📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Дробни числа › Разпределително свойство

Действия с обикновени дроби. Разпределително свойство на умножението относно събирането и изваждането

Ред на действията, разпределително свойство на умножението относно събирането и изваждането, изнасяне на общ множител и рационално пресмятане. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса

5. клас Дробни числа Действия с дроби Разпределително свойство Рационално пресмятане

Когато в един израз участват събиране, изваждане, умножение и деление на дроби, трябва да спазваме реда на действията. Ако в сбор или разлика има общ множител, можем да използваме разпределителното свойство и да пресметнем израза по-удобно.

🔢 Ред на действията

В израз без скоби първо извършваме умноженията и деленията отляво надясно, а след това събиранията и изважданията отляво надясно. Ако има скоби, първо пресмятаме изразите в тях, като и вътре в скобите спазваме същия ред на действията.

Пример. \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}\). Първо умножаваме, после събираме.

🗂️ Разпределително свойство на умножението

Нека \(\dfrac{a}{b}\), \(\dfrac{c}{d}\) и \(\dfrac{m}{n}\) са обикновени дроби. Тогава: \[\left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} + \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} \quad \text{(относно събирането),}\] \[\left(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} - \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} \quad \text{(относно изваждането).}\] Поради разместителното свойство множителят може да стои и пред скобите: \[\frac{m}{n} \cdot \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) = \frac{m}{n} \cdot \frac{a}{b} + \frac{m}{n} \cdot \frac{c}{d}, \qquad \frac{m}{n} \cdot \left(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}\right) = \frac{m}{n} \cdot \frac{a}{b} - \frac{m}{n} \cdot \frac{c}{d}.\]

Пример. \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\right) \cdot 6 = \dfrac{2}{3} \cdot 6 + \dfrac{1}{6} \cdot 6 = 4 + 1 = 5\).

➗ Изнасяне на общ множител

Разпределителното свойство можем да използваме и в обратна посока. Когато в сбор или разлика участва един и същ множител, можем да го изнесем пред скоба: \[\frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} + \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} = \left(\frac{a}{b} + \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n},\] \[\frac{a}{b} \cdot \frac{m}{n} - \frac{c}{d} \cdot \frac{m}{n} = \left(\frac{a}{b} - \frac{c}{d}\right) \cdot \frac{m}{n}.\] Например \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{5}{8} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{5}{8} = \left(\dfrac{3}{7} + \dfrac{4}{7}\right) \cdot \dfrac{5}{8} = 1 \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8}\).

Лицето на целия правоъгълник е \((a + b) \cdot m\), а сборът на лицата на двете части е \(a \cdot m + b \cdot m\). Двата начина дават едно и също — това е разпределителното свойство.

💡 Полезно

Когато умножаваме или делим, превръщаме смесените числа в неправилни дроби, а целите числа записваме като дроби със знаменател \(1\). Преди да започнем пресмятането, проверяваме дали можем да изнесем общ множител или дали след действията в скобите се получава удобно число — например \(1\) или друго цяло число.

---

✏️ Разработени задачи

Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.

1

Запишете като произведение изразите: а) \(\dfrac{4}{9} \cdot a + \dfrac{2}{9} \cdot a\); б) \(\dfrac{7}{10} \cdot b - \dfrac{3}{10} \cdot b\).

▼

РешениеИзнасяме общия множител:
а) \(\dfrac{4}{9} \cdot a + \dfrac{2}{9} \cdot a = \left(\dfrac{4}{9} + \dfrac{2}{9}\right) \cdot a = \dfrac{6}{9} \cdot a = \dfrac{2}{3} \cdot a\).
б) \(\dfrac{7}{10} \cdot b - \dfrac{3}{10} \cdot b = \left(\dfrac{7}{10} - \dfrac{3}{10}\right) \cdot b = \dfrac{4}{10} \cdot b = \dfrac{2}{5} \cdot b\).

2

Намерете стойностите на израза \(1\dfrac{1}{3} \cdot a + a \cdot \dfrac{2}{3}\) при \(a = \dfrac{3}{8}\) и при \(a = 1\dfrac{1}{2}\).

▼

РешениеИзнасяме \(a\): \(a \cdot \left(1\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) = a \cdot \left(\dfrac{4}{3} + \dfrac{2}{3}\right) = a \cdot 2\).
При \(a = \dfrac{3}{8}\): \(\dfrac{3}{8} \cdot 2 = \dfrac{3}{4}\).
При \(a = 1\dfrac{1}{2}\): \(\dfrac{3}{2} \cdot 2 = 3\).

3

Като приложите подходящи свойства на умножението, пресметнете: а) \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{4}\); б) \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{21} + \dfrac{8}{21} \cdot \dfrac{1}{8}\).

▼

Решениеа) Изнасяме \(\dfrac{3}{4}\): \(\dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}\right) = \dfrac{3}{4} \cdot 1 = \dfrac{3}{4}\).
б) Изнасяме \(\dfrac{8}{21}\): \(\dfrac{8}{21} \cdot \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{8}\right) = \dfrac{8}{21} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{7}{21} = \dfrac{1}{3}\).

4

Намерете: а) произведението на дробта \(\dfrac{3}{8}\) със сбора \(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\); б) произведението на сбора \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3}\) със сбора \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{3}{8} \cdot \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}\right) = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{40} = \dfrac{3}{10}\).
б) \(\left(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{3}{6} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}\).

5

Пресметнете, като спазвате реда на действията: а) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\); б) \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\).

▼

РешениеПърво умножаваме, после събираме или изваждаме.
а) \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{5}{6}\).
б) \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6}\).

6

Пресметнете \(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{6}\).

▼

РешениеИзнасяме общия множител \(\dfrac{5}{6}\):
\(\dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{3}{6} + \dfrac{4}{6}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{7}{6} = \dfrac{35}{36}\).

7

Пресметнете: а) \(\dfrac{3}{4} : \left(\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3}{4}\right)\); б) \(\dfrac{8}{9} : \left(\dfrac{1}{14} : \dfrac{3}{28}\right)\).

▼

РешениеПърво пресмятаме действието в скобите.
а) \(\dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{32}\); \(\;\dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{32} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{32}{3} = \dfrac{32}{4} = 8\).
б) \(\dfrac{1}{14} : \dfrac{3}{28} = \dfrac{1}{14} \cdot \dfrac{28}{3} = \dfrac{2}{3}\); \(\;\dfrac{8}{9} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).

8

Пресметнете по рационален начин: а) \(\left(\dfrac{6}{7} + \dfrac{8}{28}\right) \cdot \dfrac{7}{8}\); б) \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{20} \cdot \dfrac{1}{4}\).

▼

Решениеа) \(\dfrac{8}{28} = \dfrac{2}{7}\), затова \(\left(\dfrac{6}{7} + \dfrac{2}{7}\right) \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{8}{7} \cdot \dfrac{7}{8} = 1\).
б) Изнасяме \(\dfrac{1}{20}\): \(\dfrac{1}{20} \cdot \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{20} \cdot 1 = \dfrac{1}{20}\).

9

Пресметнете: а) \(3 \cdot \left(1\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}\right)\); б) \(\left(2 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(2 + \dfrac{1}{3}\right)\).

▼

Решениеа) По разпределителното свойство: \(3 \cdot 1\dfrac{1}{5} - 3 \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{18}{5} - 1 = \dfrac{13}{5} = 2\dfrac{3}{5}\).
б) \(\left(2 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(2 + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{7}{3} = \dfrac{35}{9} = 3\dfrac{8}{9}\).

10

Във всяко равенство поставете един от знаците за аритметично действие (\(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\)), така че равенствата да са верни: а) \(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\right) * \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}\); б) \(\left(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{9}\right) * \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\).

▼

Решениеа) В скобата: \(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8} = 1\). Търсим действие с \(1\) и \(\dfrac{2}{3}\), което дава \(\dfrac{3}{2}\): това е делението, защото \(1 : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}\). Значи \(* = \; :\).
б) В скобата: \(\dfrac{7}{9} - \dfrac{1}{9} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}\). Търсим действие с \(\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{3}{4}\), което дава \(\dfrac{1}{2}\): това е умножението, защото \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\). Значи \(* = \; \cdot\).

11

Пресметнете \(\left(12\dfrac{3}{5} - 9\dfrac{1}{5}\right) \cdot \dfrac{5}{17} : \dfrac{1}{2}\).

▼

РешениеПърво скобата: \(12\dfrac{3}{5} - 9\dfrac{1}{5} = 3\dfrac{2}{5} = \dfrac{17}{5}\).
После умножение и деление отляво надясно: \(\dfrac{17}{5} \cdot \dfrac{5}{17} = 1\); \(\;1 : \dfrac{1}{2} = 2\).

12

Пресметнете \(\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3}\right) : \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3}\right)\).

▼

РешениеПресмятаме двете скоби:
\(\dfrac{3}{2} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{9}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{13}{6}\); \(\quad \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{9}{12} + \dfrac{4}{12} = \dfrac{13}{12}\).
\(\dfrac{13}{6} : \dfrac{13}{12} = \dfrac{13}{6} \cdot \dfrac{12}{13} = \dfrac{12}{6} = 2\).

13

Намерете стойността на израза \(\dfrac{1}{5} \cdot x + \dfrac{7}{5} \cdot x + \dfrac{3}{15} \cdot x\) при \(x = \dfrac{5}{13}\).

▼

РешениеИзнасяме \(x\): \(x \cdot \left(\dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{5} + \dfrac{3}{15}\right) = x \cdot \left(\dfrac{3}{15} + \dfrac{21}{15} + \dfrac{3}{15}\right) = x \cdot \dfrac{27}{15} = x \cdot \dfrac{9}{5}\).
При \(x = \dfrac{5}{13}\): \(\dfrac{5}{13} \cdot \dfrac{9}{5} = \dfrac{9}{13}\).

14

Намерете стойността на израза \(\dfrac{2}{3} \cdot a + \dfrac{4}{7} \cdot b + \dfrac{1}{6} \cdot a - \dfrac{3}{14} \cdot b\) при \(a = 6\) и \(b = 42\).

▼

РешениеГрупираме членовете с \(a\) и с \(b\):
\(a \cdot \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\right) + b \cdot \left(\dfrac{4}{7} - \dfrac{3}{14}\right) = a \cdot \dfrac{5}{6} + b \cdot \dfrac{5}{14}\).
При \(a = 6\): \(6 \cdot \dfrac{5}{6} = 5\); при \(b = 42\): \(42 \cdot \dfrac{5}{14} = 15\). Стойността е \(5 + 15 = 20\).

15

Пресметнете по рационален начин \(\left(\dfrac{2}{11} + \dfrac{7}{11} - \dfrac{5}{11}\right) \cdot 3\dfrac{2}{3}\).

▼

РешениеПърво скобата: \(\dfrac{2}{11} + \dfrac{7}{11} - \dfrac{5}{11} = \dfrac{4}{11}\).
\(\dfrac{4}{11} \cdot 3\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{11} \cdot \dfrac{11}{3} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).

16

Пресметнете \(\left(\dfrac{17}{23} + \dfrac{15}{23} - \dfrac{8}{23}\right) \cdot 5\dfrac{3}{4}\).

▼

РешениеСкобата: \(\dfrac{17}{23} + \dfrac{15}{23} - \dfrac{8}{23} = \dfrac{24}{23}\).
\(\dfrac{24}{23} \cdot 5\dfrac{3}{4} = \dfrac{24}{23} \cdot \dfrac{23}{4} = \dfrac{24}{4} = 6\).

17

Намерете произведението на сбора \(\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10}\) със сбора \(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6}\).

▼

Решение\(\left(\dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10}\right) \cdot \left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{4}{10} \cdot 1 = \dfrac{2}{5}\).

18

Пресметнете \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{8} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3}\).

▼

РешениеПърво умножение и деление: \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{3} = 2\); \(\;\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}\).
После събиране и изваждане: \(\dfrac{1}{2} + 2 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{12}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{13}{6} = 2\dfrac{1}{6}\).

19

Пресметнете по рационален начин: а) \(3 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3}\); б) \(\dfrac{3}{4} \cdot 10 \cdot \dfrac{4}{3}\).

▼

РешениеРазместваме и групираме удобните множители.
а) \(\left(3 \cdot \dfrac{1}{3}\right) \cdot \dfrac{2}{5} = 1 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{5}\).
б) \(\left(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4}{3}\right) \cdot 10 = 1 \cdot 10 = 10\).

20

Вярно ли е равенството \(\dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{5}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{4}{5}\)? Проверете чрез пресмятане.

▼

РешениеВярно — това е разпределителното свойство на умножението относно събирането.
Лява страна: \(\dfrac{5}{6} \cdot \left(\dfrac{10}{15} + \dfrac{12}{15}\right) = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{22}{15} = \dfrac{11}{9}\).
Дясна страна: \(\dfrac{5}{9} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{9} + \dfrac{6}{9} = \dfrac{11}{9}\). Двете страни са равни.

21

Пресметнете \(\dfrac{1}{37} \cdot \left(7\dfrac{2}{5} \cdot 6\dfrac{1}{7} + 3\dfrac{6}{7} \cdot 7\dfrac{2}{5}\right)\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеВ скобата изнасяме общия множител \(7\dfrac{2}{5} = \dfrac{37}{5}\):
\(7\dfrac{2}{5} \cdot \left(6\dfrac{1}{7} + 3\dfrac{6}{7}\right) = \dfrac{37}{5} \cdot 10 = 74\), защото \(6\dfrac{1}{7} + 3\dfrac{6}{7} = 10\).
Тогава \(\dfrac{1}{37} \cdot 74 = 2\).

22

Във всяко равенство поставете подходящ знак за аритметично действие (\(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\)), така че равенствата да са верни: а) \(\left(\dfrac{3}{5} * \dfrac{1}{2}\right) : \dfrac{3}{10} = 1\); б) \(\left(\dfrac{7}{8} * \dfrac{3}{8}\right) : \dfrac{1}{2} = 1\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеЗа да бъде частното равно на \(1\), стойността на израза в скобите трябва да е равна на делителя.
а) Делителят е \(\dfrac{3}{10}\), а \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{10}\). Значи \(* = \; \cdot\).
б) Делителят е \(\dfrac{1}{2}\), а \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\). Значи \(* = \; -\).

23

Намерете най-голямото число, с което, като се разделят дробите \(\dfrac{8}{15}\) и \(\dfrac{18}{35}\), се получават цели числа.⭐ повишена трудност

▼

РешениеДадените дроби са несъкратими. При несъкратими дроби търсеното най-голямо число има за числител НОД на числителите, а за знаменател — НОК на знаменателите:
\(\dfrac{\text{НОД}(8;\,18)}{\text{НОК}(15;\,35)} = \dfrac{2}{105}\).
Проверка: \(\dfrac{8}{15} : \dfrac{2}{105} = \dfrac{8}{15} \cdot \dfrac{105}{2} = 28\); \(\;\dfrac{18}{35} : \dfrac{2}{105} = \dfrac{18}{35} \cdot \dfrac{105}{2} = 27\) — и двете са цели числа.

24

Дадени са дробите \(\dfrac{35}{396}\) и \(\dfrac{28}{297}\). Намерете най-малкото положително число, което при деление с тези дроби дава цели числа.⭐ повишена трудност

▼

РешениеДадените дроби са несъкратими. При несъкратими дроби най-малкото положително число с исканото свойство има за числител НОК на числителите, а за знаменател — НОД на знаменателите:
\(\dfrac{\text{НОК}(35;\,28)}{\text{НОД}(396;\,297)} = \dfrac{140}{99}\).
Проверка: \(\dfrac{140}{99} : \dfrac{35}{396} = \dfrac{140}{99} \cdot \dfrac{396}{35} = 16\); \(\;\dfrac{140}{99} : \dfrac{28}{297} = \dfrac{140}{99} \cdot \dfrac{297}{28} = 15\) — и двете са цели числа.

25

Пресметнете \(\left(10\dfrac{5}{6} - 8\dfrac{1}{3}\right) : 2\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{20}\).⭐ повишена трудност

▼

РешениеПърво скобата: \(10\dfrac{5}{6} - 8\dfrac{1}{3} = 2 + \left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{2}{6}\right) = 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
После деленията отляво надясно: \(\dfrac{5}{2} : 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2} : \dfrac{5}{2} = 1\); \(\;1 : \dfrac{1}{20} = 20\).

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.

Задача 1Запишете като произведение: а) \(\dfrac{5}{8} \cdot a + \dfrac{1}{8} \cdot a\); б) \(\dfrac{9}{10} \cdot b - \dfrac{3}{10} \cdot b\).
Отг.: а) \(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{1}{8}\right) \cdot a = \dfrac{3}{4} \cdot a\); б) \(\left(\dfrac{9}{10} - \dfrac{3}{10}\right) \cdot b = \dfrac{3}{5} \cdot b\).

Задача 2Намерете стойностите на израза \(1\dfrac{1}{4} \cdot a + a \cdot \dfrac{3}{4}\) при \(a = \dfrac{2}{9}\) и при \(a = 1\dfrac{1}{2}\).
Отг.: \(a \cdot \left(1\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}\right) = a \cdot 2\); при \(a = \dfrac{2}{9}\) → \(\dfrac{4}{9}\); при \(a = 1\dfrac{1}{2}\) → \(3\).

Задача 3Приложете свойства на умножението: а) \(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{5}\); б) \(\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{20} + \dfrac{9}{20} \cdot \dfrac{1}{6}\).
Отг.: а) \(\dfrac{2}{5} \cdot \left(\dfrac{4}{7} + \dfrac{3}{7}\right) = \dfrac{2}{5}\); б) \(\dfrac{9}{20} \cdot \left(\dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6}\right) = \dfrac{9}{20}\).

Задача 4Намерете произведението на дробта \(\dfrac{5}{12}\) със сбора \(\dfrac{2}{7} + \dfrac{5}{7}\).
Отг.: \(\dfrac{5}{12} \cdot 1 = \dfrac{5}{12}\).

Задача 5Пресметнете: а) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{2}{5}\); б) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{2}{3}\).
Отг.: а) \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{11}{20}\); б) \(\dfrac{5}{6} - \dfrac{5}{9} = \dfrac{5}{18}\).

Задача 6Пресметнете \(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{4}{9}\).
Отг.: \(\dfrac{4}{9} \cdot \left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5}\right) = \dfrac{4}{9}\).

Задача 7Пресметнете: а) \(\dfrac{5}{8} : \left(\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{5}{8}\right)\); б) \(\dfrac{9}{10} : \left(\dfrac{1}{12} : \dfrac{5}{6}\right)\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{8} : \dfrac{5}{32} = 4\); б) \(\dfrac{1}{12} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{1}{10}\), \(\dfrac{9}{10} : \dfrac{1}{10} = 9\).

Задача 8Пресметнете по рационален начин: а) \(\left(\dfrac{2}{9} + \dfrac{4}{18}\right) \cdot \dfrac{9}{4}\); б) \(\dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{7} \cdot \dfrac{7}{12}\).
Отг.: а) \(\left(\dfrac{4}{18} + \dfrac{4}{18}\right) \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{4} = 1\); б) \(\dfrac{1}{7} \cdot \left(\dfrac{5}{12} + \dfrac{7}{12}\right) = \dfrac{1}{7}\).

Задача 9Пресметнете: а) \(5 \cdot \left(1\dfrac{1}{4} - \dfrac{2}{5}\right)\); б) \(\left(3 - \dfrac{1}{4}\right) \cdot \left(3 + \dfrac{1}{4}\right)\).
Отг.: а) \(5 \cdot \left(\dfrac{25}{20} - \dfrac{8}{20}\right) = 5 \cdot \dfrac{17}{20} = \dfrac{17}{4} = 4\dfrac{1}{4}\); б) \(\dfrac{11}{4} \cdot \dfrac{13}{4} = \dfrac{143}{16} = 8\dfrac{15}{16}\).

Задача 10Във всяко равенство поставете подходящ знак за аритметично действие (\(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\)), така че равенствата да са верни: а) \(\left(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8}\right) * \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}\); б) \(\left(\dfrac{5}{7} - \dfrac{1}{7}\right) * \dfrac{7}{8} = \dfrac{1}{2}\).
Отг.: а) \(* = \; :\) (\(1 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}\)); б) \(* = \; \cdot\) (\(\dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{7}{8} = \dfrac{1}{2}\)).

Задача 11Пресметнете \(\left(15\dfrac{4}{5} - 11\dfrac{1}{5}\right) \cdot \dfrac{5}{23} : \dfrac{1}{2}\).
Отг.: скоба \(= 4\dfrac{3}{5} = \dfrac{23}{5}\); \(\dfrac{23}{5} \cdot \dfrac{5}{23} = 1\); \(1 : \dfrac{1}{2} = 2\).

Задача 12Пресметнете \(\left(\dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{6}\right) : \left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{12}\right)\).
Отг.: \(\dfrac{14}{6} : \dfrac{14}{12} = \dfrac{14}{6} \cdot \dfrac{12}{14} = 2\).

Задача 13Намерете стойността на \(\dfrac{2}{7} \cdot x + \dfrac{5}{7} \cdot x + \dfrac{1}{14} \cdot x\) при \(x = \dfrac{7}{15}\).
Отг.: \(x \cdot \left(\dfrac{4}{14} + \dfrac{10}{14} + \dfrac{1}{14}\right) = x \cdot \dfrac{15}{14}\); при \(x = \dfrac{7}{15}\) → \(\dfrac{1}{2}\).

Задача 14Намерете стойността на \(\dfrac{3}{4} \cdot a + \dfrac{5}{9} \cdot b + \dfrac{1}{4} \cdot a - \dfrac{1}{6} \cdot b\) при \(a = 8\) и \(b = 9\).
Отг.: \(a \cdot 1 + b \cdot \left(\dfrac{5}{9} - \dfrac{1}{6}\right) = 8 + 9 \cdot \dfrac{7}{18} = 8 + 3\dfrac{1}{2} = 11\dfrac{1}{2}\).

Задача 15Пресметнете \(\left(\dfrac{2}{13} + \dfrac{9}{13} - \dfrac{4}{13}\right) \cdot 3\dfrac{1}{4}\).
Отг.: \(\dfrac{7}{13} \cdot \dfrac{13}{4} = \dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}\).

Задача 16Пресметнете \(\left(\dfrac{19}{25} + \dfrac{11}{25} - \dfrac{5}{25}\right) \cdot 5\).
Отг.: \(\dfrac{25}{25} \cdot 5 = 1 \cdot 5 = 5\).

Задача 17Намерете произведението на сбора \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{3}{8}\) със сбора \(\dfrac{2}{9} + \dfrac{7}{9}\).
Отг.: \(\dfrac{4}{8} \cdot 1 = \dfrac{1}{2}\).

Задача 18Пресметнете \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{9}\).
Отг.: \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{4} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{2}{9}\); \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} - \dfrac{2}{9} = \dfrac{10}{9} = 1\dfrac{1}{9}\).

Задача 19Пресметнете по рационален начин: а) \(5 \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{1}{5}\); б) \(\dfrac{4}{9} \cdot 10 \cdot \dfrac{9}{4}\).
Отг.: а) \(\left(5 \cdot \dfrac{1}{5}\right) \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{3}{8}\); б) \(\left(\dfrac{4}{9} \cdot \dfrac{9}{4}\right) \cdot 10 = 10\).

Задача 20Вярно ли е \(\dfrac{3}{4} \cdot \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6}\right) = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{6}\)? Проверете.
Отг.: Вярно (разпределително свойство). Лява страна: \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{6} = 1\); дясна страна: \(\dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} = 1\). Следователно равенството е вярно.

Задача 21 — с повишена трудностПресметнете \(\dfrac{1}{61} \cdot \left(12\dfrac{1}{5} \cdot 6\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{2}{3} \cdot 12\dfrac{1}{5}\right)\).
Отг.: изнасяме \(12\dfrac{1}{5} = \dfrac{61}{5}\); скоба \(6\dfrac{1}{3} + 3\dfrac{2}{3} = 10\); \(\dfrac{1}{61} \cdot \dfrac{61}{5} \cdot 10 = 2\).

Задача 22Във всяко равенство поставете подходящ знак за аритметично действие (\(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\)), така че равенствата да са верни: а) \(\left(\dfrac{2}{5} * \dfrac{1}{2}\right) : \dfrac{1}{5} = 1\); б) \(\left(\dfrac{5}{6} * \dfrac{1}{6}\right) : \dfrac{2}{3} = 1\).
Отг.: а) \(* = \; \cdot\) (\(\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}\)); б) \(* = \; -\) (\(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\)).

Задача 23 — с повишена трудностНамерете най-голямото число, с което, като се разделят дробите \(\dfrac{9}{20}\) и \(\dfrac{12}{35}\), се получават цели числа.
Отг.: дробите са несъкратими; \(\dfrac{\text{НОД}(9;12)}{\text{НОК}(20;35)} = \dfrac{3}{140}\); проверка: \(\dfrac{9}{20} : \dfrac{3}{140} = 21\), \(\dfrac{12}{35} : \dfrac{3}{140} = 16\).

Задача 24 — с повишена трудностДадени са дробите \(\dfrac{25}{78}\) и \(\dfrac{15}{91}\). Намерете най-малкото положително число, което при деление с тях дава цели числа.
Отг.: дробите са несъкратими; \(\dfrac{\text{НОК}(25;15)}{\text{НОД}(78;91)} = \dfrac{75}{13}\); проверка: \(\dfrac{75}{13} : \dfrac{25}{78} = 18\), \(\dfrac{75}{13} : \dfrac{15}{91} = 35\).

Задача 25Пресметнете \(\left(12\dfrac{5}{6} - 10\dfrac{1}{3}\right) : 2\dfrac{1}{2} : \dfrac{1}{20}\).
Отг.: скоба \(= 2\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\); \(\dfrac{5}{2} : \dfrac{5}{2} = 1\); \(1 : \dfrac{1}{20} = 20\).

Задача 26Пресметнете \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3}\right) \cdot 12\), като приложите разпределителното свойство.
Отг.: \(\dfrac{5}{6} \cdot 12 - \dfrac{1}{3} \cdot 12 = 10 - 4 = 6\).

Задача 27Запишете като произведение и пресметнете \(\dfrac{7}{12} \cdot \dfrac{5}{8} + \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{5}{8}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{7}{12} + \dfrac{5}{12}\right) \cdot \dfrac{5}{8} = 1 \cdot \dfrac{5}{8} = \dfrac{5}{8}\).

Задача 28Пресметнете \(\dfrac{3}{5} \cdot 2\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{5} \cdot \left(2\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) = \dfrac{3}{5} \cdot 3 = \dfrac{9}{5} = 1\dfrac{4}{5}\).

Задача 29 — с повишена трудностПресметнете \(\dfrac{1}{25} \cdot \left(6\dfrac{1}{4} \cdot 5\dfrac{3}{5} + 2\dfrac{2}{5} \cdot 6\dfrac{1}{4}\right)\).
Отг.: изнасяме \(6\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{4}\); скоба \(5\dfrac{3}{5} + 2\dfrac{2}{5} = 8\); \(\dfrac{1}{25} \cdot \dfrac{25}{4} \cdot 8 = 2\).

Задача 30 — с повишена трудностПресметнете \(\left(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) \cdot 12 - 1\right) \cdot \dfrac{1}{4}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{6}\right) \cdot 12 = 9 + 10 = 19\); \((19 - 1) \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{18}{4} = 4\dfrac{1}{2}\).

---

✅ Онлайн тест

Тест: Действия с обикновени дроби. Разпределително свойство на умножението

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.

1Изразът \(\dfrac{3}{5} \cdot a + \dfrac{2}{5} \cdot a\), записан като произведение, е равен на:

\(\dfrac{6}{25} \cdot a\)\(5 \cdot a\)\(a\)\(\dfrac{1}{5} \cdot a\)

2Стойността на \(\dfrac{1}{4} \cdot x + \dfrac{3}{4} \cdot x\) при \(x = \dfrac{2}{7}\) е:

\(\dfrac{4}{28}\)\(\dfrac{1}{7}\)\(\dfrac{6}{7}\)\(\dfrac{2}{7}\)

3По разпределителното свойство \(\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n}\) е равно на:

\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{m}{n} + \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\left(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\right) + \dfrac{m}{n}\)

4Изразът \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}\) е равен на:

\(\dfrac{3}{4}\)\(\dfrac{5}{12}\)\(\dfrac{5}{6}\)\(\dfrac{1}{4}\)

5Изразът \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{3}{8} + \dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{4}\) е равен на:

\(\dfrac{3}{8}\)\(\dfrac{3}{4}\)\(1\)\(\dfrac{9}{32}\)

6Изразът \(5 \cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{3}\) е равен на:

\(\dfrac{10}{3}\)\(\dfrac{6}{5}\)\(\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{2}{3}\)

7Изразът \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{4}\right) \cdot 12\) е равен на:

\(12\)\(17\)\(8\)\(9\)

8Изразът \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{5}{8} + \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{5}{8}\) е равен на:

\(\dfrac{5}{8}\)\(\dfrac{5}{16}\)\(\dfrac{7}{8}\)\(1\)

9При пресмятане на израз без скоби първо се извършват:

събираниятаизважданиятаумноженията и делениятадействията отдясно наляво

10Изразът \(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\right) \cdot \dfrac{2}{3}\) е равен на:

\(1\)\(\dfrac{3}{2}\)\(\dfrac{16}{3}\)\(\dfrac{2}{3}\)

11Изразът \(3 \cdot \left(1\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}\right)\) е равен на:

\(2\dfrac{3}{5}\)\(3\dfrac{3}{5}\)\(\dfrac{13}{15}\)\(1\dfrac{1}{5}\)

12Вместо \(*\) в \(\left(\dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\right) * \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}\) трябва да се постави:

\(\cdot\)\(+\)\(:\)\(-\)

13Изразът \(\left(\dfrac{2}{11} + \dfrac{7}{11} - \dfrac{5}{11}\right) \cdot 3\dfrac{2}{3}\) е равен на:

\(\dfrac{11}{3}\)\(\dfrac{4}{3}\)\(\dfrac{4}{33}\)\(\dfrac{3}{4}\)

14Изразът \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{8}\) е равен на:

\(\dfrac{5}{8}\)\(1\dfrac{1}{8}\)\(4\)\(2\dfrac{1}{2}\)

15Разпределителното свойство на умножението относно изваждането е:

\(\left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{m}{n} - \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{m}{n} - \dfrac{c}{d}\)\(\left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d} \cdot \dfrac{m}{n}\)\(\left(\dfrac{a}{b} - \dfrac{c}{d}\right) \cdot \dfrac{m}{n} = \dfrac{m}{n} - \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d}\)

0 / 60 точки

верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

25

Деление на обикновени дроби. Свойства

Урок за 5. клас — предходната тема: деление чрез реципрочна дроб и разпределително свойство на делението.

Към урока →

24

Разместително, съдружително и разпределително свойства на действието умножение

Урок за 5. клас — свойствата на умножението на дроби и изнасяне на общ множител, върху които стъпва този урок.

Към урока →

23

Умножение на обикновени дроби

Урок за 5. клас — умножение на дроби, което е в основата на всички действия в този урок.

Към урока →

---

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆