📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Степенуване

Степенуване на произведение и на частно.
Степенуване на степен

Три ключови правила за работа със степени, стандартен запис на числата и рационално пресмятане — 25 разработени задачи, 25 за самостоятелна работа и онлайн тест с 20 въпроса

6. класСтепенуване на произведениеСтепенуване на частноСтепенуване на степенСтандартен запис25 решени задачиД-р Атанас Илчев

Как степенуваме произведение, частно и степен на степен — правила, примери и стандартен запис

В предходния урок научихме какво е степен и как се умножават и делят степени с равни основи. В този урок ще разгледаме три нови правила: как се степенува произведение, как се степенува частно и как се степенува степен. Ще научим и какво е стандартен запис на число. С тези инструменти ще можем да решаваме много по-сложни задачи.

Степенуване на произведение

Правило 1. Степента на произведение е равна на произведението от степените на множителите: \[(a\cdot b)^n = a^n \cdot b^n.\] Това важи и за повече множители: \((a\cdot b\cdot c)^n = a^n\cdot b^n\cdot c^n\).

Пример: \((2\cdot5)^3 = 2^3\cdot5^3 = 8\cdot125 = 1000\). Проверка: \(10^3 = 1000\). ✓

Степенуване на частно

Правило 2. Степента на частно е равна на частното от степените (\(b\neq0\)): \[\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.\]

Пример: \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^2 = \dfrac{3^2}{4^2} = \dfrac{9}{16}\).

Степенуване на степен

Правило 3. Когато степенуваме степен, основата се запазва, а показателите се умножават: \[(a^m)^n = a^{m\cdot n}.\]

Пример: \((3^2)^3 = 3^{2\cdot3} = 3^6 = 729\). Проверка: \(9^3 = 729\). ✓

Стандартен запис на числата

Стандартен запис. Стандартен запис на числото \(N\) (при \(N > 10\)) е представянето му във вида \(N = a\cdot10^n\), където \(1\leq a < 10\) и \(n\) е естествено число. Числото \(n\) се нарича порядък на \(N\).

Примери: \(31\,000 = 3{,}1\cdot10^4\); \(\;137{,}2 = 1{,}372\cdot10^2\).

Най-чести грешки!

• При степенуване на произведение показателят важи за всеки множител: \((2x)^3 = 8x^3\), не \(2x^3\).
• При степенуване на степен показателите се умножават: \((a^3)^4 = a^{12}\), не \(a^7\).
• При степенуване на дроб показателят важи и за числителя, и за знаменателя.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Представете като произведение от степени: а) \((4\cdot7)^2\); б) \((3\cdot m\cdot p)^5\).

▼

Решение

Прилагаме правилото за степенуване на произведение — показателят се прилага към всеки множител:

\[\text{а) }(4\cdot7)^2 = 4^2\cdot7^2 = 16\cdot49 = 784;\quad\text{б) }(3\cdot m\cdot p)^5 = 3^5\cdot m^5\cdot p^5 = 243\,m^5p^5.\;\blacksquare\]

2

Пресметнете: а) \((5\cdot3)^2\); б) \((2\cdot9)^3\); в) \((0{,}001\cdot20)^2\).

▼

Решение

Тук е по-лесно първо да умножим, после да степенуваме:

\[\text{а) }15^2 = 225;\quad\text{б) }18^3 = 5832;\quad\text{в) }(0{,}02)^2 = 0{,}0004.\;\blacksquare\]

3

Пресметнете по рационален начин: \(5^3\cdot8^3\).

▼

Решение

Показателите са равни, обединяваме под общ показател:

\[5^3\cdot8^3 = (5\cdot8)^3 = 40^3 = 64\,000.\;\blacksquare\]

4

Пресметнете по рационален начин: \(0{,}25^2\cdot4^2\).

▼

Решение \[0{,}25^2\cdot4^2 = (0{,}25\cdot4)^2 = 1^2 = 1.\;\blacksquare\]

5

Представете като частно от степени: а) \(\left(\dfrac{t}{5}\right)^3\); б) \(\left(\dfrac{3m}{7q}\right)^4\).

▼

Решение \[\text{а) }\frac{t^3}{5^3}=\frac{t^3}{125};\qquad\text{б) }\frac{(3m)^4}{(7q)^4}=\frac{3^4\cdot m^4}{7^4\cdot q^4}=\frac{81m^4}{2401q^4}.\;\blacksquare\]

6

Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^3\); б) \(\left(\dfrac{5}{8}\right)^2\).

▼

Решение \[\text{а) }\frac{27}{64};\qquad\text{б) }\frac{25}{64}.\;\blacksquare\]

7

Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{45^3}{15^3}\).

▼

Решение \[\frac{45^3}{15^3}=\left(\frac{45}{15}\right)^3 = 3^3 = 27.\;\blacksquare\]

8

Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{125^2}{5^2}\).

▼

Решение \[\frac{125^2}{5^2}=\left(\frac{125}{5}\right)^2 = 25^2 = 625.\;\blacksquare\]

9

Запишете като степен: а) \((6^3)^4\); б) \((7^{11})^2\); в) \((0{,}3^2)^5\).

▼

Решение

Показателите се умножават:

\[\text{а) }6^{12};\quad\text{б) }7^{22};\quad\text{в) }0{,}3^{10}.\;\blacksquare\]

10

Пресметнете: \(\left(\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\right)^3\).

▼

Решение \[\left(\frac{2}{5}\right)^{2\cdot3}=\left(\frac{2}{5}\right)^6=\frac{2^6}{5^6}=\frac{64}{15\,625}.\;\blacksquare\]

11

Запишете в стандартен вид: а) \(4\,200\,000\); б) \(53\,000\,000\); в) \(760\).

▼

Решение \[\text{а) }4{,}2\cdot10^6;\quad\text{б) }5{,}3\cdot10^7;\quad\text{в) }7{,}6\cdot10^2.\;\blacksquare\]

12

Запишете числото, чийто стандартен вид е: а) \(1{,}8\cdot10^5\); б) \(3{,}81\cdot10^4\).

▼

Решение \[\text{а) }180\,000;\quad\text{б) }38\,100.\;\blacksquare\]

13

Пресметнете: \(5^6\cdot0{,}4^6\cdot0{,}5^6\).

▼

Решение

Тъй като и трите множителя са на една и съща степен 6, обединяваме ги под общ показател:

\[5^6\cdot0{,}4^6\cdot0{,}5^6 = (5\cdot0{,}4\cdot0{,}5)^6.\]

Пресмятаме произведението в скобите: \(5\cdot0{,}4 = 2\) и \(2\cdot0{,}5 = 1\). Следователно:

\[(5\cdot0{,}4\cdot0{,}5)^6 = 1^6 = 1.\;\blacksquare\]

14

Пресметнете: \((3^5\cdot8^5):(4^3\cdot6^3)\).

▼

Решение

Обединяваме множителите с равни показатели:

\[3^5\cdot8^5 = (3\cdot8)^5 = 24^5;\qquad 4^3\cdot6^3 = (4\cdot6)^3 = 24^3.\]

Делим степени с равни основи:

\[\frac{24^5}{24^3} = 24^{5-3} = 24^2 = 576.\;\blacksquare\]

15

Пресметнете: \(\dfrac{(3^3\cdot3^2)^4}{(3^{10})^2}\).

▼

Решение

Числител: \(3^3\cdot3^2 = 3^5\), следователно \((3^5)^4 = 3^{20}\). Знаменател: \((3^{10})^2 = 3^{20}\).

\[\frac{3^{20}}{3^{20}} = 1.\;\blacksquare\]

16

Пресметнете: \(\dfrac{2^3\cdot4^5}{8^3\cdot16}\).

▼

Решение

Записваме всичко с основа 2: \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\).

\[\frac{2^3\cdot(2^2)^5}{(2^3)^3\cdot2^4} = \frac{2^3\cdot2^{10}}{2^9\cdot2^4} = \frac{2^{13}}{2^{13}} = 1.\;\blacksquare\]

17

Намерете естественото число \(n\), ако \(2^3\cdot5^3\cdot n^3 = 1000^3\).

▼

Решение

Пресмятаме лявата страна. Тъй като показателите са равни, обединяваме: \(2^3\cdot5^3\cdot n^3 = (2\cdot5\cdot n)^3 = (10n)^3\). Дясната страна е \(1000^3\). Следователно:

\[(10n)^3 = 1000^3 \;\Rightarrow\; 10n = 1000 \;\Rightarrow\; n = 100.\;\blacksquare\]

18

Съкратете дробта: \(\dfrac{7\cdot(3\cdot t)^2}{126\cdot(2\cdot t)^3}\) (при \(t\neq0\)).

▼

Решение

Разкриваме степените на произведенията: \((3t)^2 = 9t^2\) и \((2t)^3 = 8t^3\).

\[\frac{7\cdot9t^2}{126\cdot8t^3} = \frac{63t^2}{1008t^3}.\]

Съкращаваме числата: \(1008 = 63\cdot16\), следователно \(\frac{63}{1008} = \frac{1}{16}\). За буквените части показваме съкращаването:

\[\frac{t^2}{t^3} = \frac{t\cdot t}{t\cdot t\cdot t} = \frac{1}{t}.\]

Окончателно:

\[\frac{1}{16t}.\;\blacksquare\]

19

Пресметнете: \(\left(\dfrac{4^5+4^4+4^4}{10\cdot4^3-4^4}\right)^2\).

▼

Решение

Числител: изнасяме \(4^4\) пред скоби. Тъй като \(4^5 = 4^4\cdot4\), имаме:

\[4^4\cdot4+4^4+4^4 = 4^4(4+1+1)=4^4\cdot6.\]

Знаменател: изнасяме \(4^3\):

\[10\cdot4^3 - 4^4 = 4^3(10-4) = 4^3\cdot6.\]

Съкращаваме:

\[\frac{4^4\cdot6}{4^3\cdot6} = 4^{4-3} = 4.\]

Следователно: \(4^2 = 16\). \(\blacksquare\)

20

Представете като степен с основа 3 всеки от изразите: \(9^{10}\); \(27^4\); \((3\cdot9^2)^2\); \(81\cdot(27^3)^2\).

▼

Решение

Записваме \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(81 = 3^4\).

\[9^{10} = (3^2)^{10} = 3^{20};\qquad 27^4 = (3^3)^4 = 3^{12};\] \[(3\cdot9^2)^2 = (3\cdot(3^2)^2)^2 = (3\cdot3^4)^2 = (3^5)^2 = 3^{10};\] \[81\cdot(27^3)^2 = 3^4\cdot(3^3)^{3\cdot2} = 3^4\cdot3^{18} = 3^{22}.\;\blacksquare\]

Забележка: за последния пример: \((27^3)^2 = 27^6 = (3^3)^6 = 3^{18}\).

21

Пресметнете: \(\dfrac{2^{10}\cdot25^2\cdot10^3}{8^4\cdot(5^3)^2}\).

▼

Решение

Записваме всяко число с основи 2 и 5: \(25 = 5^2\), \(10 = 2\cdot5\), \(8 = 2^3\).

Числител:

\[2^{10}\cdot(5^2)^2\cdot(2\cdot5)^3 = 2^{10}\cdot5^4\cdot2^3\cdot5^3 = 2^{10+3}\cdot5^{4+3} = 2^{13}\cdot5^7.\]

Знаменател:

\[(2^3)^4\cdot(5^3)^2 = 2^{12}\cdot5^6.\]

Делим:

\[\frac{2^{13}\cdot5^7}{2^{12}\cdot5^6} = 2^{13-12}\cdot5^{7-6} = 2\cdot5 = 10.\;\blacksquare\]

22

Пресметнете: \(\dfrac{(3^2)^4-3^2\cdot3^4}{6^3}\).

▼

Решение

Числител: Прилагаме правилото за степенуване на степен и умножение на степени:

\[(3^2)^4 = 3^8;\qquad 3^2\cdot3^4 = 3^6.\]

Изнасяме \(3^6\) пред скоби:

\[3^8-3^6 = 3^6(3^2-1) = 3^6\cdot8.\]

Знаменател: \(6^3 = (2\cdot3)^3 = 2^3\cdot3^3 = 8\cdot27\).

Делим:

\[\frac{3^6\cdot8}{8\cdot3^3} = 3^{6-3} = 3^3 = 27.\;\blacksquare\]

23

Пресметнете: \(\left(\dfrac{4^5+4^4+4^4}{10\cdot4^3-4^4}\right)^2\).

▼

Решение

Числител: Тъй като \(4^5 = 4^4\cdot4\), изнасяме \(4^4\) пред скоби:

\[4^4\cdot4+4^4+4^4 = 4^4(4+1+1) = 4^4\cdot6.\]

Знаменател: Изнасяме \(4^3\) пред скоби:

\[10\cdot4^3-4^4 = 4^3(10-4) = 4^3\cdot6.\]

Съкращаваме \(6\) и делим степените:

\[\frac{4^4\cdot6}{4^3\cdot6} = 4^{4-3} = 4.\]

Следователно: \(4^2 = 16\). \(\blacksquare\)

24

Пресметнете: \(\dfrac{(11^3)^4\cdot(12^2)^2}{(11^5)^2\cdot(12^3)^2}\).

▼

Решение

Прилагаме правилото за степенуване на степен:

\[\frac{11^{3\cdot4}\cdot12^{2\cdot2}}{11^{5\cdot2}\cdot12^{3\cdot2}} = \frac{11^{12}\cdot12^4}{11^{10}\cdot12^6}.\]

Делим поотделно степените с еднакви основи. За основа 11 делим числителя: \(11^{12}:11^{10} = 11^2\). За основа 12 делим знаменателя: \(12^6:12^4 = 12^2\). Получаваме:

\[\frac{11^2}{12^2} = \frac{121}{144}.\;\blacksquare\]

25

Пресметнете: \(\dfrac{15^{23}+15^{22}}{15^{22}+15^{21}}\).

▼

Решение

Числител: Изнасяме \(15^{22}\) пред скоби (степента с по-малкия показател):

\[15^{23}+15^{22} = 15^{22}(15+1) = 15^{22}\cdot16.\]

Знаменател: Изнасяме \(15^{21}\) пред скоби:

\[15^{22}+15^{21} = 15^{21}(15+1) = 15^{21}\cdot16.\]

Съкращаваме \(16\) и делим степените:

\[\frac{15^{22}\cdot16}{15^{21}\cdot16} = 15^{22-21} = 15.\]

Стойността е \(\boxed{15}\). \(\blacksquare\)

Ключовата техника: изнасяне пред скоби на степента с най-малкия показател. Тази техника се среща изключително често в задачи от Б група и в състезания.

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Представете като произведение от степени: \((6\cdot y)^4\).
Отг.: \(1296y^4\).

Задача 2Пресметнете: \((4\cdot3)^2\).
Отг.: \(144\).

Задача 3Пресметнете: \((2\cdot7)^3\).
Отг.: \(2744\).

Задача 4Пресметнете по рационален начин: \(8^4\cdot0{,}25^4\).
Отг.: \(2^4 = 16\).

Задача 5Пресметнете по рационален начин: \(4^7\cdot0{,}5^7\).
Отг.: \(2^7 = 128\).

Задача 6Представете като частно от степени: \(\left(\dfrac{c}{2\cdot d}\right)^5\).
Отг.: \(\dfrac{c^5}{32d^5}\).

Задача 7Пресметнете: \(\left(\dfrac{2}{9}\right)^3\).
Отг.: \(\dfrac{8}{729}\).

Задача 8Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{64^3}{48^3}\).
Отг.: \(\left(\dfrac{4}{3}\right)^3 = \dfrac{64}{27}\).

Задача 9Пресметнете по рационален начин: \(45^3:15^3\).
Отг.: \(27\).

Задача 10Запишете като степен: \((4^3)^5\).
Отг.: \(4^{15}\).

Задача 11Запишете като степен: \(\left(\left(\dfrac{1}{3}\right)^2\right)^4\).
Отг.: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^8\).

Задача 12Пресметнете: \(((0{,}2)^2)^2\).
Отг.: \(0{,}2^4 = 0{,}0016\).

Задача 13Запишете в стандартен вид: \(7\,000\,000\).
Отг.: \(7\cdot10^6\).

Задача 14Запишете числото: \(9{,}99\cdot10^7\).
Отг.: \(99\,900\,000\).

Задача 15Пресметнете: \(6^5\cdot\left(\dfrac{1}{6}\right)^5\).
Отг.: \(1\).

Задача 16Представете \(8^2\) като степен на степен по два различни начина.
Отг.: \((2^3)^2 = 2^6\) или \((2^2)^3 = 2^6\).

Задача 17Намерете \(n\), ако \((3^m)^n = 3^6\) и \(m = 2\).
Отг.: \(n=3\).

Задача 18Пресметнете: \(\dfrac{2^3\cdot4^5}{8^3\cdot16}\).
Отг.: \(1\).

Задача 19Пресметнете: \(\dfrac{(36^3)^8\cdot(9^4)^4}{(6^5)^9\cdot(81^3)^2}\).
Указание: записвайте с основи 2, 3.

Задача 20Представете \(7^{42}\) като степен с основа: а) \(7^2\); б) \(7^3\); в) \(7^6\); г) \(7^7\).
Отг.: а) \((7^2)^{21}\); б) \((7^3)^{14}\); в) \((7^6)^7\); г) \((7^7)^6\).

Задача 21Запишете в стандартен вид произведението \(a\cdot b\) и частното \(a:b\), ако \(a = 5\cdot10^9\) и \(b = 2\cdot10^7\).
Отг.: \(a\cdot b = 1\cdot10^{17}\), \(a:b = 2{,}5\cdot10^2 = 250\).

Задача 22Подредете по големина: \(2^{2^3}\), \((2^2)^3\), \(2^{3^2}\), \((2^3)^2\).
Отг.: \((2^2)^3 = (2^3)^2 = 64 < 2^{2^3} = 256 < 2^{3^2} = 512\).

Задача 23Представете като степен произведението: \(7^{n+1}\cdot7^n\cdot7^{11}\).
Отг.: \(7^{2n+12}\).

Задача 24Пресметнете рационално: \(\dfrac{3{,}4^6}{1{,}7^6}\).
Отг.: \(2^6 = 64\).

Задача 25Докажете, че \(4^{2n+2}+4\cdot16^n+(2^n)^4\) се дели на 21 за всяко естествено число \(n\).
Указание: записвайте с основа 4 или 2.

---

Онлайн тест

20 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 80 точки

Тест: Степенуване на произведение, на частно и на степен

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥68→6, ≥52→5, ≥36→4, ≥20→3, иначе→2

1\((2\cdot5)^3 =\)

\(30\) \(100\) \(150\) \(1000\)

2\((a\cdot b)^4 =\)

\(a^4\cdot b^4\) \(a^4+b^4\) \(ab^4\) \(4ab\)

3\(\left(\dfrac{3}{7}\right)^2 =\)

\(\dfrac{6}{14}\) \(\dfrac{9}{49}\) \(\dfrac{3}{49}\) \(\dfrac{9}{14}\)

4\((5^3)^2 =\)

\(5^5\) \(5^9\) \(5^6\) \(5^{32}\)

5\(0{,}25^2\cdot4^2 =\)

\(4\) \(16\) \(0\) \(1\)

6Стандартният запис на \(5\,300\,000\) е:

\(5{,}3\cdot10^6\) \(53\cdot10^5\) \(0{,}53\cdot10^7\) \(5{,}3\cdot10^7\)

7\(\dfrac{30^3}{10^3} =\)

\(3\) \(27\) \(20^3\) \(9\)

8\((2x)^3 =\)

\(2x^3\) \(6x^3\) \(8x^3\) \(6x\)

9\((4^2)^3\) е равно на:

\(4^5\) \(4^8\) \(4^{23}\) \(4^6\)

10\(\left(\dfrac{a}{b}\right)^5 =\)

\(\dfrac{a^5}{b^5}\) \(\dfrac{a^5}{b}\) \(\dfrac{a}{b^5}\) \(\dfrac{5a}{5b}\)

11\(3^2\cdot\left(\dfrac{1}{3}\right)^5\cdot3^3 =\)

\(3^{10}\) \(1\) \(\dfrac{1}{3}\) \(3\)

12Числото \(2{,}5\cdot10^3\) е равно на:

\(250\) \(25\,000\) \(2500\) \(25\)

13\(5^6\cdot0{,}4^6\cdot0{,}5^6 =\)

\(10^6\) \(0\) \(100\) \(1\)

14\(9^{10}\) записано като степен с основа 3 е:

\(3^{12}\) \(3^{10}\) \(3^{20}\) \(3^{30}\)

15\(\dfrac{(3^3\cdot3^2)^4}{(3^{10})^2} =\)

\(3^{40}\) \(3\) \(9\) \(1\)

16Порядъкът на числото \(31\,000\) е:

\(4\) \(5\) \(3\) \(31\)

17\(\dfrac{2^3\cdot4^5}{8^3\cdot16} =\)

\(2\) \(1\) \(4\) \(8\)

18\(((0{,}3)^2)^2 =\)

\(0{,}3^8\) \(0{,}09\) \(0{,}3^4\) \(0{,}3^2\)

19\((3^5\cdot8^5):(4^3\cdot6^3) =\)

\(24^8\) \(576\) \(24\) \(1\)

20\((3^4)^3\) е равно на:

\(3^7\) \(3^{64}\) \(3^{43}\) \(3^{12}\)

---

Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

Свързани уроци

◀

Действие степенуване с естествен степенен показател

Определение, умножение и деление на степени с равни основи, сравняване — 20 решени задачи и тест.

Преглед на урока →

---

Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆