Граница на функция

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Граница на функция

Граница на функция.
Определения и теореми

Определения по Хайне и Коши, теореми за граници, едностранни граници — 11 разработени задачи с подробни решения, самостоятелна работа и онлайн тест

Математически анализ Граница на функция Коши Хайне Едностранни граници Университет Д-р Атанас Илчев

Два еквивалентни подхода към понятието граница — чрез редици (Хайне) и чрез ε–δ неравенства (Коши), основни теореми и задачи с едностранни граници

Понятието граница на функция е крайъгълен камък на математическия анализ. То стои в основата на диференциалното и интегралното смятане и обединява работата на Нютон, Лайбниц, Коши и Вайерщрас в строга логическа рамка. В настоящия урок разглеждаме двете класически дефиниции — на Хайне (чрез редици) и на Коши (чрез ε–δ неравенства), доказваме тяхната еквивалентност и изучаваме основните теореми за пресмятане на граници.

Определения за граница на функция

Определение 1 (по Хайне). Казваме, че числото \(b\) е граница на функцията \(f\) в точката \(a\), ако за всяка редица от стойности на аргумента \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\), \(x_n\neq a\), \(n\in\mathbb{N}\), клоняща към \(a\), съответната редица от стойности на функцията \(\{f(x_n)\}_{n=1}^{\infty}\) клони към числото \(b\).

Определение 2 (по Коши, ε–δ). Казваме, че числото \(b\) е граница на функцията \(f\) в точката \(a\), ако за всяко \(\varepsilon>0\) съществува \(\delta>0\) така, че за всяко \(x\), удовлетворяващо \(0\lt|x-a|\lt\delta\), е изпълнено \(|f(x)-b|\lt\varepsilon\).
Пишем: \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\).

Теорема 1. Определенията на Хайне и на Коши за граница на функция са еквивалентни.

Теореми за пресмятане на граници

Теорема 2 (аритметични действия с граници). Нека \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\) и \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=c\), \(\alpha\in\mathbb{R}\). Тогава:

1. \(\lim\limits_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=b\pm c\);
2. \(\lim\limits_{x\to a}(\alpha f(x))=\alpha b\);
3. \(\lim\limits_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=b\cdot c\);
4. \(\lim\limits_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{b}{c}\), при условие че \(c\neq0\).

Теорема 3 (граничен преход в неравенства). Нека за всяко \(x\in D\) е в сила \(f(x)\leq g(x)\) и съществуват \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\) и \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=c\). Тогава \(b\leq c\).

Теорема 4 (теорема за двамата полицаи). Нека за всяко \(x\in D\): \[f(x)\leq g(x)\leq h(x).\] Ако \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=\lim\limits_{x\to a}h(x)=b\), то \(\lim\limits_{x\to a}g(x)=b\).

Теорема 5 (граница на съставна функция). Нека \(f:D\to U\), \(g:U\to\mathbb{R}\). Ако \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=b\), \(f(x)\neq b\) за \(x\neq a\) и \(\lim\limits_{x\to b}g(x)=c\), то: \[\lim_{x\to a}g(f(x))=\lim_{x\to b}g(x)=c.\]

Определение 3 (условие на Коши). Казваме, че \(f\) удовлетворява условието на Коши в точката \(a\), ако за всяко \(\varepsilon>0\) съществува \(\delta>0\), така че за всеки \(x_1,x_2\) с \(0\lt|x_1-a|\lt\delta\), \(0\lt|x_2-a|\lt\delta\) е изпълнено \(|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon\).

Теорема 6. Функцията \(f\) има граница в точката \(a\) тогава и само тогава, когато удовлетворява условието на Коши в точката \(a\).

Едностранни граници

Определение 4 (по Хайне). Числото \(b\) е лява (дясна) граница на \(f\) в точката \(a\), ако за всяка редица \(\{x_n\}\) с \(x_n\lt a\) (\(x_n\gt a\)) за всяко \(n\), клоняща към \(a\), редицата \(\{f(x_n)\}\) клони към \(b\). Пишем: \[\lim_{x\to a-0}f(x)=b\qquad\left(\lim_{x\to a+0}f(x)=b\right).\]

Определение 5 (по Коши). Числото \(b\) е лява (дясна) граница на \(f\) в точката \(a\), ако за всяко \(\varepsilon>0\) съществува \(\delta>0\), така че за всяко \(x\) с \(a-\delta\lt x\lt a\) (\(a\lt x\lt a+\delta\)) е изпълнено \(|f(x)-b|\lt\varepsilon\).

Теорема 7. Функцията \(f\) има граница в точката \(a\) тогава и само тогава, когато съществуват лява и дясна граница в точката \(a\) и те са равни: \[\lim_{x\to a}f(x)=b\iff\lim_{x\to a-0}f(x)=\lim_{x\to a+0}f(x)=b.\]

Техника за едностранни граници. При \(x\to a-0\) полагаме \(x=a-\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\); при \(x\to a+0\) полагаме \(x=a+\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\). Така модулите и знаменателите се разкриват с определен знак.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{x^4-x+1}{1-2x-x^3}\).

▼

Решение Изнасяме \(x^4\) пред скоби в числителя и \(x^3\) пред скоби в знаменателя: \[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^4\!\left(1-\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)}{x^3\!\left(\dfrac{1}{x^3}-\dfrac{2}{x^2}-1\right)}.\] Тъй като \(\dfrac{1}{x^3}\to0\), \(\dfrac{1}{x^4}\to0\) и \(\dfrac{2}{x^2}\to0\) при \(x\to+\infty\), след съкращаване на \(x^3\) получаваме: \[\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{-1}=\mathbf{-\infty}.\]

2

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2-x-1}\).

▼

Решение Изнасяме \(x^2\) пред скоби в числителя и знаменателя: \[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^2\!\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(2-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}\right)}=\lim_{x\to+\infty}\frac{1-\dfrac{1}{x^2}}{2-\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}}.\] Тъй като \(\dfrac{1}{x}\to0\) и \(\dfrac{1}{x^2}\to0\) при \(x\to+\infty\), границата е равна на \(\mathbf{\dfrac{1}{2}}\).

3

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{2x^2-x-1}\). [неопределеност \(\left[\frac{0}{0}\right]\)]

▼

Решение Директното заместване дава \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\). Разлагаме числителя и знаменателя на множители: \[\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{(2x+1)(x-1)}.\] Проблемният множител \((x-1)\) се среща и в двете части. След съкращаване: \[\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{2x+1}=\frac{1+1}{2\cdot1+1}=\mathbf{\frac{2}{3}}.\]

4

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}\).

▼

Решение Изнасяме \(\sqrt{x}\) последователно: \[\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x\!\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}}}{\sqrt{x\!\left(1+\frac{1}{x}\right)}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x+\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}}{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}}}.\] \[=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x\!\left(1+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}\right)}}{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{x}}}}}{\sqrt{x}\sqrt{1+\frac{1}{x}}}=\frac{\sqrt{1+0}}{\sqrt{1+0}}=\mathbf{1}.\]

5

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}\). [неопределеност \(\left[\frac{0}{0}\right]\), рационализиране]

▼

Решение Директното заместване дава \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\). Рационализираме числителя — умножаваме по спрегнатия израз \((\sqrt{1+2x}+3)\): \[\lim_{x\to 4}\frac{(\sqrt{1+2x}-3)(\sqrt{1+2x}+3)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x\to 4}\frac{1+2x-9}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x\to 4}\frac{2(x-4)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}.\] Забелязваме, че \(x-4=(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)\), откъдето: \[\lim_{x\to 4}\frac{2(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{1+2x}+3)}=\lim_{x\to 4}\frac{2(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{1+2x}+3}=\frac{2(\sqrt{4}+2)}{\sqrt{9}+3}=\frac{8}{6}=\mathbf{\frac{4}{3}}.\]

6

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{3-\sqrt{x+9}}\). [неопределеност \(\left[\frac{0}{0}\right]\), рационализиране на знаменателя]

▼

Решение Умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатия израз на знаменателя \((3+\sqrt{x+9})\): \[\lim_{x\to 0}\frac{x(3+\sqrt{x+9})}{(3-\sqrt{x+9})(3+\sqrt{x+9})}=\lim_{x\to 0}\frac{x(3+\sqrt{x+9})}{9-(x+9)}=\lim_{x\to 0}\frac{x(3+\sqrt{x+9})}{-x}=\lim_{x\to 0}\frac{3+\sqrt{x+9}}{-1}=\mathbf{-6}.\]

7

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to-\infty}\!\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\right)\). [неопределеност \([\infty-\infty]\)]

▼

Решение Умножаваме по спрегнатия израз: \[\lim_{x\to-\infty}\frac{(x^2+x+1)-(x^2-x+1)}{\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{\sqrt{x^2\!\left(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}+\sqrt{x^2\!\left(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}}.\] Тъй като \(x\to-\infty\), имаме \(|x|=-x\): \[=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2x}{-x\!\left[\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}\right]}=\frac{2}{-(1+1)}=\mathbf{-1}.\]

8

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 2-0}\dfrac{2x}{1-x^2}\). [лява граница]

▼

Решение Тъй като \(x\to2-0\), полагаме \(x=2-\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\): \[\lim_{\varepsilon\to0}\frac{2(2-\varepsilon)}{1-(2-\varepsilon)^2}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{4-2\varepsilon}{1-(4-4\varepsilon+\varepsilon^2)}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{4-2\varepsilon}{-3+4\varepsilon-\varepsilon^2}=\frac{4}{-3}=\mathbf{-\frac{4}{3}}.\]

9

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 2-0}\dfrac{x^3}{4-x^2}\). [лява граница, безкрайност]

▼

Решение Полагаме \(x=2-\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\): \[\lim_{\varepsilon\to0}\frac{(2-\varepsilon)^3}{4-(2-\varepsilon)^2}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{8-12\varepsilon+6\varepsilon^2-\varepsilon^3}{4-(4-4\varepsilon+\varepsilon^2)}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{8-12\varepsilon+6\varepsilon^2-\varepsilon^3}{4\varepsilon-\varepsilon^2}=\frac{8}{+0}=\mathbf{+\infty}.\]

10

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 2+0}\dfrac{x^3}{4-x^2}\). [дясна граница — сравнете с предходната задача]

▼

Решение Полагаме \(x=2+\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\): \[\lim_{\varepsilon\to0}\frac{(2+\varepsilon)^3}{4-(2+\varepsilon)^2}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{8+12\varepsilon+6\varepsilon^2+\varepsilon^3}{4-(4+4\varepsilon+\varepsilon^2)}=\lim_{\varepsilon\to0}\frac{8+12\varepsilon+6\varepsilon^2+\varepsilon^3}{-4\varepsilon-\varepsilon^2}=\frac{8}{-0}=\mathbf{-\infty}.\] Сравнение: Тъй като лявата граница е \(+\infty\) и дясната е \(-\infty\), двустранната граница в точката \(x=2\) не съществува.

11

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 1-0}\dfrac{x^2+2x-3}{|x-1|}\). [лява граница с модул]

▼

Решение Полагаме \(x=1-\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\). Тогава \(x-1=-\varepsilon\lt0\), следователно \(|x-1|=-(x-1)\). Записваме: \[\lim_{x\to 1-0}\frac{x^2+2x-3}{-(x-1)}=\lim_{x\to 1-0}\frac{(x-1)(x+3)}{-(x-1)}=\lim_{x\to 1-0}[-(x+3)]=-4=\mathbf{-4}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Намерете \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{3x^3-2x^2+1}{x^3+5x-7}\).

Задача 2 Намерете \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{2x^4-x+3}{x^2+1}\).

Задача 3 Намерете \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{x^2-4}{x^2-3x+2}\).

Задача 4 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{2-\sqrt{x+4}}\).

Задача 5 Намерете \(\lim\limits_{x\to 9}\dfrac{\sqrt{x}-3}{x-9}\).

Задача 6 Намерете \(\lim\limits_{x\to+\infty}\!\left(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-x}\right)\).

Задача 7 Намерете \(\lim\limits_{x\to 1+0}\dfrac{x^2-1}{|x-1|}\).

Задача 8 Намерете \(\lim\limits_{x\to 3-0}\dfrac{x^2}{9-x^2}\) и \(\lim\limits_{x\to 3+0}\dfrac{x^2}{9-x^2}\). Съществува ли двустранната граница?

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Граница на функция

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ НА ТЕСТА.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Определението по Хайне за граница използва:

\(\varepsilon\)–\(\delta\) неравенства Редици от стойности на аргумента Производната на функцията Интеграл на функцията

2Определенията по Хайне и по Коши за граница са:

Противоречиви Еквивалентни Еквивалентни само за непрекъснати функции Независими едно от друго

3\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\)

\(0\) \(\dfrac{1}{2}\) \(1\) \(+\infty\)

4\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x^4-x+1}{1-2x-x^3}=\)

\(+\infty\) \(-\infty\) \(0\) \(-1\)

5\(\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{2x^2-x-1}=\)

\(0\) \(\dfrac{2}{3}\) \(1\) Не съществува

6Кой метод се прилага при неопределеност \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\) с корени в числителя или знаменателя?

Разлагане на многочлена на множители Рационализиране чрез умножение по спрегнатия израз Изнасяне на старшата степен Прилагане на теоремата на Лопитал

7\(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{3-\sqrt{x+9}}=\)

\(0\) \(-6\) \(6\) \(-3\)

8\(\lim\limits_{x\to 4}\dfrac{\sqrt{1+2x}-3}{\sqrt{x}-2}=\)

\(1\) \(\dfrac{4}{3}\) \(\dfrac{3}{4}\) \(2\)

9\(\lim\limits_{x\to-\infty}\!\left(\sqrt{x^2+x+1}-\sqrt{x^2-x+1}\right)=\)

\(0\) \(-1\) \(1\) \(+\infty\)

10При намиране на лявата граница \(x\to a-0\) полагаме:

\(x=a+\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\) \(x=a-\varepsilon\), \(\varepsilon\to0^+\) \(x=a\) \(x=-a\)

11\(\lim\limits_{x\to 2-0}\dfrac{x^3}{4-x^2}=\)

\(-\infty\) \(+\infty\) \(2\) \(0\)

12\(\lim\limits_{x\to 2+0}\dfrac{x^3}{4-x^2}=\)

\(+\infty\) \(-\infty\) \(2\) \(0\)

13Функцията \(f\) има двустранна граница в точката \(a\), ако:

Съществува само лявата граница Левата и дясната граница съществуват и са равни Функцията е дефинирана в точката \(a\) Функцията е непрекъсната навсякъде

14\(\lim\limits_{x\to 1-0}\dfrac{x^2+2x-3}{|x-1|}=\)

\(4\) \(-4\) \(0\) Не съществува

15\(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+1}}=\)

\(0\) \(1\) \(+\infty\) \(\dfrac{1}{2}\)

---

Видео урок

Видео урок по тема „Граница на функция" предстои. Следете канала за нови публикации.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆