Леополд Кронекер — математикът, който вярваше само в целите числа
Леополд Кронекер —
математикът, който вярваше само в целите числа
След доктората си Кронекер прекарва няколко години далеч от университета, като управлява семейно имение и се занимава с финансовите дела на своя вуйчо. Когато се завръща в Берлин, постепенно се утвърждава като един от водещите алгебристи и специалисти по теория на числата на XIX век. Името му остава свързано не само с важни математически резултати, но и с прочутата фраза „Бог е сътворил целите числа, всичко останало е дело на човека“. Заради възгледите си той влиза в остри спорове с Вайерщрас и Кантор, а стремежът му към ясни и крайни построения има много общо с някои идеи на по-късната конструктивна математика.
Леополд Кронекер защитава докторат само на 21 години, но не започва веднага университетска кариера. През следващите години той управлява семейно имение и се занимава със стопанските и финансовите дела на семейството. През 1855 г. се връща в Берлин като финансово независим учен и постепенно се нарежда сред водещите представители на берлинската математическа школа.
Кронекер обаче е запомнен не само с теоремите си. Той е сред първите влиятелни математици, които открито поставят под съмнение неконструктивните доказателства за съществуване и настояват математическите обекти да бъдат задавани чрез крайни и ясно описани процедури. По-късното развитие на конструктивната математика и теорията на изчислимостта показва, че тези въпроси съвсем не са загубили значението си.
Момчето от Лигниц
Леополд Кронекер се ражда на 7 декември 1823 г. в Лигниц, Прусия (днес Легница в Полша), в заможно еврейско семейство. Баща му Исидор е образован и успешен търговец с жив интерес към философията. Този интерес споделят и двамата му синове. По-малкият му брат Хуго по-късно става известен физиолог и професор в Берн. Интересът на Леополд към философията оказва силно влияние и върху възгледите му за основите на математиката.
Първите си уроци Леополд получава у дома от частен учител, а баща му следи внимателно образованието му. После постъпва в гимназията в Лигниц, където негов учител по математика става Ернст Кумер. Срещата с Кумер се оказва решаваща за бъдещото му развитие.
Интересите на Кронекер не се ограничават до математиката. Занимава се с философия, учи латински, гръцки и иврит, взема уроци по музика, тренира гимнастика и плуване. Кронекер запазва тези интереси и като възрастен: чете Декарт, Лайбниц, Кант, Спиноза и Хегел в оригинал, а по-късно се занимава и с алпинизъм.
Между философията, астрономията и математиката
През 1841 г. Кронекер постъпва в Берлинския университет, но по това време все още не е решил да се посвети изцяло на математиката. Посещава курсове по литература и естествени науки, задълбочава се във философията и системата на Хегел, интересува се от астрономия. Лятото на 1843 г. прекарва в Бон — привлечен не от математиката, а от астрономическите лекции на Аргеландер. След този период Кронекер все по-категорично се насочва към математиката. През зимния семестър на 1843–1844 г. той заминава за Бреслау (днес Вроцлав), където старият му учител и приятел Кумер току-що е назначен за професор.
Върнал се в Берлин, Кронекер пише докторска дисертация по алгебрична теория на числата под ръководството на Дирихле. Темата — „За комплексните единици“ — е породена от изследванията на Кумер и разглежда единиците в някои алгебрични числови полета. Защитава я през лятото на 1845 г., само на 21 години. Дирихле отбелязва, че авторът показва „необичайна проницателност, голямо усърдие и точно познаване на съвременното състояние на висшата математика“. Десетилетия по-късно Фробениус сравнява тази дисертация с „химия без атомната хипотеза“: според него Кронекер достига до резултати, близки до по-късната теория на идеалните числа, без да разполага с нейния апарат.
Годините извън университета
След защитата Кронекер не започва веднага работа в университет. Семейни задължения го отвеждат от Берлин и той поема управлението на имение край Лигниц, като помага и при уреждането на банковия бизнес на своя вуйчо. Заради тези задължения той остава извън университета до 1855 г. През този период изучава и земеделие, за да управлява по-добре имението. През 1848 г. се жени за братовчедка си Фани Прауснитцер, дъщеря на същия вуйчо; семейството им има шест деца.
През тези години, макар да не работи в университет, Кронекер продължава да се занимава с математика и да поддържа активна научна кореспонденция с Кумер. През 1853 г. публикува важно изследване върху алгебрично разрешимите уравнения, което показва задълбочено разбиране на идеите на Галоа в период, когато те все още не са широко разпространени.
Берлинската математическа школа
Когато Кронекер се завръща в Берлин през 1855 г., градът вече привлича някои от водещите математици на времето. Същата година Кумер заема освободената от Дирихле катедра, Борхард поема редакцията на списанието на Крел, а през 1856 г. пристига и Вайерщрас. Макар все още да няма университетска длъжност, Кронекер участва активно в този научен кръг и публикува поредица от трудове по теория на числата, алгебра и елиптични функции.
Леополд Кронекер през 1865 г. — десетилетие след завръщането му в Берлин
През 1858 г. Ермит представя първото решение на общото уравнение от пета степен чрез елиптични функции. По същото време Кронекер и Франческо Бриоски независимо получават сходни решения. Тези резултати не дават формула с радикали, а показват как корените могат да бъдат изразени чрез по-сложни трансцендентни функции.
През 1861 г., по предложение на Кумер, Кронекер е избран за член на Берлинската академия на науките. Това му дава право да чете лекции в университета и през октомври 1862 г. той започва да преподава там. Лекциите му са тясно свързани със собствените му текущи изследвания и често представят познати теории от нова гледна точка. За добре подготвените студенти лекциите му са увлекателни, но за останалите често се оказват трудни за следване. В лекциите си Кронекер все по-ясно защитава идеята за аритметизация на математиката — свеждането ѝ до аритметиката и естествените числа.
Какво остави Кронекер на математиката
Кронекер е преди всичко аритметик и алгебрист. Трудовете му обхващат теорията на числата, алгебрата и теорията на елиптичните функции. Името му се среща в редица понятия и резултати от съвременната математика — сред най-познатите са:
• Произведение на Кронекер — операция върху матрици, която се използва в квантовата механика, обработката на сигнали, числените методи и някои модели в машинното обучение.
• Теорема на Кронекер–Капели — основен критерий за съвместимост на система линейни уравнения.
• Теорема на Кронекер–Вебер — основен резултат в теорията на числата: всяко крайно абелево разширение на полето на рационалните числа се съдържа в циклотомично поле.
С името на Кронекер се свързва и класически метод за факторизация на полиноми с цели коефициенти. Той получава важни резултати в теорията на квадратичните форми, алгебричните уравнения и елиптичните функции.
Особено място в работата на Кронекер заема неговата „младежка мечта“ (liebster Jugendtraum). Тя е свързана с явното построяване на абелеви разширения на имагинерни квадратични полета чрез специални стойности на елиптични и модулни функции. През 1900 г. Хилберт разширява тази програма в своя дванадесети проблем, като поставя аналогичния въпрос за произволни числови полета. В най-общия си вид проблемът остава нерешен.
„Бог е сътворил целите числа“
Постепенно Кронекер формулира все по-ясно възгледите си за основите на математиката. Според него математиката трябва да бъде изградена върху числата, а всички числови понятия — върху естествените числа. Кронекер приема безкрайни процеси само когато са зададени чрез ясни аритметични правила и всяко крайно приближение може действително да бъде изчислено. Добър пример е редът на Лайбниц за \(\pi\). Всяка негова частична сума се получава чрез краен брой операции с рационални числа:
\[\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots\]На Берлинското събрание на германските естествоизпитатели през 1886 г. той изрича думите, с които остава най-известен:
Бог е сътворил целите числа, всичко останало е дело на човека. — Леополд Кронекер, 1886 г. (цитиран от Хайнрих Вебер в мемориалната му статия)
В основата на програмата на Кронекер стоят естествените числа, които той приема като първоначално дадени. Всички останали математически обекти трябва според него да бъдат изграждани от тях чрез ясно описани аритметични процедури. За Кронекер едно доказателство за съществуване е напълно убедително само когато съдържа явна процедура за построяване на съответния обект. Затова той гледа критично на определенията на математически обекти и на доказателствата за съществуване, когато не е показано как съответният обект може да бъде получен чрез крайни или ефективно зададени стъпки.
Кронекеровата програма: математиката се изгражда от естествените числа чрез крайни конструкции и ефективно зададени процеси. Вдясно — обектите и доказателствата, които Кронекер не приема.
Кронекер не приема ирационалните и трансцендентните числа като самостоятелно дадени обекти, освен ако не е посочен ясен начин за тяхното построяване или приближаване. Алгебричните числа обаче могат да бъдат задавани чрез полиномни уравнения. Например комплексната единица може да се въведе като символ \(i\), който удовлетворява равенството \(i^2 + 1 = 0\). Така с комплексните числа може да се работи алгебрично, без \(i\) предварително да се приема като самостоятелно дадено число.
Спорът с Вайерщрас
Разногласията между Кронекер и Карл Вайерщрас произтичат преди всичко от различните им възгледи за основите на анализа. Вайерщрас изгражда строга теория на реалните и комплексните величини чрез гранични процеси, докато Кронекер настоява тези конструкции да бъдат сведени до аритметични процедури, които според него имат ясен конструктивен смисъл. С времето научните разногласия се пренасят и в личните им отношения.
Възраженията на Кронекер са част от по-широкия дебат през XIX век за строгите основи на анализа, понятието за число и допустимите доказателства за съществуване. Към тези въпроси по-късно се връщат представители на конструктивизма, интуиционизма и други направления във философията на математиката.
Спорът с Кантор
Още по-остър е спорът на Кронекер с Георг Кантор. Кантор, който по-рано е бил студент на Кронекер, създава през 1870-те и 1880-те години теорията на множествата и въвежда безкрайности с различна „големина“. Тъкмо такава математика Кронекер не приема: твърдения за съществуване на обекти, които не могат да бъдат явно построени, и завършени безкрайности, разглеждани като вече дадени математически обекти.
Кронекер се противопоставя остро на теорията на Кантор. Когато през 1878 г. Кантор изпраща нова статия в списанието на Крел, Кронекер, който е член на редакционния екип, възразява срещу част от изложените в нея идеи. Кантор дори обмисля да оттегли ръкописа, но след подкрепата на Дедекинд и Вайерщрас статията все пак е публикувана.
В биографичната литература на Кронекер се приписват и остри лични нападки срещу Кантор, но за тях трудно може да се посочи сигурен първоизточник. Кантор възприема противопоставянето на Кронекер като сериозна пречка за професионалното си развитие.
Конфликтът вероятно е засилвал напрежението, което Кантор изпитва в личния и професионалния си живот. Психичното му заболяване обаче не бива да се обяснява единствено или пряко с отношенията му с Кронекер.
През XX век теорията на множествата се утвърждава като един от основните езици на съвременната математика, а идеите на Кантор получават широко признание. Въпреки това въпросите, които Кронекер поставя, запазват значението си. Конструктивните и финитистките подходи продължават да се развиват. Те дават различни отговори на въпроса кога можем да приемем, че даден математически обект съществува, и как трябва да се доказва неговото съществуване.
Неочакваното наследство: конструктивизмът и компютрите
През XX век част от въпросите, които занимават Кронекер, се появяват отново в интуиционизма на Брауер и в различни направления на конструктивната математика. Тези школи не следват изцяло неговата програма, но също настояват доказателството за съществуване да показва как съответният обект може да бъде построен. Развитието на теорията на изчислимостта и появата на компютрите придават ново практическо значение на този начин на мислене.
От едно конструктивно доказателство често може да се извлече конкретна процедура за построяване на търсения обект. В този смисъл настояването на Кронекер за явно зададени крайни операции е близко до алгоритмичното мислене. Математикът и историк на математиката Харолд Едуардс подчертава, че Кронекер отдава на явните процедури и алгоритми много по-голямо значение от повечето математици на своето време. Повече за ролята на алгоритмите в съвременната наука можете да прочетете в статията „Какво е алгоритъм и защо това е една от най-важните идеи в науката“. За границите на изчислимото можете да научите повече в статията за машината на Тюринг.
На Анри Поанкаре — самият той скептик към теорията на множествата — се приписва следното остроумно наблюдение:
Кронекер направи красива математика, защото често забравяше собствената си математическа философия. — приписва се на Анри Поанкаре
В тази реплика има известна истина. В собствените си изследвания Кронекер използва аналитични методи, въпреки че критикува някои от принципите, върху които тогава се изгражда анализът, и настоява те да бъдат сведени до аритметиката.
Животът на Кронекер в дати
- Ражда се в Лигниц, Прусия (днес Легница, Полша), в заможно еврейско семейство.
- Постъпва в Берлинския университет и посещава курсове по философия, астрономия, естествени науки и математика.
- Прекарва лятото на 1843 г. в Бон заради интереса си към астрономията, а през зимния семестър 1843–1844 г. учи в Бреслау при Кумер.
- Защитава докторска дисертация „За комплексните единици“ при Дирихле в Берлин — на 21 години.
- Управлява семейно имение край Лигниц и помага при уреждането на банковия бизнес на своя вуйчо; през 1848 г. се жени за Фани Прауснитцер.
- Публикува важно изследване върху алгебрично разрешимите уравнения и идеите на Галоа.
- Завръща се в Берлин като финансово независим учен и се включва активно в местния математически живот.
- Получава решение на общото уравнение от пета степен чрез елиптични функции, еквивалентно на решението на Ермит.
- Избран е за член на Берлинската академия на науките по предложение на Кумер.
- Започва да чете лекции в Берлинския университет като член на Берлинската академия на науките.
- Наследява пенсиониралия се Кумер като редовен професор в Берлинския университет.
- Изрича прочутото „Бог е сътворил целите числа, всичко останало е дело на човека“.
- Умира в Берлин на 68 години, само месеци след смъртта на съпругата си Фани.
- Хилберт включва „младежката мечта“ на Кронекер като 12-и проблем в списъка си; в най-общия си вид проблемът остава нерешен.
Защо да помним Кронекер
В популярните разкази Кронекер често е представян като „лошия герой“ в историята на Кантор. Образът му обаче е много по-сложен. Кронекер е сред големите математици на XIX век, а много понятия и резултати, свързани с името му, се използват и днес. Макар да прекарва близо десетилетие извън университета, той успява да се върне към активна научна работа и да се утвърди като един от водещите математици на своето време.
Много от идеите и резултатите на Кронекер продължават да се използват в съвременната математика. Теорията на числата е в основата на редица криптографски методи, произведението на Кронекер се използва в матрични изчисления и различни приложни модели, а теоремата на Кронекер–Капели остава основен критерий в линейната алгебра. Остава важен и въпросът, който той поставя: достатъчно ли е да се докаже, че даден обект съществува, или трябва да се покаже и как може да бъде построен? Развитието на компютрите показва колко важни са ефективните процедури, на които Кронекер отдава голямо значение още през XIX век.
Източници
- Андреева, Ю. Леополд Кронекер (1823–1891). Списание „Математика“, София.
- O'Connor, J. J. & Robertson, E. F. Leopold Kronecker. MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews. mathshistory.st-andrews.ac.uk
- Biermann, K.-R. Kronecker, Leopold. Dictionary of Scientific Biography (Encyclopedia.com). encyclopedia.com
- Encyclopaedia Britannica. Leopold Kronecker — German mathematician. britannica.com
- Wikipedia. Leopold Kronecker. en.wikipedia.org
- Dauben, J. W. Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite. Harvard University Press, 1979. (За отношенията между Кантор и Кронекер.)
- Weber, H. Leopold Kronecker. Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, 2 (1891/92), 5–31. (Цитатът за целите числа е на с. 19.)
- Frobenius, F. G. Gedächtnisrede auf Leopold Kronecker. Берлинска академия на науките, 1893.
- Edwards, H. M. Kronecker's algorithmic mathematics. The Mathematical Intelligencer, 31 (2009), 11–14.
- Edwards, H. M. Essays in Constructive Mathematics. Springer, 2005.
- Bell, E. T. Men of Mathematics. Simon & Schuster, 1937. (Главата за Кронекер; популярно изложение, съдържащо оспорвани анекдоти.)
- Gray, J. The Hilbert Challenge. Oxford University Press, 2000. (За 12-ия проблем на Хилберт и Jugendtraum.)
Още от поредицата „Любопитно от математиката“
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар