Шарл Ермит — от петата степен до трансцендентността на e
Шарл Ермит —
от петата степен до трансцендентността на e
Шарл Ермит показва, че общото уравнение от пета степен може да бъде решено с помощта на елиптични функции, а през 1873 г. пръв доказва трансцендентността на числото e. На негово име са наречени ермитовите форми и матрици, полиномите и интерполацията на Ермит. В училище и на конкурсните изпити не се отличава с висок успех, но още като ученик публикува първите си математически работи и започва кореспонденция с Якоби. По-късно оказва силно влияние върху следващото поколение математици чрез лекциите си и обширната си научна кореспонденция.
Шарл Ермит (1822–1901)
През 1842 г. Ермит е приет в Политехническото училище едва като шейсет и осми в класирането. От това класиране трудно може да се съди с какво вече се занимава извън официалната учебна програма: чете трудовете на Лагранж и Гаус и публикува първите си математически работи. Формалните изпити не са силната му страна, но самостоятелната му работа рано привлича вниманието на по-опитни математици.
Момчето от Лотарингия
Шарл Ермит се ражда на 24 декември 1822 г. в Дийоз, Лотарингия. Баща му Фердинанд е инженер по образование и работи в солна мина, но след женитбата си се захваща с търговия на платове — занаят на семейството на съпругата му Мадлен — а свободното си време посвещава на изкуството. Шарл е шестото от седемте деца. Ражда се с увреждане на десния крак, което затруднява походката му; през целия си живот се движи с бастун.
Първите знания момчето получава от родителите си, а след като семейството се мести в Нанси, е записано в местния лицей. По-късно родителите му намират тамошното обучение за незадоволително и, тъй като доходите им позволяват, го изпращат да учи в Париж. На осемнадесет години Ермит е ученик в най-реномирания парижки лицей „Луи Велики“. Там математика му преподава Луи Ришар, който по-рано е бил учител и на Еварист Галоа. Подобно на Галоа, Ермит предпочита самостоятелно да чете трудовете на големите математици, вместо системно да се подготвя за формалните изпити.
Гаус и Лагранж вместо учебника
Сред училищните предмети най-силно го привлича физиката. Интересува се и от древни езици и литература, но най-сериозно се занимава с математика. Макар да не полага особени усилия в часовете, в библиотеката „Сент Женевиев“ чете труда на Лагранж за решаването на уравнения. Със спестяванията си купува френския превод на „Аритметични изследвания“ на Гаус и го изучава задълбочено. По-късно казва, че именно от книгите на Лагранж и Гаус е научил алгебрата.
През 1842 г. в първия том на „Nouvelles Annales de Mathématiques“ излизат две негови работи. Едната е посветена на коничните сечения, а във втората Ермит разглежда невъзможността общото уравнение от пета степен да бъде решено чрез радикали. По всичко личи, че тогава той не познава подробно по-ранните работи на Руфини и Абел по този въпрос.
Учителят Ришар и една година в Политехническото училище
Учителят му Луи Ришар се опитва да насочи вниманието му към подготовката за приемния изпит в Политехническото училище. Ермит прекарва около година в подготовка, като известно време работи и с Йожен Шарл Каталан. През 1842 г. издържа конкурса и е приет като шейсет и осми в класирането.
Политехническото училище е едно от най-престижните научни и инженерни училища във Франция, а конкурсното класиране има голямо значение за бъдещата кариера на студентите.
Писмата до Якоби
По това време Ермит се сближава с Жозеф Лиувил и по негов съвет започва да пише на Карл Густав Якоби. В писмата си младият математик обсъжда абелови функции, тета-функции и теория на числата. От запазената кореспонденция се вижда, че още около 1843 г. той изследва диференциални уравнения, на които тета-функциите са решения, и използва редове на Фурие при изучаването им. Кореспонденцията с Якоби продължава години.
Ермит често тръгва от дискретна задача, прилага към нея методи на анализа и накрая получава нов резултат в теорията на числата. Този подход се вижда в изследванията му върху квадратичните форми и тета-функциите.
Изпитите, Академията и катедрите
След напускането на Политехническото училище Ермит продължава подготовката си самостоятелно. През 1847 г. полага изпитите за baccalauréat и licence — съответните френски образователни квалификации. Година по-късно се връща в Политехническото училище като помощник-преподавател, или répétiteur, и като член на приемната изпитна комисия. През същата 1848 г. се жени за Луиз Бертран, сестра на математика Жозеф Бертран.
На 14 юли 1856 г. Ермит е избран за член на Френската академия на науките. Същата година заболява тежко от едра шарка. По време на възстановяването си се сближава с Огюстен Коши, който оказва трайно влияние върху религиозните му възгледи.
Петата степен и елиптичните функции
В продължение на векове математиците търсят общи формули за корените на алгебричните уравнения. За уравненията от втора, трета и четвърта степен такива формули са известни. Те използват краен брой събирания, изваждания, умножения, деления и извличания на корени. Руфини и Абел показват, че за общото уравнение от пета степен няма формула чрез радикали. По-късно Галоа изгражда обща теория, която дава критерий кога едно алгебрично уравнение е решимо чрез радикали.
Невъзможността за решение чрез радикали не означава, че корените на общото уравнение от пета степен не могат да бъдат изразени чрез по-широк клас функции. С подходящи преобразувания общото уравнение от пета степен се свежда до т.нар. форма на Бринг–Джерард
\[x^5 + px + q = 0.\]През 1858 г. Ермит показва как редуцираната квинтика може да бъде решена с помощта на елиптични модулни функции. Така задача, която не допуска обща формула чрез радикали, може да бъде решена чрез специални функции от анализа.
Числото e и трансцендентността
През 1873 г. Ермит постига най-известния си резултат: доказва, че числото \(e\), основата на естествените логаритми, е трансцендентно.
Как Ермит доказва трансцендентността на e
Доказателството на Ермит не се основава на десетичния запис на \(e\). Той конструира специално подбрани полиноми, които дават едновременно много добри приближения на експоненциални функции. Полиномите са избрани така, че определени комбинации да имат нули от висок ред при нулата. Ако \(e\) беше алгебрично число, от тези приближения биха следвали аритметични зависимости, които противоречат на получените аналитични оценки.
От съвременна гледна точка този подход е свързан с теорията на едновременните рационални, или Ермит–Паде, приближения на експоненциалната функция.
Самият Ермит не се опитва да докаже трансцендентността на \(\pi\). В кореспонденцията си пише, че не желае да се впуска в това доказателство и предполага, че задачата ще изисква значителни усилия.
Девет години по-късно, през 1882 г., германският математик Фердинанд фон Линдеман използва методите на Ермит и доказва, че и \(\pi\) е трансцендентно. От трансцендентността на \(\pi\) следва, че класическата квадратура на кръга — построяването само с линийка и пергел на квадрат с лице, равно на лицето на даден кръг — е невъзможна. Построимите с линийка и пергел числа образуват специален клас алгебрични числа, докато \(\pi\) е трансцендентно. Следователно такава конструкция не съществува.
Разликата между алгебрично и трансцендентно число не съвпада с разликата между рационално и ирационално. Например \(\sqrt{2}\) е ирационално, но алгебрично, защото е корен на \(x^2-2=0\). Числата \(e\) и \(\pi\) не са корени на нито един ненулев полином с цели коефициенти и затова са трансцендентни. Ермит доказва това за \(e\) през 1873 г., а Линдеман — за \(\pi\) през 1882 г.
Името „Ермит“ в съвременната математика
Ермит оставя повече от 200 научни работи по анализ, алгебра и теория на числата. Името му носят редица математически обекти, използвани както в чистата математика, така и в математическата физика.
• Полиноми на Ермит — система от полиноми, ортогонални спрямо гаусово тегло, които Ермит изследва в работа от 1864 г. и които днес носят неговото име.
• Интерполация на Ермит и нормална форма на Ермит — класически инструменти в анализа и алгебрата.
През XIX век Ермит изследва комплексни форми, които в съвременния матричен език са свързани с матрици, удовлетворяващи условието \(A = A^*\). Такива матрици имат реални собствени стойности. В безкрайномерния анализ съответната роля се изпълнява от самоспрегнатите оператори в Хилбертови пространства. В математическата формулировка на квантовата механика именно самоспрегнатите оператори представят наблюдаемите физични величини. Ермитовите матрици са техният крайномерен аналог. Реалността на спектъра съответства на изискването резултатите от измерванията да бъдат реални числа.
През XX век Хилберт, фон Нойман и други използват теорията на Хилбертовите пространства и самоспрегнатите оператори при изграждането на строгата математическа формулировка на квантовата механика.
След подходяща нормировка произведенията на полиномите на Ермит с гаусовия множител дават ермитовите функции. Те са собствени функции на квантовия хармоничен осцилатор и образуват пълна ортонормална система в \(L^2(\mathbb{R})\).
Теорията на инвариантите
Ермит има голям авторитет сред съвременниците си. Силвестър нарежда себе си, Артър Кейли и Ермит сред водещите фигури в теорията на инвариантите.
Поанкаре по-късно отбелязва колко трудно е да се проследи пътят, по който Ермит достига до идеите си. Според него методите сякаш се раждат в ума на учителя му „по някакъв тайнствен начин“. В работите на Ермит действително често се вижда подобен подход: от конкретни формули и аналогии той стига до по-общи резултати.
Учителят и кореспонденцията
Поанкаре е най-известният ученик на Ермит. Влиянието на Ермит върху следващото поколение обаче е много по-широко. Сред математиците, които слушат лекциите му или работят непосредствено под негово влияние, са Емил Пикар — който по-късно става и негов зет, — Пол Апел, Жак Адамар и Гьоста Митаг-Лефлер. Адамар по-късно си спомня най-вече ентусиазма, с който Ермит говори за математиката и предава на студентите усещането за нейната красота.
Писмата на Ермит към по-млади математици често са окуражителни и показват, че той активно подкрепя работата им. Кореспонденцията му е важна част от влиянието, което оказва върху европейската математика през втората половина на XIX век.
Ермит е дълбоко религиозен католик. Биографите свързват засилването на религиозните му убеждения със сближаването му с Коши. Той възприема математическите истини като част от свят, който съществува независимо от човешкия ум и до който достигаме чрез разума. Поанкаре описва Ермит като убеден математически реалист, чиито възгледи са близки до платонизма.
Животът на Ермит в дати
- Ражда се в Дийоз, Лотарингия, като шестото от седем деца в семейството; има вродено увреждане на десния крак.
- Учи в парижкия лицей „Луи Велики“ при Луи Ришар и самостоятелно чете трудовете на Гаус и Лагранж.
- Излизат първите му две работи; приет е в Политехническото училище като шейсет и осми в класирането.
- Напуска Политехническото училище, без да получи диплома; започва кореспонденция с Якоби.
- Полага изпитите за baccalauréat и licence; става помощник-преподавател (répétiteur) и член на приемната изпитна комисия в Политехническото училище; жени се за Луиз Бертран.
- Поставя въпроса за периодично представяне на кубичните ирационални числа — т.нар. проблем на Ермит.
- Избран е за член на Френската академия на науките; същата година боледува тежко от едра шарка.
- Показва как редуцираната квинтика може да бъде решена чрез елиптични модулни функции.
- За него е създадена преподавателска длъжност в École Normale Supérieure.
- Публикува работа върху полиномите, известни днес като полиноми на Ермит.
- Става професор по анализ в Политехническото училище и заема катедрата по висша алгебра във Факултета по науки на Парижкия университет.
- Доказва, че числото e е трансцендентно.
- Напуска катедрата в Политехническото училище.
- Линдеман, използвайки методите на Ермит, доказва трансцендентността на π; от резултата следва невъзможността за квадратура на кръга.
- Пенсионира се от Парижкия университет.
- Умира в Париж на 78 години.
Защо да помним Ермит
Приносите на Ермит свързват алгебрата, анализа и теорията на числата. Работата му върху квинтиката показва, че макар обща формула чрез радикали да не съществува, корените могат да бъдат изразени с помощта на елиптични модулни функции. Методът на Ермит оказва пряко влияние върху доказателството на Линдеман за трансцендентността на \(\pi\). Изследваните от Ермит комплексни форми са сред историческите предшественици на днешните ермитови структури, а полиномите, носещи името му, продължават да се използват в анализа и математическата физика.
Влиянието на Ермит се вижда и в следващото поколение френски математици. Той поддържа обширна научна кореспонденция, помага на по-млади колеги и преподава на Поанкаре и други бъдещи водещи математици. А въпросът, който поставя през 1848 г. за периодичното представяне на кубичните ирационални числа, продължава да поражда изследвания и днес.
Източници
- Андреева, Ю. Шарл Ермит. Списание „Математика“, София.
- O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Charles Hermite. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Bell, E. T. Men of Mathematics. Simon & Schuster, 1937. (Глава за Ермит — „An Invariant Twain“.)
- Picard, É. L'œuvre scientifique de Charles Hermite. Annales scientifiques de l'École normale supérieure, 1901.
- Hermite, C. Sur la fonction exponentielle. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, 77 (1873). (Оригиналната работа за трансцендентността на e.)
- Baillaud, B. & Bourget, H. (eds.) Correspondance d'Hermite et de Stieltjes. Gauthier-Villars, Париж, 1905. (Източник на цитата за непрекъснатите функции без производни — писмо от 20 май 1893 г.)
- Karpenkov, O. Geometry of Continued Fractions. Springer, 2013; както и работите му върху проблема на Ермит и многомерните непрекъснати дроби. (Съвременно състояние на проблема на Ермит.)
- Baker, A. Transcendental Number Theory. Cambridge University Press, 1975. (Методът на Ермит и приближенията на Ермит–Паде.)
- Poincaré, H. Notice sur Charles Hermite. В: Œuvres de Charles Hermite, том IV. (Спомените на Поанкаре за метода и стила на Ермит.)
- Lindemann, F. Über die Zahl π. Mathematische Annalen, 20 (1882).
- Wikipedia. Charles Hermite. en.wikipedia.org
- Encyclopaedia Britannica. Charles Hermite. britannica.com
Още от поредицата „Любопитно от математиката“
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар