Деление на обикновени дроби. Свойства
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Дробни числа › Деление на дроби
Деление на обикновени дроби. Свойства
Правило за деление на дроби (умножение по реципрочна дроб), реципрочни числа, дробната черта като знак за деление, разпределително свойство на делението. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
Делението на обикновени дроби свеждаме до умножение: делим на дроб, като умножим по нейната реципрочна дроб. В този урок ще си припомним и как дробната черта играе ролята на знак за деление, кои числа са реципрочни и кое свойство на делението помага да пресмятаме по-удобно.
🔢 Правило за деление на дроби
Делим на обикновена дроб, като умножим делимото по реципрочната дроб на делителя:
\[\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}, \quad \frac{c}{d} \neq 0.\]
Пример. \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{9} = \dfrac{2}{3}\). Удобно е да съкратим преди умножението: \(3\) с \(9\) и \(10\) с \(5\).
🔁 Реципрочна дроб
Две числа са реципрочни, когато произведението им е равно на \(1\). Реципрочната дроб на \(\dfrac{a}{b}\) (при \(a \neq 0\), \(b \neq 0\)) е \(\dfrac{b}{a}\), защото \(\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{b}{a} = 1\). Реципрочното число на естественото число \(n\) (\(n \neq 0\)) е \(\dfrac{1}{n}\).
Пример. Реципрочната дроб на \(\dfrac{2}{7}\) е \(\dfrac{7}{2}\), а реципрочното число на \(5\) е \(\dfrac{1}{5}\).
➗ Дробната черта е знак за деление
За всеки две естествени числа \(a\) и \(b\) (\(b \neq 0\)) е в сила \(a : b = \dfrac{a}{b}\) — дробната черта играе ролята на знак за деление. Затова, когато делим с цяло число, го записваме като дроб със знаменател \(1\), т.е. \(n = \dfrac{n}{1}\):
\[6 : \frac{3}{4} = \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{3} = \frac{24}{3} = 8, \qquad \frac{3}{5} : 6 = \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}.\]
Както при естествените числа, така и при дробите не се дели на 0.
🗂️ Разпределително свойство на делението
Сбор (или разлика) се дели на число, като всяко събираемо (съответно умаляемото и умалителя) се раздели на това число:
\[\left(\frac{a}{n} + \frac{b}{m}\right) : \frac{c}{q} = \frac{a}{n} : \frac{c}{q} + \frac{b}{m} : \frac{c}{q},\]
\[\left(\frac{a}{n} - \frac{b}{m}\right) : \frac{c}{q} = \frac{a}{n} : \frac{c}{q} - \frac{b}{m} : \frac{c}{q}.\]
В двете равенства делителят \(\dfrac{c}{q}\) трябва да бъде различен от \(0\).
Внимание. Свойството важи само когато сборът или разликата е делимо. Когато делим число на сбор, то не важи: \(c : (a + b) \neq c : a + c : b\).
Делението \(2 : \dfrac{2}{5}\) показва колко пъти \(\dfrac{2}{5}\) се съдържа в \(2\). Отсечката с дължина \(2\) се дели на \(5\) равни части по \(\dfrac{2}{5}\), затова \(2 : \dfrac{2}{5} = 5\).
💡 Полезно
Смесените числа преди деление превръщаме в неправилни дроби, а целите числа записваме като дроби със знаменател \(1\). При положително делимо и положителен делител важи следното: ако делителят се запази, а делимото нарасне, частното нараства; ако делимото се запази, а делителят нарасне, частното намалява.
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите решението.
1
Запишете реципрочното число на: а) \(\dfrac{4}{9}\); б) \(5\); в) \(\dfrac{1}{8}\); г) \(2\dfrac{1}{3}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{9}{4}\); б) \(\dfrac{1}{5}\); в) \(8\); г) \(2\dfrac{1}{3} = \dfrac{7}{3}\), затова реципрочното е \(\dfrac{3}{7}\).
2
Пресметнете частното, като умножите делимото по реципрочната дроб на делителя: а) \(\dfrac{7}{3} : \dfrac{14}{9}\); б) \(\dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{8}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{7}{3} : \dfrac{14}{9} = \dfrac{7}{3} \cdot \dfrac{9}{14} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).
б) \(\dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{8}{1} = \dfrac{8}{4} = 2\).
б) \(\dfrac{1}{4} : \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{8}{1} = \dfrac{8}{4} = 2\).
3
Запишете несъкратима дроб, равна на частното: а) \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}\); б) \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{9}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{24}{36} = \dfrac{2}{3}\).
б) \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{9} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\).
б) \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{10}{9} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{9}{10} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}\).
4
Пресметнете, като запишете цялото число като дроб със знаменател \(1\): а) \(6 : \dfrac{3}{4}\); б) \(\dfrac{2}{5} : 4\).
▼
Решениеа) \(6 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{1} \cdot \dfrac{4}{3} = \dfrac{24}{3} = 8\).
б) \(\dfrac{2}{5} : 4 = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\).
б) \(\dfrac{2}{5} : 4 = \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}\).
5
Пресметнете, като преобразувате смесените числа в неправилни дроби: а) \(5\dfrac{5}{6} : 1\dfrac{2}{3}\); б) \(4\dfrac{2}{5} : \dfrac{11}{25}\).
▼
Решениеа) \(5\dfrac{5}{6} : 1\dfrac{2}{3} = \dfrac{35}{6} : \dfrac{5}{3} = \dfrac{35}{6} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{7}{2} = 3\dfrac{1}{2}\).
б) \(4\dfrac{2}{5} : \dfrac{11}{25} = \dfrac{22}{5} : \dfrac{11}{25} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{25}{11} = 10\).
б) \(4\dfrac{2}{5} : \dfrac{11}{25} = \dfrac{22}{5} : \dfrac{11}{25} = \dfrac{22}{5} \cdot \dfrac{25}{11} = 10\).
6
Пресметнете частното и направете проверка чрез умножение: \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{24}\).
▼
Решение\(\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{24} = \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{24}{5} = \dfrac{24}{6} = 4\).
Проверка: \(4 \cdot \dfrac{5}{24} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6}\) — получихме делимото, значи частното е вярно.
Проверка: \(4 \cdot \dfrac{5}{24} = \dfrac{20}{24} = \dfrac{5}{6}\) — получихме делимото, значи частното е вярно.
7
Приложете разпределителното свойство на делението: а) \(\left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{5}\right) : 2\); б) \(\left(\dfrac{11}{12} - \dfrac{5}{12}\right) : \dfrac{3}{8}\).
▼
Решениеа) \(\dfrac{3}{5} : 2 + \dfrac{7}{5} : 2 = \dfrac{3}{10} + \dfrac{7}{10} = \dfrac{10}{10} = 1\).
б) \(\dfrac{11}{12} : \dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{12} : \dfrac{3}{8} = \dfrac{11}{12} \cdot \dfrac{8}{3} - \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{88}{36} - \dfrac{40}{36} = \dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
б) \(\dfrac{11}{12} : \dfrac{3}{8} - \dfrac{5}{12} : \dfrac{3}{8} = \dfrac{11}{12} \cdot \dfrac{8}{3} - \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{88}{36} - \dfrac{40}{36} = \dfrac{48}{36} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
8
Пресметнете по рационален начин \(\left(\dfrac{9}{10} + \dfrac{3}{5}\right) : \dfrac{3}{10}\).
▼
РешениеРазделяме всяко събираемо на \(\dfrac{3}{10}\):
\(\dfrac{9}{10} : \dfrac{3}{10} + \dfrac{6}{10} : \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{10}{3} + \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{10}{3} = 3 + 2 = 5\).
\(\dfrac{9}{10} : \dfrac{3}{10} + \dfrac{6}{10} : \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{10}{3} + \dfrac{6}{10} \cdot \dfrac{10}{3} = 3 + 2 = 5\).
9
Вярни ли са равенствата? Обосновете. а) \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{4}{9}\right) : \dfrac{5}{6} = \dfrac{2}{3} : \dfrac{5}{6} + \dfrac{4}{9} : \dfrac{5}{6}\); б) \(\dfrac{5}{6} : \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{5}{6} : \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{6} : \dfrac{1}{3}\).
▼
Решениеа) Вярно — делим сбор на едно и също число, затова можем да приложим разпределителното свойство.
б) Невярно — тук делим на сбор, а за делител свойството не важи: \(\dfrac{5}{6} : \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{6} = 1\), докато дясната страна дава \(\dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{6}\).
б) Невярно — тук делим на сбор, а за делител свойството не важи: \(\dfrac{5}{6} : \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{6} = 1\), докато дясната страна дава \(\dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{2} = \dfrac{25}{6}\).
10
Пресметнете верижката: \(\dfrac{8}{9} \xrightarrow{\; : \frac{2}{3}\;} \square \xrightarrow{\; : \frac{5}{6}\;} \square \xrightarrow{\; : \frac{2}{5}\;} \triangle\). На колко е равно числото в триъгълника?
▼
Решение\(\dfrac{8}{9} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{4}{3}\);
\(\dfrac{4}{3} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{8}{5}\);
\(\dfrac{8}{5} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = 4\). Значи \(\triangle = 4\).
\(\dfrac{4}{3} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{8}{5}\);
\(\dfrac{8}{5} : \dfrac{2}{5} = \dfrac{8}{5} \cdot \dfrac{5}{2} = 4\). Значи \(\triangle = 4\).
11
За поливането на едно растение са необходими \(\dfrac{2}{3}\) литра вода, а в съда има \(3\dfrac{1}{3}\) литра. Колко растения могат да бъдат напълно полети?
▼
Решение\(3\dfrac{1}{3} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{30}{6} = 5\). Могат да бъдат полети 5 растения.
12
За направата на една гривна са необходими \(\dfrac{2}{5}\) m панделка. Колко гривни могат да се направят от \(2\) m панделка?
▼
Решение\(2 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{5}{2} = \dfrac{10}{2} = 5\). Могат да се направят 5 гривни.
13
Колко се получава, като се намали \(6\) пъти числото \(\dfrac{24}{25}\)?
▼
РешениеДа намалим \(6\) пъти означава да разделим на \(6\):
\(\dfrac{24}{25} : 6 = \dfrac{24}{25} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{24}{150} = \dfrac{4}{25}\).
\(\dfrac{24}{25} : 6 = \dfrac{24}{25} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{24}{150} = \dfrac{4}{25}\).
14
Кое число трябва да се постави в кръгчето, за да е вярно \(\dfrac{7}{8} : \dfrac{7}{\bigcirc} = 4\)?
▼
Решение\(\dfrac{7}{8} : \dfrac{7}{\bigcirc} = \dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{\bigcirc}{7} = \dfrac{\bigcirc}{8}\). За да е равно на \(4\), трябва \(\dfrac{\bigcirc}{8} = 4\), тоест \(\bigcirc = 32\).
15
Едната страна на правоъгълник е \(4\dfrac{1}{2}\) cm, а другата е \(3\) пъти по-малка. Намерете лицето на правоъгълника.
▼
РешениеДругата страна: \(4\dfrac{1}{2} : 3 = \dfrac{9}{2} : 3 = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\) cm.
Лице: \(4\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{27}{4} = 6\dfrac{3}{4}\) cm\(^2\).
Лице: \(4\dfrac{1}{2} \cdot 1\dfrac{1}{2} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{27}{4} = 6\dfrac{3}{4}\) cm\(^2\).
16
Домакиня купила \(2\dfrac{1}{4}\) kg домати и платила за тях \(5\dfrac{5}{8}\) лв. Колко струва \(1\) kg домати?
▼
Решение\(5\dfrac{5}{8} : 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{45}{8} : \dfrac{9}{4} = \dfrac{45}{8} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{1}{2}\) лв.
17
Намерете частното на \(4\) и реципрочното число на \(\dfrac{7}{12}\).
▼
РешениеРеципрочното на \(\dfrac{7}{12}\) е \(\dfrac{12}{7}\). Тогава
\(4 : \dfrac{12}{7} = \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{28}{12} = \dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}\).
\(4 : \dfrac{12}{7} = \dfrac{4}{1} \cdot \dfrac{7}{12} = \dfrac{28}{12} = \dfrac{7}{3} = 2\dfrac{1}{3}\).
18
а) Сбора на числата \(1\dfrac{2}{3}\) и \(\dfrac{1}{3}\) разделете на \(2\dfrac{1}{2}\). б) Разликата на числата \(4\dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{3}{4}\) разделете на \(1\dfrac{1}{8}\).
▼
Решениеа) \(\left(1\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right) : 2\dfrac{1}{2} = 2 : \dfrac{5}{2} = \dfrac{2}{1} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{5}\).
б) \(\left(4\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) : 1\dfrac{1}{8} = \dfrac{15}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}\).
б) \(\left(4\dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{4}\right) : 1\dfrac{1}{8} = \dfrac{15}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{15}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{10}{3} = 3\dfrac{1}{3}\).
19
Колко завъртания ще направи колело с обиколка \(2\dfrac{1}{4}\) m, за да измине \(90\) m?
▼
Решение\(90 : 2\dfrac{1}{4} = 90 : \dfrac{9}{4} = \dfrac{90}{1} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{360}{9} = 40\) завъртания.
20
Каква е обиколката на колело, което на разстояние \(25\dfrac{1}{2}\) m прави \(17\) завъртания?
▼
Решение\(25\dfrac{1}{2} : 17 = \dfrac{51}{2} : 17 = \dfrac{51}{2} \cdot \dfrac{1}{17} = \dfrac{51}{34} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\) m.
21
Сбора на числата \(\dfrac{2}{5}\) и \(\dfrac{3}{10}\) разделете на разликата на числата \(2\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{1}{3}\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеСбор: \(\dfrac{2}{5} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{4}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10}\).
Разлика: \(2\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}\).
Частно: \(\dfrac{7}{10} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}\).
Разлика: \(2\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{17}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{15}{6} = \dfrac{5}{2}\).
Частно: \(\dfrac{7}{10} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{7}{10} \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{14}{50} = \dfrac{7}{25}\).
22
Произведението на числата \(\dfrac{3}{8}\) и \(\dfrac{8}{5}\) разделете със сбора на числата \(1\) и \(\dfrac{1}{5}\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеПроизведение: \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{8}{5} = \dfrac{24}{40} = \dfrac{3}{5}\).
Сбор: \(1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}\).
Частно: \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{6}{5} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}\).
Сбор: \(1 + \dfrac{1}{5} = \dfrac{6}{5}\).
Частно: \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{6}{5} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{6} = \dfrac{15}{30} = \dfrac{1}{2}\).
23
Вместо знака \(*\) поставете знак за аритметично действие (\(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\)), така че да се получи вярно равенство: а) \(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4}\right) * \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2}\); б) \(\left(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8}\right) * 6 = 3\).⭐ повишена трудност
▼
Решениеа) В скобата: \(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} = 1\). Търсим действие с \(1\) и \(\dfrac{2}{5}\), което дава \(\dfrac{5}{2}\). Това е делението: \(1 : \dfrac{2}{5} = \dfrac{5}{2}\). Значи \(* = \; :\).
б) В скобата: \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\). Търсим действие с \(\dfrac{1}{2}\) и \(6\), което дава \(3\). Това е умножението: \(\dfrac{1}{2} \cdot 6 = 3\). Значи \(* = \; \cdot\).
б) В скобата: \(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8} = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\). Търсим действие с \(\dfrac{1}{2}\) и \(6\), което дава \(3\). Това е умножението: \(\dfrac{1}{2} \cdot 6 = 3\). Значи \(* = \; \cdot\).
24
Пресметнете \(\dfrac{6}{7} : b\) при \(b = \dfrac{3}{14}\) и при \(b = \dfrac{9}{14}\). Как се изменя частното, ако делимото се запазва, а делителят нараства?⭐ повишена трудност
▼
Решение\(\dfrac{6}{7} : \dfrac{3}{14} = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{3} = \dfrac{84}{21} = 4\);
\(\dfrac{6}{7} : \dfrac{9}{14} = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{84}{63} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
Делителят нарасна (\(\dfrac{3}{14} \to \dfrac{9}{14}\)), а частното намаля (\(4 \to 1\dfrac{1}{3}\)). Значи частното намалява.
\(\dfrac{6}{7} : \dfrac{9}{14} = \dfrac{6}{7} \cdot \dfrac{14}{9} = \dfrac{84}{63} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\).
Делителят нарасна (\(\dfrac{3}{14} \to \dfrac{9}{14}\)), а частното намаля (\(4 \to 1\dfrac{1}{3}\)). Значи частното намалява.
25
Пресметнете и сравнете изразите \(\left(\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10}\right) : \dfrac{1}{6}\) и \(\dfrac{3}{5} : \left(\dfrac{9}{10} : \dfrac{1}{6}\right)\). Какъв извод можете да направите?⭐ повишена трудност
▼
РешениеПърви израз: \(\left(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{9}\right) : \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} : \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} \cdot 6 = 4\).
Втори израз: \(\dfrac{3}{5} : \left(\dfrac{9}{10} \cdot 6\right) = \dfrac{3}{5} : \dfrac{27}{5} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{27} = \dfrac{1}{9}\).
Получихме \(4 \neq \dfrac{1}{9}\). Извод: при делението мястото на скобите има значение — за него не важи съдружително свойство.
Втори израз: \(\dfrac{3}{5} : \left(\dfrac{9}{10} \cdot 6\right) = \dfrac{3}{5} : \dfrac{27}{5} = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{27} = \dfrac{1}{9}\).
Получихме \(4 \neq \dfrac{1}{9}\). Извод: при делението мястото на скобите има значение — за него не важи съдружително свойство.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Запишете реципрочното число на: а) \(\dfrac{5}{8}\); б) \(7\); в) \(\dfrac{1}{9}\); г) \(3\dfrac{1}{5}\).
Отг.: а) \(\dfrac{8}{5}\); б) \(\dfrac{1}{7}\); в) \(9\); г) \(3\dfrac{1}{5} = \dfrac{16}{5} \Rightarrow \dfrac{5}{16}\).
Отг.: а) \(\dfrac{8}{5}\); б) \(\dfrac{1}{7}\); в) \(9\); г) \(3\dfrac{1}{5} = \dfrac{16}{5} \Rightarrow \dfrac{5}{16}\).
Задача 2Пресметнете частното: а) \(\dfrac{5}{4} : \dfrac{15}{8}\); б) \(\dfrac{1}{5} : \dfrac{1}{10}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{3}\); б) \(\dfrac{1}{5} \cdot 10 = 2\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{8}{15} = \dfrac{2}{3}\); б) \(\dfrac{1}{5} \cdot 10 = 2\).
Задача 3Запишете несъкратима дроб, равна на частното: а) \(\dfrac{3}{8} : \dfrac{9}{16}\); б) \(\dfrac{2}{3} : \dfrac{4}{9}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{16}{9} = \dfrac{2}{3}\); б) \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).
Отг.: а) \(\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{16}{9} = \dfrac{2}{3}\); б) \(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{9}{4} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\).
Задача 4Пресметнете: а) \(8 : \dfrac{4}{5}\); б) \(\dfrac{3}{7} : 6\).
Отг.: а) \(8 \cdot \dfrac{5}{4} = 10\); б) \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{14}\).
Отг.: а) \(8 \cdot \dfrac{5}{4} = 10\); б) \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{14}\).
Задача 5Пресметнете: а) \(4\dfrac{1}{2} : 1\dfrac{1}{8}\); б) \(3\dfrac{1}{3} : \dfrac{5}{6}\).
Отг.: а) \(\dfrac{9}{2} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{8}{9} = 4\); б) \(\dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 4\).
Отг.: а) \(\dfrac{9}{2} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{9}{2} \cdot \dfrac{8}{9} = 4\); б) \(\dfrac{10}{3} \cdot \dfrac{6}{5} = 4\).
Задача 6Пресметнете частното и направете проверка чрез умножение: \(\dfrac{7}{8} : \dfrac{7}{24}\).
Отг.: \(\dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{24}{7} = 3\); проверка: \(3 \cdot \dfrac{7}{24} = \dfrac{7}{8}\).
Отг.: \(\dfrac{7}{8} \cdot \dfrac{24}{7} = 3\); проверка: \(3 \cdot \dfrac{7}{24} = \dfrac{7}{8}\).
Задача 7Приложете разпределителното свойство: а) \(\left(\dfrac{5}{9} + \dfrac{1}{9}\right) : \dfrac{2}{3}\); б) \(\left(\dfrac{7}{8} - \dfrac{3}{8}\right) : \dfrac{1}{4}\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{9} : \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\); б) \(\dfrac{7}{8} : \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{8} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{8} \cdot 4 - \dfrac{3}{8} \cdot 4 = \dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2} = 2\).
Отг.: а) \(\dfrac{5}{9} : \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{9} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{6} = 1\); б) \(\dfrac{7}{8} : \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{8} : \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{8} \cdot 4 - \dfrac{3}{8} \cdot 4 = \dfrac{7}{2} - \dfrac{3}{2} = 2\).
Задача 8Пресметнете по рационален начин \(\left(\dfrac{7}{10} + \dfrac{2}{5}\right) : \dfrac{1}{10}\).
Отг.: \(\dfrac{7}{10} : \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{10} : \dfrac{1}{10} = 7 + 4 = 11\).
Отг.: \(\dfrac{7}{10} : \dfrac{1}{10} + \dfrac{4}{10} : \dfrac{1}{10} = 7 + 4 = 11\).
Задача 9Вярни ли са равенствата? а) \(\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{5}{8}\right) : \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4} : \dfrac{3}{2} + \dfrac{5}{8} : \dfrac{3}{2}\); б) \(\dfrac{4}{5} : \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{4}{5} : \dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{5} : \dfrac{1}{3}\).
Отг.: а) вярно — делим сбор на едно и също число; б) невярно — свойството не важи, когато сборът е делител.
Отг.: а) вярно — делим сбор на едно и също число; б) невярно — свойството не важи, когато сборът е делител.
Задача 10Пресметнете верижката: \(\dfrac{27}{16} \xrightarrow{\; : \frac{3}{4}\;} \square \xrightarrow{\; : \frac{9}{8}\;} \square \xrightarrow{\; : \frac{5}{6}\;} \triangle\).
Отг.: \(\dfrac{27}{16} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}\); \(\dfrac{9}{4} : \dfrac{9}{8} = 2\); \(2 : \dfrac{5}{6} = \dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5}\).
Отг.: \(\dfrac{27}{16} : \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{4}\); \(\dfrac{9}{4} : \dfrac{9}{8} = 2\); \(2 : \dfrac{5}{6} = \dfrac{12}{5} = 2\dfrac{2}{5}\).
Задача 11За поливането на едно растение са необходими \(\dfrac{3}{5}\) литра вода, а в съда има \(3\) литра. Колко растения могат да бъдат напълно полети?
Отг.: \(3 : \dfrac{3}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{3} = 5\) растения.
Отг.: \(3 : \dfrac{3}{5} = 3 \cdot \dfrac{5}{3} = 5\) растения.
Задача 12За една гривна са необходими \(\dfrac{3}{8}\) m панделка. Колко гривни могат да се направят от \(3\) m панделка?
Отг.: \(3 : \dfrac{3}{8} = 3 \cdot \dfrac{8}{3} = 8\) гривни.
Отг.: \(3 : \dfrac{3}{8} = 3 \cdot \dfrac{8}{3} = 8\) гривни.
Задача 13Колко се получава, като се намали \(5\) пъти числото \(\dfrac{15}{28}\)?
Отг.: \(\dfrac{15}{28} : 5 = \dfrac{15}{140} = \dfrac{3}{28}\).
Отг.: \(\dfrac{15}{28} : 5 = \dfrac{15}{140} = \dfrac{3}{28}\).
Задача 14Кое число трябва да се постави в кръгчето, за да е вярно \(\dfrac{3}{7} : \dfrac{3}{\bigcirc} = 5\)?
Отг.: \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{\bigcirc}{3} = \dfrac{\bigcirc}{7} = 5 \Rightarrow \bigcirc = 35\).
Отг.: \(\dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{\bigcirc}{3} = \dfrac{\bigcirc}{7} = 5 \Rightarrow \bigcirc = 35\).
Задача 15Едната страна на правоъгълник е \(3\dfrac{3}{5}\) cm, а другата е \(3\) пъти по-малка. Намерете лицето на правоъгълника.
Отг.: другата страна \(= 3\dfrac{3}{5} : 3 = \dfrac{18}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5}\) cm; лице \(= \dfrac{18}{5} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{108}{25} = 4\dfrac{8}{25}\) cm\(^2\).
Отг.: другата страна \(= 3\dfrac{3}{5} : 3 = \dfrac{18}{5} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{6}{5} = 1\dfrac{1}{5}\) cm; лице \(= \dfrac{18}{5} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{108}{25} = 4\dfrac{8}{25}\) cm\(^2\).
Задача 16Продавач продал \(3\dfrac{3}{4}\) kg ябълки за \(5\dfrac{5}{8}\) лв. Колко струва \(1\) kg ябълки?
Отг.: \(5\dfrac{5}{8} : 3\dfrac{3}{4} = \dfrac{45}{8} : \dfrac{15}{4} = \dfrac{45}{8} \cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\) лв.
Отг.: \(5\dfrac{5}{8} : 3\dfrac{3}{4} = \dfrac{45}{8} : \dfrac{15}{4} = \dfrac{45}{8} \cdot \dfrac{4}{15} = \dfrac{3}{2} = 1\dfrac{1}{2}\) лв.
Задача 17Намерете частното на \(6\) и реципрочното число на \(\dfrac{2}{15}\).
Отг.: реципрочно \(= \dfrac{15}{2}\); \(6 : \dfrac{15}{2} = 6 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\).
Отг.: реципрочно \(= \dfrac{15}{2}\); \(6 : \dfrac{15}{2} = 6 \cdot \dfrac{2}{15} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}\).
Задача 18а) Сбора на числата \(2\dfrac{1}{3}\) и \(\dfrac{2}{3}\) разделете на \(1\dfrac{1}{2}\). б) Разликата на числата \(5\dfrac{1}{4}\) и \(\dfrac{3}{4}\) разделете на \(2\dfrac{1}{4}\).
Отг.: а) \(\left(2\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) : 1\dfrac{1}{2} = 3 : \dfrac{3}{2} = 2\); б) \(\left(5\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}\right) : 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{2} : \dfrac{9}{4} = 2\).
Отг.: а) \(\left(2\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}\right) : 1\dfrac{1}{2} = 3 : \dfrac{3}{2} = 2\); б) \(\left(5\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}\right) : 2\dfrac{1}{4} = \dfrac{9}{2} : \dfrac{9}{4} = 2\).
Задача 19Колко завъртания ще направи колело с обиколка \(1\dfrac{2}{5}\) m, за да измине \(42\) m?
Отг.: \(42 : \dfrac{7}{5} = 42 \cdot \dfrac{5}{7} = 30\) завъртания.
Отг.: \(42 : \dfrac{7}{5} = 42 \cdot \dfrac{5}{7} = 30\) завъртания.
Задача 20Каква е обиколката на колело, което на разстояние \(33\) m прави \(15\) завъртания?
Отг.: \(33 : 15 = \dfrac{33}{15} = \dfrac{11}{5} = 2\dfrac{1}{5}\) m.
Отг.: \(33 : 15 = \dfrac{33}{15} = \dfrac{11}{5} = 2\dfrac{1}{5}\) m.
Задача 21 — с повишена трудностСбора на числата \(\dfrac{3}{10}\) и \(\dfrac{1}{5}\) разделете на разликата на числата \(3\dfrac{5}{6}\) и \(\dfrac{1}{3}\).
Отг.: сбор \(= \dfrac{1}{2}\); разлика \(= \dfrac{23}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{2}\); \(\dfrac{1}{2} : \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{7}\).
Отг.: сбор \(= \dfrac{1}{2}\); разлика \(= \dfrac{23}{6} - \dfrac{2}{6} = \dfrac{7}{2}\); \(\dfrac{1}{2} : \dfrac{7}{2} = \dfrac{1}{7}\).
Задача 22Произведението на числата \(\dfrac{4}{9}\) и \(\dfrac{3}{8}\) разделете със сбора на числата \(1\) и \(\dfrac{1}{6}\).
Отг.: произведение \(= \dfrac{1}{6}\); сбор \(= \dfrac{7}{6}\); \(\dfrac{1}{6} : \dfrac{7}{6} = \dfrac{1}{7}\).
Отг.: произведение \(= \dfrac{1}{6}\); сбор \(= \dfrac{7}{6}\); \(\dfrac{1}{6} : \dfrac{7}{6} = \dfrac{1}{7}\).
Задача 23Вместо знака \(*\) поставете знак за действие (\(+\), \(-\), \(\cdot\), \(:\)), за да е вярно: а) \(\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}\right) * \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}\); б) \(\left(\dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{6}\right) * 9 = 6\).
Отг.: а) \(* = \; :\) (\(1 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}\)); б) \(* = \; \cdot\) (\(\dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6\)).
Отг.: а) \(* = \; :\) (\(1 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3}\)); б) \(* = \; \cdot\) (\(\dfrac{2}{3} \cdot 9 = 6\)).
Задача 24Пресметнете \(\dfrac{8}{9} : b\) при \(b = \dfrac{2}{9}\) и при \(b = \dfrac{4}{9}\). Как се изменя частното, ако делимото се запазва, а делителят нараства?
Отг.: \(4\) и \(2\); частното намалява.
Отг.: \(4\) и \(2\); частното намалява.
Задача 25Пресметнете и сравнете \(\left(\dfrac{4}{5} : \dfrac{8}{15}\right) : \dfrac{1}{2}\) и \(\dfrac{4}{5} : \left(\dfrac{8}{15} : \dfrac{1}{2}\right)\).
Отг.: първи \(= \dfrac{3}{2} : \dfrac{1}{2} = 3\); втори \(= \dfrac{4}{5} : \dfrac{16}{15} = \dfrac{3}{4}\); различни са — мястото на скобите е важно.
Отг.: първи \(= \dfrac{3}{2} : \dfrac{1}{2} = 3\); втори \(= \dfrac{4}{5} : \dfrac{16}{15} = \dfrac{3}{4}\); различни са — мястото на скобите е важно.
Задача 26Пресметнете частните и ги подредете по големина, като започнете от най-малкото: \(1 : \dfrac{3}{5}\); \(\;4 : 2\); \(\;\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8}\); \(\;\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{2}\).
Отг.: \(1 : \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}\); \(4 : 2 = 2\); \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{3}\). Подредба: \(\dfrac{1}{3}\ \big(\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{2}\big),\ \dfrac{2}{3}\ \big(\dfrac{3}{4}:\dfrac{9}{8}\big),\ 1\dfrac{2}{3}\ \big(1:\dfrac{3}{5}\big),\ 2\ \big(4:2\big)\).
Отг.: \(1 : \dfrac{3}{5} = \dfrac{5}{3} = 1\dfrac{2}{3}\); \(4 : 2 = 2\); \(\dfrac{3}{4} : \dfrac{9}{8} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{5}{6} : \dfrac{5}{2} = \dfrac{1}{3}\). Подредба: \(\dfrac{1}{3}\ \big(\dfrac{5}{6}:\dfrac{5}{2}\big),\ \dfrac{2}{3}\ \big(\dfrac{3}{4}:\dfrac{9}{8}\big),\ 1\dfrac{2}{3}\ \big(1:\dfrac{3}{5}\big),\ 2\ \big(4:2\big)\).
Задача 27Разликата на числата \(6\dfrac{3}{5}\) и \(4\dfrac{1}{5}\) разделете на произведението на числата \(30\) и \(\dfrac{4}{45}\).
Отг.: разлика \(= \dfrac{33}{5} - \dfrac{21}{5} = \dfrac{12}{5}\); произведение \(= 30 \cdot \dfrac{4}{45} = \dfrac{8}{3}\); \(\dfrac{12}{5} : \dfrac{8}{3} = \dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{10}\).
Отг.: разлика \(= \dfrac{33}{5} - \dfrac{21}{5} = \dfrac{12}{5}\); произведение \(= 30 \cdot \dfrac{4}{45} = \dfrac{8}{3}\); \(\dfrac{12}{5} : \dfrac{8}{3} = \dfrac{12}{5} \cdot \dfrac{3}{8} = \dfrac{9}{10}\).
Задача 28Един работник изкопал \(\dfrac{3}{4}\) от лехата за \(1\) час. За колко часа ще изкопае цялата леха при същото темпо?
Отг.: \(1 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\) часа.
Отг.: \(1 : \dfrac{3}{4} = \dfrac{4}{3} = 1\dfrac{1}{3}\) часа.
Задача 29 — с повишена трудностСлед разлагане на числителя и знаменателя на прости множители пресметнете \(\dfrac{84}{275} : \dfrac{42}{55}\).
Отг.: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7,\ \ 275 = 5^2 \cdot 11,\ \ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7,\ \ 55 = 5 \cdot 11\); \(\dfrac{84}{275} \cdot \dfrac{55}{42} = \dfrac{84}{42} \cdot \dfrac{55}{275} = 2 \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}\).
Отг.: \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7,\ \ 275 = 5^2 \cdot 11,\ \ 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7,\ \ 55 = 5 \cdot 11\); \(\dfrac{84}{275} \cdot \dfrac{55}{42} = \dfrac{84}{42} \cdot \dfrac{55}{275} = 2 \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5}\).
Задача 30 — с повишена трудностПресметнете \(\left(\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10} + \dfrac{1}{4}\right) : \dfrac{5}{6}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{12}\); \(\dfrac{11}{12} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{11}{12} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{11}{10} = 1\dfrac{1}{10}\).
Отг.: \(\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10} = \dfrac{2}{3}\); \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{11}{12}\); \(\dfrac{11}{12} : \dfrac{5}{6} = \dfrac{11}{12} \cdot \dfrac{6}{5} = \dfrac{11}{10} = 1\dfrac{1}{10}\).
✅ Онлайн тест
Тест: Деление на обикновени дроби. Свойства
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1Реципрочното число на \(\dfrac{3}{8}\) е:
2Реципрочното число на \(5\) е:
3За да разделим на дроб, умножаваме делимото по:
4Изразът \(\dfrac{7}{3} : \dfrac{14}{9}\) е равен на:
5Изразът \(8 : \dfrac{4}{5}\) е равен на:
6Изразът \(\dfrac{3}{7} : 6\) е равен на:
7Изразът \(5\dfrac{5}{6} : 1\dfrac{2}{3}\) е равен на:
8Кое равенство не изразява вярно свойство на делението при допустими стойности на буквите?
9Изразът \(\left(\dfrac{3}{5} + \dfrac{7}{5}\right) : 2\) е равен на:
10Колко се получава, като се намали \(6\) пъти числото \(\dfrac{24}{25}\)?
11Кое число трябва да се постави в кръгчето, за да е вярно \(\dfrac{7}{8} : \dfrac{7}{\bigcirc} = 4\)?
12Колко завъртания ще направи колело с обиколка \(2\dfrac{1}{4}\) m, за да измине \(90\) m?
13\(2\dfrac{1}{4}\) kg домати струват \(5\dfrac{5}{8}\) лв. Колко струва \(1\) kg?
14Изразът \(\left(\dfrac{3}{5} : \dfrac{9}{10}\right) : \dfrac{1}{6}\) е равен на:
15При деление на обикновени дроби не се дели на:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
24
Разместително, съдружително и разпределително свойства на действието умножение
Урок за 5. клас — предходната тема: свойствата на умножението на дроби и изнасяне на общ множител, паралелни на разпределителното свойство на делението.
Към урока →
23
Умножение на обикновени дроби
Урок за 5. клас — умножение на дроби и реципрочни числа, върху които стъпва делението.
Към урока →
20
Събиране на обикновени дроби с различни знаменатели. Разместително и съдружително свойства на действието събиране
Урок за 5. клас — свойства на действията с дроби и рационално пресмятане.
Към урока →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар