус с радиус \(r\), височина \(h\) и лице на основата \(B\) се пресмята по формулите:
\[\boxed{\;V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\;}\qquad\text{или}\qquad\boxed{\;V = \dfrac{1}{3}B\cdot h\;}\]
Основата на конуса е кръг с лице \(B = \pi r^2\), затова двете формули са равносилни. Множителят \(\dfrac{1}{3}\) е същият като при пирамидата: \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) важи и за двете тела.
Цилиндър и конус с равни радиуси и равни височини имат обеми
\(V_{\text{цил}} = \pi r^2 h\) и \(V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\), тоест
\[V_{\text{цил}} = 3\,V_{\text{кон}}.\]
От основната формула получаваме и следствията:
\[h = \dfrac{3V}{\pi r^2} = \dfrac{3V}{B},\qquad B = \dfrac{3V}{h},\qquad r^2 = \dfrac{3V}{\pi h}.\]
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Намерете в кубични сантиметри обема на конус с лице на основата \(B = 45\) кв. см и височина \(h = 8{,}4\) см.
▼
Решение\(V = \dfrac{1}{3}B\cdot h = \dfrac{1}{3}\cdot 45\cdot 8{,}4 = 15\cdot 8{,}4 = 126\) куб. см.
2
Намерете в кубични сантиметри обема на конус с \(B = 1{,}8\) кв. см и \(h = 0{,}035\) м.
▼
РешениеПревръщаме височината: \(0{,}035\) м \(= 3{,}5\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 1{,}8\cdot 3{,}5 = 0{,}6\cdot 3{,}5 = 2{,}1\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 1{,}8\cdot 3{,}5 = 0{,}6\cdot 3{,}5 = 2{,}1\) куб. см.
3
Намерете в кубични сантиметри обема на конус с \(B = 2{,}58\) кв. дм и \(h = 12{,}5\) см.
▼
РешениеПревръщаме лицето: \(2{,}58\) кв. дм \(= 258\) кв. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 258\cdot 12{,}5 = 86\cdot 12{,}5 = 1075\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 258\cdot 12{,}5 = 86\cdot 12{,}5 = 1075\) куб. см.
4
Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете в кубични сантиметри обема на конус с радиус 9 см и височина 7 см.
▼
Решение\(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 81\cdot 7 = \dfrac{1}{3}\cdot 22\cdot 81 = 594\) куб. см.
5
Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете обема на конус с радиус 21 мм и височина 2 дм (в кубични сантиметри).
▼
РешениеПревръщаме: \(r = 2{,}1\) см, \(h = 20\) см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 4{,}41\cdot 20 = \dfrac{1}{3}\cdot 22\cdot 0{,}63\cdot 20 = 92{,}4\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 4{,}41\cdot 20 = \dfrac{1}{3}\cdot 22\cdot 0{,}63\cdot 20 = 92{,}4\) куб. см.
6
Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете обема на конус с диаметър 70 мм и височина 15 см.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 35\) мм \(= 3{,}5\) см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 12{,}25\cdot 15 = \dfrac{1}{3}\cdot 22\cdot 1{,}75\cdot 15 = 192{,}5\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 12{,}25\cdot 15 = \dfrac{1}{3}\cdot 22\cdot 1{,}75\cdot 15 = 192{,}5\) куб. см.
7
Изразете чрез \(\pi\) обема на конус с радиус \(r = 1\) см и височина \(h = 2{,}5\) см.
▼
Решение\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 1\cdot 2{,}5 = \dfrac{2{,}5}{3}\pi = \dfrac{5}{6}\pi\) куб. см.
8
Изразете чрез \(\pi\) обема на конус с радиус \(r = 2{,}2\) дм и височина \(h = 30\) мм (в кубични дециметри).
▼
РешениеПревръщаме: \(h = 30\) мм \(= 0{,}3\) дм.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 4{,}84\cdot 0{,}3 = 0{,}484\pi\) куб. дм.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 4{,}84\cdot 0{,}3 = 0{,}484\pi\) куб. дм.
9
Изразете чрез \(\pi\) обема на конус с радиус \(r = 3\) см, ако височината му е равна на 2 пъти радиуса.
▼
Решение\(h = 2\cdot 3 = 6\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 6 = 18\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 6 = 18\pi\) куб. см.
10
Изразете чрез \(\pi\) обема на конус с височина \(h = 8\) см и радиус \(r = 1{,}5h\).
▼
Решение\(r = 1{,}5\cdot 8 = 12\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 144\cdot 8 = 384\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 144\cdot 8 = 384\pi\) куб. см.
11
Изразете чрез \(\pi\) обема на конус с радиус \(r = 6\) см, ако 20% от височината му са \(\dfrac{1}{2}\) см.
▼
РешениеВисочината е \(h = \dfrac{1}{2} : 0{,}2 = 2{,}5\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 2{,}5 = 30\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 36\cdot 2{,}5 = 30\pi\) куб. см.
12
Намерете височината \(h\) на конус, ако \(V = 12{,}5\pi\) куб. см, а \(r = 2{,}5\) см.
▼
РешениеОт \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\): \(12{,}5\pi = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 6{,}25\cdot h\), значи \(h = \dfrac{3\cdot 12{,}5}{6{,}25} = 6\) см.
13
Намерете лицето на основата на конус с обем 14 куб. м и височина 2,5 м.
▼
Решение\(B = \dfrac{3V}{h} = \dfrac{3\cdot 14}{2{,}5} = \dfrac{42}{2{,}5} = 16{,}8\) кв. м.
14
Намерете обема на конус с височина 4 дм и лице на основата 2 кв. см.
▼
РешениеПревръщаме: \(h = 4\) дм \(= 40\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 40 = \dfrac{80}{3} = 26\dfrac{2}{3}\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{3}\cdot 2\cdot 40 = \dfrac{80}{3} = 26\dfrac{2}{3}\) куб. см.
15
Намерете радиуса на основата на конус, ако \(h = 12\) дм, а \(V = 36\pi\) куб. дм.
▼
РешениеОт \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\): \(36\pi = \dfrac{1}{3}\pi r^2\cdot 12 = 4\pi r^2\), значи \(r^2 = 9\). Тъй като \(3^2 = 9\), радиусът е \(r = 3\) дм.
16
Намерете обема на конус с обиколка на основата 30,8 см и височина, равна на 2 пъти радиуса му. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и закръглете отговора до 0,1 куб. см.
▼
РешениеОт \(C = 2\pi r\): \(30{,}8 \approx 2\cdot\dfrac{22}{7}\cdot r = \dfrac{44}{7}r\), откъдето \(r \approx 30{,}8\cdot\dfrac{7}{44} = 4{,}9\) см и \(h \approx 9{,}8\) см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 4{,}9^2\cdot 9{,}8 = \dfrac{1}{3}\cdot 75{,}46\cdot 9{,}8 \approx 246{,}5\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{22}{7}\cdot 4{,}9^2\cdot 9{,}8 = \dfrac{1}{3}\cdot 75{,}46\cdot 9{,}8 \approx 246{,}5\) куб. см.
17
Строителен работник притежава оловен конусовиден отвес с радиус 3 см и височина 1 дм. Намерете теглото на отвеса, ако 1 куб. см олово тежи 11,34 г. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,01 кг.
▼
РешениеВисочината е \(h = 1\) дм \(= 10\) см.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 10 = 30\pi \approx 94{,}2\) куб. см.
Теглото е \(m \approx 94{,}2\cdot 11{,}34 = 1068{,}228\) г \(\approx 1{,}07\) кг.
\(V = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 10 = 30\pi \approx 94{,}2\) куб. см.
Теглото е \(m \approx 94{,}2\cdot 11{,}34 = 1068{,}228\) г \(\approx 1{,}07\) кг.
18
Радиусите на основите и височините на цилиндър и конус са съответно равни. Проверете вярно ли е, че обемът на цилиндъра е равен на 3 пъти обема на конуса.
▼
РешениеЗа цилиндъра \(V_{\text{цил}} = \pi r^2 h\), а за конуса \(V_{\text{кон}} = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\).
Частното е \(\dfrac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \dfrac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3}\pi r^2 h} = 3\). Твърдението е вярно.
Частното е \(\dfrac{V_{\text{цил}}}{V_{\text{кон}}} = \dfrac{\pi r^2 h}{\frac{1}{3}\pi r^2 h} = 3\). Твърдението е вярно.
19
Как ще се измени обемът на конус, ако: а) радиусът се умножи по 3, а височината се запази; б) височината се умножи по 2, а радиусът се запази; в) радиусът се умножи по 3, а височината стане равна на една трета от първоначалната; г) радиусът стане равен на една четвърт от първоначалния, а височината се умножи по 16?
▼
РешениеОбемът \(V = \dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) зависи от \(r^2\) и от \(h\).
а) Множителят е \(3^2 = 9\) — обемът се умножава по 9.
б) Обемът се удвоява.
в) Множителят е \(9\cdot\dfrac{1}{3} = 3\) — обемът се умножава по 3.
г) Множителят е \(\dfrac{1}{16}\cdot 16 = 1\) — обемът се запазва.
а) Множителят е \(3^2 = 9\) — обемът се умножава по 9.
б) Обемът се удвоява.
в) Множителят е \(9\cdot\dfrac{1}{3} = 3\) — обемът се умножава по 3.
г) Множителят е \(\dfrac{1}{16}\cdot 16 = 1\) — обемът се запазва.
20
Прав кръгов конус има обем \(V_1 = 45\) куб. см. Ако височината на конуса се умножи по 6, а радиусът на основата му се умножи по 2, ще се получи конус с обем \(V_2\). Намерете \(V_2\) в кубични дециметри.
▼
РешениеМножителят е \(2^2\cdot 6 = 24\).
\(V_2 = 24\cdot 45 = 1080\) куб. см \(= 1{,}08\) куб. дм.
\(V_2 = 24\cdot 45 = 1080\) куб. см \(= 1{,}08\) куб. дм.
21
Марина купила молив с форма на цилиндър с диаметър на основата 0,8 см и височина 18 см. След това тя го подострила с острилка. Общата дължина на молива останала 18 см, но в единия край той приел формата на конус с височина 1,5 см. Колко е обемът на частта от молива, която е „отнета“ от острилката (изразен чрез \(\pi\))? Колко процента от първоначалния обем на молива е „отнетата“ част? Закръглете до 0,1%.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 0{,}4\) см.
„Отнетата“ част е разликата между цилиндричното парче с височина 1,5 см и конуса със същата височина: \(V = \pi\cdot 0{,}16\cdot 1{,}5 - \dfrac{1}{3}\pi\cdot 0{,}16\cdot 1{,}5 = \dfrac{2}{3}\pi\cdot 0{,}16\cdot 1{,}5 = 0{,}16\pi\) куб. см.
Първоначалният обем на молива е \(\pi\cdot 0{,}16\cdot 18 = 2{,}88\pi\) куб. см.
Частта е \(\dfrac{0{,}16\pi}{2{,}88\pi} = \dfrac{1}{18} \approx 5{,}6\%\).
„Отнетата“ част е разликата между цилиндричното парче с височина 1,5 см и конуса със същата височина: \(V = \pi\cdot 0{,}16\cdot 1{,}5 - \dfrac{1}{3}\pi\cdot 0{,}16\cdot 1{,}5 = \dfrac{2}{3}\pi\cdot 0{,}16\cdot 1{,}5 = 0{,}16\pi\) куб. см.
Първоначалният обем на молива е \(\pi\cdot 0{,}16\cdot 18 = 2{,}88\pi\) куб. см.
Частта е \(\dfrac{0{,}16\pi}{2{,}88\pi} = \dfrac{1}{18} \approx 5{,}6\%\).
22
Намерете обема на тристепенна ракета, върхът на която е конусообразен. Първата степен е цилиндър с диаметър на основата 3 м и височина 4 м; втората степен също е цилиндър с диаметър на основата 2 м и височина 3 м; третата степен е с диаметър 1,5 м и височина 2 м, а конусовидният връх има височина 0,5 м. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и закръглете отговора до 0,01 куб. м.
▼
РешениеПърва степен: \(V_1 = \pi\cdot 1{,}5^2\cdot 4 = 9\pi\); втора: \(V_2 = \pi\cdot 1^2\cdot 3 = 3\pi\); трета: \(V_3 = \pi\cdot 0{,}75^2\cdot 2 = 1{,}125\pi\) куб. м.
Върхът е конус с радиус 0,75 м и височина 0,5 м: \(V_4 = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 0{,}5625\cdot 0{,}5 = 0{,}09375\pi\) куб. м.
Общо: \(V = (9 + 3 + 1{,}125 + 0{,}09375)\pi = 13{,}21875\pi \approx 13{,}21875\cdot\dfrac{22}{7} \approx 41{,}54\) куб. м.
Върхът е конус с радиус 0,75 м и височина 0,5 м: \(V_4 = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 0{,}5625\cdot 0{,}5 = 0{,}09375\pi\) куб. м.
Общо: \(V = (9 + 3 + 1{,}125 + 0{,}09375)\pi = 13{,}21875\pi \approx 13{,}21875\cdot\dfrac{22}{7} \approx 41{,}54\) куб. м.
23
Прав кръгов конус с диаметър на основата 56 см и с височина 30 см, изработен от цветно стъкло, се обработва. Първо откъм основата на конуса се издълбават два прави кръгови конуса, като всеки от тях е с радиус на основата 6,3 см, но единият е с височина 8,1 см, а другият е с височина 11,2 см. След това се отрязва горната част на конуса, която представлява прав кръгов конус с радиус 7 см. Обемът на полученото тяло е равен на \(7462{,}161\pi\) куб. см. Намерете на колко сантиметра е равна височината на отрязаната горна част на стъкления конус.
▼
РешениеОбемът на целия конус е \(V_0 = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 28^2\cdot 30 = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 784\cdot 30 = 7840\pi\) куб. см.
Двата издълбани конуса имат общ обем \(\dfrac{1}{3}\pi\cdot 6{,}3^2\cdot(8{,}1 + 11{,}2) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 39{,}69\cdot 19{,}3 = 255{,}339\pi\) куб. см.
За отрязаната горна част с височина \(x\) остава: \(\dfrac{1}{3}\pi\cdot 7^2\cdot x = 7840\pi - 255{,}339\pi - 7462{,}161\pi = 122{,}5\pi\).
Значи \(\dfrac{49}{3}x = 122{,}5\), откъдето \(x = \dfrac{3\cdot 122{,}5}{49} = 7{,}5\) см.
Двата издълбани конуса имат общ обем \(\dfrac{1}{3}\pi\cdot 6{,}3^2\cdot(8{,}1 + 11{,}2) = \dfrac{1}{3}\pi\cdot 39{,}69\cdot 19{,}3 = 255{,}339\pi\) куб. см.
За отрязаната горна част с височина \(x\) остава: \(\dfrac{1}{3}\pi\cdot 7^2\cdot x = 7840\pi - 255{,}339\pi - 7462{,}161\pi = 122{,}5\pi\).
Значи \(\dfrac{49}{3}x = 122{,}5\), откъдето \(x = \dfrac{3\cdot 122{,}5}{49} = 7{,}5\) см.
24
В цилиндричен съд с радиус 5 см и височина 30 см е налята вода до определена височина. Когато върху дъното на съда поставим конус с основата надолу, с радиус 4 см и височина 30 см, водата се покачва точно до горния ръб на съда. Намерете височината на първоначалното ниво на водата.
▼
РешениеКогато конусът е в съда, водата запълва пространството между стените и конуса. Обемът на водата е: \(V_{\text{вода}} = \pi\cdot 25\cdot 30 - \dfrac{1}{3}\pi\cdot 16\cdot 30 = 750\pi - 160\pi = 590\pi\) куб. см.
Първоначалното ниво \(h\) удовлетворява \(\pi\cdot 25\cdot h = 590\pi\), откъдето \(h = \dfrac{590}{25} = 23{,}6\) см.
Първоначалното ниво \(h\) удовлетворява \(\pi\cdot 25\cdot h = 590\pi\), откъдето \(h = \dfrac{590}{25} = 23{,}6\) см.
25
Намерете колко кубически дециметра олово са необходими за отливането на тяло, което представлява цилиндър с два отделни кухи конусовидни отвора. Диаметърът на цилиндричната част е 4 дм, а височината ѝ е 7 дм. Всеки от двата конуса има радиус 1 дм и височина 7 дм (конусите са кухи). Изразете отговора чрез \(\pi\) и за \(\pi \approx 3{,}14\) го закръглете до 0,01 куб. дм.
▼
РешениеОбемът на цилиндъра е \(\pi\cdot 2^2\cdot 7 = 28\pi\) куб. дм.
Всеки кух конус има обем \(\dfrac{1}{3}\pi\cdot 1\cdot 7 = \dfrac{7}{3}\pi\) куб. дм; двата заедно: \(\dfrac{14}{3}\pi\) куб. дм.
Необходимото олово е \(V = 28\pi - \dfrac{14}{3}\pi = \dfrac{70}{3}\pi \approx \dfrac{70}{3}\cdot 3{,}14 \approx 73{,}27\) куб. дм.
Всеки кух конус има обем \(\dfrac{1}{3}\pi\cdot 1\cdot 7 = \dfrac{7}{3}\pi\) куб. дм; двата заедно: \(\dfrac{14}{3}\pi\) куб. дм.
Необходимото олово е \(V = 28\pi - \dfrac{14}{3}\pi = \dfrac{70}{3}\pi \approx \dfrac{70}{3}\cdot 3{,}14 \approx 73{,}27\) куб. дм.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете: а) лицето на основата на конус с обем 314 куб. см и височина 10 см; б) височината на конус с обем 102,05 куб. дм и лице на основата 15 кв. дм.
Отг.: а) \(B = \frac{3\cdot 314}{10} = 94{,}2\) кв. см; б) \(h = \frac{3\cdot 102{,}05}{15} = 20{,}41\) дм.
Отг.: а) \(B = \frac{3\cdot 314}{10} = 94{,}2\) кв. см; б) \(h = \frac{3\cdot 102{,}05}{15} = 20{,}41\) дм.
Задача 2Намерете обема на конус, ако обиколката на основата му е 12,56 см, а височината му е равна на 3 пъти диаметъра на основата. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: \(r \approx \frac{12{,}56}{6{,}28} = 2\) см, \(d \approx 4\) см, \(h \approx 12\) см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 4\cdot 12 = 50{,}24\) куб. см.
Отг.: \(r \approx \frac{12{,}56}{6{,}28} = 2\) см, \(d \approx 4\) см, \(h \approx 12\) см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 4\cdot 12 = 50{,}24\) куб. см.
Задача 3Конус има лице на основата \(B = 113{,}04\) кв. см и обем \(V = 565{,}2\) куб. см. Намерете: а) височината \(h\) на конуса; б) радиуса \(r\) на основата. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: а) \(h = \frac{3\cdot 565{,}2}{113{,}04} = 15\) см; б) \(r^2 \approx \frac{113{,}04}{3{,}14} = 36\), значи \(r \approx 6\) см (тъй като \(6^2 = 36\)).
Отг.: а) \(h = \frac{3\cdot 565{,}2}{113{,}04} = 15\) см; б) \(r^2 \approx \frac{113{,}04}{3{,}14} = 36\), значи \(r \approx 6\) см (тъй като \(6^2 = 36\)).
Задача 4Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете диаметъра \(d\) и дължината \(C\) на окръжността на основата на конус с обем 677,6 куб. см и височина 132 мм.
Отг.: \(h = 13{,}2\) см; \(r^2 \approx \frac{3\cdot 677{,}6\cdot 7}{22\cdot 13{,}2} = 49\Rightarrow r \approx 7\) см; \(d \approx 14\) см; \(C \approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 7 = 44\) см.
Отг.: \(h = 13{,}2\) см; \(r^2 \approx \frac{3\cdot 677{,}6\cdot 7}{22\cdot 13{,}2} = 49\Rightarrow r \approx 7\) см; \(d \approx 14\) см; \(C \approx 2\cdot\frac{22}{7}\cdot 7 = 44\) см.
Задача 5Вместимостта на съд с форма на конус е 1884 л. Радиусът на конуса е 1,5 м. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете височината на съда.
Отг.: \(1884\) л \(= 1{,}884\) куб. м; \(h = \frac{3\cdot 1{,}884}{3{,}14\cdot 2{,}25} = \frac{5{,}652}{7{,}065} = 0{,}8\) м.
Отг.: \(1884\) л \(= 1{,}884\) куб. м; \(h = \frac{3\cdot 1{,}884}{3{,}14\cdot 2{,}25} = \frac{5{,}652}{7{,}065} = 0{,}8\) м.
Задача 6В куб с ръб 7 см е изрязан отвор с формата на прав кръгов конус с диаметър на основата 6 см. Височината на конуса е равна на \(\frac{2}{3}\) от ръба на куба. Намерете обема на полученото тяло. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
Отг.: \(h = \frac{14}{3}\) см; \(V_{\text{кон}} \approx \frac{1}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 9\cdot\frac{14}{3} = 44\) куб. см; тяло: \(343 - 44 = 299\) куб. см.
Отг.: \(h = \frac{14}{3}\) см; \(V_{\text{кон}} \approx \frac{1}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 9\cdot\frac{14}{3} = 44\) куб. см; тяло: \(343 - 44 = 299\) куб. см.
Задача 7За промишлени нужди се събира смола от иглолистни дървета, като към тях се закрепват чашки, всяка от които има форма на конус с диаметър 10 см и височина 12 см. Най-много колко такива чашки трябва да се напълнят и да се излеят в съд с вместимост 20 л така, че смолата да не прелива от него? Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: \(V_{\text{чашка}} \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 25\cdot 12 = 314\) куб. см; \(20\) л \(= 20\,000\) куб. см; \(20\,000 : 314 \approx 63{,}7\), значи най-много 63 чашки.
Отг.: \(V_{\text{чашка}} \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 25\cdot 12 = 314\) куб. см; \(20\) л \(= 20\,000\) куб. см; \(20\,000 : 314 \approx 63{,}7\), значи най-много 63 чашки.
Задача 8Правоъгълен триъгълник с катети \(a = 9\) см и \(b = 6\) см е завъртян около катета \(a\) и е получен конус \(K_1\) с обем \(V_1\), а след това е завъртян около катета \(b\) и е получен конус \(K_2\) с обем \(V_2\). Приемете \(\pi \approx 3{,}14\), намерете и сравнете по големина \(V_1\) и \(V_2\).
Отг.: \(V_1 \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 36\cdot 9 = 339{,}12\) куб. см; \(V_2 \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 81\cdot 6 = 508{,}68\) куб. см; \(V_2 > V_1\).
Отг.: \(V_1 \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 36\cdot 9 = 339{,}12\) куб. см; \(V_2 \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 81\cdot 6 = 508{,}68\) куб. см; \(V_2 > V_1\).
Задача 9В дървен детайл с форма на правилна четириъгълна призма с основен ръб 10 см и височина 21 см е изрязан отвор с форма на прав кръгов конус с диаметър на основата, равен на основния ръб на призмата, и височина, равна на височината на призмата. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и намерете: а) обема на изрязания материал; б) с колко процента се е намалил обемът на дървения детайл след изрязването на конуса, като закръглите отговора с точност до 0,1%.
Отг.: а) \(V_{\text{кон}} \approx \frac{1}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 25\cdot 21 = 550\) куб. см; б) \(V_{\text{призма}} = 100\cdot 21 = 2100\) куб. см; \(\frac{550}{2100} \approx 26{,}2\%\).
Отг.: а) \(V_{\text{кон}} \approx \frac{1}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 25\cdot 21 = 550\) куб. см; б) \(V_{\text{призма}} = 100\cdot 21 = 2100\) куб. см; \(\frac{550}{2100} \approx 26{,}2\%\).
Задача 10За коледното тържество на 6.а клас в сладкарница „Наслада“ изработили торта във вид на конус с диаметър 24 см и височина 35 см. Колко килограма тежи тортата, ако 1 куб. дм от нея тежи 450 г? Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора с точност до 0,1 кг.
Отг.: \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 144\cdot 35 = 5275{,}2\) куб. см \(= 5{,}2752\) куб. дм; \(m \approx 5{,}2752\cdot 450 = 2373{,}84\) г \(\approx 2{,}4\) кг.
Отг.: \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 144\cdot 35 = 5275{,}2\) куб. см \(= 5{,}2752\) куб. дм; \(m \approx 5{,}2752\cdot 450 = 2373{,}84\) г \(\approx 2{,}4\) кг.
Задача 11Прав кръгов конус има височина \(h\), равна на обиколката \(C\) на основата му. Изразете: а) обема \(V\) на конуса чрез \(\pi\) и чрез радиуса \(r\) на основата; б) лицето \(B\) на основата на конуса чрез \(\pi\) и чрез височината \(h\).
Отг.: а) \(h = 2\pi r\Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi r^2\cdot 2\pi r = \frac{2}{3}\pi^2 r^3\); б) \(r = \frac{h}{2\pi}\Rightarrow B = \pi r^2 = \frac{h^2}{4\pi}\).
Отг.: а) \(h = 2\pi r\Rightarrow V = \frac{1}{3}\pi r^2\cdot 2\pi r = \frac{2}{3}\pi^2 r^3\); б) \(r = \frac{h}{2\pi}\Rightarrow B = \pi r^2 = \frac{h^2}{4\pi}\).
Задача 12Тяло се състои от два прави кръгови конуса с обща основа с диаметър \(d = 2r\). Височината на по-малкия конус е равна на \(r\), а височината на по-големия е равна на \(h\), като \(r + h = c\). Образуващата на по-малкия конус е \(l_1\), а на по-големия \(l_2\), като \(l_1 + l_2 = l\). Изразете: а) обема на тялото чрез \(d\) и \(c\); б) лицето на повърхнината на тялото чрез \(d\) и \(l\).
Отг.: а) \(V = \frac{1}{3}\pi r^2(r + h) = \frac{1}{3}\pi r^2 c = \frac{\pi d^2 c}{12}\); б) \(S = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r l = \frac{\pi d l}{2}\).
Отг.: а) \(V = \frac{1}{3}\pi r^2(r + h) = \frac{1}{3}\pi r^2 c = \frac{\pi d^2 c}{12}\); б) \(S = \pi r l_1 + \pi r l_2 = \pi r l = \frac{\pi d l}{2}\).
Задача 13Конус с лице на околната повърхнина \(135\pi\) кв. см има образуваща \(l = 15\) см и височина \(h\). Ако \(h : l = 4 : 5\), изразете чрез \(\pi\) обема на конуса в кубични сантиметри.
Отг.: \(r = \frac{135\pi}{\pi\cdot 15} = 9\) см; \(h = 15\cdot\frac{4}{5} = 12\) см; \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 81\cdot 12 = 324\pi\) куб. см.
Отг.: \(r = \frac{135\pi}{\pi\cdot 15} = 9\) см; \(h = 15\cdot\frac{4}{5} = 12\) см; \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 81\cdot 12 = 324\pi\) куб. см.
Задача 14Правоъгълен триъгълник е завъртян около катета \(a\), втори път около катета \(b\) и накрая — около хипотенузата \(c\). Какви тела се получават при тези завъртания?
Отг.: Около всеки от катетите се получава прав кръгов конус. Около хипотенузата се получава тяло от два прави кръгови конуса с обща основа.
Отг.: Около всеки от катетите се получава прав кръгов конус. Около хипотенузата се получава тяло от два прави кръгови конуса с обща основа.
Задача 15В остроъгълен триъгълник \(ABC\) е построена височината \(CC_1\) (точка \(C_1\) лежи върху страната \(AB\)). Този триъгълник е завъртян около \(AB\). Какво тяло се получава при това завъртане? Ако \(AB = 5\) см и \(CC_1 = 3\) см, намерете обема на полученото тяло. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: Получават се два конуса с обща основа с радиус \(CC_1 = 3\) см и сбор от височините \(AB = 5\) см. \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 5 = 15\pi \approx 47{,}1\) куб. см.
Отг.: Получават се два конуса с обща основа с радиус \(CC_1 = 3\) см и сбор от височините \(AB = 5\) см. \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 9\cdot 5 = 15\pi \approx 47{,}1\) куб. см.
Задача 16Трапец има бедро \(c\), перпендикулярно на основите му \(a\) и \(b\) (\(a > b\)). Сравнете обемите на телата, получени при завъртането на трапеца съответно около голямата основа \(a\) и около малката основа \(b\).
Отг.: Около \(a\): цилиндър + конус, \(V_a = \frac{1}{3}\pi c^2(a + 2b)\). Около \(b\): цилиндър без конус, \(V_b = \frac{1}{3}\pi c^2(2a + b)\). Понеже \(a > b\), \(V_b > V_a\).
Отг.: Около \(a\): цилиндър + конус, \(V_a = \frac{1}{3}\pi c^2(a + 2b)\). Около \(b\): цилиндър без конус, \(V_b = \frac{1}{3}\pi c^2(2a + b)\). Понеже \(a > b\), \(V_b > V_a\).
Задача 17Конус има радиус \(r = 1\) см. Пресметнете обема му чрез \(\pi\) при височина 3 см, 6 см, 9 см и 12 см. Колко пъти се увеличава обемът на конуса, ако радиусът му се запази, а височината му се увеличи два, три или четири пъти?
Отг.: \(V = \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi\) куб. см — обемът се увеличава съответно 2, 3 и 4 пъти.
Отг.: \(V = \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi\) куб. см — обемът се увеличава съответно 2, 3 и 4 пъти.
Задача 18Конус има височина \(h = 3\) см. Пресметнете обема му чрез \(\pi\) при радиус 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Колко пъти се увеличава обемът на конуса, ако височината му се запази, а радиусът му се увеличи два, три или четири пъти?
Отг.: \(V = \pi,\ 4\pi,\ 9\pi,\ 16\pi\) куб. см — обемът се увеличава съответно 4, 9 и 16 пъти.
Отг.: \(V = \pi,\ 4\pi,\ 9\pi,\ 16\pi\) куб. см — обемът се увеличава съответно 4, 9 и 16 пъти.
Задача 19Пресметнете обема на конус с радиус \(r = 2\) см, ако \(\dfrac{2}{7}\) от височината му са 22 см (чрез \(\pi\)).
Отг.: \(h = 22\cdot\frac{7}{2} = 77\) см; \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 4\cdot 77 = \frac{308}{3}\pi\) куб. см.
Отг.: \(h = 22\cdot\frac{7}{2} = 77\) см; \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 4\cdot 77 = \frac{308}{3}\pi\) куб. см.
Задача 20Пресметнете обема на конус с височина \(h = 8\) см, ако радиусът му е с 5% по-малък от височината. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,01 куб. см.
Отг.: \(r = 0{,}95\cdot 8 = 7{,}6\) см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 57{,}76\cdot 8 \approx 483{,}64\) куб. см.
Отг.: \(r = 0{,}95\cdot 8 = 7{,}6\) см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 57{,}76\cdot 8 \approx 483{,}64\) куб. см.
Задача 21Пресметнете обема на конус с радиус \(r = 3{,}8\) см, ако радиусът е 20% от височината. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,01 куб. см.
Отг.: \(h = 3{,}8 : 0{,}2 = 19\) см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 14{,}44\cdot 19 \approx 287{,}16\) куб. см.
Отг.: \(h = 3{,}8 : 0{,}2 = 19\) см; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot 14{,}44\cdot 19 \approx 287{,}16\) куб. см.
Задача 22Цилиндър и конус имат равни радиуси и равни обеми. Намерете отношението \(h_{\text{кон}} : h_{\text{цил}}\).
Отг.: От \(\pi r^2 h_{\text{цил}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{\text{кон}}\) следва \(h_{\text{кон}} = 3h_{\text{цил}}\), тоест \(h_{\text{кон}} : h_{\text{цил}} = 3\).
Отг.: От \(\pi r^2 h_{\text{цил}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h_{\text{кон}}\) следва \(h_{\text{кон}} = 3h_{\text{цил}}\), тоест \(h_{\text{кон}} : h_{\text{цил}} = 3\).
Задача 23Височината на прав кръгов конус е умножена по 5, а радиусът на основата му е намален 3 пъти. В резултат на това е получен конус с обем 30 куб. см. Намерете обема на изходния конус.
Отг.: Множителят е \(\frac{1}{9}\cdot 5 = \frac{5}{9}\); изходният обем е \(30\cdot\frac{9}{5} = 54\) куб. см.
Отг.: Множителят е \(\frac{1}{9}\cdot 5 = \frac{5}{9}\); изходният обем е \(30\cdot\frac{9}{5} = 54\) куб. см.
Задача 24Конус с обем \(V\) куб. см е получен при завъртането на правоъгълния триъгълник \(OAS\) с лице \(S^{*}\) кв. см и катет \(OA = r\) см около катета му \(OS\). а) Докажете, че \(V = \dfrac{2}{3}\pi S^{*} r\). б) Намерете \(V\), ако \(S^{*} = 10{,}5\) кв. см и \(r = 3\) см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
Отг.: а) \(S^{*} = \frac{1}{2}r h\Rightarrow rh = 2S^{*}\); \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r\cdot rh = \frac{2}{3}\pi S^{*} r\). б) \(V \approx \frac{2}{3}\cdot 3{,}14\cdot 10{,}5\cdot 3 = 65{,}94\) куб. см.
Отг.: а) \(S^{*} = \frac{1}{2}r h\Rightarrow rh = 2S^{*}\); \(V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi r\cdot rh = \frac{2}{3}\pi S^{*} r\). б) \(V \approx \frac{2}{3}\cdot 3{,}14\cdot 10{,}5\cdot 3 = 65{,}94\) куб. см.
Задача 25Даден е прав кръгов конус с връх \(C\), с височина \(CO = 31{,}4\) см и с диаметър на основата \(AB\). Обемът на конуса в кубични сантиметри и лицето на триъгълника \(ABC\) в квадратни сантиметри се изразяват с едно и също число. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете обема на този конус в кубични сантиметри.
Отг.: От \(\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 31{,}4 = \frac{1}{2}\cdot 2r\cdot 31{,}4\) следва \(\frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot r \approx 1\), значи \(r \approx \frac{3}{3{,}14}\) см; \(V \approx 31{,}4\cdot\frac{3}{3{,}14} = 30\) куб. см.
Отг.: От \(\frac{1}{3}\pi r^2\cdot 31{,}4 = \frac{1}{2}\cdot 2r\cdot 31{,}4\) следва \(\frac{1}{3}\cdot 3{,}14\cdot r \approx 1\), значи \(r \approx \frac{3}{3{,}14}\) см; \(V \approx 31{,}4\cdot\frac{3}{3{,}14} = 30\) куб. см.
Задача 26Изразете чрез \(\pi\) в кубични сантиметри обема на конус с височина 2,4 дм и с дължина на окръжността на основата му \(20\pi\) см.
Отг.: \(r = 10\) см, \(h = 24\) см; \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 100\cdot 24 = 800\pi\) куб. см.
Отг.: \(r = 10\) см, \(h = 24\) см; \(V = \frac{1}{3}\pi\cdot 100\cdot 24 = 800\pi\) куб. см.
Задача 27Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\). Намерете обема на конус с диаметър 2,8 дм и височина 0,33 м (в кубични дециметри).
Отг.: \(r = 1{,}4\) дм, \(h = 3{,}3\) дм; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 1{,}96\cdot 3{,}3 = 6{,}776\) куб. дм.
Отг.: \(r = 1{,}4\) дм, \(h = 3{,}3\) дм; \(V \approx \frac{1}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 1{,}96\cdot 3{,}3 = 6{,}776\) куб. дм.
Задача 28Правоъгълен триъгълник с катети \(a\) и \(b\) е завъртян веднъж около катета \(a\) и втори път около катета \(b\). Докажете, че отношението на обемите на получените конуси е \(\dfrac{V_a}{V_b} = \dfrac{b}{a}\).
Отг.: \(V_a = \frac{1}{3}\pi b^2 a\), \(V_b = \frac{1}{3}\pi a^2 b\); \(\frac{V_a}{V_b} = \frac{b^2 a}{a^2 b} = \frac{b}{a}\).
Отг.: \(V_a = \frac{1}{3}\pi b^2 a\), \(V_b = \frac{1}{3}\pi a^2 b\); \(\frac{V_a}{V_b} = \frac{b^2 a}{a^2 b} = \frac{b}{a}\).
Задача 29Колко пъти се увеличава обемът на конус, ако радиусът му се умножи по 5, а височината му се умножи по 3?
Отг.: Множителят е \(5^2\cdot 3 = 75\) — обемът се увеличава 75 пъти.
Отг.: Множителят е \(5^2\cdot 3 = 75\) — обемът се увеличава 75 пъти.
Задача 30В съд с форма на правоъгълен паралелепипед с широчина 10 дм, дължина 15 дм и височина 20 дм са налети 300 л вода. В него потапяме метален конус с радиус 1 дм и височина 15 дм, като конусът е поставен така, че е изцяло потопен във водата. С колко дециметра ще се покачи нивото на водата? Изразете отговора чрез \(\pi\) и за \(\pi \approx 3{,}14\) го закръглете до 0,01 дм.
Отг.: \(V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi\cdot 1\cdot 15 = 5\pi\) куб. дм; покачване \(= \frac{5\pi}{10\cdot 15} = \frac{\pi}{30} \approx 0{,}10\) дм.
Отг.: \(V_{\text{кон}} = \frac{1}{3}\pi\cdot 1\cdot 15 = 5\pi\) куб. дм; покачване \(= \frac{5\pi}{10\cdot 15} = \frac{\pi}{30} \approx 0{,}10\) дм.
✅ Онлайн тест
Тест: Обем на конус
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя е формулата за обем на прав кръгов конус?
2Формулата \(V = \dfrac{1}{3}Bh\) важи и за:
3Обемът на конус с \(B = 30\) кв. см и \(h = 4\) см е:
4Обемът на конус с \(r = 3\) см и \(h = 5\) см е:
5Цилиндър и конус имат равни радиуси и равни височини. Обемът на цилиндъра е:
6Ако \(V = 12\pi\) куб. см и \(r = 2\) см, височината е:
7Ако \(V = 27\pi\) куб. см и \(h = 9\) см, то \(r^2\) е равно на:
8Ако радиусът се удвои, а височината се запази, обемът:
9Ако височината се умножи по 3, а радиусът се запази, обемът:
10Ако радиусът се удвои, а височината стане равна на една четвърт от първоначалната, обемът:
11Обемът на конус с диаметър 10 см и височина 6 см е:
12Лицето на основата на конус се намира по формулата:
131 литър е равен на:
14Конус и пирамида с равни лица на основите и равни височини имат:
15Ако \(B = 12\) кв. см и \(V = 48\) куб. см, височината на конуса е:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
📐
Прав кръгов конус. Развивка и лице на повърхнина
Урок за 6. клас — елементи на конуса, развивка и формулите \(S = \pi r l\) и \(S_1 = \pi r(l + r)\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🛢️
Обем на цилиндър
Урок за 6. клас — формулите \(V = \pi r^2 h\) и \(V = Bh\), мерни единици за обем и вместимост. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🔻
Обем на пирамида
Урок за 6. клас — формулата \(V = \tfrac{1}{3}Bh\) и следствията \(B = \tfrac{3V}{h}\), \(h = \tfrac{3V}{B}\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар