📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Граница на Ойлер — приложения

Приложение на основната граница
\(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e\)

Теорема за степенно-показателни граници, неопределеност \(1^\infty\) — 7 разработени задачи с подробни решения, самостоятелна работа и онлайн тест

Математически анализ Граница на Ойлер Степенно-показателни граници \(1^\infty\) неопределеност Университет Д-р Атанас Илчев

Свеждане на степенно-показателни граници от вид \(1^\infty\) към основната граница на Ойлер

Числото \(e\approx2{,}718\ldots\) е едно от най-важните константи в математиката. То се дефинира именно чрез основната граница \[ \lim_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e, \] или еквивалентно, \(\lim_{n\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\). При пресмятане на граници от вид \(u(x)^{v(x)}\), когато \(u(x)\to1\) и \(v(x)\to\infty\), се получава неопределеността \(1^\infty\). Именно за тези граници е предназначена теоремата по-долу.

Теорема за степенно-показателни граници

Теорема. Нека \(\lim\limits_{x\to a}u(x)=A\) и \(\lim\limits_{x\to a}v(x)=B\). Тогава:

1. Ако \(A\gt0\) и \(B\in\mathbb{R}\), то \(\lim\limits_{x\to a}\bigl(u(x)\bigr)^{v(x)}=A^B\);
2. Ако \(\lim\limits_{x\to a}u(x)=1\), \(u(x)\gt0\) в достатъчно малка околност на \(a\), и съществува крайният лимит \(L=\lim\limits_{x\to a}(u(x)-1)\cdot v(x)\), то \[\lim_{x\to a}(u(x))^{v(x)}=e^L.\]

Техника за прилагане на т.2. При граница от вид \(1^\infty\) — т.е. когато основата клони към 1, а показателят клони към \(\pm\infty\) — прилагаме формулата: \[\lim_{x\to a}(u(x))^{v(x)}=e^L,\quad\text{където }L=\lim_{x\to a}(u(x)-1)\cdot v(x).\] Ключът е да изчислим крайния лимит \(L\) в показателя — той е от вид \(0\cdot\infty\), който обикновено се привежда към \(\dfrac{0}{0}\) или \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Важно: ако \(L\) не е краен, формулата не е приложима.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}(1+2x)^{1/x}\).

▼

Решение Записваме израза в удобна форма: \[(1+2x)^{1/x}=\left((1+2x)^{1/(2x)}\right)^2.\] Тъй като \(\lim\limits_{x\to 0}(1+2x)^{1/(2x)}=e\) (полагаме \(t=2x\to0\) и прилагаме основната граница), следва: \[\lim_{x\to 0}(1+2x)^{1/x}=\left(\lim_{x\to 0}(1+2x)^{1/(2x)}\right)^2=e^2.\]

Забележка: Двустранната граница \(\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{x}\) не съществува (\(+\infty\) отдясно, \(-\infty\) отляво), затова не е коректно да се твърди, че показателят клони към \(\infty\). Свеждането до основната граница чрез \((1+2x)^{1/(2x)}\to e\) избягва този проблем.

2

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3x}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)=1\) и \(\lim\limits_{x\to\infty}3x=\infty\), прилагаме т.2: \[\lim_{x\to\infty}\!\left(1+\frac{1}{x}\right)^{3x}=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\cdot3x}=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}3}=e^3.\]

Забележка: Алтернативно, \(\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3x}=\left[\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^x\right]^3\to e^3\), тъй като вътрешната скоба клони към \(e\).

3

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{x}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{3}{x}\right)=1\) и \(\lim\limits_{x\to\infty}x=\infty\), прилагаме т.2: \[\lim_{x\to\infty}\!\left(1+\frac{3}{x}\right)^x=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3}{x}\cdot x}=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}3}=e^3.\]

Забележка: Полагаме \(t=\dfrac{x}{3}\), тогава \(x=3t\) и \(t\to\infty\): \(\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^{3t}\to e^3\).

4

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-2}\right)=1\) и \(\lim\limits_{x\to\infty}x^2=\infty\), имаме неопределеност \(1^\infty\). Прилагаме т.2: \[ \lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{x^2+1}{x^2-2}-1\right)x^2}= e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\!\left(\frac{x^2+1-x^2+2}{x^2-2}\right)x^2}=e^{\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2}{x^2-2}}=e^3. \] В последната стъпка \(\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3x^2}{x^2-2}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{3}{1-2/x^2}=3\).

5

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2(x)}\).

▼

Решение Тъй като \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x^2)=1\) и \(\lim\limits_{x\to 0}\operatorname{ctg}^2(x)=\infty\), имаме неопределеност \(1^\infty\). Прилагаме т.2: \[ \lim_{x\to 0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2(x)}=e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\cdot\operatorname{ctg}^2(x)}= e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}x^2\cdot\frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}}= e^{\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2}{\sin^2(x)}\cdot\lim_{x\to 0}\cos^2(x)}. \] Тъй като \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x}{\sin x}=1\) и \(\lim\limits_{x\to 0}\cos^2(x)=1\), получаваме \(e^{1\cdot1}=e\).

6

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\!\left(6-\dfrac{5}{\cos(x)}\right)^{\operatorname{tg}^2(x)}\).

▼

Решение Намираме поотделно лимитите на основата и показателя при \(x\to0\): \[\lim_{x\to 0}\!\left(6-\frac{5}{\cos x}\right)=6-\frac{5}{1}=1,\qquad\lim_{x\to 0}\operatorname{tg}^2(x)=0.\] Тъй като \(A=1\in\mathbb{R}\) и \(B=0\in\mathbb{R}\), прилагаме т.1 от теоремата: \[\lim_{x\to 0}\!\left(6-\frac{5}{\cos x}\right)^{\operatorname{tg}^2(x)}=1^0=\mathbf{1}.\] Забележка: Не прилагаме т.2, защото показателят клони към \(0\), а не към \(\infty\).

7

Намерете границата \(\lim\limits_{x\to 0}\!\left(\dfrac{x^4+5}{x+10}\right)^{\frac{4}{x+2}}\).

▼

Решение Намираме лимитите поотделно: \[\lim_{x\to 0}\frac{x^4+5}{x+10}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2},\qquad\lim_{x\to 0}\frac{4}{x+2}=\frac{4}{2}=2.\] Тъй като \(A=\dfrac{1}{2}\in\mathbb{R}\) и \(B=2\in\mathbb{R}\), прилагаме т.1: \[\lim_{x\to 0}\!\left(\frac{x^4+5}{x+10}\right)^{\frac{4}{x+2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\mathbf{\frac{1}{4}}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Намерете \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x^2+3}{x^2-1}\right)^{x^2}\).

Задача 2 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}(1+\sin^2 x)^{1/x^2}\).

Задача 3 Намерете \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^{x+1}\).

Задача 4 Намерете \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{2x+3}{2x+1}\right)^{x+1}\).

Задача 5 Намерете \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{2/x}\).

Задача 6 Намерете \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{3x}\right)^x\).

Задача 7 Намерете \(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^x\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Основна граница \(\lim(1+x)^{1/x}=e\)

Изберете верния отговор за всеки въпрос.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Основната граница на Ойлер е:

\(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=1\) \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=e\) \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=0\) \(\lim\limits_{x\to 0}(1+x)^{1/x}=+\infty\)

2При пресмятане на граница от вид \(1^\infty\) използваме формулата:

\(\lim u^v=e^{\lim u\cdot v}\) \(\lim u^v=e^{\lim(u-1)\cdot v}\) \(\lim u^v=e^{\lim(u+1)\cdot v}\) \(\lim u^v=e^{\lim u/v}\)

3\(\lim\limits_{x\to 0}(1+2x)^{1/x}=\)

\(e\) \(e^2\) \(e^{1/2}\) \(2e\)

4\(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{3x}=\)

\(e\) \(e^3\) \(3e\) \(e^{1/3}\)

5\(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(1+\dfrac{3}{x}\right)^{x}=\)

\(e\) \(e^3\) \(3e\) \(e^{1/3}\)

6При \(A=1\) и \(B=\infty\) лимитът \(\lim u^v\) е:

Винаги равен на \(e\) Равен на \(e^L\), където \(L=\lim(u-1)v\) Винаги равен на 1 Винаги равен на \(+\infty\)

7\(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-2}\right)^{x^2}=\)

\(e\) \(e^3\) \(e^{-3}\) \(1\)

8В З4 показателят \(L=\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x^2+1}{x^2-2}-1\right)x^2\) е равен на:

\(1\) \(3\) \(-3\) \(0\)

9\(\lim\limits_{x\to 0}(1+x^2)^{\operatorname{ctg}^2(x)}=\)

\(e^2\) \(e\) \(1\) \(+\infty\)

10Защо в З5 използваме т.2, а не т.1?

Защото основата клони към 0 Защото основата клони към 1 и показателят клони към \(\infty\) Защото показателят клони към 0 Защото основата клони към \(\infty\)

11\(\lim\limits_{x\to 0}\!\left(6-\dfrac{5}{\cos x}\right)^{\operatorname{tg}^2(x)}=\)

\(e\) \(1\) \(0\) \(+\infty\)

12\(\lim\limits_{x\to 0}\!\left(\dfrac{x^4+5}{x+10}\right)^{4/(x+2)}=\)

\(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{1}{4}\) \(e^2\) \(2\)

13Еквивалентна форма на основната граница при \(x\to\infty\) е:

\(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(1-\dfrac{1}{n}\right)^n=e\) \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\) \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=1\) \(\lim\limits_{n\to\infty}n\cdot e^{1/n}=e\)

14При \(A\in\mathbb{R}\), \(A\gt0\) и \(B\in\mathbb{R}\) (т.1 от теоремата) \(\lim u^v=\)

\(e^{AB}\) \(A^B\) \(B^A\) \(e^B\)

15\(\lim\limits_{x\to\infty}\!\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)^x=\)

\(e^2\) \(e^3\) \(e\) \(1\)

---

Свързани уроци

◀

Приложение на основната граница \(\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1\)

Техники за свеждане към основната тригонометрична граница — 5 разработени задачи с подробни решения и тест.

Преглед на урока →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆