Обем на кълбо
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 6. клас › Геометрични фигури и тела › Обем на кълбо
Обем на кълбо
Формулите \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) и \(V = \frac{1}{6}\pi d^3\). 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
С този урок завършваме поредицата за геометричните тела в 6. клас. Вече знаем какво е кълбо и как се пресмята лицето на повърхнината на сфера. Сега въвеждаме формулата за обем на кълбо \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) и равносилния ѝ запис чрез диаметъра \(V = \frac{1}{6}\pi d^3\), и ги прилагаме в множество задачи — от колби и балони до каменни кълба и дини. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
🧮 Формула за обем на кълбо
Обемът \(V\) на кълбо с радиус \(r\) и диаметър \(d = 2r\) се пресмята по формулите:
\[\boxed{\;V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\;}\qquad\text{или}\qquad\boxed{\;V = \dfrac{1}{6}\pi d^3\;}\]
Двете формули са равносилни: като заместим \(r = \dfrac{d}{2}\), получаваме
\(\dfrac{4}{3}\pi\left(\dfrac{d}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{d^3}{8} = \dfrac{1}{6}\pi d^3\).
От основната формула получаваме и следствията:
\[r^3 = \dfrac{3V}{4\pi},\qquad d^3 = \dfrac{6V}{\pi}.\]
Обемът на полукълбо с радиус \(r\) е половината от обема на кълбото: \(V = \dfrac{2}{3}\pi r^3\).
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с радиус \(r = 4\) см.
▼
Решение\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3 = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 64 = \dfrac{256}{3}\pi\) куб. см.
2
Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с радиус \(r = \dfrac{1}{3}\) дм.
▼
Решение\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{1}{27} = \dfrac{4}{81}\pi\) куб. дм.
3
Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с радиус \(r = 0{,}4\) м.
▼
Решение\(r^3 = 0{,}4^3 = 0{,}064 = \dfrac{8}{125}\).
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{8}{125} = \dfrac{32}{375}\pi\) куб. м.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot\dfrac{8}{125} = \dfrac{32}{375}\pi\) куб. м.
4
Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо, ако \(\dfrac{3}{4}\) от радиуса му са 9 см.
▼
РешениеРадиусът е \(r = 9\cdot\dfrac{4}{3} = 12\) см.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 1728 = 2304\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 1728 = 2304\pi\) куб. см.
5
Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо, ако радиусът му е 0,3% от 80 дм (в кубични сантиметри).
▼
Решение\(r = 0{,}003\cdot 80 = 0{,}24\) дм \(= 2{,}4\) см.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 13{,}824 = 18{,}432\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 13{,}824 = 18{,}432\pi\) куб. см.
6
Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с диаметър \(d = 2\) м.
▼
Решение\(V = \dfrac{1}{6}\pi d^3 = \dfrac{1}{6}\pi\cdot 8 = \dfrac{4}{3}\pi\) куб. м.
7
Намерете обема на кълбо с диаметър \(d = 0{,}8\) см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,001 куб. см.
▼
Решение\(d^3 = 0{,}8^3 = 0{,}512\).
\(V = \dfrac{1}{6}\pi d^3 \approx \dfrac{0{,}512\cdot 3{,}14}{6} \approx 0{,}268\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{6}\pi d^3 \approx \dfrac{0{,}512\cdot 3{,}14}{6} \approx 0{,}268\) куб. см.
8
Диаметърът на кълбо е равен на страната на квадрат с лице 64 кв. см. Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбото.
▼
РешениеСтраната на квадрата е 8 см, тъй като \(8^2 = 64\). Значи \(d = 8\) см.
\(V = \dfrac{1}{6}\pi\cdot 512 = \dfrac{256}{3}\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{6}\pi\cdot 512 = \dfrac{256}{3}\pi\) куб. см.
9
Дължината на диаметъра на кълбо в сантиметри е \(\dfrac{2}{3}\) от числото 1,26. Намерете обема на кълбото. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,01 куб. см.
▼
Решение\(d = \dfrac{2}{3}\cdot 1{,}26 = 0{,}84\) см; \(d^3 = 0{,}592704\).
\(V \approx \dfrac{0{,}592704\cdot 3{,}14}{6} \approx 0{,}31\) куб. см.
\(V \approx \dfrac{0{,}592704\cdot 3{,}14}{6} \approx 0{,}31\) куб. см.
10
Диаметърът на кълбо е равен на страната на равностранен триъгълник с обиколка 9 см. Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбото.
▼
РешениеСтраната на триъгълника е \(9 : 3 = 3\) см, значи \(d = 3\) см.
\(V = \dfrac{1}{6}\pi\cdot 27 = 4{,}5\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{1}{6}\pi\cdot 27 = 4{,}5\pi\) куб. см.
11
Намерете радиуса на кълбо с обем \(V = \dfrac{32}{3}\pi\) куб. см.
▼
РешениеОт \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\): \(\dfrac{32}{3}\pi = \dfrac{4}{3}\pi r^3\), значи \(r^3 = 8\). Тъй като \(2^3 = 8\), радиусът е \(r = 2\) см.
12
Намерете радиуса на кълбо с обем \(V = 36\pi\) куб. дм.
▼
РешениеОт \(36\pi = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) следва \(r^3 = 27\). Тъй като \(3^3 = 27\), радиусът е \(r = 3\) дм.
13
Намерете диаметъра на кълбо с обем \(V = \dfrac{1}{48}\pi\) куб. м.
▼
РешениеОт \(V = \dfrac{1}{6}\pi d^3\): \(d^3 = \dfrac{6V}{\pi} = \dfrac{6}{48} = \dfrac{1}{8}\). Тъй като \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}\), диаметърът е \(d = \dfrac{1}{2}\) м \(= 5\) дм.
14
Намерете диаметъра на кълбо с обем \(V = \dfrac{1}{6}\pi\) куб. см.
▼
РешениеОт \(\dfrac{1}{6}\pi = \dfrac{1}{6}\pi d^3\) следва \(d^3 = 1\), значи \(d = 1\) см.
15
Как ще се измени обемът на кълбо, ако: а) радиусът му се умножи по 2; б) радиусът му стане равен на една трета от първоначалния; в) диаметърът му се умножи по 2?
▼
РешениеОбемът \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) зависи от куба на радиуса (и на диаметъра).
а) Множителят е \(2^3 = 8\) — обемът се умножава по 8.
б) Множителят е \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\) — обемът става равен на една двадесет и седма от първоначалния.
в) Множителят е \(2^3 = 8\) — обемът се умножава по 8.
а) Множителят е \(2^3 = 8\) — обемът се умножава по 8.
б) Множителят е \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\) — обемът става равен на една двадесет и седма от първоначалния.
в) Множителят е \(2^3 = 8\) — обемът се умножава по 8.
16
Намерете частното на обемите на две кълба с радиуси съответно 12 см и 360 мм.
▼
РешениеВторият радиус е \(360\) мм \(= 36\) см. Обемите се отнасят като кубовете на радиусите:
\(\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{12}{36}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\).
\(\dfrac{V_1}{V_2} = \left(\dfrac{12}{36}\right)^3 = \left(\dfrac{1}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{27}\).
17
Колко литра вода може да събере кълбовидна колба с диаметър 30 см, ако се напълни до гърлото? Приемете \(\pi \approx 3{,}14\).
▼
Решение\(V = \dfrac{1}{6}\pi d^3 \approx \dfrac{27\,000\cdot 3{,}14}{6} = 4500\cdot 3{,}14 = 14\,130\) куб. см \(= 14{,}13\) л.
18
Колко литра течност събира колбата от предишната задача, ако я напълним догоре? Диаметърът на кълбовидната част е 30 см, а гърлото е дълго 15 см и има радиус 1,2 см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,1 л.
▼
РешениеКълбовидната част: \(\approx 14\,130\) куб. см.
Гърлото е цилиндър: \(V = \pi r^2 h \approx 3{,}14\cdot 1{,}44\cdot 15 = 67{,}824\) куб. см.
Общо: \(\approx 14\,130 + 67{,}824 = 14\,197{,}824\) куб. см \(\approx 14{,}2\) л.
Гърлото е цилиндър: \(V = \pi r^2 h \approx 3{,}14\cdot 1{,}44\cdot 15 = 67{,}824\) куб. см.
Общо: \(\approx 14\,130 + 67{,}824 = 14\,197{,}824\) куб. см \(\approx 14{,}2\) л.
19
От картон с квадратна форма с лице 36 кв. см е изрязан кръг с възможно най-голям радиус. Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбото, получено от въртенето на изрязания кръг около един негов диаметър.
▼
РешениеСтраната на квадрата е 6 см, тъй като \(6^2 = 36\). Най-големият кръг, който се побира в квадрата, има диаметър 6 см, тоест радиус \(r = 3\) см.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi\) куб. см.
\(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi\) куб. см.
20
Сравнете обемите на цилиндър и на кълбо с радиуси по 2 м, ако височината на цилиндъра е \(2\dfrac{1}{3}\) м.
▼
РешениеЦилиндър: \(V = \pi\cdot 4\cdot\dfrac{7}{3} = \dfrac{28}{3}\pi\) куб. м.
Кълбо: \(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 8 = \dfrac{32}{3}\pi\) куб. м.
\(\dfrac{32}{3}\pi > \dfrac{28}{3}\pi\) — обемът на кълбото е по-голям.
Кълбо: \(V = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 8 = \dfrac{32}{3}\pi\) куб. м.
\(\dfrac{32}{3}\pi > \dfrac{28}{3}\pi\) — обемът на кълбото е по-голям.
21
Три метални топчета с радиуси 3 см, 4 см и 5 см са претопени и от тях е отлято ново топче. Намерете неговия диаметър. Приемете, че при претопяването няма загуба на материал.
▼
РешениеОбемът на новото топче е сборът от трите обема:
\(\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi(3^3 + 4^3 + 5^3) = \dfrac{4}{3}\pi(27 + 64 + 125) = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 216\).
Значи \(R^3 = 216\). Тъй като \(6^3 = 216\), радиусът е \(R = 6\) см, а диаметърът \(d = 12\) см.
\(\dfrac{4}{3}\pi R^3 = \dfrac{4}{3}\pi(3^3 + 4^3 + 5^3) = \dfrac{4}{3}\pi(27 + 64 + 125) = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 216\).
Значи \(R^3 = 216\). Тъй като \(6^3 = 216\), радиусът е \(R = 6\) см, а диаметърът \(d = 12\) см.
22
Кълбо и конус имат радиуси, равни на височината на конуса. Колко пъти обемът на кълбото е по-голям от обема на конуса?
▼
РешениеНека височината на конуса е \(h\). Тогава радиусът на конуса и радиусът на кълбото също са \(h\).
\(V_{\text{кълбо}} = \dfrac{4}{3}\pi h^3\), а \(V_{\text{конус}} = \dfrac{1}{3}\pi h^2\cdot h = \dfrac{1}{3}\pi h^3\).
Частното е \(\dfrac{4}{3} : \dfrac{1}{3} = 4\) — обемът на кълбото е 4 пъти обема на конуса.
\(V_{\text{кълбо}} = \dfrac{4}{3}\pi h^3\), а \(V_{\text{конус}} = \dfrac{1}{3}\pi h^2\cdot h = \dfrac{1}{3}\pi h^3\).
Частното е \(\dfrac{4}{3} : \dfrac{1}{3} = 4\) — обемът на кълбото е 4 пъти обема на конуса.
23
Лицето на повърхнината на сфера с радиус \(r\) и обемът на ограденото от нея кълбо се изразяват с едно и също число. Намерете това число.
▼
РешениеОт \(4\pi r^2 = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) след съкращаване получаваме \(1 = \dfrac{r}{3}\), откъдето \(r = 3\).
Числото е \(S = 4\pi\cdot 9 = 36\pi\) (лицето е \(36\pi\) кв. единици, а обемът — \(36\pi\) куб. единици).
Числото е \(S = 4\pi\cdot 9 = 36\pi\) (лицето е \(36\pi\) кв. единици, а обемът — \(36\pi\) куб. единици).
24
В правоъгълен паралелепипед с измерения 3 м, 4 м и 5 м е пуснато кълбо с радиус 9 дм. Намерете колко кубически метра от обема на паралелепипеда са извън кълбото. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и закръглете отговора до 0,01 куб. м.
▼
РешениеОбемът на паралелепипеда е \(3\cdot 4\cdot 5 = 60\) куб. м.
Радиусът на кълбото е \(9\) дм \(= 0{,}9\) м; \(r^3 = 0{,}729\).
\(V_{\text{кълбо}} = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 0{,}729 = 0{,}972\pi \approx 3{,}05208\) куб. м.
Извън кълбото: \(60 - 3{,}05208 = 56{,}94792 \approx 56{,}95\) куб. м.
Радиусът на кълбото е \(9\) дм \(= 0{,}9\) м; \(r^3 = 0{,}729\).
\(V_{\text{кълбо}} = \dfrac{4}{3}\pi\cdot 0{,}729 = 0{,}972\pi \approx 3{,}05208\) куб. м.
Извън кълбото: \(60 - 3{,}05208 = 56{,}94792 \approx 56{,}95\) куб. м.
25
В цилиндър с височина 7 дм и диаметър, равен на височината, е поместено възможно най-голямо кълбо. Може ли в свободната от кълбото част на цилиндъра да се налеят 90 л вода? Обосновете отговора си. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\).
▼
РешениеРадиусът на цилиндъра е \(3{,}5\) дм, а най-голямото кълбо има диаметър 7 дм, тоест радиус \(3{,}5\) дм.
Обем на цилиндъра: \(\pi\cdot 12{,}25\cdot 7 = 85{,}75\pi\) куб. дм.
Обем на кълбото: \(\dfrac{4}{3}\pi\cdot 42{,}875 = \dfrac{171{,}5}{3}\pi\) куб. дм.
Свободната част е \(85{,}75\pi - \dfrac{171{,}5}{3}\pi = \dfrac{85{,}75}{3}\pi \approx \dfrac{85{,}75}{3}\cdot\dfrac{22}{7} \approx 89{,}83\) куб. дм \(= 89{,}83\) л.
Понеже \(89{,}83 \lt 90\), 90 л вода не могат да се налеят в свободната част.
Обем на цилиндъра: \(\pi\cdot 12{,}25\cdot 7 = 85{,}75\pi\) куб. дм.
Обем на кълбото: \(\dfrac{4}{3}\pi\cdot 42{,}875 = \dfrac{171{,}5}{3}\pi\) куб. дм.
Свободната част е \(85{,}75\pi - \dfrac{171{,}5}{3}\pi = \dfrac{85{,}75}{3}\pi \approx \dfrac{85{,}75}{3}\cdot\dfrac{22}{7} \approx 89{,}83\) куб. дм \(= 89{,}83\) л.
Понеже \(89{,}83 \lt 90\), 90 л вода не могат да се налеят в свободната част.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с радиус 5 см.
Отг.: \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\) куб. см.
Отг.: \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 125 = \frac{500}{3}\pi\) куб. см.
Задача 2Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с радиус 6 дм.
Отг.: \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 216 = 288\pi\) куб. дм.
Отг.: \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 216 = 288\pi\) куб. дм.
Задача 3Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с диаметър 4 дм.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 64 = \frac{32}{3}\pi\) куб. дм.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 64 = \frac{32}{3}\pi\) куб. дм.
Задача 4Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с диаметър 10 см.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 1000 = \frac{500}{3}\pi\) куб. см.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 1000 = \frac{500}{3}\pi\) куб. см.
Задача 5Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете с точност до 0,1 куб. см обема на полукълбо с радиус 5,1 см.
Отг.: \(V = \frac{2}{3}\pi r^3 \approx \frac{2}{3}\cdot 3{,}14\cdot 132{,}651 \approx 277{,}7\) куб. см.
Отг.: \(V = \frac{2}{3}\pi r^3 \approx \frac{2}{3}\cdot 3{,}14\cdot 132{,}651 \approx 277{,}7\) куб. см.
Задача 6Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете с точност до 0,1 куб. см обема на полукълбо с диаметър 12 см.
Отг.: \(r = 6\) см; \(V \approx \frac{2}{3}\cdot 3{,}14\cdot 216 = 452{,}16 \approx 452{,}2\) куб. см.
Отг.: \(r = 6\) см; \(V \approx \frac{2}{3}\cdot 3{,}14\cdot 216 = 452{,}16 \approx 452{,}2\) куб. см.
Задача 7Даден е кръг с радиус \(R = 2{,}1\) см. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и намерете в кубични сантиметри обема на кълбото, получено при завъртането на този кръг около произволен негов диаметър.
Отг.: \(R^3 = 9{,}261\); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 9{,}261 = 38{,}808\) куб. см.
Отг.: \(R^3 = 9{,}261\); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 9{,}261 = 38{,}808\) куб. см.
Задача 8Даден е кръг с радиус \(R = 42\) мм. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и намерете в кубични сантиметри обема на кълбото, получено при завъртането на този кръг около произволен негов диаметър.
Отг.: \(R = 4{,}2\) см; \(R^3 = 74{,}088\); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 74{,}088 = 310{,}464\) куб. см.
Отг.: \(R = 4{,}2\) см; \(R^3 = 74{,}088\); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 74{,}088 = 310{,}464\) куб. см.
Задача 9Даден е кръг с радиус \(R = 1{,}47\) дм. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и намерете в кубични сантиметри обема на кълбото, получено при завъртането на този кръг около произволен негов диаметър.
Отг.: \(R = 14{,}7\) см; \(R^3 = 3176{,}523\); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 3176{,}523 = 13\,311{,}144\) куб. см.
Отг.: \(R = 14{,}7\) см; \(R^3 = 3176{,}523\); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 3176{,}523 = 13\,311{,}144\) куб. см.
Задача 10Сферичен балон с радиус 4,2 дм е напълнен с хелий, като 1 куб. м хелий тежи 200 г. Приемете \(\pi \approx \dfrac{22}{7}\) и намерете с точност до 0,1 г: а) колко тежи хелият в балона; б) с колко грама повече ще тежи газът в същия балон, ако е напълнен с въздух и 1 куб. м въздух тежи 1,3 кг.
Отг.: \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 74{,}088 = 310{,}464\) куб. дм \(= 0{,}310464\) куб. м; а) \(\approx 0{,}310464\cdot 200 \approx 62{,}1\) г; б) въздух: \(\approx 0{,}310464\cdot 1300 = 403{,}6\) г; разликата е \(\approx 341{,}5\) г.
Отг.: \(V \approx \frac{4}{3}\cdot\frac{22}{7}\cdot 74{,}088 = 310{,}464\) куб. дм \(= 0{,}310464\) куб. м; а) \(\approx 0{,}310464\cdot 200 \approx 62{,}1\) г; б) въздух: \(\approx 0{,}310464\cdot 1300 = 403{,}6\) г; разликата е \(\approx 341{,}5\) г.
Задача 11Тайнствени каменни кълба с диаметри до 3 м се намират на различни места по земното кълбо и техният произход и предназначение и досега не са известни. Според някои учени те са на повече от 20 000 години. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и пресметнете колко тона тежи каменно кълбо с диаметър 2,4 м, ако 1 куб. м от него тежи 2500 кг. Закръглете отговора с точност до 0,01 т.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi d^3 \approx \frac{3{,}14\cdot 13{,}824}{6} = 7{,}23456\) куб. м; тегло \(\approx 7{,}23456\cdot 2500 = 18\,086{,}4\) кг \(\approx 18{,}09\) т.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi d^3 \approx \frac{3{,}14\cdot 13{,}824}{6} = 7{,}23456\) куб. м; тегло \(\approx 7{,}23456\cdot 2500 = 18\,086{,}4\) кг \(\approx 18{,}09\) т.
Задача 12Гигантско огледално кълбо с диаметър 7,5 м, създадено от френския архитект Мишел дьо Броа, било окачено на кран на височина 50 м в Париж при честването на националния празник на Франция през 2012 година. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и пресметнете: а) обема на кълбото в кубични метри, като закръглите резултата с точност до 0,1; б) лицето на повърхнината на кълбото в квадратни метри, като закръглите резултата с точност до 1.
Отг.: а) \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 421{,}875 \approx 220{,}8\) куб. м; б) \(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 56{,}25 \approx 177\) кв. м.
Отг.: а) \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 421{,}875 \approx 220{,}8\) куб. м; б) \(S = \pi d^2 \approx 3{,}14\cdot 56{,}25 \approx 177\) кв. м.
Задача 13Приемете \(\pi \approx 3{,}14\). Намерете с точност до 0,01 куб. м обема на кълбо, ако лицето на повърхнината му е: а) 615,44 кв. дм; б) 11 304 кв. см.
Отг.: а) \(r^2 \approx \frac{615{,}44}{12{,}56} = 49\Rightarrow r \approx 7\) дм; \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 343 \approx 1436{,}03\) куб. дм \(\approx 1{,}44\) куб. м; б) \(r^2 \approx 900\Rightarrow r \approx 30\) см; \(V \approx 113\,040\) куб. см \(\approx 0{,}11\) куб. м.
Отг.: а) \(r^2 \approx \frac{615{,}44}{12{,}56} = 49\Rightarrow r \approx 7\) дм; \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 343 \approx 1436{,}03\) куб. дм \(\approx 1{,}44\) куб. м; б) \(r^2 \approx 900\Rightarrow r \approx 30\) см; \(V \approx 113\,040\) куб. см \(\approx 0{,}11\) куб. м.
Задача 14Наградата за победителя в математическо състезание за шестокласници била купа, изработена от прозрачен материал, като 1 куб. см от него тежи 1,6 г. Купата представлява плътно кълбо с диаметър 15 см, прикрепено върху плътен куб с ръб 8 см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и пресметнете: а) колко пъти обемът на кълбото е по-голям от обема на куба, като закръглите отговора с точност до 0,01; б) колко килограма е теглото на купата, като закръглите отговора с точност до 0,1 кг.
Отг.: Кълбо: \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 421{,}875 = 1766{,}25\) куб. см; куб: \(512\) куб. см. а) \(\frac{1766{,}25}{512} \approx 3{,}45\) пъти; б) \((1766{,}25 + 512)\cdot 1{,}6 = 3645{,}2\) г \(\approx 3{,}6\) кг.
Отг.: Кълбо: \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 421{,}875 = 1766{,}25\) куб. см; куб: \(512\) куб. см. а) \(\frac{1766{,}25}{512} \approx 3{,}45\) пъти; б) \((1766{,}25 + 512)\cdot 1{,}6 = 3645{,}2\) г \(\approx 3{,}6\) кг.
Задача 15Дизайнерска светеща масичка за кафе е изработена, като светещо кълбо е вградено във вътрешността на куб с ръб 42 см, чиито стени са от двустранно огледално стъкло. Диаметърът на светещото кълбо е равен на \(\dfrac{5}{7}\) от дължината на ръба на куба. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и пресметнете в кубични дециметри: а) обема на светещото кълбо; б) обема на онази част от куба, която не е заета от кълбото.
Отг.: \(d = \frac{5}{7}\cdot 42 = 30\) см; а) \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 27\,000 \approx 14\,130\) куб. см \(= 14{,}13\) куб. дм; б) кубът: \(42^3 = 74\,088\) куб. см \(= 74{,}088\) куб. дм; свободна част: \(\approx 74{,}088 - 14{,}13 = 59{,}958\) куб. дм.
Отг.: \(d = \frac{5}{7}\cdot 42 = 30\) см; а) \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 27\,000 \approx 14\,130\) куб. см \(= 14{,}13\) куб. дм; б) кубът: \(42^3 = 74\,088\) куб. см \(= 74{,}088\) куб. дм; свободна част: \(\approx 74{,}088 - 14{,}13 = 59{,}958\) куб. дм.
Задача 16Лицето на повърхнината на кълбо е 1017,36 кв. см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете радиуса \(r\) и обема \(V\) на кълбото.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{1017{,}36}{12{,}56} = 81\Rightarrow r \approx 9\) см (тъй като \(9^2 = 81\)); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 729 = 3052{,}08\) куб. см.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{1017{,}36}{12{,}56} = 81\Rightarrow r \approx 9\) см (тъй като \(9^2 = 81\)); \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 729 = 3052{,}08\) куб. см.
Задача 17Намерете лицето на повърхнината на кълбо в квадратни сантиметри, ако обемът на кълбото е равен на: а) 113,04 куб. см и \(\pi \approx 3{,}14\); б) \(457\dfrac{1}{3}\pi\) куб. см (изразете отговора чрез \(\pi\)).
Отг.: а) \(r^3 \approx \frac{3\cdot 113{,}04}{4\cdot 3{,}14} = 27\Rightarrow r \approx 3\) см; \(S \approx 113{,}04\) кв. см; б) \(r^3 = \frac{3}{4}\cdot\frac{1372}{3} = 343\Rightarrow r = 7\) см (тъй като \(7^3 = 343\)); \(S = 196\pi\) кв. см.
Отг.: а) \(r^3 \approx \frac{3\cdot 113{,}04}{4\cdot 3{,}14} = 27\Rightarrow r \approx 3\) см; \(S \approx 113{,}04\) кв. см; б) \(r^3 = \frac{3}{4}\cdot\frac{1372}{3} = 343\Rightarrow r = 7\) см (тъй като \(7^3 = 343\)); \(S = 196\pi\) кв. см.
Задача 18Лицето на повърхнината на едно кълбо е 16 пъти по-голямо от лицето на повърхнината на второ кълбо. Намерете колко пъти: а) радиусът на първото кълбо е по-голям от радиуса на второто кълбо; б) обемът на първото кълбо е по-голям от обема на второто кълбо.
Отг.: а) Лицата се отнасят като квадратите на радиусите: \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 16\Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = 4\) (тъй като \(4^2 = 16\)); б) обемите: \(4^3 = 64\) пъти.
Отг.: а) Лицата се отнасят като квадратите на радиусите: \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 16\Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = 4\) (тъй като \(4^2 = 16\)); б) обемите: \(4^3 = 64\) пъти.
Задача 19Лицето на повърхнината на едно кълбо е \(p\) пъти по-голямо от лицето на повърхнината на второ кълбо, като \(p = m^2\) и \(m > 1\). Изразете чрез \(m\) колко пъти: а) радиусът на първото кълбо е по-голям от радиуса на второто кълбо; б) обемът на първото кълбо е по-голям от обема на второто кълбо.
Отг.: а) \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = m^2\Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = m\); б) \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = m^3\) пъти.
Отг.: а) \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = m^2\Rightarrow \frac{r_1}{r_2} = m\); б) \(\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = m^3\) пъти.
Задача 20Едно кълбо има обем \(V_1\), лице на повърхнината \(S_1\) и радиус \(r_1 = 6\) см, а второ кълбо има радиус \(r_2\), лице на повърхнината \(S_2\) и обем \(V_2\). Ако \(V_2 : V_1 = 1 : 8\), намерете: а) \(r_2\); б) на колко процента от \(S_1\) е равно \(S_2\).
Отг.: а) \(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = \frac{1}{8}\Rightarrow \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}\) (тъй като \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\)); \(r_2 = 3\) см; б) \(\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 25\%\).
Отг.: а) \(\left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3 = \frac{1}{8}\Rightarrow \frac{r_2}{r_1} = \frac{1}{2}\) (тъй като \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\)); \(r_2 = 3\) см; б) \(\frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 25\%\).
Задача 21Пред вас са една диня с диаметър 40 см и дебелина на кората 1 см и 8 еднакви малки дини с диаметри по 20 см и дебелина на кората \(\dfrac{1}{2}\) см. Ако всички дини са еднакво вкусни и пренебрегнем наличието на семки, голямата или осемте малки дини ще ви напълнят повече стомаха?
Отг.: Ядивната част на голямата диня е кълбо с радиус \(20 - 1 = 19\) см: \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 6859\). Ядивната част на една малка диня е кълбо с радиус \(10 - 0{,}5 = 9{,}5\) см: \(9{,}5^3 = 857{,}375\), а на осемте: \(\frac{4}{3}\pi\cdot 8\cdot 857{,}375 = \frac{4}{3}\pi\cdot 6859\). Обемите са равни — двата избора са еднакви.
Отг.: Ядивната част на голямата диня е кълбо с радиус \(20 - 1 = 19\) см: \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 6859\). Ядивната част на една малка диня е кълбо с радиус \(10 - 0{,}5 = 9{,}5\) см: \(9{,}5^3 = 857{,}375\), а на осемте: \(\frac{4}{3}\pi\cdot 8\cdot 857{,}375 = \frac{4}{3}\pi\cdot 6859\). Обемите са равни — двата избора са еднакви.
Задача 22В цилиндрична чаша плава дървена топка. Половината от топката е потопена във водата, а другата — не. Колко кубически сантиметра вода има в чашата, ако диаметърът на дъното на чашата е 3 см, на топката — 2 см, а нивото на водата е 4 см? Изразете отговора чрез \(\pi\) и за \(\pi \approx 3{,}14\) го закръглете до 0,01 куб. см.
Отг.: Водата запълва цилиндъра до 4 см без потопеното полукълбо: \(V = \pi\cdot 1{,}5^2\cdot 4 - \frac{2}{3}\pi\cdot 1^3 = 9\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{25}{3}\pi \approx 26{,}17\) куб. см.
Отг.: Водата запълва цилиндъра до 4 см без потопеното полукълбо: \(V = \pi\cdot 1{,}5^2\cdot 4 - \frac{2}{3}\pi\cdot 1^3 = 9\pi - \frac{2}{3}\pi = \frac{25}{3}\pi \approx 26{,}17\) куб. см.
Задача 23Кълбо има радиус 3 см, а цилиндър има радиус 3 см и височина 4 см. Изразете чрез \(\pi\) обемите на двете тела и ги сравнете.
Отг.: \(V_{\text{кълбо}} = \frac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi\) куб. см; \(V_{\text{цил}} = \pi\cdot 9\cdot 4 = 36\pi\) куб. см. Обемите са равни.
Отг.: \(V_{\text{кълбо}} = \frac{4}{3}\pi\cdot 27 = 36\pi\) куб. см; \(V_{\text{цил}} = \pi\cdot 9\cdot 4 = 36\pi\) куб. см. Обемите са равни.
Задача 24Декоративен дървен елемент има формата на полукълбо с радиус \(R\), в което е издълбан отвор също с формата на полукълбо и с радиус \(r\). Обемът на издълбаното полукълбо е 7 пъти по-малък от обема на полученото след това тяло. Докажете, че \(R = 2r\).
Отг.: Тялото има обем \(\frac{2}{3}\pi R^3 - \frac{2}{3}\pi r^3\). От условието той е 7 пъти обема на отвора: \(\frac{2}{3}\pi(R^3 - r^3) = 7\cdot\frac{2}{3}\pi r^3\), значи \(R^3 - r^3 = 7r^3\), тоест \(R^3 = 8r^3 = (2r)^3\), откъдето \(R = 2r\).
Отг.: Тялото има обем \(\frac{2}{3}\pi R^3 - \frac{2}{3}\pi r^3\). От условието той е 7 пъти обема на отвора: \(\frac{2}{3}\pi(R^3 - r^3) = 7\cdot\frac{2}{3}\pi r^3\), значи \(R^3 - r^3 = 7r^3\), тоест \(R^3 = 8r^3 = (2r)^3\), откъдето \(R = 2r\).
Задача 25Лицето на големия кръг на кълбо е 78,5 кв. см. Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете обема на кълбото. Закръглете отговора до 0,01 куб. см.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{78{,}5}{3{,}14} = 25\Rightarrow r \approx 5\) см; \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 125 \approx 523{,}33\) куб. см.
Отг.: \(r^2 \approx \frac{78{,}5}{3{,}14} = 25\Rightarrow r \approx 5\) см; \(V \approx \frac{4}{3}\cdot 3{,}14\cdot 125 \approx 523{,}33\) куб. см.
Задача 26Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с радиус 1,5 см.
Отг.: \(r^3 = 3{,}375\); \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 3{,}375 = 4{,}5\pi\) куб. см.
Отг.: \(r^3 = 3{,}375\); \(V = \frac{4}{3}\pi\cdot 3{,}375 = 4{,}5\pi\) куб. см.
Задача 27Изразете чрез \(\pi\) обема на кълбо с диаметър 6 см.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 216 = 36\pi\) куб. см.
Отг.: \(V = \frac{1}{6}\pi\cdot 216 = 36\pi\) куб. см.
Задача 28С колко процента ще се увеличи обемът на кълбо, ако радиусът му се увеличи с 20%?
Отг.: Множителят е \(1{,}2^3 = 1{,}728\) — обемът се увеличава с 72,8%.
Отг.: Множителят е \(1{,}2^3 = 1{,}728\) — обемът се увеличава с 72,8%.
Задача 29Кълбо е поместено в куб така, че диаметърът на кълбото е равен на ръба \(d\) на куба. Изразете чрез \(d\) и \(\pi\) обемите на куба и на кълбото и намерете тяхното частно.
Отг.: \(V_{\text{куб}} = d^3\); \(V_{\text{кълбо}} = \frac{1}{6}\pi d^3\); частното е \(\frac{d^3}{\frac{1}{6}\pi d^3} = \frac{6}{\pi}\).
Отг.: \(V_{\text{куб}} = d^3\); \(V_{\text{кълбо}} = \frac{1}{6}\pi d^3\); частното е \(\frac{d^3}{\frac{1}{6}\pi d^3} = \frac{6}{\pi}\).
Задача 30Кълбо е вписано в куб с ръб 6 см (диаметърът на кълбото е равен на ръба). Приемете \(\pi \approx 3{,}14\) и намерете обема на частта от куба, която е извън кълбото.
Отг.: \(V_{\text{куб}} = 216\) куб. см; \(V_{\text{кълбо}} = \frac{1}{6}\pi\cdot 216 = 36\pi \approx 113{,}04\) куб. см; извън кълбото: \(\approx 216 - 113{,}04 = 102{,}96\) куб. см.
Отг.: \(V_{\text{куб}} = 216\) куб. см; \(V_{\text{кълбо}} = \frac{1}{6}\pi\cdot 216 = 36\pi \approx 113{,}04\) куб. см; извън кълбото: \(\approx 216 - 113{,}04 = 102{,}96\) куб. см.
✅ Онлайн тест
Тест: Обем на кълбо
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Коя е формулата за обем на кълбо чрез радиуса?
2Обемът на кълбо чрез диаметъра е:
3Обемът на кълбо с радиус 3 см е:
4Обемът на кълбо с диаметър 2 дм е:
5Ако \(V = 36\pi\) куб. см, радиусът на кълбото е:
6Ако радиусът се удвои, обемът на кълбото:
7Ако радиусът стане равен на една трета от първоначалния, обемът става:
8Ако диаметърът се умножи по 2, обемът се умножава по:
9Цилиндър с височина, равна на диаметъра му, и вписано в него кълбо със същия диаметър имат обеми в отношение (цилиндър : кълбо):
101 литър е равен на:
11Обемът на полукълбо с радиус \(r\) е:
12Ако \(V = \dfrac{32}{3}\pi\) куб. см, то \(r^3\) е равно на:
13Три топчета с радиуси 3 см, 4 см и 5 см са претопени в едно. Радиусът му е:
14Лицето и обемът на кълбо се изразяват с едно и също число при радиус:
15Обемът на кълбо с диаметър 6 см е:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
🌐
Сфера. Кълбо. Лице на повърхнина на сфера
Урок за 6. клас — определения за сфера и кълбо, голяма окръжност и формулите \(S = 4\pi r^2\) и \(S = \pi d^2\). Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🔺
Обем на конус
Урок за 6. клас — формулите \(V = \tfrac{1}{3}\pi r^2 h\) и \(V = \tfrac{1}{3}Bh\) и връзката с обема на цилиндъра. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
🛢️
Обем на цилиндър
Урок за 6. клас — формулите \(V = \pi r^2 h\) и \(V = Bh\), мерни единици за обем и вместимост. Теория, 25 решени задачи и онлайн тест.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
- Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
- Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
- П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
- Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
- В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
- Списание Математика.
- Списание Квант.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар