📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Степенуване

Действие степенуване
с естествен степенен показател

Определение на степен, основа и показател, умножение и деление на степени с равни основи, сравняване на степени — 20 разработени задачи, 20 за самостоятелна работа и онлайн тест за 6. клас

6. клас Степенуване Естествен показател 20 решени задачи Онлайн тест Д-р Атанас Илчев

Какво е степенуване, как се умножават и делят степени с равни основи и как се сравняват степени

Степенуването е действие, при което записваме кратко произведение от равни множители. Вместо да пишем \(5\cdot5\cdot5\), записваме \(5^3\). В този урок ще научим какво е степен, основа и показател, ще разгледаме правилата за умножение и деление на степени с равни основи и ще решим разнообразни задачи — от съвсем лесни до по-предизвикателни.

Определение на степен

Определение. Произведението от \(n\) равни множители, всеки от които е равен на \(a\), се записва като \(a^n\) и се чете „\(a\) на степен \(n\)" или „\(a\) на \(n\)-та степен": \[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n\text{ пъти}}.\] Числото \(a\) се нарича основа на степента, а числото \(n\) — степенен показател.

Частни случаи.

• \(a^1 = a\) — всяко число на първа степен е самото число.
• \(a^0 = 1\) (при \(a \neq 0\)) — всяко число, различно от нула, на нулева степен е равно на 1. (Допълнително свойство — среща се по-нататък в обучението.)
• \(0^n = 0\) (при \(n \geq 1\)) — нула на коя да е степен е нула.
• \(1^n = 1\) — единица на коя да е степен е единица.

Примери: \(7\cdot7\cdot7\cdot7 = 7^4\); \(\;8^5 = 8\cdot8\cdot8\cdot8\cdot8\); \(\;0{,}2^3 = 0{,}2\cdot0{,}2\cdot0{,}2 = 0{,}008\).

Степента \(a^2\) се чете „\(a\) на квадрат", а \(a^3\) — „\(a\) на куб". Тези названия идват от геометрията: лицето на квадрат с страна \(a\) е \(a^2\), а обемът на куб с ръб \(a\) е \(a^3\).

Умножение на степени с равни основи

Правило. При умножение на степени с равни основи основата се запазва, а показателите се събират: \[a^m \cdot a^n = a^{m+n}.\]

Пример: \(2^3 \cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256\).

Деление на степени с равни основи

Правило. При деление на степени с равни основи (\(a \neq 0\)) основата се запазва, а показателите се изваждат. Тъй като в 6. клас работим само с естествени показатели, прилагаме правилото само когато \(m \geq n\): \[a^m : a^n = a^{m-n}\quad(m > n);\qquad a^m : a^n = 1\quad(m = n).\]

Пример: \(5^{14} : 5^{11} = 5^{14-11} = 5^3 = 125\).

Сравняване на степени с равни основи

Правило.

• Ако основата е по-голяма от 1, по-големият показател дава по-голямо число. Например: \(2^1 < 2^2 < 2^3 < \ldots\)
• Ако основата е по-малка от 1 (но положителна), по-големият показател дава по-малко число. Например: \(\left(\frac{1}{2}\right)^1 > \left(\frac{1}{2}\right)^2 > \left(\frac{1}{2}\right)^3 > \ldots\)

Ред на действията. При пресмятане на числен израз, съдържащ степени, първо се извършват действията в скобите, след това степенуването, после умножение и деление, и накрая — събиране и изваждане.

Бърза справка — степените на 2 и 3. \[2^1\!=\!2,\; 2^2\!=\!4,\; 2^3\!=\!8,\; 2^4\!=\!16,\; 2^5\!=\!32,\; 2^6\!=\!64,\; 2^7\!=\!128,\; 2^8\!=\!256,\; 2^9\!=\!512,\; 2^{10}\!=\!1024.\] \[3^1\!=\!3,\quad 3^2\!=\!9,\quad 3^3\!=\!27,\quad 3^4\!=\!81,\quad 3^5\!=\!243,\quad 3^6\!=\!729.\]

Най-чести грешки — внимавайте!

• \((-5)^2 = 25\), но \(-5^2 = -25\). Скобите имат значение!
• При умножение на степени показателите се събират, а не се умножават: \(2^3\cdot2^4 = 2^7\), а не \(2^{12}\).
• При деление показателите се изваждат: \(5^7:5^3 = 5^4\), а не \(5^{\frac{7}{3}}\).
• Степенуването се извършва преди умножението и делението: \(2\cdot3^2 = 2\cdot9 = 18\), а не \(6^2 = 36\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Запишете като степен произведението: а) \(3\cdot3\cdot3\cdot3\); б) \(10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\).

▼

Решение

Броим колко пъти се среща множителят и записваме:

\[ \text{а) }3\cdot3\cdot3\cdot3 = 3^4;\qquad\text{б) }10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10\cdot10 = 10^6.\quad\blacksquare \]

2

Пресметнете: а) \(2^5\); б) \(0{,}3^3\); в) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\).

▼

Решение

Записваме степента като произведение и пресмятаме:

\[\text{а) }2^5 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32;\] \[\text{б) }0{,}3^3 = 0{,}3\cdot0{,}3\cdot0{,}3 = 0{,}027;\] \[\text{в) }\left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{16}.\quad\blacksquare\]

3

Пресметнете: а) \((-2)^3\); б) \((-5)^2\); в) \(-5^2\).

▼

Решение

Внимание: когато основата е отрицателно число, я поставяме в скоби!

\[\text{а) }(-2)^3 = (-2)\cdot(-2)\cdot(-2) = 4\cdot(-2) = -8;\] \[\text{б) }(-5)^2 = (-5)\cdot(-5) = 25;\]

в) Тук скоби няма, затова степенуваме само \(5\), а знакът минус е отпред:

\[-5^2 = -(5\cdot5) = -25.\]

Забележете: \((-5)^2 = 25\), но \(-5^2 = -25\). Скобите имат значение! \(\blacksquare\)

4

Запишете числото 49 като степен.

▼

Решение

Питаме се: кое число, умножено по себе си, дава 49? Отговорът е \(7\cdot7 = 49\). Следователно:

\[49 = 7^2.\quad\blacksquare\]

5

Запишете като степен: а) \(2^5\cdot2^3\); б) \(a^{13}\cdot a^9\); в) \(3^2\cdot3^{10}\cdot3^{18}\).

▼

Решение

Прилагаме правилото за умножение на степени с равни основи — показателите се събират:

\[\text{а) }2^5\cdot2^3 = 2^{5+3} = 2^8;\] \[\text{б) }a^{13}\cdot a^9 = a^{13+9} = a^{22};\] \[\text{в) }3^2\cdot3^{10}\cdot3^{18} = 3^{2+10+18} = 3^{30}.\quad\blacksquare\]

6

Намерете частното: а) \(5^{14}:5^{11}\); б) \(4^7:4^5\); в) \(0{,}3^8:0{,}3^6\).

▼

Решение

Прилагаме правилото за деление на степени с равни основи — показателите се изваждат:

\[\text{а) }5^{14}:5^{11} = 5^{14-11} = 5^3 = 125;\] \[\text{б) }4^7:4^5 = 4^{7-5} = 4^2 = 16;\] \[\text{в) }0{,}3^8:0{,}3^6 = 0{,}3^{8-6} = 0{,}3^2 = 0{,}09.\quad\blacksquare\]

7

Пресметнете стойността на израза: \(\dfrac{3^7\cdot3^5}{3^9}\).

▼

Решение

Първо умножаваме степените в числителя, после делим:

\[\frac{3^7\cdot3^5}{3^9} = \frac{3^{7+5}}{3^9} = \frac{3^{12}}{3^9} = 3^{12-9} = 3^3 = 27.\quad\blacksquare\]

8

Пресметнете: \(\dfrac{2^5\cdot2^3\cdot2^4}{2^6\cdot2^2}\).

▼

Решение

Събираме показателите поотделно в числителя и в знаменателя, после делим:

\[\frac{2^{5+3+4}}{2^{6+2}} = \frac{2^{12}}{2^8} = 2^{12-8} = 2^4 = 16.\quad\blacksquare\]

9

Намерете естественото число \(a\), ако \(a^4 = 16\).

▼

Решение

Представяме 16 като произведение от 4 равни множителя: \(16 = 2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^4\). Следователно \(a^4 = 2^4\), откъдето \(a = 2\). \(\blacksquare\)

10

Намерете естественото число \(n\), ако \(3^n = 81\).

▼

Решение

Записваме 81 като степен на 3: \(81 = 3\cdot3\cdot3\cdot3 = 3^4\). Следователно \(3^n = 3^4\), откъдето \(n = 4\). \(\blacksquare\)

11

Сравнете: а) \(5^3\) и \(5^4\); б) \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\) и \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^3\).

▼

Решение

а) Основата \(5 > 1\), по-голям показател означава по-голяма стойност: \(5^3 = 125 < 625 = 5^4\), т.е. \(5^3 < 5^4\).

б) Основата \(\frac{1}{2} < 1\), по-голям показател означава по-малка стойност: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\) и \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\). Тъй като \(\frac{1}{4} > \frac{1}{8}\), то \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 > \left(\frac{1}{2}\right)^3\). \(\blacksquare\)

12

Пресметнете: \(12^2 + (3+2)^3 + 2\cdot(6-4)^5\).

▼

Решение

Първо пресмятаме скобите, после степенуваме, после умножаваме и накрая събираме:

\[12^2 + 5^3 + 2\cdot2^5 = 144 + 125 + 2\cdot32 = 144 + 125 + 64 = 333.\quad\blacksquare\]

13

Намерете числената стойност на \(A = 720 - a^5\) при \(a = 3\).

▼

Решение

Заместваме \(a = 3\) и пресмятаме степента:

\[A = 720 - 3^5 = 720 - 3\cdot3\cdot3\cdot3\cdot3 = 720 - 243 = 477.\quad\blacksquare\]

14

Представете числото 400 като произведение от прости множители и запишете равните множители като степени.

▼

Решение

Разлагаме 400 на прости множители:

\[400 = 2\cdot200 = 2\cdot2\cdot100 = 2\cdot2\cdot2\cdot50 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot25 = 2^4\cdot25 = 2^4\cdot5^2.\]

Следователно \(400 = 2^4\cdot5^2\). \(\blacksquare\)

15

Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{2^6+2^4}{2^3}\).

▼

Решение

Изнасяме \(2^4\) пред скоби от числителя. Тъй като \(2^6 = 2^4\cdot2^2\), можем да запишем:

\[2^6+2^4 = 2^4\cdot 2^2 + 2^4\cdot 1 = 2^4(2^2+1) = 2^4\cdot5.\]

Сега делим:

\[\frac{2^4\cdot5}{2^3} = 2^{4-3}\cdot5 = 2\cdot5 = 10.\quad\blacksquare\]

16

Запишете числата 32, 240 и 360 като произведение от прости множители, като равните множители представите чрез степени.

▼

Решение

Разлагаме всяко число на прости множители:

\[32 = 2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 2^5.\]

За 240: делим последователно на 2, после на 3 и на 5:

\[240 = 2\cdot120 = 2\cdot2\cdot60 = 2^2\cdot2\cdot30 = 2^3\cdot2\cdot15 = 2^4\cdot15 = 2^4\cdot3\cdot5.\]

За 360:

\[360 = 2\cdot180 = 2^2\cdot90 = 2^3\cdot45 = 2^3\cdot9\cdot5 = 2^3\cdot3^2\cdot5.\quad\blacksquare\]

17

Намерете естественото число \(n\), ако е вярно равенството \(5^{2n-1} = 125\cdot25\).

▼

Решение

Записваме дясната страна като степен на 5:

\[125\cdot25 = 5^3\cdot5^2 = 5^{3+2} = 5^5.\]

Сега имаме \(5^{2n-1} = 5^5\). Основите са равни, следователно показателите са равни:

\[2n - 1 = 5 \quad\Rightarrow\quad 2n = 6 \quad\Rightarrow\quad n = 3.\quad\blacksquare\]

18

Обосновете верността на равенството: \(2^4 + 2^4 = 2\cdot2^4 = 2^5\).

▼

Решение

Имаме два еднакви събираемa, всеки равен на \(2^4\). Когато съберем две еднакви числа, получаваме двойното им:

\[2^4 + 2^4 = 2\cdot2^4.\]

Сега прилагаме правилото за умножение на степени с равни основи. Запишем \(2 = 2^1\):

\[2^1\cdot2^4 = 2^{1+4} = 2^5 = 32.\]

Можем и да проверим директно: \(2^4 + 2^4 = 16 + 16 = 32 = 2^5\). \(\blacksquare\)

19

Пресметнете: \(5^2\cdot3^3 + 5\cdot2^2 + \dfrac{2^4 - 3^2}{5^2 - 3\cdot2^3}\).

▼

Решение

Пресмятаме всяка част поотделно. Първо степените:

\[5^2 = 25,\quad 3^3 = 27,\quad 2^2 = 4,\quad 2^4 = 16,\quad 3^2 = 9,\quad 2^3 = 8.\]

Заместваме:

\[25\cdot27 + 5\cdot4 + \frac{16 - 9}{25 - 3\cdot8} = 675 + 20 + \frac{7}{25-24} = 675 + 20 + \frac{7}{1} = 702.\quad\blacksquare\]

20

Определете стойностите на естественото число \(n\), за които е изпълнено неравенството \(25 < 3^n < 250\).

▼

Решение

Пресмятаме последователно степените на 3:

\[3^1=3,\quad 3^2=9,\quad 3^3=27,\quad 3^4=81,\quad 3^5=243,\quad 3^6=729.\]

Търсим кои от тези стойности са по-големи от 25 и по-малки от 250:

\[25 < 27 = 3^3\quad\checkmark;\qquad 25 < 81 = 3^4\quad\checkmark;\qquad 25 < 243 = 3^5\quad\checkmark;\qquad 3^6 = 729 > 250\quad\times.\]

Следователно \(n \in \{3,\;4,\;5\}\). \(\blacksquare\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Запишете като степен: \(7\cdot7\cdot7\cdot7\cdot7\).
Отг.: \(7^5\).

Задача 2Пресметнете: \(3^4\).
Отг.: \(81\).

Задача 3Пресметнете: \(0{,}1^3\).
Отг.: \(0{,}001\).

Задача 4Пресметнете: \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\).
Отг.: \(\frac{8}{27}\).

Задача 5Пресметнете: \((-3)^3\) и \((-3)^4\).
Отг.: \(-27\) и \(81\).

Задача 6Запишете като степен числото 125.
Отг.: \(5^3\).

Задача 7Запишете като степен: \(2^5\cdot2^3\).
Отг.: \(2^8\).

Задача 8Пресметнете: \(3^7:3^5\).
Отг.: \(9\).

Задача 9Пресметнете: \(\dfrac{2^{10}\cdot2^3}{2^8}\).
Отг.: \(2^5 = 32\).

Задача 10Намерете \(n\), ако \(2^n = 64\).
Отг.: \(n=6\).

Задача 11Намерете \(a\), ако \(a^3 = 0{,}027\).
Отг.: \(a=0{,}3\).

Задача 12Сравнете: \(8^{10}\), \(8^6\), \(8^7\) и \(8^2\). Подредете ги във възходящ ред.
Отг.: \(8^2 < 8^6 < 8^7 < 8^{10}\).

Задача 13Пресметнете: \(2^3\cdot5^2\).
Отг.: \(200\).

Задача 14Пресметнете: \((-5)^2 - (-4)^2\).
Отг.: \(9\).

Задача 15Пресметнете: \((-2)^3 - 3^3\).
Отг.: \(-35\).

Задача 16Намерете \(n\), ако \(7^n = 343\).
Отг.: \(n=3\).

Задача 17Представете 648 като произведение от прости множители и запишете равните множители като степени.
Отг.: \(648 = 2^3\cdot3^4\).

Задача 18Пресметнете по рационален начин: \(\dfrac{3^7+3^5}{3^3}\).
Отг.: \(3^2\cdot10 = 90\).

Задача 19Намерете естественото число \(n\), ако \(4^{2n} = 256\).
Отг.: \(n=2\).

Задача 20Намерете числената стойност на \(B = a^3 - \dfrac{2a^2}{14} + 2^6\) при \(a = 7\).
Отг.: \(400\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Действие степенуване с естествен степенен показател

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Стойността на \(2^5\) е:

\(10\) \(25\) \(16\) \(32\)

2В записа \(7^4\), числото 7 е:

основа на степента степенен показател стойност на степента коефициент

3\(3^2\cdot3^4 =\)

\(3^8\) \(3^6\) \(9^6\) \(3^2\)

4\(5^{14}:5^{11} =\)

\(5^{25}\) \(1^3\) \(5^3\) \(5^4\)

5Числото 49 записано като степен е:

\(4^9\) \(49^1\) \(7^3\) \(7^2\)

6Стойността на \((-2)^3\) е:

\(-8\) \(8\) \(-6\) \(6\)

7Ако \(a^0 = 1\) при \(a \neq 0\), то \(5^0 =\)

\(5\) \(1\) \(0\) \(50\)

8\(\dfrac{3^7\cdot3^5}{3^9} =\)

\(3^{21}\) \(9\) \(27\) \(81\)

9Ако \(2^n = 64\), то \(n =\)

\(5\) \(8\) \(32\) \(6\)

10Кое твърдение е вярно?

\(5^3 > 5^4\) \(5^3 = 5^4\) \(5^3 < 5^4\) Не може да се сравнят

11Стойността на \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^4\) е:

\(\dfrac{1}{8}\) \(\dfrac{1}{16}\) \(\dfrac{4}{2}\) \(\dfrac{1}{4}\)

12Разликата \((-5)^2 - (-4)^2\) е равна на:

\(-9\) \(1\) \(41\) \(9\)

13Разлагането \(400 = 2^4\cdot5^2\) означава, че 400 се разлага на простите множители:

2 и 5 4 и 25 2, 4 и 5 2 и 10

14\(\dfrac{2^6+2^4}{2^3} =\)

\(2^2\) \(10\) \(20\) \(2^3\)

15Стойността на \(10^5\) е:

\(50\) \(10\,000\) \(100\,000\) \(1\,000\,000\)

---

Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

Свързани уроци

Очаквайте скоро нови уроци за 6. клас.

---

Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед, София.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета, София.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆