Умножение и деление с 10, 100, 1000 и т.н. Умножение с многоцифрено число
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Начален преговор › Естествени числа › Умножение и деление с 10, 100, 1000
Умножение и деление с 10, 100, 1000 и т.н. Умножение с многоцифрено число
Правила за нулите при умножение и деление с 10, 100, 1000, умножение с числа, завършващи на нули, и с многоцифрено число, разпределително свойство, превръщане на мерни единици, рационално пресмятане и ред на действията. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
В този урок от началния преговор в 5. клас събираме на едно място умножението и делението с 10, 100, 1000 и т.н., умножението с числа, завършващи на нули, и умножението с многоцифрено число. Тези правила правят сметките бързи и са в основата на превръщането на мерни единици — от километри в метри, от килограми в грамове и обратно. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
✖️ Умножение с 10, 100, 1000 и с числа, завършващи на нули
Произведението на естествено число с 10, 100, 1000 и т.н. се намира, като към числото се допишат една, две, три и т.н. нули.
\[3471\cdot 10 = 34\,710, \qquad 6005\cdot 100 = 600\,500, \qquad 472\cdot 10\,000 = 4\,720\,000.\]
Когато вторият множител завършва на нули, първо умножаваме по числото, което остава след премахването на тези нули, а после дописваме толкова нули, колкото сме премахнали:
\[2130\cdot 20 = 2130\cdot 2\cdot 10 = 42\,600,\]
\[325\cdot 120 = 325\cdot 12\cdot 10 = 39\,000,\]
\[45\,608\cdot 50 = 45\,608\cdot 5\cdot 10 = 2\,280\,400.\]
Внимавайте да не пропуснете нулите на множителя, който завършва на нули. Например при \(270\,004\cdot 80\) първо умножаваме \(270\,004\cdot 8 = 2\,160\,032\), а след това дописваме една нула и получаваме \(21\,600\,320\).
➗ Деление с 10, 100, 1000
Число, което завършва с поне една нула, се дели без остатък на 10; ако завършва с поне две нули — на 100; ако завършва с поне три нули — на 1000. Частното се получава, като от края на делимото се премахнат съответно една, две или три нули.
\[84\,600 : 10 = 8460, \qquad 4800 : 100 = 48, \qquad 704\,000 : 1000 = 704.\]
Затова умножението и делението с 10, 100, 1000 са обратни действия: допълваме нули при умножение, махаме нули при деление. Проверка: \(8460\cdot 10 = 84\,600\). ✓
📋 Умножение с многоцифрено число. Ред на действията
При умножение на две многоцифрени числа образуваме частично произведение за всяка цифра на втория множител и го записваме според разреда на тази цифра; накрая събираме частичните произведения. Например
\[418\cdot 27 = 418\cdot 20 + 418\cdot 7 = 8360 + 2926 = 11\,286.\]
Разпределителното свойство често заменя няколко трудни умножения с едно по-лесно, когато има общ множител:
\[47\,218\cdot 34 + 47\,218\cdot 66 = 47\,218\cdot (34 + 66) = 47\,218\cdot 100 = 4\,721\,800.\]
Ред на действията. Първо се пресмятат изразите в скоби, след това умноженията и деленията (отляво надясно), накрая събиранията и изважданията.
\[200\cdot 15 + 384\,000 : 10 = 3000 + 38\,400 = 41\,400.\]
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Пресметнете: а) \(3471\cdot 10\); б) \(6005\cdot 100\); в) \(472\cdot 10\,000\); г) \(2130\cdot 20\); д) \(45\,608\cdot 50\); е) \(270\,004\cdot 80\).
▼
Решениеа) \(3471\cdot 10 = \mathbf{34\,710}\).
б) \(6005\cdot 100 = \mathbf{600\,500}\).
в) \(472\cdot 10\,000 = \mathbf{4\,720\,000}\).
г) \(2130\cdot 2 = 4260\), допълваме една нула: \(\mathbf{42\,600}\).
д) \(45\,608\cdot 5 = 228\,040\), допълваме една нула: \(\mathbf{2\,280\,400}\).
е) \(270\,004\cdot 8 = 2\,160\,032\), допълваме една нула: \(\mathbf{21\,600\,320}\).
б) \(6005\cdot 100 = \mathbf{600\,500}\).
в) \(472\cdot 10\,000 = \mathbf{4\,720\,000}\).
г) \(2130\cdot 2 = 4260\), допълваме една нула: \(\mathbf{42\,600}\).
д) \(45\,608\cdot 5 = 228\,040\), допълваме една нула: \(\mathbf{2\,280\,400}\).
е) \(270\,004\cdot 8 = 2\,160\,032\), допълваме една нула: \(\mathbf{21\,600\,320}\).
2
Превърнете в: а) грамове: 7 kg, 42 kg, 205 kg, 84 kg 600 g, 17 kg 45 g, 63 kg 8 g; б) метри: 3 km, 8 km, 6 km 400 m, 12 km 70 m, 25 km 9 m.
▼
РешениеЕдин килограм е 1000 грама, значи умножаваме по 1000 (допълваме три нули) и прибавяме грамовете.
а) \(7\) kg \(= \mathbf{7000}\) g; \(42\) kg \(= \mathbf{42\,000}\) g; \(205\) kg \(= \mathbf{205\,000}\) g; \(84\) kg \(600\) g \(= 84\,000 + 600 = \mathbf{84\,600}\) g; \(17\) kg \(45\) g \(= \mathbf{17\,045}\) g; \(63\) kg \(8\) g \(= \mathbf{63\,008}\) g.
б) Един километър е 1000 метра: \(3\) km \(= \mathbf{3000}\) m; \(8\) km \(= \mathbf{8000}\) m; \(6\) km \(400\) m \(= \mathbf{6400}\) m; \(12\) km \(70\) m \(= \mathbf{12\,070}\) m; \(25\) km \(9\) m \(= \mathbf{25\,009}\) m.
а) \(7\) kg \(= \mathbf{7000}\) g; \(42\) kg \(= \mathbf{42\,000}\) g; \(205\) kg \(= \mathbf{205\,000}\) g; \(84\) kg \(600\) g \(= 84\,000 + 600 = \mathbf{84\,600}\) g; \(17\) kg \(45\) g \(= \mathbf{17\,045}\) g; \(63\) kg \(8\) g \(= \mathbf{63\,008}\) g.
б) Един километър е 1000 метра: \(3\) km \(= \mathbf{3000}\) m; \(8\) km \(= \mathbf{8000}\) m; \(6\) km \(400\) m \(= \mathbf{6400}\) m; \(12\) km \(70\) m \(= \mathbf{12\,070}\) m; \(25\) km \(9\) m \(= \mathbf{25\,009}\) m.
3
Намерете частните: а) \(240 : 10\), \(7300 : 10\), \(84\,600 : 10\); б) \(700 : 100\), \(4800 : 100\), \(93\,700 : 100\); в) \(72\,000 : 1000\), \(500\,000 : 1000\), \(704\,000 : 1000\).
▼
РешениеПремахваме от края на делимото толкова нули, колкото нули има делителят: при деление на 10 — една нула, на 100 — две, на 1000 — три.
а) \(240 : 10 = \mathbf{24}\); \(7300 : 10 = \mathbf{730}\); \(84\,600 : 10 = \mathbf{8460}\).
б) \(700 : 100 = \mathbf{7}\); \(4800 : 100 = \mathbf{48}\); \(93\,700 : 100 = \mathbf{937}\).
в) \(72\,000 : 1000 = \mathbf{72}\); \(500\,000 : 1000 = \mathbf{500}\); \(704\,000 : 1000 = \mathbf{704}\).
а) \(240 : 10 = \mathbf{24}\); \(7300 : 10 = \mathbf{730}\); \(84\,600 : 10 = \mathbf{8460}\).
б) \(700 : 100 = \mathbf{7}\); \(4800 : 100 = \mathbf{48}\); \(93\,700 : 100 = \mathbf{937}\).
в) \(72\,000 : 1000 = \mathbf{72}\); \(500\,000 : 1000 = \mathbf{500}\); \(704\,000 : 1000 = \mathbf{704}\).
4
Пресметнете израза: а) \(200\cdot 15 + 528\,000 : 10\); б) \(3\,005\,000 : 1000 + 70\,000 : 10\); в) \(4\,000\,000 : 1000 + 80\,000 : 10\); г) \(2547\cdot 80 + 639\,200 : 10\).
▼
РешениеПърво умноженията и деленията, после събирането.
а) \(3000 + 52\,800 = \mathbf{55\,800}\).
б) \(3005 + 7000 = \mathbf{10\,005}\).
в) \(4000 + 8000 = \mathbf{12\,000}\).
г) \(2547\cdot 80 = 203\,760\); \(639\,200 : 10 = 63\,920\); \(203\,760 + 63\,920 = \mathbf{267\,680}\).
а) \(3000 + 52\,800 = \mathbf{55\,800}\).
б) \(3005 + 7000 = \mathbf{10\,005}\).
в) \(4000 + 8000 = \mathbf{12\,000}\).
г) \(2547\cdot 80 = 203\,760\); \(639\,200 : 10 = 63\,920\); \(203\,760 + 63\,920 = \mathbf{267\,680}\).
5
Пресметнете произведенията: а) \(418\cdot 27\), \(2306\cdot 54\), \(3005\cdot 63\); б) \(215\cdot 307\), \(1832\cdot 409\), \(40\,518\cdot 206\).
▼
РешениеУмножаваме в стълб.
а) \(418\cdot 27 = \mathbf{11\,286}\); \(2306\cdot 54 = \mathbf{124\,524}\); \(3005\cdot 63 = \mathbf{189\,315}\).
б) \(215\cdot 307 = \mathbf{66\,005}\); \(1832\cdot 409 = \mathbf{749\,288}\); \(40\,518\cdot 206 = \mathbf{8\,346\,708}\).
При б) вторият множител има нула в един от разредите — съответното частично произведение е 0 и този ред обикновено не се записва при умножението в стълб.
а) \(418\cdot 27 = \mathbf{11\,286}\); \(2306\cdot 54 = \mathbf{124\,524}\); \(3005\cdot 63 = \mathbf{189\,315}\).
б) \(215\cdot 307 = \mathbf{66\,005}\); \(1832\cdot 409 = \mathbf{749\,288}\); \(40\,518\cdot 206 = \mathbf{8\,346\,708}\).
При б) вторият множител има нула в един от разредите — съответното частично произведение е 0 и този ред обикновено не се записва при умножението в стълб.
6
Пресметнете произведенията: а) \(16\cdot 3725\); б) \(28\cdot 185\,043\); в) \(45\cdot 60\,728\).
▼
РешениеПоради разместителното свойство редът на множителите няма значение.
а) \(16\cdot 3725 = \mathbf{59\,600}\).
б) \(28\cdot 185\,043 = \mathbf{5\,181\,204}\).
в) \(45\cdot 60\,728 = \mathbf{2\,732\,760}\).
а) \(16\cdot 3725 = \mathbf{59\,600}\).
б) \(28\cdot 185\,043 = \mathbf{5\,181\,204}\).
в) \(45\cdot 60\,728 = \mathbf{2\,732\,760}\).
7
Пресметнете изразите, като изнесете общия множител: а) \(47\,218\cdot 34 + 47\,218\cdot 66\); б) \(315\,804\cdot 72 + 28\cdot 315\,804\); в) \(428\,201\cdot 10 + 15\cdot 428\,201\).
▼
РешениеОбщият множител се изнася пред скоба, а в скобата остава сборът на другите два множителя.
а) \(47\,218\cdot (34 + 66) = 47\,218\cdot 100 = \mathbf{4\,721\,800}\).
б) \(315\,804\cdot (72 + 28) = 315\,804\cdot 100 = \mathbf{31\,580\,400}\).
в) \(428\,201\cdot (10 + 15) = 428\,201\cdot 25 = \mathbf{10\,705\,025}\).
а) \(47\,218\cdot (34 + 66) = 47\,218\cdot 100 = \mathbf{4\,721\,800}\).
б) \(315\,804\cdot (72 + 28) = 315\,804\cdot 100 = \mathbf{31\,580\,400}\).
в) \(428\,201\cdot (10 + 15) = 428\,201\cdot 25 = \mathbf{10\,705\,025}\).
8
Пресметнете: а) \(563\,218\cdot 33 + 37\cdot 563\,218\); б) \(418\,305\cdot 46 + 54\cdot 418\,305\).
▼
Решениеа) \(563\,218\cdot (33 + 37) = 563\,218\cdot 70 = \mathbf{39\,425\,260}\).
б) \(418\,305\cdot (46 + 54) = 418\,305\cdot 100 = \mathbf{41\,830\,500}\).
б) \(418\,305\cdot (46 + 54) = 418\,305\cdot 100 = \mathbf{41\,830\,500}\).
9
Увеличете 28 пъти числото 483 726.
▼
Решение„Увеличете 28 пъти“ значи умножете по 28:
\(483\,726\cdot 28 = \mathbf{13\,544\,328}\).
\(483\,726\cdot 28 = \mathbf{13\,544\,328}\).
10
Намерете произведението \(1\,748\,325\cdot a\), ако \(a\) е равно на: 12, 38, 123.
▼
Решение\(1\,748\,325\cdot 12 = \mathbf{20\,979\,900}\);
\(1\,748\,325\cdot 38 = \mathbf{66\,436\,350}\);
\(1\,748\,325\cdot 123 = \mathbf{215\,043\,975}\).
\(1\,748\,325\cdot 38 = \mathbf{66\,436\,350}\);
\(1\,748\,325\cdot 123 = \mathbf{215\,043\,975}\).
11
Напишете три числа. Първото да е 1035, а всяко следващо да е 138 пъти по-голямо от предходното.
▼
РешениеПърво число: \(\mathbf{1035}\).
Второ: \(1035\cdot 138 = \mathbf{142\,830}\).
Трето: \(142\,830\cdot 138 = \mathbf{19\,710\,540}\).
Второ: \(1035\cdot 138 = \mathbf{142\,830}\).
Трето: \(142\,830\cdot 138 = \mathbf{19\,710\,540}\).
12
Във висшата лига по футбол участват 18 отбора. Всеки отбор има по 11 играчи и по 15 резервни състезатели. Колко общо футболисти участват в лигата?
▼
РешениеЕдин отбор има \(11 + 15 = 26\) футболисти.
Всички 18 отбора: \(18\cdot 26 = \mathbf{468}\) футболисти.
Всички 18 отбора: \(18\cdot 26 = \mathbf{468}\) футболисти.
13
За деня един инкасаторски център преброил 9648 банкноти по 50 лв., 3752 банкноти по 20 лв. и 284 605 банкноти по 10 лв. Колко лева общо са преброени?
▼
РешениеПо 50 лв.: \(9648\cdot 50 = 482\,400\) лв.
По 20 лв.: \(3752\cdot 20 = 75\,040\) лв.
По 10 лв.: \(284\,605\cdot 10 = 2\,846\,050\) лв.
Общо: \(482\,400 + 75\,040 + 2\,846\,050 = \mathbf{3\,403\,490}\) лв.
По 20 лв.: \(3752\cdot 20 = 75\,040\) лв.
По 10 лв.: \(284\,605\cdot 10 = 2\,846\,050\) лв.
Общо: \(482\,400 + 75\,040 + 2\,846\,050 = \mathbf{3\,403\,490}\) лв.
14
През летния сезон една сова унищожава средно 1000 полски мишки, а всяка мишка изяжда по 1 kg зърно за този период. Колко зърно ще спасят 25 сови?
▼
РешениеЕдна сова спасява зърното на 1000 мишки, тоест \(1000\cdot 1 = 1000\) kg.
25 сови спасяват \(25\cdot 1000 = \mathbf{25\,000}\) kg зърно, тоест 25 тона.
25 сови спасяват \(25\cdot 1000 = \mathbf{25\,000}\) kg зърно, тоест 25 тона.
15
Ако числото \(a\) се намали 38 пъти, ще се получи 4256. Намерете числото \(a\).
▼
Решение„Намали 38 пъти“ значи \(a : 38 = 4256\). Тогава \(a\) е неизвестно делимо:
\(a = 4256\cdot 38 = \mathbf{161\,728}\).
\(a = 4256\cdot 38 = \mathbf{161\,728}\).
16
Числото \(b\) е намалено 300 пъти и е получено число, равно на сбора на числата 83 415 и 64 207. Намерете числото \(b\).
▼
РешениеПърво намираме сбора: \(83\,415 + 64\,207 = 147\,622\).
Значи \(b : 300 = 147\,622\), откъдето \(b = 147\,622\cdot 300 = \mathbf{44\,286\,600}\).
Значи \(b : 300 = 147\,622\), откъдето \(b = 147\,622\cdot 300 = \mathbf{44\,286\,600}\).
17
Числото \(c\) е намалено 127 пъти и е получено число, равно на разликата на числата 128 647 и 73 152. Намерете числото \(c\).
▼
РешениеПърво намираме разликата: \(128\,647 - 73\,152 = 55\,495\).
Значи \(c : 127 = 55\,495\), откъдето \(c = 55\,495\cdot 127 = \mathbf{7\,047\,865}\).
Значи \(c : 127 = 55\,495\), откъдето \(c = 55\,495\cdot 127 = \mathbf{7\,047\,865}\).
18
Приемаме условно, че за всеки 100 kg, отчетени на Земята, уредът на Луната отчита 16 kg. Колко ще покаже уредът на Луната за тяло, за което на Земята са отчетени 5 t 800 kg?
▼
РешениеПърво превръщаме отчетеното на Земята в килограми: \(5\) t \(800\) kg \(= 5000 + 800 = 5800\) kg.
На всеки 100 kg, отчетени на Земята, съответстват 16 kg, отчетени на Луната. Понеже \(5800 : 100 = 58\), уредът на Луната ще покаже \(58\cdot 16 = \mathbf{928}\) kg.
На всеки 100 kg, отчетени на Земята, съответстват 16 kg, отчетени на Луната. Понеже \(5800 : 100 = 58\), уредът на Луната ще покаже \(58\cdot 16 = \mathbf{928}\) kg.
19
Ако \(a = 4275\cdot 10 + 6033\cdot 100\) и \(b = 41\,022\cdot 100 + 3178\cdot 1000\), то намерете \(b - a\).
▼
Решение\(a = 42\,750 + 603\,300 = 646\,050\).
\(b = 4\,102\,200 + 3\,178\,000 = 7\,280\,200\).
\(b - a = 7\,280\,200 - 646\,050 = \mathbf{6\,634\,150}\).
\(b = 4\,102\,200 + 3\,178\,000 = 7\,280\,200\).
\(b - a = 7\,280\,200 - 646\,050 = \mathbf{6\,634\,150}\).
20
Превърнете в сантиметри: 18 dm, 6 m, 70 m, 45 m 26 cm, 320 m 9 cm. (Един метър е 100 cm, един дециметър е 10 cm.)
▼
Решение\(18\) dm \(= 18\cdot 10 = \mathbf{180}\) cm.
\(6\) m \(= 6\cdot 100 = \mathbf{600}\) cm.
\(70\) m \(= 70\cdot 100 = \mathbf{7000}\) cm.
\(45\) m \(26\) cm \(= 4500 + 26 = \mathbf{4526}\) cm.
\(320\) m \(9\) cm \(= 32\,000 + 9 = \mathbf{32\,009}\) cm.
\(6\) m \(= 6\cdot 100 = \mathbf{600}\) cm.
\(70\) m \(= 70\cdot 100 = \mathbf{7000}\) cm.
\(45\) m \(26\) cm \(= 4500 + 26 = \mathbf{4526}\) cm.
\(320\) m \(9\) cm \(= 32\,000 + 9 = \mathbf{32\,009}\) cm.
21
Пресметнете: а) \((628\cdot 25 - 9\cdot 1100) : 100\); б) \(512\cdot 44 + 287\cdot 35 + 56\cdot 512\); в) \(705\cdot 303\cdot 128\); г) \((632 + 456\cdot 32) : (632 - 624)\).⭐ повишена трудност
▼
Решениеа) \(628\cdot 25 = 15\,700\); \(9\cdot 1100 = 9900\); \((15\,700 - 9900) : 100 = 5800 : 100 = \mathbf{58}\).
б) Тук \(512\) е общ множител на първото и третото събираемо: \(512\cdot 44 + 56\cdot 512 = 512\cdot (44 + 56) = 512\cdot 100 = 51\,200\). Остава \(+ 287\cdot 35 = 10\,045\). Общо \(51\,200 + 10\,045 = \mathbf{61\,245}\).
в) Удобно е да умножим първо \(705\cdot 128 = 90\,240\), а после по 303 чрез разпределителното свойство: \(90\,240\cdot 303 = 90\,240\cdot 300 + 90\,240\cdot 3 = 27\,072\,000 + 270\,720 = \mathbf{27\,342\,720}\).
г) Скобите първи: \(632 + 456\cdot 32 = 632 + 14\,592 = 15\,224\); \(632 - 624 = 8\); \(15\,224 : 8 = \mathbf{1903}\).
б) Тук \(512\) е общ множител на първото и третото събираемо: \(512\cdot 44 + 56\cdot 512 = 512\cdot (44 + 56) = 512\cdot 100 = 51\,200\). Остава \(+ 287\cdot 35 = 10\,045\). Общо \(51\,200 + 10\,045 = \mathbf{61\,245}\).
в) Удобно е да умножим първо \(705\cdot 128 = 90\,240\), а после по 303 чрез разпределителното свойство: \(90\,240\cdot 303 = 90\,240\cdot 300 + 90\,240\cdot 3 = 27\,072\,000 + 270\,720 = \mathbf{27\,342\,720}\).
г) Скобите първи: \(632 + 456\cdot 32 = 632 + 14\,592 = 15\,224\); \(632 - 624 = 8\); \(15\,224 : 8 = \mathbf{1903}\).
22
Сравнете числата \(a = 142\cdot 144 - 143\) и \(b = 141\cdot 145 - 140\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеПресмятаме двете числа.
\(a = 142\cdot 144 - 143 = 20\,448 - 143 = 20\,305\).
\(b = 141\cdot 145 - 140 = 20\,445 - 140 = 20\,305\).
Следователно \(a = b = 20\,305\), тоест \(\mathbf{a = b}\).
Любопитно: в първото произведение множителите 142 и 144 са на еднакво разстояние от 143, а във второто множителите 141 и 145 също са на еднакво разстояние от 143. След изважданията двете числа се оказват равни.
\(a = 142\cdot 144 - 143 = 20\,448 - 143 = 20\,305\).
\(b = 141\cdot 145 - 140 = 20\,445 - 140 = 20\,305\).
Следователно \(a = b = 20\,305\), тоест \(\mathbf{a = b}\).
Любопитно: в първото произведение множителите 142 и 144 са на еднакво разстояние от 143, а във второто множителите 141 и 145 също са на еднакво разстояние от 143. След изважданията двете числа се оказват равни.
23
Намерете сбора \(1 + 2 + 3 + \cdots + 199 + 200\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеГрупираме числата по двойки от двата края: \(1 + 200 = 201\), \(2 + 199 = 201\), \(3 + 198 = 201\), … Всяка двойка дава 201.
Числата са 200 на брой, значи двойките са \(200 : 2 = 100\).
\[1 + 2 + \cdots + 200 = 100\cdot 201 = \mathbf{20\,100}.\]
Числата са 200 на брой, значи двойките са \(200 : 2 = 100\).
\[1 + 2 + \cdots + 200 = 100\cdot 201 = \mathbf{20\,100}.\]
24
Коя е последната цифра на числото, което се получава, ако умножите естествените числа от 86 до 94?⭐ повишена трудност
▼
РешениеНе е нужно да пресмятаме огромното произведение. Сред множителите \(86, 87, \ldots, 94\) е и числото 90, което завършва на 0.
Всяко произведение, в което участва множител, завършващ на 0, също завършва на 0.
Значи последната цифра е 0.
Всяко произведение, в което участва множител, завършващ на 0, също завършва на 0.
Значи последната цифра е 0.
25
Числата 10, 100, 1000 и т.н., тоест единица, следвана от поне една нула, ще наричаме условно „обикновени“. По колко различни начина може да се представи числото 10 000 като произведение на две такива числа, без да отчитаме реда на множителите?⭐ повишена трудност
▼
РешениеПри умножение на две „обикновени“ числа броят на нулите се събира. Числото \(10\,000\) има 4 нули, затова търсим два множителя, чиито нули дават сбор 4:
• \(10\cdot 1000\) (1 нула + 3 нули);
• \(100\cdot 100\) (2 + 2);
• \(1\cdot 10\,000\) — тук \(1\) е единица без нули, а въпросът е за „обикновени“ числа (с поне една нула), затова тази възможност не се брои.
Остават 2 начина: \(10\cdot 1000\) и \(100\cdot 100\).
Забележка: ако допуснем и \(1\) като множител, начините стават 3.
• \(10\cdot 1000\) (1 нула + 3 нули);
• \(100\cdot 100\) (2 + 2);
• \(1\cdot 10\,000\) — тук \(1\) е единица без нули, а въпросът е за „обикновени“ числа (с поне една нула), затова тази възможност не се брои.
Остават 2 начина: \(10\cdot 1000\) и \(100\cdot 100\).
Забележка: ако допуснем и \(1\) като множител, начините стават 3.
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Пресметнете: а) \(5274\cdot 10\); б) \(3008\cdot 100\); в) \(617\cdot 10\,000\); г) \(2745\cdot 20\); д) \(38\,409\cdot 50\); е) \(160\,005\cdot 80\).
Отг.: а) 52 740; б) 300 800; в) 6 170 000; г) 54 900; д) 1 920 450; е) 12 800 400.
Отг.: а) 52 740; б) 300 800; в) 6 170 000; г) 54 900; д) 1 920 450; е) 12 800 400.
Задача 2Превърнете в: а) грамове: 9 kg, 54 kg, 308 kg, 72 kg 400 g, 25 kg 63 g, 48 kg 7 g; б) метри: 4 km, 7 km, 9 km 300 m, 15 km 60 m, 32 km 8 m.
Отг.: а) 9000; 54 000; 308 000; 72 400; 25 063; 48 007 g. б) 4000; 7000; 9300; 15 060; 32 008 m.
Отг.: а) 9000; 54 000; 308 000; 72 400; 25 063; 48 007 g. б) 4000; 7000; 9300; 15 060; 32 008 m.
Задача 3Намерете частните: а) \(360 : 10\), \(5900 : 10\), \(72\,400 : 10\); б) \(900 : 100\), \(6300 : 100\), \(81\,500 : 100\); в) \(48\,000 : 1000\), \(600\,000 : 1000\), \(507\,000 : 1000\).
Отг.: а) 36; 590; 7240. б) 9; 63; 815. в) 48; 600; 507.
Отг.: а) 36; 590; 7240. б) 9; 63; 815. в) 48; 600; 507.
Задача 4Пресметнете израза: а) \(300\cdot 18 + 672\,000 : 10\); б) \(5\,008\,000 : 1000 + 90\,000 : 10\); в) \(6\,000\,000 : 1000 + 40\,000 : 10\); г) \(4185\cdot 60 + 837\,500 : 10\).
Отг.: а) \(5400 + 67\,200 = 72\,600\); б) \(5008 + 9000 = 14\,008\); в) \(6000 + 4000 = 10\,000\); г) \(251\,100 + 83\,750 = 334\,850\).
Отг.: а) \(5400 + 67\,200 = 72\,600\); б) \(5008 + 9000 = 14\,008\); в) \(6000 + 4000 = 10\,000\); г) \(251\,100 + 83\,750 = 334\,850\).
Задача 5Пресметнете произведенията: а) \(527\cdot 36\), \(3140\cdot 48\), \(4207\cdot 72\); б) \(318\cdot 406\), \(2145\cdot 503\), \(50\,627\cdot 304\).
Отг.: а) 18 972; 150 720; 302 904. б) 129 108; 1 078 935; 15 390 608.
Отг.: а) 18 972; 150 720; 302 904. б) 129 108; 1 078 935; 15 390 608.
Задача 6Пресметнете произведенията: а) \(24\cdot 4835\); б) \(36\cdot 207\,061\); в) \(54\cdot 80\,915\).
Отг.: а) 116 040; б) 7 454 196; в) 4 369 410.
Отг.: а) 116 040; б) 7 454 196; в) 4 369 410.
Задача 7Пресметнете, като изнесете общия множител: а) \(29\,305\cdot 41 + 29\,305\cdot 59\); б) \(417\,206\cdot 83 + 17\cdot 417\,206\); в) \(538\,104\cdot 10 + 15\cdot 538\,104\).
Отг.: а) \(29\,305\cdot 100 = 2\,930\,500\); б) \(417\,206\cdot 100 = 41\,720\,600\); в) \(538\,104\cdot 25 = 13\,452\,600\).
Отг.: а) \(29\,305\cdot 100 = 2\,930\,500\); б) \(417\,206\cdot 100 = 41\,720\,600\); в) \(538\,104\cdot 25 = 13\,452\,600\).
Задача 8Пресметнете: а) \(672\,415\cdot 44 + 56\cdot 672\,415\); б) \(385\,204\cdot 37 + 63\cdot 385\,204\).
Отг.: а) \(672\,415\cdot 100 = 67\,241\,500\); б) \(385\,204\cdot 100 = 38\,520\,400\).
Отг.: а) \(672\,415\cdot 100 = 67\,241\,500\); б) \(385\,204\cdot 100 = 38\,520\,400\).
Задача 9Увеличете 24 пъти числото 528 437.
Отг.: \(528\,437\cdot 24 = 12\,682\,488\).
Отг.: \(528\,437\cdot 24 = 12\,682\,488\).
Задача 10Намерете произведението \(2\,635\,418\cdot a\), ако \(a\) е равно на: 15, 42, 204.
Отг.: 39 531 270; 110 687 556; 537 625 272.
Отг.: 39 531 270; 110 687 556; 537 625 272.
Задача 11Напишете три числа. Първото да е 2048, а всяко следващо да е 156 пъти по-голямо от предходното.
Отг.: 2048; \(2048\cdot 156 = 319\,488\); \(319\,488\cdot 156 = 49\,840\,128\).
Отг.: 2048; \(2048\cdot 156 = 319\,488\); \(319\,488\cdot 156 = 49\,840\,128\).
Задача 12В турнир по футбол участват 24 отбора. Всеки отбор има по 11 състезатели на терена и по 11 резервни. Колко общо футболисти участват в турнира?
Отг.: един отбор — \(11 + 11 = 22\); всички 24 отбора — \(24\cdot 22 = 528\).
Отг.: един отбор — \(11 + 11 = 22\); всички 24 отбора — \(24\cdot 22 = 528\).
Задача 13За деня един инкасаторски център преброил 8536 банкноти по 50 лв., 4128 банкноти по 20 лв. и 253 409 банкноти по 10 лв. Колко лева общо са преброени?
Отг.: \(8536\cdot 50 = 426\,800\); \(4128\cdot 20 = 82\,560\); \(253\,409\cdot 10 = 2\,534\,090\); общо \(3\,043\,450\) лв.
Отг.: \(8536\cdot 50 = 426\,800\); \(4128\cdot 20 = 82\,560\); \(253\,409\cdot 10 = 2\,534\,090\); общо \(3\,043\,450\) лв.
Задача 14Пресметнете: а) \((740\cdot 15 - 8\cdot 1200) : 100\); б) \((528 + 456\cdot 24) : (632 - 624)\).
Отг.: а) \(740\cdot 15 = 11\,100\); \(8\cdot 1200 = 9600\); \((11\,100 - 9600) : 100 = 1500 : 100 = 15\); б) забележете, че \(632 - 624 = 8\); \((528 + 10\,944) : 8 = 11\,472 : 8 = 1434\).
Отг.: а) \(740\cdot 15 = 11\,100\); \(8\cdot 1200 = 9600\); \((11\,100 - 9600) : 100 = 1500 : 100 = 15\); б) забележете, че \(632 - 624 = 8\); \((528 + 10\,944) : 8 = 11\,472 : 8 = 1434\).
Задача 15Намерете сбора \(1 + 2 + 3 + \cdots + 149 + 150\).
Отг.: двойки от двата края дават по \(1 + 150 = 151\); броят двойки е \(150 : 2 = 75\); сборът е \(75\cdot 151 = 11\,325\).
Отг.: двойки от двата края дават по \(1 + 150 = 151\); броят двойки е \(150 : 2 = 75\); сборът е \(75\cdot 151 = 11\,325\).
Задача 16През зимата една лисица унищожава средно 1000 полски мишки, а всяка мишка изяжда по 1 kg зърно. Колко зърно ще спасят 30 лисици?
Отг.: една лисица — 1000 kg; трийсет — \(30\cdot 1000 = 30\,000\) kg (30 тона).
Отг.: една лисица — 1000 kg; трийсет — \(30\cdot 1000 = 30\,000\) kg (30 тона).
Задача 17Ако числото \(a\) се намали 46 пъти, ще се получи 3184. Намерете числото \(a\).
Отг.: \(a = 3184\cdot 46 = 146\,464\).
Отг.: \(a = 3184\cdot 46 = 146\,464\).
Задача 18Числото \(b\) е намалено 300 пъти и е получено число, равно на сбора на числата 72 418 и 53 905. Намерете числото \(b\).
Отг.: \(72\,418 + 53\,905 = 126\,323\); \(b = 126\,323\cdot 300 = 37\,896\,900\).
Отг.: \(72\,418 + 53\,905 = 126\,323\); \(b = 126\,323\cdot 300 = 37\,896\,900\).
Задача 19Числото \(c\) е намалено 127 пъти и е получено число, равно на разликата на числата 143 852 и 88 367. Намерете числото \(c\).
Отг.: \(143\,852 - 88\,367 = 55\,485\); \(c = 55\,485\cdot 127 = 7\,046\,595\).
Отг.: \(143\,852 - 88\,367 = 55\,485\); \(c = 55\,485\cdot 127 = 7\,046\,595\).
Задача 20Коя е последната цифра на числото, което се получава при умножаване на естествените числа от 72 до 80?
Отг.: сред множителите е 80, което завършва на 0, затова цялото произведение завършва на 0.
Отг.: сред множителите е 80, което завършва на 0, затова цялото произведение завършва на 0.
Задача 21Приемаме условно, че за всеки 100 kg, отчетени на Земята, уредът на Луната отчита 16 kg. Колко ще покаже уредът на Луната за тяло, за което на Земята са отчетени 7 t 200 kg?
Отг.: \(7\) t \(200\) kg \(= 7200\) kg; \(7200 : 100 = 72\); уредът на Луната ще покаже \(72\cdot 16 = 1152\) kg.
Отг.: \(7\) t \(200\) kg \(= 7200\) kg; \(7200 : 100 = 72\); уредът на Луната ще покаже \(72\cdot 16 = 1152\) kg.
Задача 22Ако \(a = 5128\cdot 10 + 4207\cdot 100\) и \(b = 52\,044\cdot 100 + 2385\cdot 1000\), то намерете \(b - a\).
Отг.: \(a = 51\,280 + 420\,700 = 471\,980\); \(b = 5\,204\,400 + 2\,385\,000 = 7\,589\,400\); \(b - a = 7\,117\,420\).
Отг.: \(a = 51\,280 + 420\,700 = 471\,980\); \(b = 5\,204\,400 + 2\,385\,000 = 7\,589\,400\); \(b - a = 7\,117\,420\).
Задача 23Числата 10, 100, 1000 и т.н., тоест единица, следвана от поне една нула, ще наричаме условно „обикновени“. По колко различни начина може да се представи числото 100 000 като произведение на две такива числа, без да отчитаме реда на множителите?
Отг.: \(100\,000\) има 5 нули; търсим два множителя, чиито нули дават сбор 5: \(10\cdot 10\,000\) (1+4) и \(100\cdot 1000\) (2+3). Значи 2 начина.
Отг.: \(100\,000\) има 5 нули; търсим два множителя, чиито нули дават сбор 5: \(10\cdot 10\,000\) (1+4) и \(100\cdot 1000\) (2+3). Значи 2 начина.
Задача 24Пресметнете \(203\cdot 405\cdot 132\), като групирате удобно множителите.
Отг.: удобно е първо \(405\cdot 132 = 53\,460\), после \(53\,460\cdot 203 = 53\,460\cdot 200 + 53\,460\cdot 3 = 10\,692\,000 + 160\,380 = 10\,852\,380\).
Отг.: удобно е първо \(405\cdot 132 = 53\,460\), после \(53\,460\cdot 203 = 53\,460\cdot 200 + 53\,460\cdot 3 = 10\,692\,000 + 160\,380 = 10\,852\,380\).
Задача 25Превърнете в сантиметри: 24 dm, 8 m, 90 m, 63 m 47 cm, 250 m 8 cm.
Отг.: \(240\) cm; \(800\) cm; \(9000\) cm; \(6347\) cm; \(25\,008\) cm.
Отг.: \(240\) cm; \(800\) cm; \(9000\) cm; \(6347\) cm; \(25\,008\) cm.
Задача 26Пресметнете произведенията: а) \(806\cdot 209\); б) \(3072\cdot 605\); в) \(24\,013\cdot 408\).
Отг.: а) 168 454; б) 1 858 560; в) 9 797 304. (Внимавайте с нулата в средата на втория множител.)
Отг.: а) 168 454; б) 1 858 560; в) 9 797 304. (Внимавайте с нулата в средата на втория множител.)
Задача 27Пресметнете: а) \(15\cdot 328\cdot 40\); б) \(25\cdot 176\cdot 8\).
Отг.: а) \((15\cdot 40)\cdot 328 = 600\cdot 328 = 196\,800\); б) \((25\cdot 8)\cdot 176 = 200\cdot 176 = 35\,200\).
Отг.: а) \((15\cdot 40)\cdot 328 = 600\cdot 328 = 196\,800\); б) \((25\cdot 8)\cdot 176 = 200\cdot 176 = 35\,200\).
Задача 28Пресметнете \((825\cdot 16 - 8\cdot 900) : 100\).
Отг.: \(825\cdot 16 = 13\,200\); \(8\cdot 900 = 7200\); \((13\,200 - 7200) : 100 = 6000 : 100 = 60\).
Отг.: \(825\cdot 16 = 13\,200\); \(8\cdot 900 = 7200\); \((13\,200 - 7200) : 100 = 6000 : 100 = 60\).
Задача 29Сравнете числата \(a = 156\cdot 158 - 157\) и \(b = 155\cdot 159 - 156\).
Отг.: \(a = 24\,648 - 157 = 24\,491\); \(b = 24\,645 - 156 = 24\,489\). Значи \(a \gt b\) (с 2).
Отг.: \(a = 24\,648 - 157 = 24\,491\); \(b = 24\,645 - 156 = 24\,489\). Значи \(a \gt b\) (с 2).
Задача 30Един самосвал превозва по 8 t чакъл на курс и прави по 10 курса дневно. Колко тона чакъл превозват 15 такива самосвала за един ден?
Отг.: един самосвал за ден: \(8\cdot 10 = 80\) t; петнайсет: \(80\cdot 15 = 1200\) t.
Отг.: един самосвал за ден: \(8\cdot 10 = 80\) t; петнайсет: \(80\cdot 15 = 1200\) t.
✅ Онлайн тест
Тест: Умножение и деление с 10, 100, 1000
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1На колко е равно \(3471\cdot 10\)?
2На колко е равно \(6005\cdot 100\)?
3На колко е равно \(84\,600 : 10\)?
4На колко е равно \(704\,000 : 1000\)?
5На колко е равно \(2130\cdot 20\)?
6Колко грама са 17 kg 45 g?
7Колко метра са 12 km 70 m?
8В израза \(200\cdot 15 + 384\,000 : 10\) кое действие се извършва последно?
9Изразът \(47\,218\cdot 34 + 47\,218\cdot 66\) е равен на:
10Произведението \(418\cdot 27\) е равно на:
11Ако числото \(a\) се намали 38 пъти, се получава 4256. Тогава \(a\) е:
12Коя е последната цифра на произведението на естествените числа от 86 до 94?
13Приемаме условно, че за всеки 100 kg, отчетени на Земята, на Луната се отчитат 16 kg. За тяло с отчетени 5 t 800 kg на Земята уредът на Луната ще покаже:
14Сборът \(1 + 2 + 3 + \cdots + 200\) е равен на:
15По колко начина може да се представи 10 000 като произведение на две „обикновени“ числа (с поне една нула, без оглед на реда)?
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
3
Деление с едноцифрено число
Урок за 5. клас — предходната тема от началния преговор: делимо, делител и частно, връзка между умножението и делението, разпределително свойство.
Към урока →
2
Умножение. Свойства на умножението
Урок за 5. клас — разместително, съдружително и разпределително свойство, които стоят в основата на умножението с многоцифрено число.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Числата 10, 100, 1000 крият любопитни закономерности. Материал за делителите и структурата на естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар