Асимптоти на графика на функция
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Математически анализ › Асимптоти на функции
Асимптоти на графики
на функции
Вертикални, хоризонтални и наклонени асимптоти — определения, формули за намиране, 3 разработени задачи с подробни решения, самостоятелна работа и онлайн тест
Как се намират вертикалните, хоризонталните и наклонените асимптоти на графиката на функция чрез гранични стойности
Асимптотите описват поведението на графиката на функция „в безкрайност" или близо до точки, в които функцията не е дефинирана. Те са важен инструмент при изследването и скицирането на функции — дават представа за глобалното поведение, без да е нужно пресмятане на отделни стойности.
Определения
Определение 1 (Вертикална асимптота). Правата \(x=a\) се нарича вертикална асимптота на графиката на функцията \(f\), ако поне една от границите
\[\lim_{x\to a-0}f(x)\quad\text{или}\quad\lim_{x\to a+0}f(x)\]
е равна на \(+\infty\) или \(-\infty\).
Определение 2 (Хоризонтална асимптота). Правата \(y=b\) се нарича хоризонтална асимптота на графиката на \(f\) при \(x\to+\infty\) (\(x\to-\infty\)), ако
\[\lim_{x\to+\infty}f(x)=b\qquad\left(\lim_{x\to-\infty}f(x)=b\right).\]
Определение 3 (Наклонена асимптота). Правата \(y=kx+b\) (при \(k\neq0\)) се нарича наклонена асимптота на графиката на \(f\) при \(x\to+\infty\) (\(x\to-\infty\)), ако
\[\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=k\qquad\left(\lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}=k\right)\]
и
\[\lim_{x\to+\infty}[f(x)-kx]=b\qquad\left(\lim_{x\to-\infty}[f(x)-kx]=b\right).\]
Практично правило за рационални функции. Нека \(f(x)=\dfrac{P(x)}{Q(x)}\), където \(P\) и \(Q\) са полиноми. Тогава:
- ако \(\deg P\lt\deg Q\) — хоризонтална асимптота \(y=0\);
- ако \(\deg P=\deg Q\) — хоризонтална асимптота \(y=\dfrac{a_n}{b_n}\), където \(a_n\) и \(b_n\) са водещите коефициенти;
- ако \(\deg P=\deg Q+1\) — наклонена асимптота (намираме я чрез делене на полиноми или по формулите за \(k\) и \(b\)).
План за намиране на асимптоти.
1. Вертикални асимптоти: намираме точките извън дефиниционната област (нули на знаменателя и др.) и проверяваме дали едностранна граница там е \(\pm\infty\).
2. Хоризонтални асимптоти: пресмятаме \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) и \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\). Ако крайна граница \(b\) съществува, \(y=b\) е хоризонтална асимптота.
3. Наклонени асимптоти (търсим само когато няма хоризонтални): намираме \(k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\), след което \(b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]\). Ако \(k\) и \(b\) са крайни числа, \(y=kx+b\) е наклонена асимптота.
1. Вертикални асимптоти: намираме точките извън дефиниционната област (нули на знаменателя и др.) и проверяваме дали едностранна граница там е \(\pm\infty\).
2. Хоризонтални асимптоти: пресмятаме \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) и \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)\). Ако крайна граница \(b\) съществува, \(y=b\) е хоризонтална асимптота.
3. Наклонени асимптоти (търсим само когато няма хоризонтални): намираме \(k=\lim\limits_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}\), след което \(b=\lim\limits_{x\to\pm\infty}[f(x)-kx]\). Ако \(k\) и \(b\) са крайни числа, \(y=kx+b\) е наклонена асимптота.
Забележка. Хоризонталната асимптота е частен случай на наклонена с \(k=0\). Ако \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\pm\infty\), функцията няма хоризонтална асимптота, но може да има наклонена. При \(x\to+\infty\) и \(x\to-\infty\) асимптотите могат да са различни — трябва да се проверят поотделно.
Разработени задачи
Кликнете върху задача, за да видите решението.
1
Намерете асимптотите на графиката на \(f(x)=\dfrac{x^3}{1-x^2}\).
▼
Решение
Вертикални асимптоти. Функцията не е дефинирана за \(x=\pm1\). Пресмятаме:
\[\lim_{x\to 1-0}\frac{x^3}{1-x^2}=+\infty,\qquad\lim_{x\to 1+0}\frac{x^3}{1-x^2}=-\infty,\]
\[\lim_{x\to -1-0}\frac{x^3}{1-x^2}=+\infty,\qquad\lim_{x\to -1+0}\frac{x^3}{1-x^2}=-\infty.\]
Следователно правите \(x=1\) и \(x=-1\) са вертикални асимптоти.
Хоризонтални асимптоти. Делим числителя и знаменателя на \(x^2\) (най-високата степен в знаменателя): \[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{1-x^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{\frac{1}{x^2}-1}=\mp\infty.\] Тъй като границата не е крайно число, хоризонтални асимптоти няма.
Наклонени асимптоти. \[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{x(1-x^2)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{1-x^2}=-1.\] \[b=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^3}{1-x^2}+x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3+x(1-x^2)}{1-x^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1-x^2}=0.\] Наклонена асимптота: \(\boxed{y=-x}\).
Хоризонтални асимптоти. Делим числителя и знаменателя на \(x^2\) (най-високата степен в знаменателя): \[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{1-x^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{\frac{1}{x^2}-1}=\mp\infty.\] Тъй като границата не е крайно число, хоризонтални асимптоти няма.
Наклонени асимптоти. \[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3}{x(1-x^2)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^2}{1-x^2}=-1.\] \[b=\lim_{x\to\pm\infty}\left(\frac{x^3}{1-x^2}+x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3+x(1-x^2)}{1-x^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x}{1-x^2}=0.\] Наклонена асимптота: \(\boxed{y=-x}\).
2
Намерете асимптотите на графиката на \(f(x)=\sqrt[3]{2x^2-x^3}\).
▼
Решение
Вертикални асимптоти. Кубичният корен е дефиниран за всяко реално число, следователно дефиниционната област е \(\mathbb{R}\) — вертикални асимптоти няма.
Хоризонтални асимптоти. Изнасяме \(x^3\) изпод корена: \[2x^2-x^3=x^3\!\left(\frac{2}{x}-1\right),\] откъдето \[\sqrt[3]{2x^2-x^3}=\sqrt[3]{x^3\!\left(\frac{2}{x}-1\right)}=x\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}.\] При \(x\to\pm\infty\) имаме \(\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}\to\sqrt[3]{-1}=-1\), следователно \[\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}=\lim_{x\to\pm\infty}x\cdot(-1)=\mp\infty.\] Хоризонтални асимптоти няма.
Наклонени асимптоти. Използваме вече полученото представяне: \[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt[3]{2x^2-x^3}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}=-1.\] За \(b\) трябва да пресметнем \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\!\left(\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x\right)\). Полагаме \(A=\sqrt[3]{2x^2-x^3}\) и \(B=x\) и използваме тъждеството за сума на кубове \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\), откъдето: \[A+B=\frac{A^3+B^3}{A^2-AB+B^2}=\frac{(2x^2-x^3)+x^3}{A^2-AB+B^2}=\frac{2x^2}{A^2-AB+B^2}.\] Делим числителя и знаменателя на \(x^2\) и при \(x\to\pm\infty\) получаваме: \[b=\frac{2}{(-1)^2-(-1)\cdot1+1^2}=\frac{2}{1+1+1}=\frac{2}{3}.\] Наклонена асимптота: \(\boxed{y=-x+\dfrac{2}{3}}\).
Хоризонтални асимптоти. Изнасяме \(x^3\) изпод корена: \[2x^2-x^3=x^3\!\left(\frac{2}{x}-1\right),\] откъдето \[\sqrt[3]{2x^2-x^3}=\sqrt[3]{x^3\!\left(\frac{2}{x}-1\right)}=x\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}.\] При \(x\to\pm\infty\) имаме \(\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}\to\sqrt[3]{-1}=-1\), следователно \[\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{2x^2-x^3}=\lim_{x\to\pm\infty}x\cdot(-1)=\mp\infty.\] Хоризонтални асимптоти няма.
Наклонени асимптоти. Използваме вече полученото представяне: \[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\sqrt[3]{2x^2-x^3}}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\sqrt[3]{\frac{2}{x}-1}=-1.\] За \(b\) трябва да пресметнем \(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\!\left(\sqrt[3]{2x^2-x^3}+x\right)\). Полагаме \(A=\sqrt[3]{2x^2-x^3}\) и \(B=x\) и използваме тъждеството за сума на кубове \(A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)\), откъдето: \[A+B=\frac{A^3+B^3}{A^2-AB+B^2}=\frac{(2x^2-x^3)+x^3}{A^2-AB+B^2}=\frac{2x^2}{A^2-AB+B^2}.\] Делим числителя и знаменателя на \(x^2\) и при \(x\to\pm\infty\) получаваме: \[b=\frac{2}{(-1)^2-(-1)\cdot1+1^2}=\frac{2}{1+1+1}=\frac{2}{3}.\] Наклонена асимптота: \(\boxed{y=-x+\dfrac{2}{3}}\).
3
Намерете асимптотите на графиката на \(f(x)=\dfrac{(x-1)^3}{(x+1)^2}\).
▼
Решение
Вертикални асимптоти. Дефиниционна област: \(x\in(-\infty,-1)\cup(-1,+\infty)\). При \(x\to-1\) числителят клони към \((-2)^3=-8\lt0\), а знаменателят \((x+1)^2\) е винаги неотрицателен и клони към \(0^+\) (и отляво, и отдясно). Следователно дробта клони към \(-\infty\) и от двете страни:
\[\lim_{x\to-1-0}\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}=-\infty,\qquad\lim_{x\to-1+0}\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}=-\infty.\]
Правата \(x=-1\) е вертикална асимптота.
Хоризонтални асимптоти. \[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}=\pm\infty.\] Хоризонтални асимптоти няма.
Наклонени асимптоти. \[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{(x-1)^3}{x(x+1)^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^3+2x^2+x}=1.\] \[b=\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{(x-1)^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-5x^2+2x-1}{x^2+2x+1}=-5.\] Наклонена асимптота: \(\boxed{y=x-5}\).
Хоризонтални асимптоти. \[\lim_{x\to\pm\infty}\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}=\pm\infty.\] Хоризонтални асимптоти няма.
Наклонени асимптоти. \[k=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{(x-1)^3}{x(x+1)^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x^3+2x^2+x}=1.\] \[b=\lim_{x\to\pm\infty}\!\left(\frac{(x-1)^3}{(x+1)^2}-x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{(x-1)^3-x(x+1)^2}{(x+1)^2}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{-5x^2+2x-1}{x^2+2x+1}=-5.\] Наклонена асимптота: \(\boxed{y=x-5}\).
Задачи за самостоятелна работа
Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.
Задача 1Намерете асимптотите на \(f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\).
Отговор: ВА \(x=1\); НА \(y=x+1\).
Отговор: ВА \(x=1\); НА \(y=x+1\).
Задача 2Намерете асимптотите на \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\).
Отговор: ХА \(y=1\); няма ВА и НА.
Отговор: ХА \(y=1\); няма ВА и НА.
Задача 3Намерете асимптотите на \(f(x)=\dfrac{2x^2+3x-2}{x-1}\).
Отговор: ВА \(x=1\); НА \(y=2x+5\).
Отговор: ВА \(x=1\); НА \(y=2x+5\).
Задача 4Намерете асимптотите на \(f(x)=\sqrt{x^2+2x+3}-x\).
Отговор: ХА \(y=1\) при \(x\to+\infty\); НА \(y=-2x-1\) при \(x\to-\infty\).
Отговор: ХА \(y=1\) при \(x\to+\infty\); НА \(y=-2x-1\) при \(x\to-\infty\).
Задача 5Намерете асимптотите на \(f(x)=x\ln\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)\).
Отговор: ХА \(y=1\); ВА \(x=0\).
Отговор: ХА \(y=1\); ВА \(x=0\).
Задача 6Намерете асимптотите на \(f(x)=\dfrac{x^3+1}{x^2-4}\).
Отговор: ВА \(x=2\) и \(x=-2\); НА \(y=x\).
Отговор: ВА \(x=2\) и \(x=-2\); НА \(y=x\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Асимптоти на графики на функции
Изберете верния отговор. | Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2
Видео уроци
Свързани уроци
◀
Еквивалентни функции — граници с еквивалентности
Определение, теорема, таблица с еквивалентности при \(x\to0\) и 8 разработени задачи с подробни решения.
Преглед на урока →
◀
Граница на функция — определения по Хайне и Коши
Определения, теореми, едностранни граници — 11 разработени задачи с подробни решения и тест.
Преглед на урока →
Използвана литература
- В. Георгиев, А. Илчев. Ръководство за решаване на задачи по диференциално смятане на функция на една променлива с използване на Python. Университетско издателство „Паисий Хилендарски", Пловдив, 2024.
- Б. Златанов. Математически анализ. Диференциално смятане на функция на една променлива с използване на алгебрични компютърни системи. Университетско издателство „Паисий Хилендарски", Пловдив, 2018.
- С. Манолов, Н. Шополов, Л. Петрушев, К. Анастасова, П. Панайотов. Сборник задачи по висша математика — втора част. Държавно издателство „Техника", София, 1979.
- В. А. Зорич. Математический анализ, том I. Наука, Москва, 1981.
- W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed., McGraw-Hill, 1976.
- Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I. Наука, Москва, 1966.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар