Пресмятане на граници чрез еквивалентни функции

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Еквивалентни функции

Еквивалентни функции.
Граници с еквивалентности

Определение, теорема, таблица с еквивалентности при \(x\to0\) — 8 разработени задачи с подробни решения

Математически анализ Еквивалентни функции 8 разработени задачи Университет Д-р Атанас Илчев

Замяна на сложни изрази с по-прости еквивалентни функции при намиране на граници от вида \(\frac{0}{0}\)

Методът на еквивалентните функции е мощен и елегантен инструмент за пресмятане на граници. Вместо да разкриваме сложни неопределености чрез дълги алгебрични преобразувания, заменяме даден израз с по-прост еквивалент при съответния граничен преход. Най-сигурно еквивалентностите се използват при произведения и частни, когато заменяме цели множители. При суми и разлики трябва да се внимава, защото може да настъпи съкращаване на главните членове.

Определение и теорема

Определение. Нека \(a\) е точка на натрупване на множеството \(X\), а функциите \(f(x)\) и \(g(x)\) са определени в \(X\). Казваме, че \(f(x)\) и \(g(x)\) са еквивалентни при \(x\to a\), ако \[ \lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1, \] като \(g(x)\neq 0\) за \(x\), достатъчно близки до \(a\). В този случай пишем \[ f(x)\sim g(x)\quad\text{при }x\to a. \]

Теорема. Нека \(f(x)\sim f_1(x)\) и \(g(x)\sim g_1(x)\) при \(x\to a\), като \(g(x)\neq 0\) и \(g_1(x)\neq 0\) за \(x\), достатъчно близки до \(a\). Ако съществува границата \[ \lim\limits_{x\to a}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}, \] то съществува и границата \[ \lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}, \] и е изпълнено равенството \[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f_1(x)}{g_1(x)}. \]

Таблица с еквивалентности при \(x\to0\). Следните функции са взаимно еквивалентни при \(x\to0\): \[ x\sim\sin x\sim\operatorname{tg} x\sim\arcsin x\sim\operatorname{arctg} x\sim\ln(1+x)\sim e^x-1\sim\frac{(1+x)^\mu-1}{\mu}\quad(\mu\neq0). \] По-общо: ако \(\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=0\), то при \(x\to x_0\): \[ u(x)\sim\sin(u(x))\sim\operatorname{tg}(u(x))\sim\arcsin(u(x))\sim\operatorname{arctg}(u(x))\sim\ln(1+u(x))\sim e^{u(x)}-1\sim\frac{(1+u(x))^\mu-1}{\mu}\quad(\mu\neq0). \]

Техника за прилагане. При граница от вида \(\dfrac{0}{0}\) разпознаваме израз в числителя или знаменателя, който може да бъде заменен с по-прост еквивалент. Най-сигурно еквивалентностите се прилагат при произведения и частни, когато заменяме цели множители. При суми и разлики трябва да се внимава, защото е възможно главните членове да се съкратят и механичната замяна да доведе до грешка. Например от \(\sin x\sim x\) при \(x\to0\) не следва, че \(\sin x-x\sim x-x=0\), понеже разликата \(\sin x-x\) е от по-висок порядък. От друга страна, в някои случаи цялата сума или разлика може да бъде заменена с еквивалентен израз, ако това се обоснове отделно; например \(\sin x+x\sim 2x\) при \(x\to0\). Следователно еквивалентности не се използват механично върху отделни събираеми, а само когато е ясно, че целият нов израз остава еквивалентен на първоначалния.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(6x)}{x}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to0}6x=0\), имаме \(\sin(6x)\sim 6x\) при \(x\to0\). Следователно: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{6x}{x}=\mathbf{6}. \]

2

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(\cos x)}{\operatorname{tg}(x^2)}\).

▼

Решение За \(x\), достатъчно близки до \(0\), е изпълнено \(\cos x>0\), следователно можем да запишем \[ \ln(\cos x)=\ln\sqrt{1-\sin^2 x}=\frac{1}{2}\ln(1-\sin^2 x). \] Понеже \(\lim\limits_{x\to0}(-\sin^2 x)=0\), имаме \(\ln(1-\sin^2 x)\sim -\sin^2 x\). Освен това \(\lim\limits_{x\to0}x^2=0\), следователно \(\operatorname{tg}(x^2)\sim x^2\). Получаваме: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(\cos x)}{\operatorname{tg}(x^2)} =\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{-\sin^2 x}{x^2} =-\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 =-\frac{1}{2}\cdot1^2 =\mathbf{-\frac{1}{2}}. \]

3

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+\operatorname{tg} x)}{e^{\arcsin x}-1}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to0}\operatorname{tg} x=0\) и \(\lim\limits_{x\to0}\arcsin x=0\), прилагаме еквивалентностите: \[ \ln(1+\operatorname{tg} x)\sim\operatorname{tg} x\sim x,\qquad e^{\arcsin x}-1\sim\arcsin x\sim x. \] Следователно: \[ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+\operatorname{tg} x)}{e^{\arcsin x}-1} =\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x}{\arcsin x} =\lim_{x\to 0}\frac{x}{x} =\mathbf{1}. \]

4

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-4x+3}{\operatorname{arctg}(x^2+x-2)}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to1}(x^2+x-2)=0\), имаме \(\operatorname{arctg}(x^2+x-2)\sim x^2+x-2\). Разлагаме числителя и знаменателя: \[ \lim_{x\to 1}\frac{x^2-4x+3}{\operatorname{arctg}(x^2+x-2)} =\lim_{x\to 1}\frac{x^2-4x+3}{x^2+x-2} =\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x-3)}{(x-1)(x+2)} =\lim_{x\to 1}\frac{x-3}{x+2} =\frac{-2}{3} =\mathbf{-\frac{2}{3}}. \]

5

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{3x}-1}{\operatorname{arctg}(2x)}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to0}3x=0\) и \(\lim\limits_{x\to0}2x=0\), имаме \[ e^{3x}-1\sim 3x,\qquad \operatorname{arctg}(2x)\sim 2x. \] Следователно: \[ \lim_{x\to 0}\frac{e^{3x}-1}{\operatorname{arctg}(2x)} =\lim_{x\to 0}\frac{3x}{2x} =\mathbf{\frac{3}{2}}. \]

6

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{(2+x)^x-2^x}{x^2}\).

▼

Решение Записваме: \[ (2+x)^x-2^x=2^x\!\left[\left(1+\frac{x}{2}\right)^x-1\right] =2^x\!\left[e^{x\ln(1+x/2)}-1\right]. \] Тъй като \(\lim\limits_{x\to0}\!\left[x\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right)\right]=0\), прилагаме еквивалентността \(e^u-1\sim u\): \[ \lim_{x\to 0}\frac{(2+x)^x-2^x}{x^2} =\lim_{x\to 0}2^x\cdot\frac{e^{x\ln(1+x/2)}-1}{x^2} =\lim_{x\to 0}2^x\cdot\frac{x\ln(1+x/2)}{x^2}. \] Понеже \(\lim\limits_{x\to0}\frac{x}{2}=0\), имаме \(\ln\!\left(1+\frac{x}{2}\right)\sim \frac{x}{2}\). Следователно: \[ \lim_{x\to 0}2^x\cdot\frac{\ln(1+x/2)}{x} =1\cdot\lim_{x\to 0}\frac{x/2}{x} =\mathbf{\frac{1}{2}}. \]

7

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 1^-}\dfrac{\ln x}{\sqrt{1-x}}\).

▼

Решение Полагаме \(y=1-x\). При \(x\to1^-\) имаме \(y\to0^+\). Тогава \(x=1-y\) и границата става \[ \lim_{y\to 0^+}\frac{\ln(1-y)}{\sqrt{y}}. \] Тъй като \(\lim\limits_{y\to0}(-y)=0\), имаме \(\ln(1-y)\sim -y\). Следователно: \[ \lim_{y\to 0^+}\frac{\ln(1-y)}{\sqrt{y}} =\lim_{y\to 0^+}\frac{-y}{\sqrt{y}} =\lim_{y\to 0^+}(-\sqrt{y}) =\mathbf{0}. \]

8

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to+\infty}\!\left(x^2e^{1/x}-x^2\right)\).

▼

Решение Изнасяме \(x^2\) пред скоби: \[ x^2e^{1/x}-x^2=x^2\bigl(e^{1/x}-1\bigr). \] Полагаме \(y=\dfrac{1}{x}\). При \(x\to+\infty\) имаме \(y\to0^+\). Тогава \[ x^2\bigl(e^{1/x}-1\bigr)=\frac{e^y-1}{y^2}. \] Тъй като \(e^y-1\sim y\) при \(y\to0\), получаваме \[ \frac{e^y-1}{y^2}\sim \frac{y}{y^2}=\frac{1}{y}. \] Понеже \(\dfrac{1}{y}\to+\infty\) при \(y\to0^+\), заключаваме: \[ \lim_{x\to+\infty}\!\left(x^2e^{1/x}-x^2\right)=\mathbf{+\infty}. \]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1Намерете \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(5x)}{\operatorname{tg}(3x)}\).

Задача 2Намерете \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\arcsin(4x)}{\ln(1+7x)}\).

Задача 3Намерете \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{2x}-1}{\sin(5x)}\).

Задача 4Намерете \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x^2)}{\operatorname{arctg}(x^2)}\).

Задача 5Намерете \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(1+x)^{1/3}-1}{x}\).

Задача 6Намерете \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin(x^2)\cdot\ln(1+x)}{x^3}\).

Задача 7Намерете \(\lim\limits_{x\to2}\dfrac{x^2-4}{\operatorname{arctg}(x^2-4)}\).

Задача 8Намерете \(\lim\limits_{x\to+\infty}x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Еквивалентни функции и граници

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ НА ТЕСТА.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Кога казваме, че функциите \(f(x)\) и \(g(x)\) са еквивалентни при \(x\to a\)?

Когато \(\lim\limits_{x\to a}(f(x)-g(x))=1\) Когато \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1\) Когато \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}g(x)=0\) Когато \(f(x)=g(x)\) за всяко \(x\)

2Коя от следните еквивалентности е вярна при \(x\to0\)?

\(\ln(1+x)\sim x^2\) \(e^x-1\sim x\) \(\sin x\sim x^2\) \(\operatorname{arctg}x\sim 1\)

3Ако \(\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=0\), то коя еквивалентност е вярна?

\(\ln(1+u(x))\sim u(x)\) \(\ln(1+u(x))\sim 1\) \(\ln(1+u(x))\sim u^2(x)\) \(\ln(1+u(x))\sim \dfrac{1}{u(x)}\)

4Еквивалентностите най-сигурно се прилагат при:

суми и разлики на отделни събираеми произведения и частни, когато заменяме цели множители само при полиноми само при тригонометрични функции

5От \(\sin x\sim x\) при \(x\to0\) следва ли механично, че \(\sin x-x\sim0\)?

Да, винаги Не, защото при разлика главните членове може да се съкратят Да, но само ако \(x>0\) Само ако \(\sin x=x\)

6\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(6x)}{x}=\)

\(1\) \(6\) \(\dfrac{1}{6}\) \(0\)

7\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(\cos x)}{\operatorname{tg}(x^2)}=\)

\(0\) \(-\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{2}\) \(-1\)

8\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\ln(1+\operatorname{tg}x)}{e^{\arcsin x}-1}=\)

\(0\) \(1\) \(-1\) \(2\)

9При \(x\to1\) имаме \(\operatorname{arctg}(x^2+x-2)\sim\)

\(x^2-4x+3\) \(x^2+x-2\) \(x-1\) \(1\)

10\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{\operatorname{arctg}(2x)}=\)

\(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{3}{2}\) \(1\) \(0\)

11\(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{(2+x)^x-2^x}{x^2}=\)

\(2\) \(1\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\)

12Ако положим \(y=1-x\), то при \(x\to1^-\) получаваме:

\(y\to1^-\) \(y\to0^+\) \(y\to0^-\) \(y\to+\infty\)

13\(\lim\limits_{x\to1^-}\dfrac{\ln x}{\sqrt{1-x}}=\)

\(+\infty\) \(-\infty\) \(1\) \(0\)

14При \(x\to+\infty\) изразът \(x^2e^{1/x}-x^2\) е равен на:

\(x^2(e^{1/x}-1)\) \(e^{1/x}-1\) \(\dfrac{e^{1/x}}{x^2}\) \(\dfrac{1}{x^2}(e^{1/x}-1)\)

15\(\lim\limits_{x\to+\infty}\left(x^2e^{1/x}-x^2\right)=\)

\(0\) \(1\) \(+\infty\) \(-\infty\)

---

Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

Свързани уроци

◀

Приложение на основната граница \(\lim\limits_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)

Техники за свеждане към основната тригонометрична граница — 5 разработени задачи с подробни решения и тест.

Преглед на урока →

▶

Граница на функция — определения по Хайне и Коши

Определения, теореми, едностранни граници — 11 разработени задачи с подробни решения и тест.

Преглед на урока →

---

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆