Деление с едноцифрено число
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › 5. клас › Начален преговор › Естествени числа › Деление с едноцифрено число
Деление с едноцифрено число
Делимо, делител и частно, връзка между умножението и делението, разпределително свойство на делението, рационално пресмятане, ред на действията и намиране на неизвестно число. 25 разработени задачи (5 с повишена трудност), 30 за самостоятелна работа с отговори и онлайн тест с 15 въпроса
Стигаме до последното от четирите основни действия в началния преговор — делението. То е обратното действие на умножението: щом умножението обединява няколко еднакви групи в едно число, делението разпределя едно число на равни групи. В този урок ще си припомним имената на числата при деление, връзката между умножението и делението (с която проверяваме и намираме неизвестно число), разпределителното свойство и реда на действията. Ще упражним делението с едноцифрено число. След теорията са включени 25 разработени задачи, 30 задачи за самостоятелна работа и тест с 15 въпроса.
➗ Деление. Делимо, делител и частно
При делението числото, което делим, се нарича делимо, числото, на което делим — делител, а резултатът — частно.
\[\underbrace{7239}_{\text{делимо}} \;:\; \underbrace{3}_{\text{делител}} \;=\; \underbrace{2413}_{\text{частно}}\]
Връзка между умножението и делението. Ако \(a\cdot b = c\), където \(a \ne 0\) и \(b \ne 0\), то
\[a = c : b \qquad\text{и}\qquad b = c : a.\]
С тази връзка проверяваме делението и намираме неизвестно число:
• неизвестно делимо \(=\) частно \(\cdot\) делител;
• неизвестен делител \(=\) делимо \(:\) частно.
Проверка на деление: частно \(\cdot\) делител \(=\) делимо. Например \(2413\cdot 3 = 7239\). ✓
• неизвестно делимо \(=\) частно \(\cdot\) делител;
• неизвестен делител \(=\) делимо \(:\) частно.
Проверка на деление: частно \(\cdot\) делител \(=\) делимо. Например \(2413\cdot 3 = 7239\). ✓
Две особени правила:
\[a : 1 = a, \qquad a : a = 1 \ (при\ a \ne 0).\]
На 0 не се дели! Да разделим на 0 значи да търсим число, което умножено по 0 да върне делимото. Но всяко число, умножено по 0, дава 0 — затова такова число няма (освен ако делимото също е 0, но тогава за частно би станало всяко число). Ето защо делението с делител 0 е невъзможно. (Внимание: това е различно от \(0 : 5 = 0\) — там на 0 е делимото и всичко е наред.)
📋 Разпределително свойство. Изменение на частното
Ако \(a\) и \(b\) се делят на \(c\), то
\[(a + b) : c = a : c + b : c.\]
Това е разпределителното свойство на делението относно събирането.
Внимание — тук има капан. Разпределителното свойство работи само когато делителят е общ. Делимото не може да се „разпределя“ спрямо сбор в делителя — по принцип не е вярно, че
\[c : (a + b) = c : a + c : b.\]
Например \(12 : (2 + 4) = 12 : 6 = 2\), а \(12 : 2 + 12 : 4 = 6 + 3 = 9\). Съвсем различни числа.
Изменение на частното.
• Ако делителят се запази, а делимото се увеличи \(n\) пъти, частното се увеличава \(n\) пъти.
• Ако делимото се запази, а делителят се увеличи \(n\) пъти, частното намалява \(n\) пъти — стига и двете деления да излизат точно. Например \(3600 : 2 = 1800\), а \(3600 : 6 = 600\): делителят нарасна 3 пъти, частното намаля 3 пъти.
• Ако делителят се запази, а делимото се увеличи \(n\) пъти, частното се увеличава \(n\) пъти.
• Ако делимото се запази, а делителят се увеличи \(n\) пъти, частното намалява \(n\) пъти — стига и двете деления да излизат точно. Например \(3600 : 2 = 1800\), а \(3600 : 6 = 600\): делителят нарасна 3 пъти, частното намаля 3 пъти.
🗂 Ред на действията
Когато в израза има умножение и деление наред със събиране и изваждане, първо се извършват умноженията и деленията (отляво надясно), а след това събиранията и изважданията (също отляво надясно). Скобите винаги се пресмятат първи.
\[3842\cdot 3 + 98\,428 : 2 = 11\,526 + 49\,214 = 60\,740.\]
Понякога разпределителното свойство улеснява делението наум. Ако и двете събираеми се делят на делителя, дели ги поотделно:
\[(141\,924 + 494\,616) : 4 = 141\,924 : 4 + 494\,616 : 4 = 35\,481 + 123\,654 = 159\,135.\]
✏️ Разработени задачи
Опитайте се да решите всяка задача самостоятелно, преди да отворите решението. Натиснете върху условието, за да видите подробното решение.
1
Намерете всяко от частните: а) \(74\,136 : 6\); б) \(88\,515 : 9\); в) \(162\,340 : 5\); г) \(4\,802\,432 : 8\).
▼
РешениеДелим в стълб, разред по разред, отляво надясно.
а) \(74\,136 : 6 = \mathbf{12\,356}\).
б) \(88\,515 : 9 = \mathbf{9835}\).
в) \(162\,340 : 5 = \mathbf{32\,468}\).
г) \(4\,802\,432 : 8 = \mathbf{600\,304}\).
Проверка на г): \(600\,304\cdot 8 = 4\,802\,432\). ✓
а) \(74\,136 : 6 = \mathbf{12\,356}\).
б) \(88\,515 : 9 = \mathbf{9835}\).
в) \(162\,340 : 5 = \mathbf{32\,468}\).
г) \(4\,802\,432 : 8 = \mathbf{600\,304}\).
Проверка на г): \(600\,304\cdot 8 = 4\,802\,432\). ✓
2
Проверете правилно ли са намерени частните: а) \(1\,785\,303 : 9 = 198\,367\); б) \(1\,427\,948 : 4 = 356\,987\).
▼
РешениеПроверяваме, като умножим частното по делителя — трябва да получим делимото.
а) \(198\,367\cdot 9 = 1\,785\,303\). ✓ Действието е вярно.
б) \(356\,987\cdot 4 = 1\,427\,948\). ✓ Действието е вярно.
а) \(198\,367\cdot 9 = 1\,785\,303\). ✓ Действието е вярно.
б) \(356\,987\cdot 4 = 1\,427\,948\). ✓ Действието е вярно.
3
Пресметнете по рационален начин: а) \(141\,924 : 4 + 494\,616 : 4\); б) \(272\,692 : 7 + 461\,909 : 7\); в) \(5\,684\,375 : 5 + 1\,000\,320 : 5\); г) \(7\,242\,384 : 2 + 897\,356 : 2\).
▼
РешениеДелителят е общ, затова прилагаме разпределителното свойство отдясно наляво: \(a : c + b : c = (a + b) : c\).
а) \((141\,924 + 494\,616) : 4 = 636\,540 : 4 = \mathbf{159\,135}\).
б) \((272\,692 + 461\,909) : 7 = 734\,601 : 7 = \mathbf{104\,943}\).
в) \((5\,684\,375 + 1\,000\,320) : 5 = 6\,684\,695 : 5 = \mathbf{1\,336\,939}\).
г) \((7\,242\,384 + 897\,356) : 2 = 8\,139\,740 : 2 = \mathbf{4\,069\,870}\).
а) \((141\,924 + 494\,616) : 4 = 636\,540 : 4 = \mathbf{159\,135}\).
б) \((272\,692 + 461\,909) : 7 = 734\,601 : 7 = \mathbf{104\,943}\).
в) \((5\,684\,375 + 1\,000\,320) : 5 = 6\,684\,695 : 5 = \mathbf{1\,336\,939}\).
г) \((7\,242\,384 + 897\,356) : 2 = 8\,139\,740 : 2 = \mathbf{4\,069\,870}\).
4
Намерете частното \(a : 2\), ако \(a\) е равно на: 648 426; 9 724 500; 17 802 308. Как се изменя частното, когато делителят се запазва, а делимото се увеличава?
▼
Решение\(648\,426 : 2 = \mathbf{324\,213}\);
\(9\,724\,500 : 2 = \mathbf{4\,862\,250}\);
\(17\,802\,308 : 2 = \mathbf{8\,901\,154}\).
Извод: делителят е един и същ, а делимото расте — расте и частното. Ако делителят се запази, а делимото се увеличи \(n\) пъти, частното също се увеличава \(n\) пъти.
\(9\,724\,500 : 2 = \mathbf{4\,862\,250}\);
\(17\,802\,308 : 2 = \mathbf{8\,901\,154}\).
Извод: делителят е един и същ, а делимото расте — расте и частното. Ако делителят се запази, а делимото се увеличи \(n\) пъти, частното също се увеличава \(n\) пъти.
5
Намерете частното \(17\,853\,840 : b\), ако \(b\) е равно на: 2, 3, 5, 9. Как се изменя частното, когато делимото не се променя, а делителят се увеличава?
▼
Решение\(17\,853\,840 : 2 = \mathbf{8\,926\,920}\);
\(17\,853\,840 : 3 = \mathbf{5\,951\,280}\);
\(17\,853\,840 : 5 = \mathbf{3\,570\,768}\);
\(17\,853\,840 : 9 = \mathbf{1\,983\,760}\).
Извод: делимото е едно и също, а делителят расте — частното намалява. Колкото по-голям е делителят, толкова по-малко е частното.
\(17\,853\,840 : 3 = \mathbf{5\,951\,280}\);
\(17\,853\,840 : 5 = \mathbf{3\,570\,768}\);
\(17\,853\,840 : 9 = \mathbf{1\,983\,760}\).
Извод: делимото е едно и също, а делителят расте — частното намалява. Колкото по-голям е делителят, толкова по-малко е частното.
6
Поставете необходимия знак \(\gt\), \(=\) или \(\lt\): а) \(161\,370 : 6\) и \(28\,695\); б) \(2\,050\,672 : 8\) и \(256\,334\); в) \(384\,561 : 3\) и \(384\,561\); г) \(5\,434\,200 : 4\) и \(5\,434\,200 : 2\); д) \(807\,108 : 2\) и \(807\,108 : 6\).
▼
Решениеа) \(161\,370 : 6 = 26\,895\), значи \(161\,370 : 6 \;\mathbf{\lt}\; 28\,695\).
б) \(2\,050\,672 : 8 = 256\,334\), значи \(2\,050\,672 : 8 \;\mathbf{=}\; 256\,334\).
в) При деление на число, по-голямо от 1, частното е по-малко от делимото, значи \(384\,561 : 3 \;\mathbf{\lt}\; 384\,561\).
г) Едно и също делимо, но по-голям делител дава по-малко частно: \(5\,434\,200 : 4 \;\mathbf{\lt}\; 5\,434\,200 : 2\).
д) Аналогично, \(807\,108 : 2 \;\mathbf{\gt}\; 807\,108 : 6\).
При г) и д) не е нужно да делим — сравняваме само делителите.
б) \(2\,050\,672 : 8 = 256\,334\), значи \(2\,050\,672 : 8 \;\mathbf{=}\; 256\,334\).
в) При деление на число, по-голямо от 1, частното е по-малко от делимото, значи \(384\,561 : 3 \;\mathbf{\lt}\; 384\,561\).
г) Едно и също делимо, но по-голям делител дава по-малко частно: \(5\,434\,200 : 4 \;\mathbf{\lt}\; 5\,434\,200 : 2\).
д) Аналогично, \(807\,108 : 2 \;\mathbf{\gt}\; 807\,108 : 6\).
При г) и д) не е нужно да делим — сравняваме само делителите.
7
Разликата на числата 2 000 000 и 387 305 разделете на 5.
▼
РешениеПърво разликата, после делението:
\(2\,000\,000 - 387\,305 = 1\,612\,695\);
\(1\,612\,695 : 5 = \mathbf{322\,539}\).
\(2\,000\,000 - 387\,305 = 1\,612\,695\);
\(1\,612\,695 : 5 = \mathbf{322\,539}\).
8
Сборът на числата 836 288 и 222 444 разделете на 2.
▼
Решение\(836\,288 + 222\,444 = 1\,058\,732\);
\(1\,058\,732 : 2 = \mathbf{529\,366}\).
\(1\,058\,732 : 2 = \mathbf{529\,366}\).
9
Частното на числата 53 400 и 4 съберете с 1242.
▼
Решение\(53\,400 : 4 = 13\,350\);
\(13\,350 + 1242 = \mathbf{14\,592}\).
\(13\,350 + 1242 = \mathbf{14\,592}\).
10
Частното на числата 74 208 и 6 извадете от числото 12 369.
▼
Решение\(74\,208 : 6 = 12\,368\) (делението е точно, без остатък);
\(12\,369 - 12\,368 = \mathbf{1}\).
Обърнете внимание на реда: от 12 369 вадим частното, а не обратното.
\(12\,369 - 12\,368 = \mathbf{1}\).
Обърнете внимание на реда: от 12 369 вадим частното, а не обратното.
11
Всеки предмет тежи 6 пъти по-малко на Луната, отколкото на Земята. Колко ще тежи: а) човек на Луната, ако теглото му на Земята е 102 kg; б) предмет на Луната, ако на Земята е 2004 kg; в) предмет на Земята, ако на Луната е 845 kg?
▼
Решение„6 пъти по-малко на Луната“ значи теглото на Луната се получава чрез деление на 6, а теглото на Земята — чрез умножение по 6.
а) \(102 : 6 = \mathbf{17}\) kg.
б) \(2004 : 6 = \mathbf{334}\) kg.
в) Тук е обратното — търсим по-голямото тегло: \(845\cdot 6 = \mathbf{5070}\) kg.
а) \(102 : 6 = \mathbf{17}\) kg.
б) \(2004 : 6 = \mathbf{334}\) kg.
в) Тук е обратното — търсим по-голямото тегло: \(845\cdot 6 = \mathbf{5070}\) kg.
12
Никола и Мария имат общо 415 пощенски марки. Марките на Мария са пет пъти повече от тези на Никола и още 7 марки. По колко марки има всеки от тях?
▼
РешениеНека марките на Никола са \(x\). Тогава Мария има \(5x + 7\). Заедно:
\[x + 5x + 7 = 415 \;\Rightarrow\; 6x + 7 = 415 \;\Rightarrow\; 6x = 408 \;\Rightarrow\; x = 408 : 6 = 68.\]Никола има 68 марки, а Мария — \(415 - 68 = \mathbf{347}\) марки.
Проверка: \(5\cdot 68 + 7 = 347\). ✓
\[x + 5x + 7 = 415 \;\Rightarrow\; 6x + 7 = 415 \;\Rightarrow\; 6x = 408 \;\Rightarrow\; x = 408 : 6 = 68.\]Никола има 68 марки, а Мария — \(415 - 68 = \mathbf{347}\) марки.
Проверка: \(5\cdot 68 + 7 = 347\). ✓
13
Нека \(4\cdot a = 480\) и \(b\) е два пъти по-голямо от \(a\). Намерете \(5\cdot a + 3\cdot b\).
▼
РешениеОт \(4\cdot a = 480\) намираме \(a = 480 : 4 = 120\).
Тогава \(b = 2\cdot 120 = 240\).
\(5\cdot a + 3\cdot b = 5\cdot 120 + 3\cdot 240 = 600 + 720 = \mathbf{1320}\).
Тогава \(b = 2\cdot 120 = 240\).
\(5\cdot a + 3\cdot b = 5\cdot 120 + 3\cdot 240 = 600 + 720 = \mathbf{1320}\).
14
Двама работници изработват детайли. По-сръчният от тях прави 86 броя за час, а двамата за 8 часа изработват 1344 броя. По колко детайла на час изработва вторият работник?
▼
РешениеЗа 8 часа първият изработва \(86\cdot 8 = 688\) детайла.
Значи вторият е изработил \(1344 - 688 = 656\) детайла за 8 часа.
На час: \(656 : 8 = \mathbf{82}\) детайла.
Значи вторият е изработил \(1344 - 688 = 656\) детайла за 8 часа.
На час: \(656 : 8 = \mathbf{82}\) детайла.
15
В магазин доставили 1888 бели хляба, четири пъти по-малко типови хляба и осем пъти по-малко диетичен хляб. Колко хляба са доставили общо в магазина?
▼
РешениеБели: 1888.
Типови: \(1888 : 4 = 472\).
Диетични: \(1888 : 8 = 236\).
Общо: \(1888 + 472 + 236 = \mathbf{2596}\) хляба.
Типови: \(1888 : 4 = 472\).
Диетични: \(1888 : 8 = 236\).
Общо: \(1888 + 472 + 236 = \mathbf{2596}\) хляба.
16
Извършете делението и сравнете резултатите: \((2100 : 7) : 3\) и \(2100 : (7\cdot 3)\).
▼
Решение\((2100 : 7) : 3 = 300 : 3 = \mathbf{100}\).
\(2100 : (7\cdot 3) = 2100 : 21 = \mathbf{100}\).
Извод: резултатите съвпадат. Да разделим последователно на 7 и на 3 е същото като да разделим наведнъж на \(7\cdot 3 = 21\). Внимание: правилото е \((a : b) : c = a : (b\cdot c)\) — в скобата отдясно стои умножение на двата делителя, а не деление. Лесно е да се сбърка с \(a : (b : c)\), което дава съвсем друг резултат.
\(2100 : (7\cdot 3) = 2100 : 21 = \mathbf{100}\).
Извод: резултатите съвпадат. Да разделим последователно на 7 и на 3 е същото като да разделим наведнъж на \(7\cdot 3 = 21\). Внимание: правилото е \((a : b) : c = a : (b\cdot c)\) — в скобата отдясно стои умножение на двата делителя, а не деление. Лесно е да се сбърка с \(a : (b : c)\), което дава съвсем друг резултат.
17
Поставете необходимия знак \(\gt\), \(=\) или \(\lt\): а) \(3320 : 8\) и 420; б) \(10\,976 : 7\) и 1568; в) \(17\,094 : 3\) и 5698; г) \(44\,805 : 5\) и 8961.
▼
Решениеа) \(3320 : 8 = 415\), значи \(415 \;\mathbf{\lt}\; 420\).
б) \(10\,976 : 7 = 1568\), значи \(10\,976 : 7 \;\mathbf{=}\; 1568\).
в) \(17\,094 : 3 = 5698\), значи \(17\,094 : 3 \;\mathbf{=}\; 5698\).
г) \(44\,805 : 5 = 8961\), значи \(44\,805 : 5 \;\mathbf{=}\; 8961\).
б) \(10\,976 : 7 = 1568\), значи \(10\,976 : 7 \;\mathbf{=}\; 1568\).
в) \(17\,094 : 3 = 5698\), значи \(17\,094 : 3 \;\mathbf{=}\; 5698\).
г) \(44\,805 : 5 = 8961\), значи \(44\,805 : 5 \;\mathbf{=}\; 8961\).
18
Частното на числата 35 421 и 3 съберете с произведението на числата 284 356 и 5.
▼
Решение\(35\,421 : 3 = 11\,807\);
\(284\,356\cdot 5 = 1\,421\,780\);
\(11\,807 + 1\,421\,780 = \mathbf{1\,433\,587}\).
\(284\,356\cdot 5 = 1\,421\,780\);
\(11\,807 + 1\,421\,780 = \mathbf{1\,433\,587}\).
19
Частното на числата 284 300 и 5 извадете от произведението на числата 108 302 и 7.
▼
Решение\(108\,302\cdot 7 = 758\,114\);
\(284\,300 : 5 = 56\,860\);
\(758\,114 - 56\,860 = \mathbf{701\,254}\).
\(284\,300 : 5 = 56\,860\);
\(758\,114 - 56\,860 = \mathbf{701\,254}\).
20
Разликата на числата 286 384 и 87 344 съберете с частното на числата 865 865 и 7.
▼
Решение\(286\,384 - 87\,344 = 199\,040\);
\(865\,865 : 7 = 123\,695\);
\(199\,040 + 123\,695 = \mathbf{322\,735}\).
\(865\,865 : 7 = 123\,695\);
\(199\,040 + 123\,695 = \mathbf{322\,735}\).
21
Намерете неизвестното число: а) \((58\,603 - 58\,594)\cdot x = 384\,525\); б) \(y : 8 = 45\,302 + 101\,008\).⭐ повишена трудност
▼
Решениеа) Първо опростяваме скобата: \(58\,603 - 58\,594 = 9\). Значи \(9\cdot x = 384\,525\), откъдето \(x\) е неизвестен множител:
\(x = 384\,525 : 9 = \mathbf{42\,725}\).
б) Дясната страна: \(45\,302 + 101\,008 = 146\,310\). Значи \(y : 8 = 146\,310\), откъдето \(y\) е неизвестно делимо:
\(y = 146\,310\cdot 8 = \mathbf{1\,170\,480}\).
\(x = 384\,525 : 9 = \mathbf{42\,725}\).
б) Дясната страна: \(45\,302 + 101\,008 = 146\,310\). Значи \(y : 8 = 146\,310\), откъдето \(y\) е неизвестно делимо:
\(y = 146\,310\cdot 8 = \mathbf{1\,170\,480}\).
22
Да се намери неизвестният делител \(x\), а след това и неизвестният множител \(y\), ако \(1043 : x = 7\) и \(x - 14 = 3\cdot y\).⭐ повишена трудност
▼
РешениеОт \(1043 : x = 7\) намираме неизвестния делител:
\(x = 1043 : 7 = 149\).
Заместваме във второто равенство: \(149 - 14 = 3\cdot y\), тоест \(135 = 3\cdot y\), откъдето
\(y = 135 : 3 = \mathbf{45}\).
И така, \(x = \mathbf{149}\), \(y = \mathbf{45}\).
\(x = 1043 : 7 = 149\).
Заместваме във второто равенство: \(149 - 14 = 3\cdot y\), тоест \(135 = 3\cdot y\), откъдето
\(y = 135 : 3 = \mathbf{45}\).
И така, \(x = \mathbf{149}\), \(y = \mathbf{45}\).
23
При получаване на стафиди гроздето намалява теглото си 4 пъти. Колко килограма стафиди ще се получат от: а) 988 kg грозде; б) 2092 kg грозде?⭐ повишена трудност
▼
Решение„Намалява теглото си 4 пъти“ значи теглото на стафидите се получава чрез деление на 4.
а) \(988 : 4 = \mathbf{247}\) kg.
б) \(2092 : 4 = \mathbf{523}\) kg.
а) \(988 : 4 = \mathbf{247}\) kg.
б) \(2092 : 4 = \mathbf{523}\) kg.
24
Трима ученици играят на компютърна игра. Първият за дадено време унищожил няколко ракети. Вторият за същото време унищожил с 3 ракети повече, а третият — 2 пъти повече от първия. Всички заедно унищожили 23 ракети. По колко ракети е унищожил всеки от тях?⭐ повишена трудност
▼
РешениеНека първият е унищожил \(x\) ракети. Тогава вторият е унищожил \(x + 3\), а третият — \(2x\).
\[x + (x + 3) + 2x = 23 \;\Rightarrow\; 4x + 3 = 23 \;\Rightarrow\; 4x = 20 \;\Rightarrow\; x = 20 : 4 = 5.\]Първият: 5 ракети; вторият: \(5 + 3 = \mathbf{8}\); третият: \(2\cdot 5 = \mathbf{10}\).
Проверка: \(5 + 8 + 10 = 23\). ✓
\[x + (x + 3) + 2x = 23 \;\Rightarrow\; 4x + 3 = 23 \;\Rightarrow\; 4x = 20 \;\Rightarrow\; x = 20 : 4 = 5.\]Първият: 5 ракети; вторият: \(5 + 3 = \mathbf{8}\); третият: \(2\cdot 5 = \mathbf{10}\).
Проверка: \(5 + 8 + 10 = 23\). ✓
25
Съберете най-голямото трицифрено число, което се дели на 4, с числото 5. Установете, че полученият сбор се дели на 7.⭐ повишена трудност
▼
РешениеТърсим най-голямото трицифрено число, което се дели на 4. Числата 999, 998 и 997 не се делят на 4 без остатък, а \(996 : 4 = 249\) — точно. Значи търсеното число е 996.
По-бързо: \(1000\) се дели на 4, затова предходното кратно на 4 е \(1000 - 4 = 996\).
Сборът е \(996 + 5 = 1001\).
Проверяваме дали се дели на 7: \(1001 : 7 = 143\) — точно, без остатък. Следователно сборът наистина се дели на 7. ✓
По-бързо: \(1000\) се дели на 4, затова предходното кратно на 4 е \(1000 - 4 = 996\).
Сборът е \(996 + 5 = 1001\).
Проверяваме дали се дели на 7: \(1001 : 7 = 143\) — точно, без остатък. Следователно сборът наистина се дели на 7. ✓
📝 Задачи за самостоятелна работа
Решете задачите самостоятелно. Отговорите са дадени след всяка задача, за да проверите работата си.
Задача 1Намерете всяко от частните: а) \(85\,296 : 6\); б) \(74\,232 : 8\); в) \(354\,200 : 5\); г) \(2\,947\,352 : 4\).
Отг.: а) 14 216; б) 9279; в) 70 840; г) 736 838.
Отг.: а) 14 216; б) 9279; в) 70 840; г) 736 838.
Задача 2Проверете правилно ли са намерени частните: а) \(2\,416\,188 : 4 = 604\,047\); б) \(5\,031\,936 : 6 = 838\,656\).
Отг.: а) вярно (\(604\,047\cdot 4 = 2\,416\,188\)); б) вярно (\(838\,656\cdot 6 = 5\,031\,936\)).
Отг.: а) вярно (\(604\,047\cdot 4 = 2\,416\,188\)); б) вярно (\(838\,656\cdot 6 = 5\,031\,936\)).
Задача 3Пресметнете по рационален начин: а) \(128\,736 : 8 + 475\,264 : 8\); б) \(391\,545 : 5 + 208\,455 : 5\); в) \(6\,300\,000 : 7 + 1\,000\,342 : 7\).
Отг.: а) \((128\,736 + 475\,264) : 8 = 604\,000 : 8 = 75\,500\); б) \(600\,000 : 5 = 120\,000\); в) \(7\,300\,342 : 7 = 1\,042\,906\).
Отг.: а) \((128\,736 + 475\,264) : 8 = 604\,000 : 8 = 75\,500\); б) \(600\,000 : 5 = 120\,000\); в) \(7\,300\,342 : 7 = 1\,042\,906\).
Задача 4Намерете частното \(925\,488 : b\), ако \(b\) е равно на: 2, 3, 6, 8. Как се изменя частното, когато делимото не се променя, а делителят се увеличава?
Отг.: 462 744; 308 496; 154 248; 115 686. Колкото по-голям е делителят, толкова по-малко е частното.
Отг.: 462 744; 308 496; 154 248; 115 686. Колкото по-голям е делителят, толкова по-малко е частното.
Задача 5Намерете всяко от частните: а) \(163\,470 : 6\); б) \(2\,050\,416 : 8\); в) \(725\,124 : 3\).
Отг.: а) 27 245; б) 256 302; в) 241 708.
Отг.: а) 27 245; б) 256 302; в) 241 708.
Задача 6Поставете необходимия знак \(\gt\), \(=\) или \(\lt\): а) \(163\,470 : 6\) и 27 245; б) \(384\,561 : 3\) и 384 561; в) \(602\,700 : 4\) и \(602\,700 : 5\).
Отг.: а) \(=\); б) \(\lt\) (деление на число, по-голямо от 1); в) \(\gt\) (по-малък делител — по-голямо частно).
Отг.: а) \(=\); б) \(\lt\) (деление на число, по-голямо от 1); в) \(\gt\) (по-малък делител — по-голямо частно).
Задача 7Разликата на числата 3 000 000 и 546 195 разделете на 5.
Отг.: \(3\,000\,000 - 546\,195 = 2\,453\,805\); \(2\,453\,805 : 5 = 490\,761\).
Отг.: \(3\,000\,000 - 546\,195 = 2\,453\,805\); \(2\,453\,805 : 5 = 490\,761\).
Задача 8Сборът на числата 748 356 и 215 644 разделете на 2.
Отг.: \(748\,356 + 215\,644 = 964\,000\); \(964\,000 : 2 = 482\,000\).
Отг.: \(748\,356 + 215\,644 = 964\,000\); \(964\,000 : 2 = 482\,000\).
Задача 9Частното на числата 64 800 и 5 съберете с 3184.
Отг.: \(64\,800 : 5 = 12\,960\); \(12\,960 + 3184 = 16\,144\).
Отг.: \(64\,800 : 5 = 12\,960\); \(12\,960 + 3184 = 16\,144\).
Задача 10Частното на числата 58 920 и 8 извадете от числото 25 369.
Отг.: \(58\,920 : 8 = 7365\); \(25\,369 - 7365 = 18\,004\).
Отг.: \(58\,920 : 8 = 7365\); \(25\,369 - 7365 = 18\,004\).
Задача 11Всеки предмет тежи 6 пъти по-малко на Луната, отколкото на Земята. Колко ще тежи: а) предмет на Луната, ако на Земята е 306 kg; б) предмет на Луната, ако на Земята е 6018 kg; в) предмет на Земята, ако на Луната е 918 kg?
Отг.: а) \(306 : 6 = 51\) kg; б) \(6018 : 6 = 1003\) kg; в) \(918\cdot 6 = 5508\) kg.
Отг.: а) \(306 : 6 = 51\) kg; б) \(6018 : 6 = 1003\) kg; в) \(918\cdot 6 = 5508\) kg.
Задача 12Ния и Мира имат общо 738 книги. Книгите на Мира са пет пъти повече от тези на Ния и още 6 книги. По колко книги има всяка от тях?
Отг.: ако Ния има \(x\), то \(x + 5x + 6 = 738\), тоест \(6x = 732\) и \(x = 122\). Ния: 122; Мира: \(738 - 122 = 616\).
Отг.: ако Ния има \(x\), то \(x + 5x + 6 = 738\), тоест \(6x = 732\) и \(x = 122\). Ния: 122; Мира: \(738 - 122 = 616\).
Задача 13Нека \(6\cdot a = 642\) и \(b\) е два пъти по-голямо от \(a\). Намерете \(4\cdot a + 2\cdot b\).
Отг.: \(a = 642 : 6 = 107\); \(b = 214\); \(4\cdot 107 + 2\cdot 214 = 428 + 428 = 856\).
Отг.: \(a = 642 : 6 = 107\); \(b = 214\); \(4\cdot 107 + 2\cdot 214 = 428 + 428 = 856\).
Задача 14Двама работници плетат кошници. По-сръчният прави 94 броя за час, а двамата за 8 часа изработват 1488 броя. По колко кошници на час изработва вторият работник?
Отг.: първият за 8 часа: \(94\cdot 8 = 752\); вторият за 8 часа: \(1488 - 752 = 736\); на час: \(736 : 8 = 92\).
Отг.: първият за 8 часа: \(94\cdot 8 = 752\); вторият за 8 часа: \(1488 - 752 = 736\); на час: \(736 : 8 = 92\).
Задача 15В склад доставили 2496 kg картофи, четири пъти по-малко моркови и осем пъти по-малко лук. Колко килограма зеленчуци са доставили общо?
Отг.: картофи 2496; моркови \(2496 : 4 = 624\); лук \(2496 : 8 = 312\); общо \(2496 + 624 + 312 = 3432\) kg.
Отг.: картофи 2496; моркови \(2496 : 4 = 624\); лук \(2496 : 8 = 312\); общо \(2496 + 624 + 312 = 3432\) kg.
Задача 16Извършете делението и сравнете резултатите: \((3600 : 6) : 5\) и \(3600 : (6\cdot 5)\).
Отг.: \((3600 : 6) : 5 = 600 : 5 = 120\); \(3600 : 30 = 120\). Резултатите съвпадат — последователното деление на 6 и на 5 е като деление на \(6\cdot 5 = 30\).
Отг.: \((3600 : 6) : 5 = 600 : 5 = 120\); \(3600 : 30 = 120\). Резултатите съвпадат — последователното деление на 6 и на 5 е като деление на \(6\cdot 5 = 30\).
Задача 17Поставете необходимия знак \(\gt\), \(=\) или \(\lt\): а) \(2968 : 7\) и 424; б) \(15\,045 : 5\) и 3009; в) \(3612 : 3\) и 1204; г) \(54\,810 : 6\) и 9135.
Отг.: а) \(=\); б) \(=\); в) \(=\); г) \(=\). (И четирите деления дават точно посочените числа.)
Отг.: а) \(=\); б) \(=\); в) \(=\); г) \(=\). (И четирите деления дават точно посочените числа.)
Задача 18Частното на числата 48 372 и 4 съберете с произведението на числата 305 128 и 3.
Отг.: \(48\,372 : 4 = 12\,093\); \(305\,128\cdot 3 = 915\,384\); \(12\,093 + 915\,384 = 927\,477\).
Отг.: \(48\,372 : 4 = 12\,093\); \(305\,128\cdot 3 = 915\,384\); \(12\,093 + 915\,384 = 927\,477\).
Задача 19Частното на числата 348 300 и 5 извадете от произведението на числата 204 513 и 4.
Отг.: \(204\,513\cdot 4 = 818\,052\); \(348\,300 : 5 = 69\,660\); \(818\,052 - 69\,660 = 748\,392\).
Отг.: \(204\,513\cdot 4 = 818\,052\); \(348\,300 : 5 = 69\,660\); \(818\,052 - 69\,660 = 748\,392\).
Задача 20Разликата на числата 372 480 и 158 640 съберете с частното на числата 954 324 и 6.
Отг.: \(372\,480 - 158\,640 = 213\,840\); \(954\,324 : 6 = 159\,054\); \(213\,840 + 159\,054 = 372\,894\).
Отг.: \(372\,480 - 158\,640 = 213\,840\); \(954\,324 : 6 = 159\,054\); \(213\,840 + 159\,054 = 372\,894\).
Задача 21Частното на числата 84 920 и 8 съберете с частното на числата 305 118 и 6.
Отг.: \(84\,920 : 8 = 10\,615\); \(305\,118 : 6 = 50\,853\); \(10\,615 + 50\,853 = 61\,468\).
Отг.: \(84\,920 : 8 = 10\,615\); \(305\,118 : 6 = 50\,853\); \(10\,615 + 50\,853 = 61\,468\).
Задача 22Колко пъти 15 288 е по-голямо от 8?
Отг.: \(15\,288 : 8 = 1911\) пъти.
Отг.: \(15\,288 : 8 = 1911\) пъти.
Задача 23Числото 738 492 разделете на разликата на числата 41 235 и 41 229.
Отг.: \(41\,235 - 41\,229 = 6\); \(738\,492 : 6 = 123\,082\).
Отг.: \(41\,235 - 41\,229 = 6\); \(738\,492 : 6 = 123\,082\).
Задача 24Намерете неизвестното число: а) \((72\,408 - 72\,401)\cdot x = 562\,744\); б) \(y : 6 = 5138 + 2434\); в) \(z\cdot 9 = 837\,468 - 93\,123\).
Отг.: а) \(7\cdot x = 562\,744\), \(x = 80\,392\); б) \(y = 7572\cdot 6 = 45\,432\); в) \(9z = 744\,345\), \(z = 82\,705\).
Отг.: а) \(7\cdot x = 562\,744\), \(x = 80\,392\); б) \(y = 7572\cdot 6 = 45\,432\); в) \(9z = 744\,345\), \(z = 82\,705\).
Задача 25Намерете \(x\): а) \((8100 - 3300) - 3\cdot x = 1500\); б) \(2\cdot x - (155 + 48) = 29\).
Отг.: а) \(4800 - 3x = 1500\), значи \(3x = 3300\) и \(x = 1100\); б) \(2x - 203 = 29\), значи \(2x = 232\) и \(x = 116\).
Отг.: а) \(4800 - 3x = 1500\), значи \(3x = 3300\) и \(x = 1100\); б) \(2x - 203 = 29\), значи \(2x = 232\) и \(x = 116\).
Задача 26а) При получаване на стафиди гроздето намалява теглото си 4 пъти. Колко стафиди ще се получат от 1096 kg грозде? б) При изпаряване на морска вода се получава сол с маса 8 пъти по-малка от масата на водата. Колко сол ще се получи от 2456 kg морска вода?
Отг.: а) \(1096 : 4 = 274\) kg; б) \(2456 : 8 = 307\) kg.
Отг.: а) \(1096 : 4 = 274\) kg; б) \(2456 : 8 = 307\) kg.
Задача 27Трима приятели берат ягоди. Първият набрал няколко кошнички. Вторият набрал с 4 кошнички повече, а третият — 2 пъти повече от първия. Заедно набрали 28 кошнички. По колко кошнички е набрал всеки?
Отг.: ако първият е \(x\), то \(x + (x + 4) + 2x = 28\), тоест \(4x = 24\) и \(x = 6\). Първи: 6; втори: 10; трети: 12.
Отг.: ако първият е \(x\), то \(x + (x + 4) + 2x = 28\), тоест \(4x = 24\) и \(x = 6\). Първи: 6; втори: 10; трети: 12.
Задача 28Нека \(a = 9352 : 8\), \(b = 9540 : 9\) и \(c = 15\,792 : 6\). Намерете \(2\cdot a + 2\cdot b + c\).
Отг.: \(a = 1169\), \(b = 1060\), \(c = 2632\); \(2\cdot 1169 + 2\cdot 1060 + 2632 = 2338 + 2120 + 2632 = 7090\).
Отг.: \(a = 1169\), \(b = 1060\), \(c = 2632\); \(2\cdot 1169 + 2\cdot 1060 + 2632 = 2338 + 2120 + 2632 = 7090\).
Задача 29Съберете най-голямото трицифрено число, което се дели на 6, с числото 9. Установете, че полученият сбор се дели на 5.
Отг.: най-голямото трицифрено, кратно на 6, е 996; \(996 + 9 = 1005\); \(1005 : 5 = 201\) — точно, значи сборът се дели на 5.
Отг.: най-голямото трицифрено, кратно на 6, е 996; \(996 + 9 = 1005\); \(1005 : 5 = 201\) — точно, значи сборът се дели на 5.
Задача 30Възможно ли е за номериране на страниците на книга да са използвани точно 25 цифри? Отговорът да се обоснове.
Отг.: страници 1–9 използват 9 цифри; за останалите остават \(25 - 9 = 16\) цифри, а двуцифрените страници ползват по 2 цифри: \(16 : 2 = 8\) страници. Значи книгата има \(9 + 8 = 17\) страници. Да, възможно е.
Отг.: страници 1–9 използват 9 цифри; за останалите остават \(25 - 9 = 16\) цифри, а двуцифрените страници ползват по 2 цифри: \(16 : 2 = 8\) страници. Значи книгата има \(9 + 8 = 17\) страници. Да, възможно е.
✅ Онлайн тест
Тест: Деление с едноцифрено число
15 въпроса × 4 точки = 60 точки. Изберете един отговор на всеки въпрос и натиснете „Провери отговорите“.
1В записа \(7239 : 3 = 2413\) числото 3 се нарича:
2Ако \(a\cdot b = c\) и \(b \ne 0\), кое от равенствата е вярно?
3Как проверяваме дали делението \(1\,785\,303 : 9 = 198\,367\) е вярно?
4На колко е равно \(a : 1\)?
5Кое твърдение е вярно?
6Частното \(74\,136 : 6\) е равно на:
7Изразът \((141\,924 + 494\,616) : 4\) е равен на:
8На колко е равно \(12 : (2 + 4)\)?
9Ако делимото се запази, делителят се увеличи 3 пъти и новото деление пак излиза точно, частното:
10Кое действие в израза \(3842\cdot 3 + 98\,428 : 2\) се извършва последно?
11Ако \(y : 8 = 146\,310\), то \(y\) е равно на:
12Ако \(1043 : x = 7\), то делителят \(x\) е равен на:
13Предмет тежи 6 пъти по-малко на Луната. Ако на Земята тежи 2004 kg, на Луната тежи:
14Никола и Мария имат общо 415 марки. Мария има пет пъти повече от Никола и още 7 марки. Никола има:
15Изразът \((2100 : 7) : 3\) е равен на:
0 / 60 точки
верни отговори: 0 от 15
🎥️ Видео уроци
🔗 Свързани уроци
2
Умножение. Свойства на умножението
Урок за 5. клас — предходната тема от началния преговор. Делението е обратното действие на умножението, затова свойствата им вървят ръка за ръка.
Към урока →
1
Събиране и изваждане на естествени числа
Урок за 5. клас — първите две действия от началния преговор: свойства на събирането, връзка между събирането и изваждането, намиране на неизвестно число.
Към урока →
✦
Магията на делителите
Когато едно число се дели на друго без остатък, второто число е негов делител. Любопитен материал за делителите и скритите закономерности в естествените числа.
Към материала →
📚 Използвана литература
- Пенка Рангелова. Сборник по математика за 5. клас. Коала Прес, 2025.
- Донка Гълъбова и др. Тест Математика за 5. клас. Веди, 2025.
- Йорданка Стефанова. Бързи домашни по математика за 5. клас. Коала Прес, 2026.
- Здравка Паскалева и др. Книга за ученика 5. клас. Архимед, 2017.
- Г. Кожухарова и др. Сборник по математика за 5. клас. Клет, 2019.
- Пенка Нинкова. Сборник по математика за 5. клас. Просвета, 2016.
- Списание Математика.
Запишете се за урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ — Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет — София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар