Леонард Ойлер — най-плодотворният математик в историята | Д-р Атанас Илчев

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Любопитно от математиката

Леонард Ойлер —
най-плодотворният математик в историята

През 1735 г., само на двадесет и осем години, Леонард Ойлер решава Базелската задача и представя пред Петербургската академия решението на задачата за седемте моста на Кьонигсберг. Единият резултат свързва безкраен ред с числото \(\pi\), а другият поставя началото на теорията на графите. Ойлер въвежда някои от означенията \(e\), \(i\), \(\Sigma\) и \(f(x)\), а други налага в широка употреба. Чрез трудовете му се оформя голяма част от съвременния език на анализа. През 1771 г. губи напълно зрението си, но продължава да диктува научни работи до края на живота си. Приживе публикува около 560 труда, а индексът на Енестрьом днес включва 866 негови публикации.

Автор: гл.ас. д-р Атанас Илчев Юли 2026 Биографии Математически анализ Теория на графите Теория на числата

Леонард Ойлер (1707–1783)

На 18 септември 1783 г. Ойлер прекарва първата половина на деня както обикновено: преподава на един от внуците си, прави изчисления за движението на въздушните балони и разговаря с Лексел и Фус за новооткритата планета Уран. Следобед получава мозъчен кръвоизлив и умира няколко часа по-късно. Научната му работа продължава почти до последния ден.

Момчето от Риен

Леонард Ойлер се ражда на 15 април 1707 г. в Базел, най-голямото от четири деца. Когато е около едногодишен, семейството се премества в Риен, където баща му Паул Ойлер е пастор.

На 20 октомври 1720 г., едва тринадесетгодишен, Ойлер постъпва във факултета по свободни изкуства на Базелския университет, където и баща му е учил.

Срещите с Йохан Бернули Обучението в Базел не предлага много възможности за напреднала математика, но Ойлер има изключителния шанс да учи при Йохан I Бернули — един от водещите математици на епохата. Бернули му препоръчва трудни математически книги и му позволява веднъж седмично да идва в дома му, за да обсъждат въпросите, които не е успял да реши сам.

На 9 юни 1722 г., след публично академично изложение, Ойлер получава бакалавърска степен, а през 1723 г. завършва магистърската си степен по философия с работа, сравняваща възгледите на Декарт и Нютон. Записва се и в богословския факултет, където освен богословие изучава старогръцки и староеврейски и научава наизуст цялата „Енеида“. Любовта си към класическата литература запазва до дълбока старост. Постепенно обаче математиката взема връх над всичко друго.

На двадесет години в Петербург

През 1726 г. Ойлер кандидатства за освободената катедра по физика в Базел, но не достига до окончателния подбор. Скоро след това приема предложението на Петербургската академия на науките и през 1727 г., на двадесет години, заминава за Русия. Там прекарва четиринадесет години.

През 1727 г. Ойлер участва за първи път и в конкурс на Парижката академия на науките — за най-целесъобразното поставяне на мачтите на корабите. Не е виждал нито морето, нито големи кораби и няма как да провери на практика теоретичните си изводи. С работата си Ойлер печели второ място в конкурса. По-късно Ойлер участва петнадесет пъти в конкурсите на Парижката академия и печели дванадесет награди — повече от всеки друг учен на неговото време. Шест от тях са свързани с астрономия и небесна механика.

В Петербург Ойлер работи не само върху чиста математика, но и по държавни задачи, свързани с картографията, астрономията, корабостроенето, машините и научното образование.

Базелската задача

През 1735 г. Ойлер намира сумата на ред, чиято точна стойност дотогава не е била известна въпреки опитите на Менголи и математиците от семейство Бернули. Въпросът е поставен от италианския математик Пиетро Менголи още през 1650 г.: каква е точната сума на реципрочните стойности на квадратите на естествените числа?

\[1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + \frac{1}{25} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \ ?\]

Било известно, че редът е сходящ, но точната му сума оставала неизвестна. На 5 декември 1735 г. Ойлер представя пред Петербургската академия резултата:

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.\]

Как Ойлер решава задачата Идеята му е дръзка. Един полином от \(n\)-та степен може да бъде записан като произведение от множители, определени от корените му. Ойлер разглежда функцията \(\sin x / x\) като своеобразен „безкраен полином“ и допуска, че тя също може да бъде разложена на множители, определени от нулите ѝ. Тъй като тези нули са \(\pm\pi\), \(\pm2\pi\), \(\pm3\pi\) и така нататък, той записва \[\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots\] и сравнява коефициентите пред \(x^2\) от двете страни. От степенния ред \[\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6} + \cdots\] коефициентът пред \(x^2\) е \(-1/6\). При разкриването на произведението същият коефициент е \[-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.\] Сравняването на двата коефициента дава търсената сума. Първоначалното разсъждение не отговаря напълно на по-късните стандарти за строгост — преминаването от краен към безкраен случай не е обосновано и Ойлер сам съзнава това. През 1741 г. той публикува втори, значително по-обоснован довод. Резултатът показва неочаквана връзка между безкрайните редове, целите числа и геометричната константа \(\pi\).

Резултатът донася на двадесет и осемгодишния Ойлер незабавна известност. Той не спира дотук, а изследва по-общите редове от вида

\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s},\]

които днес записваме чрез дзета-функцията

\[\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s}, \qquad s \gt 1.\]

Най-дълбоката стъпка на Ойлер е да свърже тази функция с простите числа. За \(s \gt 1\) той доказва произведението

\[\zeta(s) = \prod_{p\ \text{просто}} \frac{1}{1 - p^{-s}}.\]

Когато множителите вдясно се разкрият като геометрични редове, всяко естествено число се появява точно веднъж благодарение на единственото му разлагане на прости множители. Така Ойлер свързва анализа на безкрайните редове с аритметиката на простите числа. През 1859 г. Риман разширява изследването към комплексни стойности на променливата и превръща дзета-функцията в основен инструмент при изучаването на тяхното разпределение.

Ойлер изследва и границата

\[\gamma = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} - \ln n\right),\]

която пресмята с голяма точност. Днес тя се нарича константа на Ойлер–Маскерони.

Седемте моста на Кьонигсберг

През 1735 г. Ойлер се заема с една задача, която на пръв поглед изобщо не прилича на математика. Градът Кьонигсберг е разположен на река Прегел и включва два острова, свързани помежду си и с бреговете от седем моста. Жителите се питат: може ли човек да се разходи из града така, че да мине по всеки мост точно веднъж?

Ойлер свежда картата до четири върха и седем ребра. При маршрут, който преминава по всяко ребро точно веднъж, всеки връх, различен от началния и крайния, трябва да има четна степен: на всяко влизане съответства излизане по друго ребро. Следователно най-много два върха могат да имат нечетна степен. В графа на Кьонигсберг и четирите върха имат нечетни степени — 5, 3, 3 и 3. Затова такъв маршрут не съществува.

Ойлер представя решението пред Петербургската академия на 26 август 1735 г. и го публикува през 1741 г. под заглавието Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis — „Решение на задача, отнасяща се до геометрията на положението“. Самото название е показателно: Ойлер съзнава, че тук не се измерва нищо. Няма значение колко са дълги мостовете и къде точно са разположени островите; важно е единствено кои брегове и острови са свързани помежду си. Днес тази работа обикновено се приема за началото на теорията на графите.

Формулата за многостените През 1750 г. Ойлер съобщава на Голдбах друг резултат, който днес носи неговото име. В две работи, публикувани през 1758 г., той формулира за изпъкналите многостени равенството \[V - E + F = 2,\] където \(V\) е броят на върховете, \(E\) — на ребрата, а \(F\) — на стените. При куба: \(8 - 12 + 6 = 2\). При тетраедъра: \(4 - 6 + 4 = 2\). Числото \(V-E+F\) не зависи от дължините, ъглите или размера, а от топологичния тип на повърхнината: за повърхнина, еквивалентна на сфера, то е 2, а за други повърхнини може да бъде различно. Първото доказателство на Ойлер съдържа пропуск по съвременните стандарти. По-късно Льожандр дава строг довод, а самата формула се превръща в една от отправните точки на топологията. Днес числото \(V-E+F\) се нарича характеристика на Ойлер.

Символите, с които пишем и днес

Голяма част от математическия език, който днес изглежда естествен, идва от Ойлер. Той въвежда или налага в употреба:

Знаци, влезли в математиката чрез Ойлер • \(e\) — основата на естествените логаритми;
• \(i\) — имагинерната единица;
• \(\Sigma\) — знакът за сума;
• записът \(f(x)\) за функция;
• съвременните означения на тригонометричните функции;
• символът \(\pi\), въведен по-рано от Уилям Джоунс, чиято употреба става общоприета най-вече чрез трудовете на Ойлер.

Приносът на Ойлер не се изчерпва със символа \(f(x)\). В „Увод в анализа на безкрайните“ той поставя понятието функция в центъра на анализа. Вместо анализът да бъде организиран главно около геометрични криви, функциите и зависимостите между величини се превръщат в негови основни обекти.

В двата тома на „Увод в анализа на безкрайните“ (1748) Ойлер развива в безкрайни редове функциите \(e^x\), \(\cos x\) и \(\sin x\), изследва криви и повърхнини чрез уравненията им, излага алгебричната теория на елиминацията и посвещава цяла глава на дзета-функцията и връзката ѝ с теорията на простите числа. Именно там се появява и формулата, свързваща експонентата с тригонометрията:

\[e^{ix} = \cos x + i\sin x.\]

При \(x = \pi\) от нея следва равенството, което често наричат най-красивото в математиката:

\[e^{i\pi} + 1 = 0.\]

В едно равенство се срещат пет фундаментални математически константи и числа — \(0\), \(1\), \(e\), \(i\) и \(\pi\) — всяка от които идва от съвсем различна част на математиката.

Числото 641 срещу хипотезата на Ферма Ферма забелязва, че числата \(3, 5, 17, 257\) и \(65537\), получени от формулата \(2^{2^n}+1\), са прости, и предполага, че това важи за всяко \(n\). Ойлер проверява следващия случай и открива, че \[2^{32} + 1 = 641 \cdot 6700417.\] Само един делител е достатъчен, за да опровергае общата хипотеза. Примерът остава класическо предупреждение, че много последователни потвърждения не заменят доказателството.

Вариационното смятане

Обикновената задача за максимум или минимум търси най-добрата стойност на едно число. Вариационното смятане търси цяла функция или крива, която прави определена величина най-малка или най-голяма. През 1744 г. Ойлер публикува Methodus inveniendi lineas curvas и поставя систематичните основи на тази теория.

Заглавната страница на Methodus inveniendi lineas curvas, 1744

Заглавната страница на Methodus inveniendi lineas curvas (Лозана, 1744) — трудът, с който Ойлер поставя систематичните основи на вариационното смятане.

За функционал от вида

\[J[y] = \int_a^b F(x, y, y')\,dx\]

необходимото условие за екстремум води до уравнението, което днес наричаме уравнение на Ойлер–Лагранж:

\[\frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx}\left(\frac{\partial F}{\partial y'}\right) = 0.\]

При подходящи гранични условия всяка достатъчно гладка функция, при която функционалът достига екстремум, трябва да удовлетворява това уравнение. По-късно Лагранж развива метода, но отправната точка остава работата на Ойлер. Днес вариационното смятане се използва в механиката, геометрията, оптималното управление и математическата физика.

Двадесет и пет години в Берлин

През 1741 г., след четиринадесетгодишна работа в Петербург, Ойлер заминава за Берлин по предложение на пруския крал Фридрих II. Остава там двадесет и пет години. Берлинският период е изключително продуктивен — през него Ойлер написва около 380 работи — но той поема и огромен обем административна и практическа работа.

Като директор на математическия клас Ойлер поема голяма част от административната работа в Берлинската академия. Той замества президента Мопертюи при отсъствията му, а след смъртта му през 1759 г. фактически ръководи Академията, без официално да получи президентската титла. Приема и уволнява служители, купува семена за ботаническата градина, ръководи издаването на географски карти и на серия календари, разпределя бюджета на академията. Кралят му възлага все нови задачи. Ойлер превежда от английски „Нови принципи на артилерията“, работи в областта на хидротехниката, организира държавната лотария и застрахователното дело.

Работата по практическите задачи води и до основни резултати в хидромеханиката: Ойлер полага основите на теорията на равновесието и движението на течностите и извежда общото уравнение на хидростатиката. Сред най-важните резултати е системата от уравнения на Ойлер, която свързва ускорението на течността с налягането и външните сили. Заедно с уравнението за непрекъснатост, което изразява запазването на масата, тези уравнения образуват основния модел за движение на идеална, невискозна течност. И днес стоят в основата на теоретичната флуидна механика и са отправна точка при изследването на въздушни и водни течения. В Берлин Ойлер излага в популярна форма и широк кръг въпроси от философията, физиката и естествените науки в „Писма до една немска принцеса“.

Отношенията му с Фридрих II постепенно се влошават. Ойлер не отговаря на представата на краля за светски учен и салонен събеседник. Макар години наред да изпълнява голяма част от задълженията по ръководството на Академията, той не получава официално президентския пост.

През 1766 г. Ойлер приема предложението на Екатерина II да се върне в Русия. Фридрих II посреща решението му с недоволство и известно време затруднява заминаването му. След като се позовава на швейцарското си поданство, Ойлер получава разрешение да напусне Прусия. На 28 юни 1766 г. той пристига отново в Русия със семейството си, което наброява шестнадесет души. Вече е на 59 години.

Слепотата

Леонард Ойлер

Проблемите със зрението започват рано. Според собствените му спомени те се задълбочават около 1738 г., когато Ойлер е на 31 години, а към 1740 г. той почти не вижда с дясното око. Причината не е сигурна: самият Ойлер я свързва с картографската работа, но съвременните биографи допускат и други медицински обяснения.

Тридесет години по-късно След завръщането му в Русия зрението и на другото му око бързо се влошава. През 1771 г. операция на катаракта временно възстановява зрението му, но след усложнения Ойлер ослепява напълно. Това не прекъсва работата му. Продължава да работи с помощта на синовете си Йохан Албрехт и Кристоф, както и на математиците Волфганг Крафт, Андерс Лексел и Николаус Фус. Те не само записват продиктувания текст, но и обсъждат с него замисъла на работите, извършват изчисления и подготвят ръкописите за печат.

През същата 1771 г. къщата му на брега на Нева изгаря. Пострадват мебелите и библиотеката, но всички ръкописи са спасени. По-късно на същото място е построена нова къща.

Семейството

Ойлер се жени за Катерина Гзел, дъщеря на академичен живописец и гимназиален учител по рисуване. В новия им дом на Василевския остров, близо до Петербургската академия, семейството има тринадесет деца, но само пет от тях преживяват ранното детство.

Тримата му синове остават в Русия. Йохан Албрехт става математик и астроном, член и по-късно секретар на Петербургската академия. Карл избира медицината, а Кристоф прави военна кариера в руската армия и достига генералски чин.

Ойлер свири и се занимава с теория на музиката. Трудът му Tentamen novae theoriae musicae — „Опит за нова теория на музиката“ — остава известен с оценката, че е твърде математичен за музикантите и твърде музикален за математиците.

866

публикации включва индексът на Енестрьом; около 560 излизат приживе

награди от петнадесет участия в конкурсите на Парижката академия

години продължава да работи след пълната загуба на зрението си през 1771 г.

≈ 3000

известни писма от и до Ойлер, разменени с математици, учени и академични институции

Животът на Ойлер в дати

Ражда се в Базел като най-голямото от четири деца; израства в Риен, където баща му Паул Ойлер е пастор.
Тринадесетгодишен постъпва във факултета по свободни изкуства на Базелския университет.
Става бакалавър, а през 1723 г. — магистър по философия; учи при Йохан I Бернули.
На двадесет години заминава за Петербургската академия на науките.
Представя пред Академията решението на задачата за седемте моста на Кьонигсберг — началото на теорията на графите.
Съобщава решението на Базелската задача: сумата на реципрочните квадрати е \(\pi^2/6\).
Излиза „Механика“ — изложение на нютоновата динамика с методите на анализа.
Установява произведението на Ойлер, свързващо дзета-функцията с простите числа.
Задълбочават се проблемите със зрението; към 1740 г. почти не вижда с дясното око.
Заминава за Берлин по покана на Фридрих II; остава там двадесет и пет години.
Публикува основополагащия труд Methodus inveniendi lineas curvas по вариационно смятане.
Излиза „Увод в анализа на безкрайните“ в два тома.
Формулира и публикува равенството \(V-E+F=2\) за изпъкналите многостени.
Формулира основните уравнения за движение на идеална течност.
Излиза „Диференциално смятане“.
Връща се в Русия по покана на Екатерина II, заедно със семейството си от шестнадесет души.
Излиза „Интегрално смятане“ в три тома.
Операция на катаракта връща зрението му за няколко дни; след усложнения ослепява напълно. Къщата му изгаря, но ръкописите са спасени.
Умира в Петербург на 76 години.

Защо да помним Ойлер

Трудно е да се посочи област от математиката на XVIII век, в която Ойлер да не е оставил следа. В анализа: теоремата на Ойлер за еднородните функции, диференциалното уравнение на Ойлер–Коши, методите за интегриране и сумиране и основополагащият му труд по вариационно смятане. В геометрията: ойлеровите ъгли, формулата на Ойлер за нормалната кривина и правата на Ойлер в триъгълника. В теорията на числата: произведението на Ойлер, което свързва дзета-функцията с простите числа, константата на Ойлер–Маскерони и опровержението на хипотезата на Ферма за числата \(2^{2^n}+1\). В топологията: характеристиката на Ойлер. Към това се прибавят уравненията му за движение на идеална течност и книгите му по хидравлика, корабостроене, небесна механика, артилерия и оптика.

По-късните математици развиват редица негови идеи и резултати. Дзета-функцията, на която посвещава глава в „Увод в анализа“, е в основата на работата на Риман от 1859 г. Уравнението на Ойлер–Лагранж остава един от основните инструменти на вариационното смятане. В теорията на движението на твърдо тяло около неподвижна точка случаите на Ойлер, Лагранж и Ковалевска образуват трите класически интегрируеми случая. А абстрахирането на карта чрез върхове и ребра е основна идея в съвременната теория на графите, чиито модели се използват при маршрутизацията в компютърни мрежи, транспортната навигация и анализа на социални мрежи.

Лаплас съветва учениците си да четат Ойлер, когото нарича учител на всички тях. Гаус също определя изучаването на трудовете му като незаменима школа в различните области на математиката. Кондорсе завършва възпоменателното си слово с думите, че Ойлер престанал да смята и да живее.

Гробът на Леонард Ойлер в Александро-Невската лавра в Санкт Петербург.

Източници

Русева, Д. Да надминеш мечтите. Списание „Математика“, София.
O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Leonhard Euler. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
Calinger, R. Leonhard Euler: Mathematical Genius in the Enlightenment. Princeton University Press, 2016. (Основен биографичен източник.)
Leonhardi Euleri Opera Omnia и индексът на Густав Енестрьом (E1–E866). (Броят на публикациите.)
Gautschi, W. Leonhard Euler: His Life, the Man, and His Works. SIAM Review 50 (1) (2008), 3–33.
Ayoub, R. Euler and the Zeta Function. American Mathematical Monthly 81 (1974), 1067–1086. (Базелската задача и произведението на Ойлер.)
Richeson, D. Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology. Princeton University Press, 2008.
Dunham, W. Euler: The Master of Us All. Mathematical Association of America, 1999.
Euler, L. Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprietate gaudentes. Лозана, 1744. (Вариационното смятане.)
Euler, L. Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 8 (1741), 128–140. (Задачата за мостовете на Кьонигсберг.)
Euler, L. De summis serierum reciprocarum. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7 (1740), 123–134. (Базелската задача.)
Euler, L. Introductio in analysin infinitorum. Лозана, 1748.
Sachs, H., Stiebitz, M. & Wilson, R. J. An historical note: Euler's Königsberg letters. Journal of Graph Theory 12 (1) (1988), 133–139.
Encyclopaedia Britannica. Leonhard Euler. britannica.com

Още от поредицата „Любопитно от математиката“

▶

Любопитно от математиката

Биографии на велики математици, исторически факти, забавни задачи и вдъхновяващи истории от света на математиката.

Вижте всички статии →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

›НВО по математика след 7 клас
›НВО по математика след 10 клас
›Кандидатстудентски изпити по математика
›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

Използвай за да намериш това което ти трябва

Математика с д-р Атанас Илчев