📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Основна тригонометрична граница

Приложение на основната граница
\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)

Техники за свеждане към основната тригонометрична граница — 5 разработени задачи с подробни решения, самостоятелна работа и онлайн тест

Математически анализ Тригонометрични граници Основна граница Университет Д-р Атанас Илчев

Свеждане на тригонометрични граници към \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) чрез полагане и алгебрични преобразувания

Основната тригонометрична граница \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) е един от най-важните резултати в математическия анализ. Тя стои в основата на намирането на производните на тригонометричните функции и се прилага при пресмятането на широк клас граници. Ключът към правилното й прилагане е умението да се разпознае и изведе стандартната форма \(\dfrac{\sin(\bullet)}{\bullet}\to1\) при \(\bullet\to0\).

Основна граница и следствия

Основна тригонометрична граница. \[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.\]

Следствия от основната граница. За произволна функция \(\varphi(x)\) с \(\varphi(x)\to0\) при \(x\to a\):

1. \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{\sin(\varphi(x))}{\varphi(x)}=1\);
2. \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{2}\)   (използва се \(1-\cos x=2\sin^2\!\dfrac{x}{2}\));
3. \(\lim\limits_{x\to 0}x\operatorname{ctg}(ax)=\dfrac{1}{a}\) за \(a\neq0\).

Техника за прилагане. При граница от вид \(\dfrac{\sin(kx)}{x}\) умножаваме и делим по \(k\), за да получим \(k\cdot\dfrac{\sin(kx)}{kx}\). Полагаме \(y=kx\) — при \(x\to0\) следва \(y\to0\), и прилагаме основната граница. При \(\operatorname{ctg}(kx)=\dfrac{\cos(kx)}{\sin(kx)}\) разделяме и използваме, че \(\cos(kx)\to1\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(6x)}{x}\).

▼

Решение Записваме дадената граница, като умножаваме и делим по \(6\): \[\lim_{x\to 0}\frac{6\cdot\sin(6x)}{6x}=6\lim_{x\to 0}\frac{\sin(6x)}{6x}.\] Полагаме \(y=6x\). Тъй като \(6x\to0\) при \(x\to0\), следва \(y\to0\). Получаваме: \[6\lim_{y\to 0}\frac{\sin y}{y}=6\cdot1=\mathbf{6}.\]

2

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}x\operatorname{ctg}(3x)\).

▼

Решение Записваме \(\operatorname{ctg}(3x)=\dfrac{\cos(3x)}{\sin(3x)}\): \[\lim_{x\to 0}x\cdot\frac{\cos(3x)}{\sin(3x)}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(3x)}\cdot\lim_{x\to 0}\cos(3x).\] Тъй като \(\lim\limits_{x\to 0}\cos(3x)=1\), остава: \[\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(3x)}=\lim_{x\to 0}\frac{3x}{3\sin(3x)}=\frac{1}{3}\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin(3x)}{3x}\right]^{-1}=\frac{1}{3}\cdot1^{-1}=\mathbf{\frac{1}{3}}.\]

3

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(ax)-\sin(bx)}{x}\), където \(a,b\in\mathbb{R}\).

▼

Решение Разделяме дробта: \[\lim_{x\to 0}\left[\frac{\sin(ax)}{x}-\frac{\sin(bx)}{x}\right]=\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{\sin(bx)}{x}.\] Прилагаме основната граница за всяко събираемо поотделно: \[a\lim_{x\to 0}\frac{\sin(ax)}{ax}-b\lim_{x\to 0}\frac{\sin(bx)}{bx}=a\cdot1-b\cdot1=\mathbf{a-b}.\]

4

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\).

▼

Решение От тригонометрията е известна формулата \(1-\cos x=2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\). Заместваме: \[\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x^2}=2\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{x}.\] Умножаваме и делим всеки множител по \(2\): \[2\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{2x}{2}}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{2x}{2}}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{x}{2}}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot1=\mathbf{\frac{1}{2}}.\]

5

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+\operatorname{tg}(x)}-\sqrt{1+\sin(x)}}{x^3}\).

▼

Решение Рационализираме числителя — умножаваме по спрегнатия израз: \[\lim_{x\to 0}\frac{\bigl(\sqrt{1+\operatorname{tg} x}-\sqrt{1+\sin x}\bigr)\bigl(\sqrt{1+\operatorname{tg} x}+\sqrt{1+\sin x}\bigr)}{x^3\bigl(\sqrt{1+\operatorname{tg} x}+\sqrt{1+\sin x}\bigr)}=\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x-\sin x}{x^3\bigl(\sqrt{1+\operatorname{tg} x}+\sqrt{1+\sin x}\bigr)}.\] При \(x\to0\) знаменателният корен клони към \(1+1=2\), затова: \[=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{tg} x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\sin x\cos x}{x^3\cos x}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x}.\] Тъй като \(\lim\limits_{x\to0}\cos x=1\): \[=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\cdot\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{1}{2}=\mathbf{\frac{1}{4}}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{x}\).

Задача 2 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{\sin(7x)}\).

Задача 3 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}x\operatorname{ctg}(5x)\).

Задача 4 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}\).

Задача 5 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(ax)-\sin(bx)}{\sin(cx)-\sin(dx)}\), при \(c\neq d\).

Задача 6 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg}(x)-\sin(x)}{x^3}\).

Задача 7 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(x)\cos(2x)}{x^2}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Основна тригонометрична граница

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ НА ТЕСТА.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Основната тригонометрична граница е:

\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=0\) \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=+\infty\) \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=\pi\)

2\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(6x)}{x}=\)

\(1\) \(6\) \(\dfrac{1}{6}\) \(0\)

3\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(5x)}{x}=\)

\(1\) \(5\) \(\dfrac{1}{5}\) \(0\)

4\(\lim\limits_{x\to 0}x\operatorname{ctg}(3x)=\)

\(3\) \(\dfrac{1}{3}\) \(0\) \(1\)

5При намиране на \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(6x)}{x}\) полагаме \(y=6x\). Какво следва?

При \(x\to0\) е \(y\to6\) При \(x\to0\) е \(y\to0\) При \(x\to0\) е \(y\to+\infty\) При \(x\to0\) е \(y\to-\infty\)

6\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(ax)-\sin(bx)}{x}=\)

\(0\) \(a-b\) \(a+b\) \(ab\)

7Формулата, която се използва при \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}\), е:

\(1-\cos x=\sin^2 x\) \(1-\cos x=2\sin^2\!\dfrac{x}{2}\) \(1-\cos x=\cos^2 x\) \(1-\cos x=\operatorname{tg}^2 x\)

8\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\)

\(1\) \(\dfrac{1}{2}\) \(0\) \(2\)

9\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos(2x)}{x^2}=\)

\(\dfrac{1}{2}\) \(2\) \(1\) \(4\)

10\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin(3x)}{\sin(7x)}=\)

\(1\) \(\dfrac{3}{7}\) \(\dfrac{7}{3}\) \(0\)

11При рационализиране в З5 знаменателният израз \(\sqrt{1+\operatorname{tg} x}+\sqrt{1+\sin x}\) при \(x\to0\) клони към:

\(0\) \(2\) \(1\) \(+\infty\)

12\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+\operatorname{tg} x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}=\)

\(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(1\) \(0\)

13\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\operatorname{tg} x - \sin x}{x^3}=\)

\(0\) \(\dfrac{1}{2}\) \(1\) \(\dfrac{1}{4}\)

14\(\lim\limits_{x\to 0}x\operatorname{ctg}(5x)=\)

\(5\) \(\dfrac{1}{5}\) \(0\) \(1\)

15Коя тъждественост се използва при свеждане на \(\operatorname{tg} x - \sin x\) към произведение?

\(\operatorname{tg} x - \sin x = \sin x + \sin x\cos x\) \(\operatorname{tg} x - \sin x = \dfrac{\sin x(1-\cos x)}{\cos x}\) \(\operatorname{tg} x - \sin x = \cos x - \sin x\) \(\operatorname{tg} x - \sin x = \sin^2 x\)

---

Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆