Хипотезата на Поанкаре и Григорий Перелман | Д-р Атанас Илчев

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл. ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Любопитно от математиката

Хипотезата на Поанкаре —
вековният проблем, решен от Григорий Перелман

В продължение на почти век един привидно прост въпрос за формата на пространството остава без отговор. Когато Григорий Перелман най-сетне намира решението, той отказва както медала „Фийлдс“, така и наградата от един милион долара, а след това се оттегля от публичния математически живот. Това е историята на хипотезата на Поанкаре — една от най-трудните и красиви задачи в съвременната математика.

Д-р Атанас Илчев • Поредица: Любопитно от математиката

Хипотезата на Поанкаре и тримерната сфера

Има задачи, които могат да бъдат формулирани с няколко прости думи, но чието решение изисква създаването на изцяло нова математика. Точно такава е хипотезата на Поанкаре. Тя поставя въпрос за формата на пространството, който остава без отговор почти сто години. Когато решението най-сетне е намерено, около него се разгръща и една от най-необичайните истории в съвременната наука.

Въпрос за формата на пространството

Представете си, че сте мравка, живееща върху повърхността на топка. Не можете да напуснете тази повърхност и не виждате топката отвън — тя е целият ваш свят. Как бихте разбрали каква е формата на този свят? Бихте могли например да използвате затворена примка от конец. Поставете примката върху сферата и започнете постепенно да я свивате: примката винаги може да се свие до точка, без да напуска повърхността. Върху повърхността на поничка (тор) обаче това не е така — примка, минаваща през дупката, се заклещва и не може да се свие.

Свойството „всяка примка може да се свие до точка“ се нарича едносвързаност. Сферата е едносвързана; торът — не. За двумерните повърхности отдавна е известно, че всяка затворена, тоест компактна и без граница, едносвързана повърхност е хомеоморфна на сферата. През 1904 г. французинът Анри Поанкаре задава естествения следващ въпрос — за едно измерение по-нагоре.

Хипотезата на Поанкаре Всяко затворено, едносвързано тримерно многообразие е хомеоморфно на тримерната сфера \(S^3\). Тук „затворено“ означава компактно и без граница. Казано по-достъпно: ако едно тримерно пространство е компактно, няма граница и всяка затворена примка в него може непрекъснато да се свие до точка, тогава то има същата топологична структура като \(S^3\).

Многообразие се нарича пространство, което в малка околност на всяка своя точка прилича на обикновено евклидово пространство, макар глобалната му форма да може да бъде много сложна. Тримерната сфера \(S^3\) не може да бъде изобразена изцяло в обикновеното тримерно пространство. Тя може да се представи като границата на четиримерното кълбо \(B^4\), както обикновената сфера \(S^2\) е границата на тримерното кълбо. Въпросът на Поанкаре изглежда прост, но се оказва изключително трудно да се докаже, че не съществува друго тримерно пространство със същите свойства.

Анри Поанкаре — последният универсалист

Анри Поанкаре (1854–1912) е сред последните математици, оставили дълбока следа в почти всички области на своята наука — затова често го наричат „последният универсалист“. Той е един от бащите на топологията — „геометрията от каучук“, която изучава свойствата на формите, запазващи се при разтягане и огъване, но не и при разкъсване. С основополагащия си труд „Analysis Situs“ от 1895 г. Поанкаре полага основите на съвременната топология и въвежда средства, чрез които подобни въпроси могат да бъдат формулирани точно. Едно от въведените от него понятия е фундаменталната група, която описва различните начини, по които затворени примки могат да бъдат деформирани в дадено пространство.

Сред ранните идеи, довели до развитието на топологията, е наблюдението на Ойлер, че за всеки изпъкнал многостен е изпълнено равенството \(V - E + F = 2\). Ойлеровата характеристика по-късно се превръща в едно от основните понятия на топологията — науката, която изучава свойствата, независещи от точните дължини и ъгли. За по-широкия разказ как математиката преосмисля пространството вижте и статията за новите геометрии.

Любопитно. Поанкаре е и един от родоначалниците на теорията на хаоса. Докато изследва ограничената задача за три тела, той открива изключително сложно поведение на траекториите и чувствителност към началните условия. Неговите идеи по-късно се превръщат в една от основите на теорията на динамичните системи и хаоса.

До хипотезата Поанкаре стига, след като поправя собствено погрешно предположение. Първоначално той допуска, че едно тримерно многообразие трябва да бъде сфера, ако има същите хомоложни свойства като \(S^3\). След това сам построява контрапример — пространството, което днес наричаме хомоложна сфера на Поанкаре. То има същата хомология като тримерната сфера, но фундаменталната му група не е тривиална и следователно не е хомеоморфно на \(S^3\). Този контрапример насочва Поанкаре към по-силното условие за едносвързаност и към въпроса, който по-късно ще носи неговото име.

Защо тримерният случай се оказва най-труден

Неочакваното е, че първо са решени случаите с повече измерения. Макар да изглежда естествено по-високите размерности да са по-трудни, при хипотезата на Поанкаре се оказва точно обратното. Аналогът на хипотезата на Поанкаре е доказан първо за високите размерности:

• През 1961 г. Стивън Смейл доказва обобщената хипотеза на Поанкаре за размерности \(n \ge 5\). За тази и други свои фундаментални работи той получава медала „Фийлдс“ през 1966 г.
• През 1982 г. Майкъл Фрийдман доказва топологичния четиримерен случай (медал „Фийлдс“, 1986 г.).
• Важно уточнение: гладката версия на четиримерната хипотеза на Поанкаре остава открит проблем.
• Оригиналният тримерен случай, поставен от Поанкаре, устоява най-дълго.

Една от причините високите размерности да се окажат по-достъпни е, че в тях има повече пространство за разделяне на пресичащи се геометрични обекти. Това позволява да се използват методи на общото положение и техники като трика на Уитни, чрез които определени двойки пресечни точки могат да бъдат премахнати. В размерности три и четири подобни деформации са много по-трудни, защото при опита да се отстрани едно пресичане лесно възникват нови. Така привидно най-простият тримерен случай остава нерешен най-дълго.

Задача за милион долара

През 2000 г. математическият институт „Клей“ обявява седемте проблема на хилядолетието — списък с най-важните нерешени задачи, всяка с награда от един милион долара. Хипотезата на Поанкаре е сред тях, редом с проблема \(P\) срещу \(NP\) и хипотезата на Риман. Само две години след обявяването на наградите Перелман публикува първия си препринт, а през 2003 г. добавя още два — при това не в списание, а безплатно в arXiv.

Потокът на Ричи — топлинното уравнение за формата

Ключовият инструмент е измислен през 80-те години на XX век от американеца Ричард Хамилтън и се нарича поток на Ричи. Идеята се разбира най-лесно чрез аналогия с физиката: както топлинното уравнение постепенно изравнява температурата в един метален прът, потокът на Ричи преобразува плавно самата геометрия на пространството.

Потокът на Ричи променя начина, по който в пространството се измерват разстоянията и ъглите. Областите с положителна кривина обикновено се свиват, а тези с отрицателна кривина се разширяват. При подходяща нормировка и в благоприятни случаи това води до постепенно изравняване на кривината.

Уравнението, което преобразува пространството Потокът на Ричи изменя метриката според уравнение, аналогично на топлинното: \[\frac{\partial g_{ij}}{\partial t} = -2\,\operatorname{Ric}_{ij}.\] Тук \(g_{ij}\) са компонентите на римановата метрика, която определя разстоянията и ъглите, а \(\operatorname{Ric}_{ij}\) са компонентите на тензора на Ричи, описващ част от кривината на пространството. В благоприятни случаи и след подходяща нормировка потокът прави кривината по-равномерна. В общия случай обаче могат да възникнат сингулярности, поради което процесът не винаги продължава гладко за всички времена.

Идеята на Хамилтън е да се избере риманова метрика върху едно затворено тримерно многообразие, да се приложи към нея потокът на Ричи и да се проследи как геометрията се изменя с времето. В много случаи този подход дава добри резултати. Основната трудност е, че по време на потока понякога възникват сингулярности — места, където пространството се „прищипва“ на тънка шийка и кривината нараства неограничено. Хамилтън не успява напълно да овладее тези сингулярности и програмата му остава незавършена.

Пробивът на Перелман

Григорий Перелман, 1993 г.

Решаващият пробив идва с работата на руския математик Григорий Перелман. В средата на 90-те години той прекарва известно време в САЩ, среща Хамилтън и се запознава подробно с програмата за потока на Ричи. След завръщането си в Санкт Петербург Перелман работи няколко години върху проблема, без да публикува междинни резултати.

През ноември 2002 г. Перелман публикува в arXiv първия от три препринта. В него той въвежда нови монотонни величини за потока на Ричи, сред които геометрична ентропия и редуциран обем. С тях поведението на метриката може да се проследява много по-точно и да се изключат някои нежелани видове геометричен колапс.

В следващия си препринт Перелман анализира областите с много голяма кривина и развива метода на потока на Ричи с хирургия. Когато се образува сингулярност от подходящ тип, тънката област се отстранява, получените краища се затварят гладко и потокът продължава. Перелман успява да опише геометрията около сингулярностите и да докаже, че тези хирургични операции могат да се извършват по строго определен начин.

В третия си препринт Перелман разглежда клас затворени ориентируеми тримерни многообразия, който включва всички затворени едносвързани тримерни многообразия. Той доказва, че при тях потокът на Ричи с хирургия изчезва за крайно време. С този резултат Перелман завършва доказателството на хипотезата на Поанкаре.

Защо всичко това доказва хипотезата? В едносвързания случай потокът на Ричи с хирургия изчезва за крайно време. Топологичният анализ на операциите, извършени по време на потока, показва от какви стандартни части е било съставено първоначалното многообразие. Условието за едносвързаност изключва всички възможности освен тримерната сфера \(S^3\). По този начин поведението на метриката при потока показва каква е топологичната структура на първоначалното многообразие.

Геометризацията на Търстън. Всъщност резултатът на Перелман е по-силен от хипотезата на Поанкаре. Той завършва програмата за доказване на геометризационната хипотеза на Уилям Търстън. Според нея всяко затворено ориентируемо тримерно многообразие може, след подходящо разрязване по сфери и торове, да бъде разделено на части, моделирани върху една от осемте геометрии на Търстън. Хипотезата на Поанкаре следва като частен случай.

Препринтите на Перелман са много сбити и изискват задълбочено познаване на потока на Ричи. През следващите години няколко екипа публикуват подробни изложения, в които допълват техническите детайли и проверяват последователно отделните стъпки на доказателството; сред най-известните са трудовете на Брус Клайнър и Джон Лот, Джон Морган и Ган Тиан, както и Хуай-Дун Цао и Си-Пин Джу.

През 2006 г. математическата общност вече е единодушна, че хипотезата на Поанкаре е решена. Списание Science определя доказателството като „Пробив на годината“ — рядко признание за резултат от чистата математика.

Математикът, който отказа наградите

През август 2006 г., по време на Международния конгрес на математиците в Мадрид, Григорий Перелман е избран за носител на медала „Фийлдс“ — едно от най-престижните отличия в математиката — за приноса си към геометрията и за революционните си идеи при изследването на потока на Ричи. Той отказва да приеме медала.

В редките си разговори с журналисти Перелман ясно показва, че не търси нито публичност, нито официални отличия.

Четири години по-късно, през 2010 г., институтът „Клей“ обявява Перелман за първия носител на Наградата на хилядолетието и му присъжда един милион долара. Той отказва и тази награда. От публичните му изявления личат две основни причини за отказа. Перелман подчертава, че приносът на Ричард Хамилтън към решаването на проблема не е по-малък от неговия. Освен това той изразява разочарование от начина, по който математическата общност понякога признава и оценява приноса на отделните изследователи.

Това не е първата награда, която Перелман отказва — още през 1996 г. той отхвърля отличието на Европейското математическо дружество. След като напуска института „Стеклов“ през 2005 г., Перелман се оттегля от активния академичен живот и почти изцяло избягва публичността. Неговите откази показват, че за него стойността на математическия резултат не се измерва нито с пари, нито с публична слава.

Единствената решена задача

И днес хипотезата на Поанкаре остава единственият от седемте проблема на хилядолетието с официално признато решение. Останалите шест — сред тях \(P\) срещу \(NP\) и хипотезата на Риман — остават нерешени.

Историята на хипотезата на Поанкаре е забележителна както от математическа, така и от човешка гледна точка. Тя показва как методи от анализа и диференциалната геометрия могат да решат дълбок топологичен проблем. Същевременно тя напомня, че не всеки отдава еднакво значение на научното признание.

Перелман решава задача, останала отворена почти цял век, но отказва да превърне постижението си в богатство или публична слава. Доказателството му е сред най-забележителните математически постижения на нашето време. Неговата история поставя и един по-общ въпрос: какво всъщност търси математикът — награда, признание или удовлетворението, че е разбрал нещо, което никой преди него не е успял да разбере?

Източници

Encyclopædia Britannica. Poincaré conjecture. britannica.com
Encyclopædia Britannica. Grigori Perelman. britannica.com
O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Henri Poincaré. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Grigori Yakovlevich Perelman. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
Clay Mathematics Institute. Poincaré Conjecture. официална страница на проблема
International Mathematical Union. Fields Medals 2006. официална информация за медала „Фийлдс“
Science (AAAS). Breakthrough of the Year 2006: The Poincaré Conjecture — Proved. Science 314 (2006), 1848–1849. science.org
Wikipedia. Poincaré conjecture. en.wikipedia.org
Wikipedia. Grigori Perelman. en.wikipedia.org
Wikipedia. Ricci flow. en.wikipedia.org
Wikipedia. Geometrization conjecture. en.wikipedia.org
Perelman, G. The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications. arXiv:math/0211159
Perelman, G. Ricci flow with surgery on three-manifolds. arXiv:math/0303109
Perelman, G. Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds. arXiv:math/0307245
Kleiner, B. & Lott, J. Notes on Perelman's Papers. arXiv:math/0605667
Morgan, J. & Tian, G. Ricci Flow and the Poincaré Conjecture. arXiv:math/0607607

Още от поредицата „Любопитно от математиката“

▶

P срещу NP: Най-голямото предизвикателство в информатиката

Един от останалите проблеми на хилядолетието: защо намирането на решение може да бъде много по-трудно от неговата проверка.

Прочети статията →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

›НВО по математика след 7. клас
›НВО по математика след 10. клас
›Кандидатстудентски изпити по математика
›Подготовка по математика за ISEE, SAT и A Level

📚 Текущо обучение и студенти

›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
›Студенти: математически анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия, диференциални уравнения, теория на вероятностите, статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

Използвай за да намериш това което ти трябва

Математика с д-р Атанас Илчев