📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 5. клас › Геометрия › Паралелепипед › Повърхнина

Лице на околна повърхнина и на повърхнина на правоъгълен паралелепипед

Лице на околна повърхнина \(S = 2\cdot(a+b)\cdot c = P\cdot c\) (четирите околни стени) и лице на пълна повърхнина \(S_1 = S + 2\cdot a\cdot b\) на правоъгълен паралелепипед; приложни задачи (кутия, басейн, боядисване) и съставни тела; 25 разработени задачи, 30 за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

5. клас Геометрия Повърхнина Паралелепипед Пространствени тела

В този урок ще намираме лицето на околната повърхнина и лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед. След теоретичната част са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.

◆ Лице на околна повърхнина

Сборът от лицата на околните стени на правоъгълен паралелепипед се нарича лице на околна повърхнина и се означава с \(S\). Нека основата има страни \(a\) и \(b\), а височината е \(c\). Тогава \[ S = 2\cdot(a + b)\cdot c. \] Понеже \(2\cdot(a + b) = P\) е обиколката на основата, получаваме и формулата \(S = P\cdot c\).

Лице на околна повърхнина — четирите оцветени околни стени; двете основи не са оцветени.

◆ Лице на пълна повърхнина

Ако към лицето на околната повърхнина прибавим лицата на двете основи, получаваме лицето на пълната повърхнина \(S_1\): \[ S_1 = S + 2\cdot a\cdot b = 2\cdot(a\cdot b + a\cdot c + b\cdot c). \]

Лице на пълна повърхнина — оцветени са всички шест стени (околните и двете основи).

✏️ Разработени задачи

1

Измеренията на правоъгълен паралелепипед са \(a = 6\) dm, \(b = 4\) dm и \(c = 2\) dm. Намерете лицето на околната и на пълната повърхнина.

Паралелепипед с \(a=6\), \(b=4\), \(c=2\) dm.

▼

РешениеОколна повърхнина: \(S = 2\cdot(a + b)\cdot c = 2\cdot(6 + 4)\cdot 2 = 2\cdot 10\cdot 2 = 40\ \text{dm}^2.\) Пълна повърхнина: \(S_1 = S + 2\cdot a\cdot b = 40 + 2\cdot 6\cdot 4 = 40 + 48 = 88\ \text{dm}^2.\)

2

Лицето на околната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(60\ \text{cm}^2\), а лицето на горната му основа е \(11{,}96\ \text{cm}^2\). Намерете лицето на пълната повърхнина.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеДвете основи са еднакви, всяка с лице \(11{,}96\ \text{cm}^2\). Затова \(S_1 = S + 2\cdot 11{,}96 = 60 + 23{,}92 = 83{,}92\ \text{cm}^2.\)

3

Лицата на стените на правоъгълен паралелепипед през един негов връх са съответно \(7{,}14\ \text{dm}^2\), \(3{,}78\ \text{dm}^2\) и \(6{,}12\ \text{dm}^2\). Намерете лицето на пълната повърхнина.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеПрез един връх минават три стени, всяка от които има срещуположна еднаква стена. Затова \(S_1 = 2\cdot(7{,}14 + 3{,}78 + 6{,}12) = 2\cdot 17{,}04 = 34{,}08\ \text{dm}^2.\)

4

Намерете лицето на околната повърхнина на правоъгълен паралелепипед с височина \(c = 5\) cm и обиколка на основата \(12\) cm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

Решение\(S = P\cdot c = 12\cdot 5 = 60\ \text{cm}^2.\)

5

Една от основите на правоъгълен паралелепипед е квадрат с обиколка \(24\) cm. Намерете: а) лицето на всяка от основите; б) лицето на всяка от околните стени, ако височината му е \(2{,}5\) cm.

Правоъгълен паралелепипед с квадратна основа.

▼

РешениеСтраната на квадрата е \(24 : 4 = 6\) cm. а) Лицето на всяка основа е \(6\cdot 6 = 36\ \text{cm}^2\). б) Всяка околна стена е правоъгълник \(6\) cm \(\times\) \(2{,}5\) cm с лице \(6\cdot 2{,}5 = 15\ \text{cm}^2.\)

6

Дадени са правоъгълен паралелепипед \(P\) с размери \(1\) cm, \(1\) cm и \(999\) cm и куб \(C\) с ръб \(10\) cm. Намерете и сравнете лицата на пълните им повърхнини.

Паралелепипед \(P\).

▼

РешениеЗа паралелепипеда: \(S_1 = 2\cdot(1 + 1)\cdot 999 + 2\cdot 1\cdot 1 = 3996 + 2 = 3998\ \text{cm}^2.\) За куба: \(S_1 = 6\cdot 10\cdot 10 = 600\ \text{cm}^2.\) Понеже \(3998 > 600\), повърхнината на паралелепипеда \(P\) е по-голяма.

7

Намерете лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед с измерения \(a = 2\) cm, \(b = 30\) mm и \(c = 1\) dm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеИзразяваме всичко в сантиметри: \(b = 30\) mm \(= 3\) cm, \(c = 1\) dm \(= 10\) cm. Тогава \(S_1 = 2\cdot(2 + 3)\cdot 10 + 2\cdot 2\cdot 3 = 100 + 12 = 112\ \text{cm}^2.\)

8

Намерете лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед с измерения \(a = 3\) cm, \(b = 2\) dm и \(c = 10\) mm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеВ сантиметри: \(b = 2\) dm \(= 20\) cm, \(c = 10\) mm \(= 1\) cm. Тогава \(S_1 = 2\cdot(3 + 20)\cdot 1 + 2\cdot 3\cdot 20 = 46 + 120 = 166\ \text{cm}^2.\)

9

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(62{,}74\ \text{dm}^2\). Намерете измерението \(a\), ако \(b = 3{,}2\) dm и \(c = 4{,}1\) dm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеОт \(S_1 = 2\cdot(a + b)\cdot c + 2\cdot a\cdot b\) следва \(2\cdot(a + 3{,}2)\cdot 4{,}1 + 2\cdot a\cdot 3{,}2 = 62{,}74\), тоест \(8{,}2a + 26{,}24 + 6{,}4a = 62{,}74\). Оттук \(14{,}6a = 36{,}5\) и \(a = 2{,}5\) dm.

10

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(125\ \text{cm}^2\). Намерете измерението \(b\), ако \(a = 3\) cm \(5\) mm и \(c = 30\) mm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеВ сантиметри: \(a = 3{,}5\) cm, \(c = 3\) cm. От \(2\cdot(3{,}5 + b)\cdot 3 + 2\cdot 3{,}5\cdot b = 125\) следва \(21 + 6b + 7b = 125\), тоест \(13b = 104\) и \(b = 8\) cm.

11

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(124\ \text{m}^2\). Намерете височината \(c\), ако \(a = 8\) m и \(b = 0{,}5\cdot a\).

Правоъгълен паралелепипед.

▼

Решение\(b = 0{,}5\cdot 8 = 4\) m. От \(2\cdot(8 + 4)\cdot c + 2\cdot 8\cdot 4 = 124\) следва \(24c + 64 = 124\), тоест \(24c = 60\) и \(c = 2{,}5\) m.

12

Даден е правоъгълен паралелепипед с измерения \(a = 6\) cm, \(b = 9\) cm и \(c = 12\) cm. Намерете лицето на околната и на пълната повърхнина.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

Решение\(S = 2\cdot(6 + 9)\cdot 12 = 2\cdot 15\cdot 12 = 360\ \text{cm}^2.\) \(S_1 = 360 + 2\cdot 6\cdot 9 = 360 + 108 = 468\ \text{cm}^2.\)

13

Как ще се измени лицето на околната и на пълната повърхнина на паралелепипеда от предната задача (\(6\), \(9\), \(12\) cm), ако всички измерения се увеличат \(2\) пъти?

Увеличен паралелепипед.

▼

РешениеНовите измерения са \(12\), \(18\) и \(24\) cm. Тогава \(S = 2\cdot(12 + 18)\cdot 24 = 1440\ \text{cm}^2\) и \(S_1 = 1440 + 2\cdot 12\cdot 18 = 1440 + 432 = 1872\ \text{cm}^2.\) И двете лица стават \(4\) пъти по-големи (защото при лицата всяко произведение на две измерения нараства \(2\cdot 2 = 4\) пъти).

14

Как ще се измени лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с измерения \(6\), \(9\) и \(12\) cm, ако всички измерения се намалят \(3\) пъти?

Намален паралелепипед.

▼

РешениеНовите измерения са \(2\), \(3\) и \(4\) cm. Тогава \(S_1 = 2\cdot(2 + 3)\cdot 4 + 2\cdot 2\cdot 3 = 40 + 12 = 52\ \text{cm}^2.\) Понеже \(468 : 52 = 9\), лицето става \(9\) пъти по-малко (всяко произведение на две измерения намалява \(3\cdot 3 = 9\) пъти).

15

Затворена картонена кутия има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина \(6\) dm, широчина \(5\) dm и височина \(35\) cm. Намерете колко квадратни дециметра картон са необходими за изработването ѝ.

Картонена кутия.

▼

РешениеВисочината е \(35\) cm \(= 3{,}5\) dm. Необходимият картон е лицето на пълната повърхнина: \(S_1 = 2\cdot(6 + 5)\cdot 3{,}5 + 2\cdot 6\cdot 5 = 77 + 60 = 137\ \text{dm}^2.\)

16

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(148\ \text{cm}^2\). Намерете височината \(c\), ако \(a = 5\) cm и \(b = 4\) cm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеОт \(2\cdot(5 + 4)\cdot c + 2\cdot 5\cdot 4 = 148\) следва \(18c + 40 = 148\), тоест \(18c = 108\) и \(c = 6\) cm.

17

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(174\ \text{cm}^2\). Намерете широчината \(b\), ако \(a = 9\) cm и \(c = 3\) cm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеОт \(2\cdot(9 + b)\cdot 3 + 2\cdot 9\cdot b = 174\) следва \(54 + 6b + 18b = 174\), тоест \(24b = 120\) и \(b = 5\) cm.

18

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(223{,}6\ \text{cm}^2\). Намерете измерението \(a\), ако \(b = 70\) mm и \(c = 0{,}5\) dm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеВ сантиметри: \(b = 7\) cm, \(c = 5\) cm. От \(2\cdot(a + 7)\cdot 5 + 2\cdot a\cdot 7 = 223{,}6\) следва \(10a + 70 + 14a = 223{,}6\), тоест \(24a = 153{,}6\) и \(a = 6{,}4\) cm.

19

Лицето на пълната повърхнина на правоъгълен паралелепипед е \(8{,}88\ \text{dm}^2\). Намерете широчината \(b\), ако \(a = 12\) cm и \(c = 1{,}6\) dm.

Правоъгълен паралелепипед.

▼

РешениеВ сантиметри: \(S_1 = 8{,}88\ \text{dm}^2 = 888\ \text{cm}^2\), \(c = 1{,}6\) dm \(= 16\) cm. От \(2\cdot(12 + b)\cdot 16 + 2\cdot 12\cdot b = 888\) следва \(384 + 32b + 24b = 888\), тоест \(56b = 504\) и \(b = 9\) cm.

20

Плувен басейн има форма на правоъгълен паралелепипед с дължина \(50\) m, широчина \(25\) m и дълбочина \(3\) m. Намерете колко квадратни плочки със страна \(20\) cm са били използвани за облицоването (дъното и четирите стени).

Плувен басейн.

▼

РешениеОблицоват се дъното и четирите стени: \(50\cdot 25 + 2\cdot(50 + 25)\cdot 3 = 1250 + 450 = 1700\ \text{m}^2.\) Всяка плочка е \(0{,}2\cdot 0{,}2 = 0{,}04\ \text{m}^2\), затова броят им е \(1700 : 0{,}04 = 42500\) плочки.

21

Обиколките на трите стени с общ връх на правоъгълен паралелепипед са \(20\) cm, \(38\) cm и \(30\) cm. Намерете лицето на пълната повърхнина.

Правоъгълен паралелепипед.

⭐ повишена трудност

▼

РешениеОбиколките дават \(a + b = 10\), \(b + c = 19\), \(a + c = 15\). Като ги съберем: \(2\cdot(a + b + c) = 44\), значи \(a + b + c = 22\). Оттук \(c = 12\), \(a = 3\), \(b = 7\) cm. Тогава \(S_1 = 2\cdot(a\cdot b + b\cdot c + a\cdot c) = 2\cdot(21 + 84 + 36) = 2\cdot 141 = 282\ \text{cm}^2.\)

22

Обиколките на две от стените на правоъгълен паралелепипед с общ ръб \(7{,}2\) cm са \(21{,}4\) cm и \(20\) cm. Намерете лицето на пълната повърхнина.

Правоъгълен паралелепипед.

⭐ повишена трудност

▼

РешениеОбщият ръб \(7{,}2\) cm е страна на двете стени. За първата стена \(2\cdot(7{,}2 + x) = 21{,}4\), откъдето \(x = 3{,}5\) cm. За втората \(2\cdot(7{,}2 + y) = 20\), откъдето \(y = 2{,}8\) cm. Значи измеренията са \(7{,}2\); \(3{,}5\); \(2{,}8\) cm. Тогава \(S_1 = 2\cdot(7{,}2\cdot 3{,}5 + 3{,}5\cdot 2{,}8 + 7{,}2\cdot 2{,}8) = 2\cdot(25{,}2 + 9{,}8 + 20{,}16) = 2\cdot 55{,}16 = 110{,}32\ \text{cm}^2.\)

23

В двор на вила е построен басейн с форма на правоъгълен паралелепипед. За облицоването му с плочки (дъното и четирите стени) са използвани \(47\ \text{m}^2\) плочки. Намерете дълбочината на басейна, ако дължината му е \(40\) dm и широчината \(50\) dm.

Басейн.

⭐ повишена трудност

▼

РешениеВ метри: \(a = 40\) dm \(= 4\) m, \(b = 50\) dm \(= 5\) m. Облицованата площ е дъното плюс четирите стени: \(4\cdot 5 + 2\cdot(4 + 5)\cdot c = 47\), тоест \(20 + 18c = 47\). Оттук \(18c = 27\) и \(c = 1{,}5\) m \(= 15\) dm.

24

Стая има форма на правоъгълен паралелепипед с размери на пода \(4\) m и \(3{,}5\) m и височина \(2{,}8\) m. Намерете колко килограма боя са необходими за боядисването на стените и тавана, ако за \(1\ \text{m}^2\) са достатъчни \(300\) g боя, а вратата и прозорците заемат общо площ \(6{,}1\ \text{m}^2\).

Стая.

▼

РешениеЛицето на стените е \(2\cdot(4 + 3{,}5)\cdot 2{,}8 = 42\ \text{m}^2\), а на тавана — \(4\cdot 3{,}5 = 14\ \text{m}^2\). Като извадим вратата и прозорците: \(42 + 14 - 6{,}1 = 49{,}9\ \text{m}^2.\) Необходимата боя е \(49{,}9\cdot 300 = 14\,970\) g \(= 14{,}97\) kg.

25

От \(12\) еднакви кубчета с ръб \(5\) cm се подреждат правоъгълни паралелепипеди, като се използват всички кубчета. Колко различни паралелепипеда могат да се получат? Намерете лицето на пълната повърхнина на всеки от тях.

Правоъгълен паралелепипед от кубчета.

⭐ повишена трудност

▼

РешениеТърсим представянията на числото \(12\) като произведение на три положителни цели множителя, без да различаваме техния ред. Те са: \(12 = 1\cdot 1\cdot 12 = 1\cdot 2\cdot 6 = 1\cdot 3\cdot 4 = 2\cdot 2\cdot 3\). Умножени по \(5\) cm, измеренията и лицата са: \(5\times 5\times 60\Rightarrow S_1 = 1250\ \text{cm}^2\); \(5\times 10\times 30\Rightarrow S_1 = 1000\ \text{cm}^2\); \(5\times 15\times 20\Rightarrow S_1 = 950\ \text{cm}^2\); \(10\times 10\times 15\Rightarrow S_1 = 800\ \text{cm}^2.\) Получават се \(4\) различни паралелепипеда.

📝 Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Намерете лицето на околната и на пълната повърхнина на паралелепипед с \(a=3\) cm, \(b=4\) cm, \(c=5\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S=2\cdot 7\cdot 5=70\ \text{cm}^2\); \(S_1=70+2\cdot 3\cdot 4=94\ \text{cm}^2.\)

Задача 2Намерете лицето на околната и на пълната повърхнина на паралелепипед с \(a=2\) cm, \(b=6\) cm, \(c=3\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S=2\cdot 8\cdot 3=48\ \text{cm}^2\); \(S_1=48+2\cdot 2\cdot 6=72\ \text{cm}^2.\)

Задача 3Намерете лицето на околната повърхнина на паралелепипед с обиколка на основата \(20\) cm и височина \(4\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S=P\cdot c=20\cdot 4=80\ \text{cm}^2.\)

Задача 4Основата на паралелепипед е квадрат с обиколка \(20\) cm. Намерете лицето на основата и лицето на една околна стена при височина \(3\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: страна \(5\) cm; основа \(5\cdot 5=25\ \text{cm}^2\); околна стена \(5\cdot 3=15\ \text{cm}^2.\)

Задача 5Лицето на околната повърхнина е \(60\ \text{cm}^2\), а на горната основа \(8\ \text{cm}^2\). Намерете лицето на пълната повърхнина.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=60+2\cdot 8=76\ \text{cm}^2.\)

Задача 6Лицата на трите стени през един връх са \(4\ \text{cm}^2\), \(5\ \text{cm}^2\) и \(6\ \text{cm}^2\). Намерете лицето на пълната повърхнина.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=2\cdot(4+5+6)=30\ \text{cm}^2.\)

Задача 7Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с \(a=2\) cm, \(b=3\) cm, \(c=4\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=2\cdot 5\cdot 4+2\cdot 2\cdot 3=40+12=52\ \text{cm}^2.\)

Задача 8Лицето на пълната повърхнина е \(108\ \text{cm}^2\). Намерете \(c\), ако \(a=4\) cm и \(b=3\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(2\cdot 7\cdot c+2\cdot 12=108\Rightarrow 14c=84\Rightarrow c=6\) cm.

Задача 9Лицето на пълната повърхнина е \(76\ \text{cm}^2\). Намерете \(c\), ако \(a=5\) cm и \(b=4\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(2\cdot 9\cdot c+2\cdot 20=76\Rightarrow 18c=36\Rightarrow c=2\) cm.

Задача 10Лицето на пълната повърхнина е \(126\ \text{cm}^2\). Намерете \(b\), ако \(a=6\) cm и \(c=3\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(2\cdot(6b+3b+18)=126\Rightarrow 9b+18=63\Rightarrow b=5\) cm.

Задача 11Намерете лицето на пълната повърхнина на кутия с измерения \(10\) cm, \(8\) cm и \(5\) cm.

Кутия.

Отг.: \(S_1=2\cdot 18\cdot 5+2\cdot 10\cdot 8=180+160=340\ \text{cm}^2.\)

Задача 12Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с \(a=5\) cm, \(b=2\) dm, \(c=20\) mm.

Паралелепипед.

Отг.: \(a=5\ \text{cm}\), \(b=20\ \text{cm}\), \(c=2\ \text{cm}\); \(S_1=2\cdot 25\cdot 2+2\cdot 5\cdot 20=100+200=300\ \text{cm}^2.\)

Задача 13Как ще се измени лицето на околната повърхнина на паралелепипед \(4\), \(6\), \(5\) cm, ако всички измерения се увеличат \(2\) пъти?

Паралелепипед.

Отг.: става \(4\) пъти по-голямо (\(S=100\to 400\ \text{cm}^2\)).

Задача 14Затворена картонена кутия има измерения \(6\) dm, \(5\) dm и \(35\) cm. Колко квадратни дециметра картон са необходими за изработването ѝ?

Картонена кутия.

Отг.: \(c=3{,}5\) dm; \(S_1=2\cdot 11\cdot 3{,}5+2\cdot 30=77+60=137\ \text{dm}^2.\)

Задача 15Басейн с форма на паралелепипед има дъно \(20\) m \(\times\) \(30\) m и дълбочина \(10\) m. Намерете лицето на дъното и четирите стени.

Басейн.

Отг.: \(20\cdot 30+2\cdot 50\cdot 10=600+1000=1600\ \text{m}^2.\)

Задача 16Намерете лицето на пълната повърхнина на куб (частен случай) с ръб \(7\) cm.

Куб.

Отг.: \(S_1=6\cdot 7\cdot 7=294\ \text{cm}^2.\)

Задача 17Лицето на пълната повърхнина е \(148\ \text{cm}^2\). Намерете \(c\), ако \(a=6\) cm и \(b=4\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(2\cdot 10\cdot c+2\cdot 24=148\Rightarrow 20c=100\Rightarrow c=5\) cm.

Задача 18Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с \(a=20\) mm, \(b=3\) cm, \(c=1\) dm.

Паралелепипед.

Отг.: \(a=2\ \text{cm}\), \(b=3\ \text{cm}\), \(c=10\ \text{cm}\); \(S_1=2\cdot 5\cdot 10+2\cdot 2\cdot 3=100+12=112\ \text{cm}^2.\)

Задача 19Намерете лицето на околната повърхнина на паралелепипед с \(a=9\) cm, \(b=6\) cm, \(c=4\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S=2\cdot 15\cdot 4=120\ \text{cm}^2.\)

Задача 20Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с измерения \(12\), \(10\) и \(8\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=2\cdot 22\cdot 8+2\cdot 12\cdot 10=352+240=592\ \text{cm}^2.\)

Задача 21 — с повишена трудностОбиколките на трите стени с общ връх са \(24\) cm, \(32\) cm и \(28\) cm. Намерете лицето на пълната повърхнина.

Паралелепипед.

Отг.: \(a+b=12,\ b+c=16,\ a+c=14\Rightarrow a+b+c=21\); \(a=5,b=7,c=9\); \(S_1=2\cdot(35+63+45)=286\ \text{cm}^2.\)

Задача 22 — с повишена трудностОбиколките на две стени с общ ръб \(4\) cm са \(18\) cm и \(14\) cm. Намерете лицето на пълната повърхнина.

Паралелепипед.

Отг.: \(x=5,\ y=3\); измерения \(4,5,3\); \(S_1=2\cdot(20+15+12)=94\ \text{cm}^2.\)

Задача 23 — с повишена трудностБасейн с форма на паралелепипед е облицован (дъно и \(4\) стени) с \(68\ \text{m}^2\) плочки. Намерете дълбочината, ако дъното е \(6\) m \(\times\) \(4\) m.

Басейн.

Отг.: \(6\cdot 4+2\cdot 10\cdot c=68\Rightarrow 24+20c=68\Rightarrow c=2{,}2\) m.

Задача 24 — с повишена трудностСтая \(5\) m \(\times\) \(4\) m и височина \(3\) m се боядисва (стени и таван). Врата и прозорци заемат \(5\ \text{m}^2\). Колко kg боя са нужни при \(250\) g на \(1\ \text{m}^2\)?

Стая.

Отг.: площ \(2\cdot 9\cdot 3+20-5=54+15=69\ \text{m}^2\); боя \(69\cdot 250=17\,250\) g \(=17{,}25\) kg.

Задача 25 — с повишена трудностОт \(8\) еднакви кубчета с ръб \(4\) cm се подреждат правоъгълни паралелепипеди, като се използват всички кубчета. Колко различни правоъгълни паралелепипеда могат да се получат? Намерете лицето на пълната повърхнина на всеки от тях.

Паралелепипед от кубчета.

Отг.: \(8=1\cdot 1\cdot 8=1\cdot 2\cdot 4=2\cdot 2\cdot 2\); \(4\times 4\times 32\Rightarrow 544\); \(4\times 8\times 16\Rightarrow 448\); \(8\times 8\times 8\Rightarrow 384\ \text{cm}^2\); \(3\) паралелепипеда.

Задача 26Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с измерения \(11\), \(9\) и \(7\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=2\cdot 20\cdot 7+2\cdot 11\cdot 9=280+198=478\ \text{cm}^2.\)

Задача 27Намерете лицето на околната повърхнина на паралелепипед с обиколка на основата \(16\) cm и височина \(5\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S=16\cdot 5=80\ \text{cm}^2.\)

Задача 28Сравнете лицата на пълните повърхнини на паралелепипед \(1\times 1\times 100\) cm и куб с ръб \(5\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=2\cdot 2\cdot 100+2=402\ \text{cm}^2\); куб \(6\cdot 25=150\ \text{cm}^2\); паралелепипедът е с по-голяма повърхнина.

Задача 29 — с повишена трудностОбиколките на трите стени с общ връх са \(20\) cm, \(24\) cm и \(32\) cm. Намерете лицето на пълната повърхнина.

Паралелепипед.

Отг.: \(a+b=10,\ b+c=12,\ a+c=16\Rightarrow a+b+c=19\); \(a=7,b=3,c=9\); \(S_1=2\cdot(21+27+63)=222\ \text{cm}^2.\)

Задача 30Намерете лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с измерения \(25\), \(15\) и \(10\) cm.

Паралелепипед.

Отг.: \(S_1=2\cdot 40\cdot 10+2\cdot 25\cdot 15=800+750=1550\ \text{cm}^2.\)

✅ Онлайн тест

Тест: Лице на повърхнина на правоъгълен паралелепипед

15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Отбележете по един отговор на всеки въпрос и натиснете бутона.

1Лицето на околната повърхнина на паралелепипед с \(a=6\), \(b=4\), \(c=2\) dm е:

\(40\ \text{dm}^2\)\(88\ \text{dm}^2\)\(48\ \text{dm}^2\)\(20\ \text{dm}^2\)

2Лицето на пълната повърхнина на същия паралелепипед (\(6\), \(4\), \(2\) dm) е:

\(40\ \text{dm}^2\)\(88\ \text{dm}^2\)\(48\ \text{dm}^2\)\(128\ \text{dm}^2\)

3Обиколката на основата е \(12\) cm, височината \(5\) cm. Лицето на околната повърхнина е:

\(17\ \text{cm}^2\)\(30\ \text{cm}^2\)\(60\ \text{cm}^2\)\(120\ \text{cm}^2\)

4Околната повърхнина е \(60\ \text{cm}^2\), горната основа \(8\ \text{cm}^2\). Пълната повърхнина е:

\(68\ \text{cm}^2\)\(60\ \text{cm}^2\)\(70\ \text{cm}^2\)\(76\ \text{cm}^2\)

5Лицето на пълната повърхнина на паралелепипед с \(2\), \(3\), \(4\) cm е:

\(52\ \text{cm}^2\)\(40\ \text{cm}^2\)\(24\ \text{cm}^2\)\(60\ \text{cm}^2\)

6Лицата на трите стени през един връх са \(5\), \(6\), \(7\ \text{cm}^2\). Пълната повърхнина е:

\(18\ \text{cm}^2\)\(36\ \text{cm}^2\)\(72\ \text{cm}^2\)\(210\ \text{cm}^2\)

7Пълната повърхнина е \(108\ \text{cm}^2\), \(a=4\), \(b=3\) cm. Височината \(c\) е:

\(4\) cm\(3\) cm\(6\) cm\(7\) cm

8Основата е квадрат с обиколка \(24\) cm. Лицето на една основа е:

\(24\ \text{cm}^2\)\(6\ \text{cm}^2\)\(48\ \text{cm}^2\)\(36\ \text{cm}^2\)

9Лицето на пълната повърхнина на кутия \(10\), \(8\), \(5\) cm е:

\(340\ \text{cm}^2\)\(180\ \text{cm}^2\)\(160\ \text{cm}^2\)\(400\ \text{cm}^2\)

10Лицето на околната повърхнина на паралелепипед \(6\), \(9\), \(12\) cm е:

\(468\ \text{cm}^2\)\(360\ \text{cm}^2\)\(108\ \text{cm}^2\)\(216\ \text{cm}^2\)

11Лицето на пълната повърхнина на паралелепипед \(6\), \(9\), \(12\) cm е:

\(360\ \text{cm}^2\)\(432\ \text{cm}^2\)\(468\ \text{cm}^2\)\(540\ \text{cm}^2\)

12Ако всички измерения на паралелепипед се увеличат \(2\) пъти, лицето на пълната повърхнина се увеличава:

\(2\) пъти\(8\) пъти\(6\) пъти\(4\) пъти

13Затворена картонена кутия \(6\) dm, \(5\) dm, \(35\) cm. Нужният картон (\(\text{dm}^2\)) е:

\(137\ \text{dm}^2\)\(77\ \text{dm}^2\)\(60\ \text{dm}^2\)\(120\ \text{dm}^2\)

14Басейн \(50\) m \(\times\) \(25\) m, дълбочина \(3\) m. Лицето на дъното и \(4\) стени е:

\(1250\ \text{m}^2\)\(1700\ \text{m}^2\)\(450\ \text{m}^2\)\(3750\ \text{m}^2\)

15Пълната повърхнина е \(148\ \text{cm}^2\), \(a=5\), \(b=4\) cm. Височината \(c\) е:

\(5\) cm\(4\) cm\(6\) cm\(8\) cm

0 / 60 точки

Верни отговори: 0 от 15

---

🎥️ Видеоуроци

🎥

Видеоурок — очаквайте скоро

Видеоурокът по темата е в процес на подготовка.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

56

Правоъгълен паралелепипед. Елементи. Развивка

Елементи, измерения a, b, c и развивка.

Към урока →

54

Лице на повърхнина на куб

Околна и пълна повърхнина на куб.

Към урока →

55

Обем на куб. Мерни единици за обем

Обем V = a·a·a и мерни единици за обем.

Към урока →

📚 Използвана литература

• Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
• Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
• Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
• Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
• Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
• Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
• Списание Математика.

Запишете се за урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7. клас
• ›НВО по математика след 10. клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет — София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆