Изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Дробни числа › Изваждане при различни знаменатели
Изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели
Привеждане към общ знаменател преди изваждането, проверка чрез събиране, изваждане на дроб от естествено число, изваждане на смесени числа със заемане на едно цяло, изрази със скоби. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
Изваждането на дроби следва същата логика като събирането: части с различна големина не могат да се броят заедно, затова първо привеждаме дробите към общ знаменател. Новото тук е един случай, който изисква внимание — когато дробната част на умаляемото е по-малка от тази на умалителя и се налага да „заемем“ едно цяло. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
➖ Правило за изваждане при различни знаменатели
Обикновени дроби с различни знаменатели се изваждат, като предварително се приведат към общ знаменател (най-удобно към \(\text{НОЗ}\)), след което се изваждат числителите.
Получената дроб се съкращава, а ако е неправилна, при необходимост я записваме и като смесено число.
Получената дроб се съкращава, а ако е неправилна, при необходимост я записваме и като смесено число.
Пример. \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\): \(\text{НОЗ} = 6\), затова
\[\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.\]
Ако някоя от дробите е съкратима, първо я съкращаваме: \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{20}{100} = \dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{10}\).
\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) — от петте шестини махаме три.
Изваждането е обратно на събирането, затова проверката се прави чрез събиране: ако \(\dfrac{5}{12} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{36}\), то трябва \(\dfrac{7}{36} + \dfrac{8}{36} = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\).
🔢 Изваждане на дроб от естествено число
Естественото число записваме като дроб с подходящ знаменател или заемаме от него едно цяло:
\[1 - \frac{3}{14} = \frac{14}{14} - \frac{3}{14} = \frac{11}{14}, \qquad 6 - \frac{5}{8} = 5 + \left(\frac{8}{8} - \frac{5}{8}\right) = 5\dfrac{3}{8}.\]
\(1\)
\(1\)
от третото цяло махаме \(\dfrac{5}{8}\)
\(3 - \dfrac{5}{8} = 2 + \left(\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8}\right) = 2\dfrac{3}{8}\)
🧮 Изваждане на смесени числа
Смесени числа изваждаме, като поотделно извадим целите части и дробните части. Ако дробните части имат различни знаменатели, първо ги привеждаме към общ знаменател.
Пример. \(6\dfrac{7}{9} - 2\dfrac{5}{9} = (6 - 2) + \left(\dfrac{7}{9} - \dfrac{5}{9}\right) = 4 + \dfrac{2}{9} = 4\dfrac{2}{9}\).
Ако дробната част на умаляемото е по-малка от дробната част на умалителя, заемаме едно цяло от цялата част и го прибавяме към дробната:
\[8\dfrac{1}{3} = 8\dfrac{2}{6} = 7\dfrac{8}{6}.\]
Пример. \(8\dfrac{1}{3} - 2\dfrac{5}{6}\). Привеждаме дробните части към \(\text{НОЗ} = 6\): \(8\dfrac{2}{6} - 2\dfrac{5}{6}\). Понеже \(\dfrac{2}{6} \lt \dfrac{5}{6}\), заемаме едно цяло:
\[7\dfrac{8}{6} - 2\dfrac{5}{6} = (7 - 2) + \left(\frac{8}{6} - \frac{5}{6}\right) = 5\dfrac{3}{6} = 5\dfrac{1}{2}.\]
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Съкратете предварително една от дробите и намерете разликата: а) \(\dfrac{15}{10} - \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{24}{16} - \dfrac{1}{4}\); в) \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{20}{100}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{15}{10} = \dfrac{3}{2}\) → \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\).
б) \(\dfrac{24}{16} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4}\) → \(\dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\).
в) \(\dfrac{20}{100} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10}\) → \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{10}\).
б) \(\dfrac{24}{16} = \dfrac{3}{2} = \dfrac{6}{4}\) → \(\dfrac{6}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}\).
в) \(\dfrac{20}{100} = \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10}\) → \(\dfrac{9}{10} - \dfrac{2}{10} = \dfrac{7}{10}\).
2
Съкратете предварително една от дробите и намерете разликата: а) \(\dfrac{300}{400} - \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{105}{135} - \dfrac{4}{9}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{300}{400} = \dfrac{3}{4}\) → \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
б) \(\dfrac{105}{135} = \dfrac{7}{9}\) (съкращаваме на \(15\)) → \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).
б) \(\dfrac{105}{135} = \dfrac{7}{9}\) (съкращаваме на \(15\)) → \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\).
3
Разширете предварително една от дробите и намерете разликата: а) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{12}\); б) \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{2}{27}\); в) \(\dfrac{11}{20} - \dfrac{1}{5}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{10}{12} - \dfrac{1}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\).
б) \(\dfrac{21}{27} - \dfrac{2}{27} = \dfrac{19}{27}\).
в) \(\dfrac{11}{20} - \dfrac{4}{20} = \dfrac{7}{20}\).
б) \(\dfrac{21}{27} - \dfrac{2}{27} = \dfrac{19}{27}\).
в) \(\dfrac{11}{20} - \dfrac{4}{20} = \dfrac{7}{20}\).
4
Намерете разликата: а) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{5}\); в) \(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{7}\).
▼
Решениеа) \(\text{НОЗ} = 6\): \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
б) \(\text{НОЗ} = 15\): \(\dfrac{5}{15} - \dfrac{3}{15} = \dfrac{2}{15}\).
в) \(\text{НОЗ} = 35\): \(\dfrac{21}{35} - \dfrac{5}{35} = \dfrac{16}{35}\).
б) \(\text{НОЗ} = 15\): \(\dfrac{5}{15} - \dfrac{3}{15} = \dfrac{2}{15}\).
в) \(\text{НОЗ} = 35\): \(\dfrac{21}{35} - \dfrac{5}{35} = \dfrac{16}{35}\).
5
Пресметнете разликата и направете проверка със събиране: а) \(\dfrac{5}{12} - \dfrac{2}{9}\); б) \(\dfrac{35}{36} - \dfrac{5}{8}\).
▼
Решениеа) \(\text{НОЗ} = 36\): \(\dfrac{15}{36} - \dfrac{8}{36} = \dfrac{7}{36}\); проверка: \(\dfrac{7}{36} + \dfrac{8}{36} = \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{12}\) ✔
б) \(\text{НОЗ} = 72\): \(\dfrac{70}{72} - \dfrac{45}{72} = \dfrac{25}{72}\); проверка: \(\dfrac{25}{72} + \dfrac{45}{72} = \dfrac{70}{72} = \dfrac{35}{36}\) ✔
б) \(\text{НОЗ} = 72\): \(\dfrac{70}{72} - \dfrac{45}{72} = \dfrac{25}{72}\); проверка: \(\dfrac{25}{72} + \dfrac{45}{72} = \dfrac{70}{72} = \dfrac{35}{36}\) ✔
6
Намерете разликите: а) \(\dfrac{9}{20} - \dfrac{11}{30}\); б) \(\dfrac{17}{20} - \dfrac{13}{30}\).
▼
РешениеИ в двата случая \(\text{НОЗ} = 60\).
а) \(\dfrac{27}{60} - \dfrac{22}{60} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}\).
б) \(\dfrac{51}{60} - \dfrac{26}{60} = \dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}\).
а) \(\dfrac{27}{60} - \dfrac{22}{60} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}\).
б) \(\dfrac{51}{60} - \dfrac{26}{60} = \dfrac{25}{60} = \dfrac{5}{12}\).
7
Намерете разликите: а) \(\dfrac{5}{9} - \dfrac{5}{12}\); б) \(\dfrac{19}{75} - \dfrac{11}{50}\).
▼
Решениеа) \(\text{НОЗ} = 36\): \(\dfrac{20}{36} - \dfrac{15}{36} = \dfrac{5}{36}\).
б) \(75 = 3 \cdot 5 \cdot 5\), \(50 = 2 \cdot 5 \cdot 5\) → \(\text{НОЗ} = 150\): \(\dfrac{38}{150} - \dfrac{33}{150} = \dfrac{5}{150} = \dfrac{1}{30}\).
б) \(75 = 3 \cdot 5 \cdot 5\), \(50 = 2 \cdot 5 \cdot 5\) → \(\text{НОЗ} = 150\): \(\dfrac{38}{150} - \dfrac{33}{150} = \dfrac{5}{150} = \dfrac{1}{30}\).
8
Намерете разликата: а) \(1 - \dfrac{3}{14}\); б) \(2 - \dfrac{3}{5}\); в) \(6 - \dfrac{5}{8}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{14}{14} - \dfrac{3}{14} = \dfrac{11}{14}\).
б) \(\dfrac{10}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5} = 1\dfrac{2}{5}\).
в) Заемаме едно цяло: \(6 - \dfrac{5}{8} = 5 + \left(\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8}\right) = 5\dfrac{3}{8}\).
б) \(\dfrac{10}{5} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{5} = 1\dfrac{2}{5}\).
в) Заемаме едно цяло: \(6 - \dfrac{5}{8} = 5 + \left(\dfrac{8}{8} - \dfrac{5}{8}\right) = 5\dfrac{3}{8}\).
9
Намерете разликата: а) \(5 - \dfrac{5}{6}\); б) \(9 - \dfrac{11}{12}\); в) \(3 - \dfrac{5}{3}\).
▼
Решениеа) \(4 + \left(\dfrac{6}{6} - \dfrac{5}{6}\right) = 4\dfrac{1}{6}\).
б) \(8 + \left(\dfrac{12}{12} - \dfrac{11}{12}\right) = 8\dfrac{1}{12}\).
в) \(\dfrac{9}{3} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
б) \(8 + \left(\dfrac{12}{12} - \dfrac{11}{12}\right) = 8\dfrac{1}{12}\).
в) \(\dfrac{9}{3} - \dfrac{5}{3} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
10
Пресметнете: а) \(1 - \dfrac{5}{7} + \dfrac{13}{14}\); б) \(3 - \dfrac{2}{11} + \dfrac{5}{33}\).
▼
РешениеДействията се извършват отляво надясно, след като приведем към общ знаменател.
а) \(\text{НОЗ} = 14\): \(\dfrac{14}{14} - \dfrac{10}{14} + \dfrac{13}{14} = \dfrac{17}{14}\).
б) \(\text{НОЗ} = 33\): \(\dfrac{99}{33} - \dfrac{6}{33} + \dfrac{5}{33} = \dfrac{98}{33}\).
а) \(\text{НОЗ} = 14\): \(\dfrac{14}{14} - \dfrac{10}{14} + \dfrac{13}{14} = \dfrac{17}{14}\).
б) \(\text{НОЗ} = 33\): \(\dfrac{99}{33} - \dfrac{6}{33} + \dfrac{5}{33} = \dfrac{98}{33}\).
11
Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{5}\right) - \dfrac{1}{3}\); б) \(\dfrac{20}{21} - \left(\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7}\right)\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{7}{15} + \dfrac{3}{15} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3}\), значи \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3}\).
б) \(\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{21}\), значи \(\dfrac{20}{21} - \dfrac{9}{21} = \dfrac{11}{21}\).
б) \(\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{21}\), значи \(\dfrac{20}{21} - \dfrac{9}{21} = \dfrac{11}{21}\).
12
Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{15}{16} - \dfrac{1}{2}\right)\); б) \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) - \left(\dfrac{7}{12} - \dfrac{1}{4}\right)\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{5}{8} = \dfrac{10}{16}\) и \(\dfrac{15}{16} - \dfrac{8}{16} = \dfrac{7}{16}\), значи \(\dfrac{10}{16} + \dfrac{7}{16} = \dfrac{17}{16}\).
б) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{7}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\), значи \(\dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}\).
б) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{7}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\), значи \(\dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{6}\).
13
Като извадите поотделно целите и дробните части, намерете разликите: а) \(15\dfrac{3}{11} - 3\dfrac{2}{11}\); б) \(12\dfrac{7}{13} - 5\dfrac{2}{13}\); в) \(108\dfrac{14}{19} - 9\dfrac{13}{19}\).
▼
Решениеа) \((15 - 3) + \left(\dfrac{3}{11} - \dfrac{2}{11}\right) = 12\dfrac{1}{11}\).
б) \(7 + \dfrac{5}{13} = 7\dfrac{5}{13}\).
в) \(99 + \dfrac{1}{19} = 99\dfrac{1}{19}\).
б) \(7 + \dfrac{5}{13} = 7\dfrac{5}{13}\).
в) \(99 + \dfrac{1}{19} = 99\dfrac{1}{19}\).
14
Намерете разликите: а) \(21\dfrac{3}{7} - 10\); б) \(8\dfrac{1}{9} - 7\); в) \(3\dfrac{5}{11} - 2\).
▼
РешениеЕстественото число се изважда от цялата част.
а) \(11\dfrac{3}{7}\). б) \(1\dfrac{1}{9}\). в) \(1\dfrac{5}{11}\).
а) \(11\dfrac{3}{7}\). б) \(1\dfrac{1}{9}\). в) \(1\dfrac{5}{11}\).
15
Намерете разликите: а) \(5 - 2\dfrac{1}{3}\); б) \(6 - 4\dfrac{3}{8}\).
▼
РешениеЗаемаме едно цяло от умаляемото.
а) \(5 = 4\dfrac{3}{3}\), значи \(4\dfrac{3}{3} - 2\dfrac{1}{3} = 2\dfrac{2}{3}\).
б) \(6 = 5\dfrac{8}{8}\), значи \(5\dfrac{8}{8} - 4\dfrac{3}{8} = 1\dfrac{5}{8}\).
а) \(5 = 4\dfrac{3}{3}\), значи \(4\dfrac{3}{3} - 2\dfrac{1}{3} = 2\dfrac{2}{3}\).
б) \(6 = 5\dfrac{8}{8}\), значи \(5\dfrac{8}{8} - 4\dfrac{3}{8} = 1\dfrac{5}{8}\).
16
Намерете разликата: а) \(7\dfrac{3}{8} - 4\dfrac{5}{6}\); б) \(10\dfrac{9}{23} - 7\dfrac{19}{46}\).
▼
Решениеа) \(\text{НОЗ} = 24\): \(7\dfrac{9}{24} - 4\dfrac{20}{24}\). Понеже \(\dfrac{9}{24} \lt \dfrac{20}{24}\), заемаме едно цяло: \(6\dfrac{33}{24} - 4\dfrac{20}{24} = 2\dfrac{13}{24}\).
б) \(\text{НОЗ} = 46\): \(10\dfrac{18}{46} - 7\dfrac{19}{46}\). Заемаме едно цяло: \(9\dfrac{64}{46} - 7\dfrac{19}{46} = 2\dfrac{45}{46}\).
б) \(\text{НОЗ} = 46\): \(10\dfrac{18}{46} - 7\dfrac{19}{46}\). Заемаме едно цяло: \(9\dfrac{64}{46} - 7\dfrac{19}{46} = 2\dfrac{45}{46}\).
17
Намерете разликата: а) \(26\dfrac{7}{15} - 8\dfrac{1}{5}\); б) \(6\dfrac{5}{26} - 3\dfrac{9}{13}\).
▼
Решениеа) \(\text{НОЗ} = 15\): \(26\dfrac{7}{15} - 8\dfrac{3}{15} = 18\dfrac{4}{15}\).
б) \(\text{НОЗ} = 26\): \(6\dfrac{5}{26} - 3\dfrac{18}{26}\). Заемаме едно цяло: \(5\dfrac{31}{26} - 3\dfrac{18}{26} = 2\dfrac{13}{26} = 2\dfrac{1}{2}\).
б) \(\text{НОЗ} = 26\): \(6\dfrac{5}{26} - 3\dfrac{18}{26}\). Заемаме едно цяло: \(5\dfrac{31}{26} - 3\dfrac{18}{26} = 2\dfrac{13}{26} = 2\dfrac{1}{2}\).
18
Пресметнете: а) \(\dfrac{385}{1000}\) kg \(- \dfrac{23}{100}\) kg; б) \(\dfrac{9}{20}\) m \(- \dfrac{11}{30}\) m; в) \(\dfrac{4}{5}\) часа \(- \dfrac{2}{3}\) часа.
▼
Решениеа) \(\dfrac{385}{1000} - \dfrac{230}{1000} = \dfrac{155}{1000} = \dfrac{31}{200}\) kg.
б) \(\text{НОЗ} = 60\): \(\dfrac{27}{60} - \dfrac{22}{60} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}\) m.
в) \(\text{НОЗ} = 15\): \(\dfrac{12}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{15}\) часа.
б) \(\text{НОЗ} = 60\): \(\dfrac{27}{60} - \dfrac{22}{60} = \dfrac{5}{60} = \dfrac{1}{12}\) m.
в) \(\text{НОЗ} = 15\): \(\dfrac{12}{15} - \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{15}\) часа.
19
От дробта \(\dfrac{17}{30}\) извадете разликата на дробите \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{1}{5}\).
▼
РешениеПърво намираме разликата: \(\dfrac{8}{15} - \dfrac{3}{15} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}\).
После я изваждаме: \(\dfrac{17}{30} - \dfrac{10}{30} = \dfrac{7}{30}\).
После я изваждаме: \(\dfrac{17}{30} - \dfrac{10}{30} = \dfrac{7}{30}\).
20
Към дробта \(\dfrac{4}{7}\) прибавете разликата на дробите \(\dfrac{11}{14}\) и \(\dfrac{2}{7}\).
▼
РешениеРазликата е \(\dfrac{11}{14} - \dfrac{4}{14} = \dfrac{7}{14} = \dfrac{1}{2}\).
Тогава \(\dfrac{4}{7} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{14} + \dfrac{7}{14} = \dfrac{15}{14}\).
Тогава \(\dfrac{4}{7} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{14} + \dfrac{7}{14} = \dfrac{15}{14}\).
21
С колко е по-малка разликата на числата \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{1}{2}\) от техния сбор?⭐ повишена трудност
▼
РешениеРазликата е \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{4}\), а сборът е \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} = \dfrac{5}{4}\).
Търсим с колко сборът е по-голям от разликата: \(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\).
Значи разликата е по-малка от сбора с \(1\). Забележете, че \(1\) е точно удвоеното по-малко число \(\dfrac{1}{2}\) — така е винаги.
Търсим с колко сборът е по-голям от разликата: \(\dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{4} = 1\).
Значи разликата е по-малка от сбора с \(1\). Забележете, че \(1\) е точно удвоеното по-малко число \(\dfrac{1}{2}\) — така е винаги.
22
Ако \(a = \dfrac{12}{50}\), числото \(b\) е с \(\dfrac{9}{50}\) по-малко от \(a\) и \(a + b + c = \dfrac{17}{20}\), намерете числото \(c\).⭐ повишена трудност
▼
Решение\(b = \dfrac{12}{50} - \dfrac{9}{50} = \dfrac{3}{50}\), затова \(a + b = \dfrac{15}{50} = \dfrac{3}{10}\).
От \(a + b + c = \dfrac{17}{20}\) следва \(c = \dfrac{17}{20} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{17}{20} - \dfrac{6}{20} = \dfrac{11}{20}\).
От \(a + b + c = \dfrac{17}{20}\) следва \(c = \dfrac{17}{20} - \dfrac{3}{10} = \dfrac{17}{20} - \dfrac{6}{20} = \dfrac{11}{20}\).
23
Симеон изминал \(\dfrac{1}{8}\) от пътя до селото на дядо си с автобус, \(\dfrac{5}{6}\) от целия път — с влак, а останалата част извървял пеша. Каква част от пътя е извървял пеша?⭐ повишена трудност
▼
РешениеС автобус и влак Симеон е изминал \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{5}{6}\). При \(\text{НОЗ} = 24\): \(\dfrac{3}{24} + \dfrac{20}{24} = \dfrac{23}{24}\).
Целият път е \(1 = \dfrac{24}{24}\), затова пеша е извървял \(\dfrac{24}{24} - \dfrac{23}{24} = \dfrac{1}{24}\) от пътя.
Целият път е \(1 = \dfrac{24}{24}\), затова пеша е извървял \(\dfrac{24}{24} - \dfrac{23}{24} = \dfrac{1}{24}\) от пътя.
24
Група туристи изминали първия ден \(\dfrac{3}{8}\) от предвидения маршрут. Втория ден изминали с \(\dfrac{1}{10}\) от маршрута по-малко от първия ден, а третия ден — \(\dfrac{1}{5}\) от маршрута. Каква част от маршрута са изминали за трите дни и каква част им остава?⭐ повишена трудност
▼
РешениеВтория ден: \(\dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{10}\). При \(\text{НОЗ} = 40\): \(\dfrac{15}{40} - \dfrac{4}{40} = \dfrac{11}{40}\).
За трите дни: \(\dfrac{15}{40} + \dfrac{11}{40} + \dfrac{8}{40} = \dfrac{34}{40} = \dfrac{17}{20}\) от маршрута.
Остава \(\dfrac{20}{20} - \dfrac{17}{20} = \dfrac{3}{20}\) от маршрута.
За трите дни: \(\dfrac{15}{40} + \dfrac{11}{40} + \dfrac{8}{40} = \dfrac{34}{40} = \dfrac{17}{20}\) от маршрута.
Остава \(\dfrac{20}{20} - \dfrac{17}{20} = \dfrac{3}{20}\) от маршрута.
25
Една машина превозва \(5\dfrac{3}{10}\) t товар, а друга — с \(1\dfrac{4}{5}\) t по-малко. Колко тона превозват двете машини заедно?⭐ повишена трудност
▼
РешениеВтората машина превозва \(5\dfrac{3}{10} - 1\dfrac{4}{5} = 5\dfrac{3}{10} - 1\dfrac{8}{10}\). Заемаме едно цяло:
\(4\dfrac{13}{10} - 1\dfrac{8}{10} = 3\dfrac{5}{10} = 3\dfrac{1}{2}\) t.
Двете заедно: \(5\dfrac{3}{10} + 3\dfrac{5}{10} = 8\dfrac{8}{10} = 8\dfrac{4}{5}\) t.
\(4\dfrac{13}{10} - 1\dfrac{8}{10} = 3\dfrac{5}{10} = 3\dfrac{1}{2}\) t.
Двете заедно: \(5\dfrac{3}{10} + 3\dfrac{5}{10} = 8\dfrac{8}{10} = 8\dfrac{4}{5}\) t.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Съкратете предварително една от дробите и намерете разликата: а) \(\dfrac{12}{8} - \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{10}{100} - \dfrac{1}{20}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1\); б) \(\dfrac{2}{20} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{20}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1\); б) \(\dfrac{2}{20} - \dfrac{1}{20} = \dfrac{1}{20}\).
Задача 2Съкратете предварително една от дробите и намерете разликата: а) \(\dfrac{21}{14} - \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{45}{60} - \dfrac{1}{4}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1\); б) \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1\); б) \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).
Задача 3Разширете предварително една от дробите и намерете разликата: а) \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{2}\); б) \(\dfrac{5}{24} - \dfrac{1}{12}\).
Отг.: а) \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{4}{8} = \dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{5}{24} - \dfrac{2}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}\).
Отг.: а) \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{4}{8} = \dfrac{3}{8}\); б) \(\dfrac{5}{24} - \dfrac{2}{24} = \dfrac{3}{24} = \dfrac{1}{8}\).
Задача 4Намерете разликата: а) \(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}\); б) \(\dfrac{4}{5} - \dfrac{1}{4}\).
Отг.: а) \(\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\); б) \(\dfrac{16}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{11}{20}\).
Отг.: а) \(\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\); б) \(\dfrac{16}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{11}{20}\).
Задача 5Намерете разликата: а) \(\dfrac{7}{10} - \dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{5}{8} - \dfrac{1}{3}\).
Отг.: а) \(\dfrac{14}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{9}{20}\); б) \(\dfrac{15}{24} - \dfrac{8}{24} = \dfrac{7}{24}\).
Отг.: а) \(\dfrac{14}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{9}{20}\); б) \(\dfrac{15}{24} - \dfrac{8}{24} = \dfrac{7}{24}\).
Задача 6Пресметнете разликата \(\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{8}\) и направете проверка със събиране.
Отг.: \(\dfrac{22}{24} - \dfrac{15}{24} = \dfrac{7}{24}\); проверка: \(\dfrac{7}{24} + \dfrac{15}{24} = \dfrac{22}{24} = \dfrac{11}{12}\).
Отг.: \(\dfrac{22}{24} - \dfrac{15}{24} = \dfrac{7}{24}\); проверка: \(\dfrac{7}{24} + \dfrac{15}{24} = \dfrac{22}{24} = \dfrac{11}{12}\).
Задача 7Намерете разликите: а) \(\dfrac{13}{18} - \dfrac{5}{12}\); б) \(\dfrac{9}{14} - \dfrac{3}{7}\).
Отг.: а) \(\dfrac{26}{36} - \dfrac{15}{36} = \dfrac{11}{36}\); б) \(\dfrac{9}{14} - \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{14}\).
Отг.: а) \(\dfrac{26}{36} - \dfrac{15}{36} = \dfrac{11}{36}\); б) \(\dfrac{9}{14} - \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{14}\).
Задача 8Намерете разликата: а) \(1 - \dfrac{4}{9}\); б) \(3 - \dfrac{2}{7}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{9}\); б) \(\dfrac{21}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{19}{7} = 2\dfrac{5}{7}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{9}\); б) \(\dfrac{21}{7} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{19}{7} = 2\dfrac{5}{7}\).
Задача 9Намерете разликата: а) \(4 - \dfrac{7}{8}\); б) \(7 - \dfrac{3}{10}\).
Отг.: а) \(3\dfrac{1}{8}\); б) \(6\dfrac{7}{10}\).
Отг.: а) \(3\dfrac{1}{8}\); б) \(6\dfrac{7}{10}\).
Задача 10Пресметнете \(1 - \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{16}\).
Отг.: \(\dfrac{16}{16} - \dfrac{6}{16} + \dfrac{5}{16} = \dfrac{15}{16}\).
Отг.: \(\dfrac{16}{16} - \dfrac{6}{16} + \dfrac{5}{16} = \dfrac{15}{16}\).
Задача 11Пресметнете \(5 - \dfrac{1}{6} + \dfrac{2}{3}\).
Отг.: \(\dfrac{30}{6} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} = 5\dfrac{1}{2}\).
Отг.: \(\dfrac{30}{6} - \dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{33}{6} = \dfrac{11}{2} = 5\dfrac{1}{2}\).
Задача 12Пресметнете \(\left(\dfrac{5}{9} + \dfrac{1}{3}\right) - \dfrac{2}{9}\).
Отг.: \(\dfrac{8}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).
Отг.: \(\dfrac{8}{9} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\).
Задача 13Пресметнете \(\dfrac{11}{12} - \left(\dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6}\right)\).
Отг.: \(\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\); \(\dfrac{11}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
Отг.: \(\dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12}\); \(\dfrac{11}{12} - \dfrac{7}{12} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
Задача 14Пресметнете \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{3}\right)\).
Отг.: \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{7}{9}\).
Отг.: \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{3}{9} + \dfrac{4}{9} = \dfrac{7}{9}\).
Задача 15Като извадите поотделно целите и дробните части, намерете разликите: а) \(9\dfrac{5}{7} - 4\dfrac{2}{7}\); б) \(14\dfrac{11}{15} - 6\dfrac{4}{15}\).
Отг.: а) \(5\dfrac{3}{7}\); б) \(8\dfrac{7}{15}\).
Отг.: а) \(5\dfrac{3}{7}\); б) \(8\dfrac{7}{15}\).
Задача 16Намерете разликите: а) \(12\dfrac{4}{9} - 5\); б) \(20\dfrac{3}{8} - 20\).
Отг.: а) \(7\dfrac{4}{9}\); б) \(\dfrac{3}{8}\).
Отг.: а) \(7\dfrac{4}{9}\); б) \(\dfrac{3}{8}\).
Задача 17Намерете разликата: а) \(4 - 1\dfrac{2}{5}\); б) \(8 - 3\dfrac{5}{6}\).
Отг.: а) \(3\dfrac{5}{5} - 1\dfrac{2}{5} = 2\dfrac{3}{5}\); б) \(7\dfrac{6}{6} - 3\dfrac{5}{6} = 4\dfrac{1}{6}\).
Отг.: а) \(3\dfrac{5}{5} - 1\dfrac{2}{5} = 2\dfrac{3}{5}\); б) \(7\dfrac{6}{6} - 3\dfrac{5}{6} = 4\dfrac{1}{6}\).
Задача 18Намерете разликата \(9\dfrac{2}{5} - 3\dfrac{7}{10}\).
Отг.: \(9\dfrac{4}{10} - 3\dfrac{7}{10} = 8\dfrac{14}{10} - 3\dfrac{7}{10} = 5\dfrac{7}{10}\).
Отг.: \(9\dfrac{4}{10} - 3\dfrac{7}{10} = 8\dfrac{14}{10} - 3\dfrac{7}{10} = 5\dfrac{7}{10}\).
Задача 19Намерете разликата \(12\dfrac{1}{6} - 4\dfrac{3}{4}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 12\); \(12\dfrac{2}{12} - 4\dfrac{9}{12} = 11\dfrac{14}{12} - 4\dfrac{9}{12} = 7\dfrac{5}{12}\).
Отг.: \(\text{НОЗ} = 12\); \(12\dfrac{2}{12} - 4\dfrac{9}{12} = 11\dfrac{14}{12} - 4\dfrac{9}{12} = 7\dfrac{5}{12}\).
Задача 20Пресметнете \(\dfrac{3}{4}\) kg \(- \dfrac{250}{1000}\) kg.
Отг.: \(\dfrac{750}{1000} - \dfrac{250}{1000} = \dfrac{500}{1000} = \dfrac{1}{2}\) kg.
Отг.: \(\dfrac{750}{1000} - \dfrac{250}{1000} = \dfrac{500}{1000} = \dfrac{1}{2}\) kg.
Задача 21Пресметнете: а) \(\dfrac{7}{10}\) m \(- \dfrac{1}{4}\) m; б) \(\dfrac{5}{6}\) часа \(- \dfrac{1}{2}\) часа.
Отг.: а) \(\dfrac{14}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{9}{20}\) m; б) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) часа.
Отг.: а) \(\dfrac{14}{20} - \dfrac{5}{20} = \dfrac{9}{20}\) m; б) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) часа.
Задача 22От дробта \(\dfrac{13}{20}\) извадете разликата на дробите \(\dfrac{7}{10}\) и \(\dfrac{1}{2}\).
Отг.: разликата е \(\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\); \(\dfrac{13}{20} - \dfrac{4}{20} = \dfrac{9}{20}\).
Отг.: разликата е \(\dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\); \(\dfrac{13}{20} - \dfrac{4}{20} = \dfrac{9}{20}\).
Задача 23Към дробта \(\dfrac{3}{8}\) прибавете разликата на дробите \(\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{1}{3}\).
Отг.: разликата е \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8}\).
Отг.: разликата е \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\); \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{4}{8} = \dfrac{7}{8}\).
Задача 24С колко е по-голям сборът на числата \(\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{3}{8}\) от тяхната разлика?
Отг.: сборът е \(\dfrac{7}{8}\), разликата е \(\dfrac{1}{8}\); \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).
Отг.: сборът е \(\dfrac{7}{8}\), разликата е \(\dfrac{1}{8}\); \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{1}{8} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}\).
Задача 25Намерете грешната разлика: А) \(\dfrac{4}{7} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{22}{63}\); Б) \(\dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{7} = \dfrac{18}{35}\); В) \(\dfrac{11}{12} - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{4}\); Г) \(\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{5} = \dfrac{11}{40}\).
Отг.: Г) — вярното е \(\dfrac{25}{40} - \dfrac{16}{40} = \dfrac{9}{40}\).
Отг.: Г) — вярното е \(\dfrac{25}{40} - \dfrac{16}{40} = \dfrac{9}{40}\).
Задача 26Ани купила \(\dfrac{5}{8}\) kg плодове и с \(\dfrac{1}{4}\) kg по-малко зеленчуци. а) Колко килограма зеленчуци е купила? б) Колко килограма плодове и зеленчуци е купила общо?
Отг.: а) \(\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}\) kg; б) \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8} = 1\) kg.
Отг.: а) \(\dfrac{5}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}\) kg; б) \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8} = 1\) kg.
Задача 27Мария засадила \(\dfrac{5}{12}\) от градината си с лалета, а с рози — с \(\dfrac{1}{4}\) от цялата градина по-малко. Останалата част засадила с хризантеми. а) Каква част от градината е засадила с рози? б) Каква част е засадила с хризантеми?
Отг.: а) \(\dfrac{5}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\); б) \(\dfrac{12}{12} - \dfrac{5}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{12} - \dfrac{3}{12} = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\); б) \(\dfrac{12}{12} - \dfrac{5}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
Задача 28Всеки ден Иван спортува: пробягва \(\dfrac{1}{3}\) km, след това извървява пеша с \(\dfrac{1}{6}\) km повече, отколкото е пробягал, а на връщане изминава с \(\dfrac{1}{4}\) km по-малко от извървяното пеша. Колко километра изминава общо Иван?
Отг.: пеша \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}\) km; на връщане \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\) km; общо \(\dfrac{4}{12} + \dfrac{6}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}\) km.
Отг.: пеша \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2}\) km; на връщане \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}\) km; общо \(\dfrac{4}{12} + \dfrac{6}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{13}{12} = 1\dfrac{1}{12}\) km.
Задача 29Ако \(a = \dfrac{9}{40}\), числото \(b\) е с \(\dfrac{5}{40}\) по-малко от \(a\) и \(a + b + c = \dfrac{7}{8}\), намерете числото \(c\).
Отг.: \(b = \dfrac{4}{40}\); \(a + b = \dfrac{13}{40}\); \(c = \dfrac{35}{40} - \dfrac{13}{40} = \dfrac{22}{40} = \dfrac{11}{20}\).
Отг.: \(b = \dfrac{4}{40}\); \(a + b = \dfrac{13}{40}\); \(c = \dfrac{35}{40} - \dfrac{13}{40} = \dfrac{22}{40} = \dfrac{11}{20}\).
Задача 30 — с повишена трудностЕдна машина превозва \(6\dfrac{1}{4}\) t товар, а друга — с \(2\dfrac{3}{5}\) t по-малко. Колко тона превозват двете машини заедно?
Отг.: втората машина \(6\dfrac{5}{20} - 2\dfrac{12}{20} = 5\dfrac{25}{20} - 2\dfrac{12}{20} = 3\dfrac{13}{20}\) t; общо \(6\dfrac{5}{20} + 3\dfrac{13}{20} = 9\dfrac{18}{20} = 9\dfrac{9}{10}\) t.
Отг.: втората машина \(6\dfrac{5}{20} - 2\dfrac{12}{20} = 5\dfrac{25}{20} - 2\dfrac{12}{20} = 3\dfrac{13}{20}\) t; общо \(6\dfrac{5}{20} + 3\dfrac{13}{20} = 9\dfrac{18}{20} = 9\dfrac{9}{10}\) t.
✅ Онлайн тест
Тест: Изваждане на обикновени дроби с различни знаменатели
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Дроби с различни знаменатели се изваждат, като:
2Разликата \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{2}\) е равна на:
3Разликата \(\dfrac{3}{5} - \dfrac{1}{7}\) е равна на:
4Проверката на изваждането се прави чрез:
5Разликата \(1 - \dfrac{3}{14}\) е равна на:
6Разликата \(6 - \dfrac{5}{8}\) е равна на:
7Изразът \(\left(\dfrac{7}{15} + \dfrac{1}{5}\right) - \dfrac{1}{3}\) е равен на:
8Разликата \(15\dfrac{3}{11} - 3\dfrac{2}{11}\) е равна на:
9Разликата \(7\dfrac{3}{8} - 4\dfrac{5}{6}\) е равна на:
10Когато дробната част на умаляемото е по-малка от дробната част на умалителя:
11Разликата \(5 - 2\dfrac{1}{3}\) е равна на:
12Разликата \(\dfrac{9}{20}\) m \(- \dfrac{11}{30}\) m е равна на:
13Ако от \(\dfrac{17}{30}\) извадим разликата на \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{1}{5}\), се получава:
14С колко е по-малка разликата на числата \(\dfrac{3}{4}\) и \(\dfrac{1}{2}\) от техния сбор?
15Коя разлика е сгрешена?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
20
Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели. Разместително и съдружително свойства на действието събиране
Урок за 5. клас — предходната тема от дял „Дробни числа“: събиране чрез общ знаменател, свойства на събирането, рационално пресмятане.
Към урока →
18
Събиране и изваждане на обикновени дроби с равни знаменатели
Урок за 5. клас — правилото, до което свеждаме всяко изваждане, след като приведем дробите към общ знаменател, и проверката чрез събиране.
Към урока →
19
Смесени числа. Преминаване от смесено число в неправилна обикновена дроб и обратно
Урок за 5. клас — цяла и дробна част, изключване на цялото: точно тези умения стоят зад заемането на едно цяло при изваждането.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар