Доказване на граници ($\epsilon - \delta$ дефиниция)

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Граница на функция

Доказване на граници
(\(\varepsilon\)-\(\delta\) определение по Коши)

Строго доказване на граници с помощта на определението по Коши — 3 разработени задачи с пълни доказателства и числени таблици, самостоятелна работа и онлайн тест

Математически анализ \(\varepsilon\)-\(\delta\) определение Определение по Коши Граница на функция Университет Д-р Атанас Илчев

Строго доказване на граници чрез намиране на \(\delta\) в зависимост от \(\varepsilon\)

Интуитивното разбиране за граница — „\(f(x)\) клони към \(L\), когато \(x\) клони към \(a\)" — е полезно за пресмятане, но математически недостатъчно прецизно. Огюстен-Луи Коши формализира понятието чрез т.нар. \(\varepsilon\)-\(\delta\) определение, което е в основата на цялата строга теория на математическия анализ.

Определение по Коши (\(\varepsilon\)-\(\delta\))

Определение (по Коши). Казваме, че \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L\), ако за всяко \(\varepsilon\gt0\) съществува \(\delta\gt0\), такова, че за всяко \(x\) от дефиниционната област на \(f\), за което \(0\lt|x-a|\lt\delta\), е изпълнено \(|f(x)-L|\lt\varepsilon\).

С думи: каквато и (малка) допустима грешка \(\varepsilon\) за стойността на функцията да зададем, можем да намерим такава (малка) околност \(\delta\) около точката \(a\), че от \(x\) да е в тази \(\delta\)-околност да следва, че \(f(x)\) е в \(\varepsilon\)-околност на \(L\).

Стратегия за намиране на \(\delta\).

1. Черновата: Предположете, че \(\delta\) е намерено. Разпишете \(|f(x)-L|\) и го изразете чрез \(|x-a|\). Намерете връзката \(\delta\) и \(\varepsilon\).
2. Усложненият случай: Ако в израза остане \(x\), наложете допълнително ограничение \(\delta\leq1\) (или друга подходяща константа), за да ограничите \(x\) в удобен интервал и да намерите горна граница за вариращия коефициент.
3. Доказателството: Декларирайте \(\delta\) (с \(\min\) ако е необходимо) и запишете формалното доказателство.

Забележка. Намирането на \(\delta\) не е уникално — достатъчно е да намерим едно такова \(\delta\). Обикновено се търси простото равенство \(\delta=\dfrac{\varepsilon}{C}\) за някоя константа \(C\), или \(\delta=\min\!\left\{1,\dfrac{\varepsilon}{C}\right\}\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното доказателство.

1

Докажете, че \(\lim\limits_{x\to 1}(5x-7)=-2\).

▼

Доказателство

Черновата. При дадено \(\varepsilon\) търсим \(\delta\), такова, че при \(|x-1|\lt\delta\) да е изпълнено \(|5x-7-(-2)|\lt\varepsilon\). Предполагаме, че сме намерили такова \(\delta\), и разписваме:

\[|5x-7-(-2)|=|5x-5|=5|x-1|\lt5\delta=\varepsilon.\]

Оттук: \(\delta=\dfrac{\varepsilon}{5}\).

Доказателство. Нека \(\varepsilon\gt0\). Нека \(\delta=\dfrac{\varepsilon}{5}\). Тогава, ако \(|x-1|\lt\delta\), то:

\[|5x-7-(-2)|=|5x-5|=5|x-1|\lt5\delta=5\cdot\frac{\varepsilon}{5}=\varepsilon.\]

Следователно \(\lim\limits_{x\to 1}(5x-7)=-2\). \(\blacksquare\)

Числена таблица (\(\varepsilon_l=|f(1-\delta)-L|\), \(\varepsilon_r=|f(1+\delta)-L|\)):

\(\varepsilon\)	\(2\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(10^{-6}\)
\(\delta\)	\(0{,}4\)	\(0{,}2\)	\(0{,}02\)	\(0{,}002\)	\(2\!\times\!10^{-7}\)
\(\varepsilon_l\)	\(2\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(10^{-6}\)
\(\varepsilon_r\)	\(2\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(10^{-6}\)

Тъй като не прилагаме допълнителни неравенства освен \(|x-1|\lt\delta\), стойностите \(\varepsilon=\varepsilon_l=\varepsilon_r\) — при точно \(|x-1|=\delta\) получаваме точно \(|f(x)-L|=\varepsilon\). Забележка: точките \(x=a\pm\delta\) формално не принадлежат на отворената \(\delta\)-околност \((0\lt|x-a|\lt\delta\)), таблицата илюстрира поведението на функцията на нейната граница.

2

Докажете, че \(\lim\limits_{x\to 3}(x^2-8)=1\).

▼

Доказателство

Черновата. При дадено \(\varepsilon\) търсим \(\delta\), такова, че при \(|x-3|\lt\delta\) да е изпълнено \(|x^2-8-1|\lt\varepsilon\). Разписваме:

\[|x^2-9|=|(x-3)(x+3)|=|x-3|\cdot|x+3|\lt\delta\cdot|x+3|.\]

Не можем директно да намерим \(\delta\), докато в израза стои \(x\). Затова налагаме допълнително ограничение \(\delta\leq1\). Тогава:

\[|x-3|\lt1\implies-1\lt x-3\lt1\implies2\lt x\lt4\implies5\lt x+3\lt7\implies|x+3|\lt7.\]

Следователно: \(|x^2-9|\lt7\delta=\varepsilon\), откъдето \(\delta=\dfrac{\varepsilon}{7}\). Тъй като предположихме \(\delta\leq1\), поставяме \(\delta=\min\!\left\{1,\dfrac{\varepsilon}{7}\right\}\).

Доказателство. Нека \(\varepsilon\gt0\). Нека \(\delta=\min\!\left\{1,\dfrac{\varepsilon}{7}\right\}\). Тогава, ако \(|x-3|\lt\delta\), то от \(\delta\leq1\) следва \(|x+3|\lt7\), и:

\[|x^2-8-1|=|x-3|\cdot|x+3|\lt\delta\cdot7\leq\frac{\varepsilon}{7}\cdot7=\varepsilon.\]

Следователно \(\lim\limits_{x\to 3}(x^2-8)=1\). \(\blacksquare\)

\(\varepsilon\)	\(10\)	\(7\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(10^{-6}\)
\(\delta\)	\(1\)	\(1\)	\(1{,}43\!\times\!10^{-2}\)	\(1{,}43\!\times\!10^{-3}\)	\(1{,}43\!\times\!10^{-7}\)
\(\varepsilon_l\)	\(5\)	\(5\)	\(8{,}55\!\times\!10^{-2}\)	\(8{,}57\!\times\!10^{-3}\)	\(8{,}57\!\times\!10^{-7}\)
\(\varepsilon_r\)	\(7\)	\(7\)	\(8{,}59\!\times\!10^{-2}\)	\(8{,}57\!\times\!10^{-3}\)	\(8{,}57\!\times\!10^{-7}\)

При \(\varepsilon=10\): \(\dfrac{\varepsilon}{7}=\dfrac{10}{7}\gt1\), затова \(\delta=1\). Стойностите \(\varepsilon_l\leq\varepsilon\) и \(\varepsilon_r\leq\varepsilon\) — доказателството дава само горна граница, не точна стойност. Забележете, че при \(\varepsilon=7\): \(\varepsilon_r=7=\varepsilon\) точно, тъй като при \(x=3+1=4\) имаме \(|f(4)-L|=|16-8-1|=7\). Таблицата е илюстрация на поведението на функцията на границата на \(\delta\)-околността — точките \(x=a\pm\delta\) формално не принадлежат на \((0\lt|x-a|\lt\delta\)).

3

Докажете, че \(\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{1}{5x}=-\dfrac{1}{10}\).

▼

Доказателство

Черновата. При дадено \(\varepsilon\) търсим \(\delta\), такова, че при \(|x+2|\lt\delta\) да е изпълнено \(\left|\dfrac{1}{5x}+\dfrac{1}{10}\right|\lt\varepsilon\). Пресмятаме:

\[\left|\frac{1}{5x}-\left(-\frac{1}{10}\right)\right|=\frac{1}{5}\left|\frac{2+x}{2x}\right|=\frac{|x+2|}{10|x|}\lt\frac{\delta}{10|x|}.\]

Налагаме \(\delta\leq1\). Тогава:

\[|x+2|\lt1\implies-3\lt x\lt-1\implies1\lt|x|\lt3\implies\frac{1}{3}\lt\frac{1}{|x|}\lt1.\]

Следователно: \(\dfrac{\delta}{10|x|}\lt\dfrac{\delta}{10}=\varepsilon\), откъдето \(\delta=10\varepsilon\). Поставяме \(\delta=\min\{1,10\varepsilon\}\).

Доказателство. Нека \(\varepsilon\gt0\). Нека \(\delta=\min\{1,10\varepsilon\}\). Тогава, ако \(|x+2|\lt\delta\), то от \(\delta\leq1\) следва \(1\lt|x|\lt3\), и:

\[\left|\frac{1}{5x}+\frac{1}{10}\right|=\frac{|x+2|}{10|x|}\lt\frac{\delta}{10\cdot1}\leq\frac{10\varepsilon}{10}=\varepsilon.\]

Следователно \(\lim\limits_{x\to -2}\dfrac{1}{5x}=-\dfrac{1}{10}\). \(\blacksquare\)

\(\varepsilon\)	\(2\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}01\)	\(10^{-6}\)
\(\delta\)	\(1\)	\(1\)	\(1\)	\(0{,}1\)	\(10^{-5}\)
\(\varepsilon_l\)	\(3{,}33\!\times\!10^{-2}\)	\(3{,}33\!\times\!10^{-2}\)	\(3{,}33\!\times\!10^{-2}\)	\(4{,}76\!\times\!10^{-3}\)	\(5\!\times\!10^{-7}\)
\(\varepsilon_r\)	\(0{,}1\)	\(0{,}1\)	\(0{,}1\)	\(5{,}26\!\times\!10^{-3}\)	\(5\!\times\!10^{-7}\)

При \(\varepsilon\geq0{,}1\): \(10\varepsilon\geq1\), затова \(\delta=1\) — таблицата е постоянна в тези колони. Стойностите \(\varepsilon_l=|f(a-\delta)-L|\) и \(\varepsilon_r=|f(a+\delta)-L|\) са значително по-малки от \(\varepsilon\), защото при ограничение \(\delta\leq1\) оценката е консервативна. Таблицата е илюстрация на поведението на функцията на границата на \(\delta\)-околността — точките \(x=a\pm\delta\) формално не принадлежат на \((0\lt|x-a|\lt\delta\)).

---

Задачи за самостоятелна работа

Намерете \(\delta\) и запишете пълното доказателство по \(\varepsilon\)-\(\delta\) метода.

Задача 1 Докажете, че \(\lim\limits_{x\to 2}(3x+1)=7\).

▼ Отговор

\(|3x+1-7|=|3x-6|=3|x-2|\lt3\delta=\varepsilon\), откъдето \(\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}\).

Задача 2 Докажете, че \(\lim\limits_{x\to 2}(x^2-1)=3\).

▼ Отговор

\(|x^2-4|=|x-2||x+2|\). При \(\delta\leq1\): \(1\lt x\lt3\Rightarrow|x+2|\lt5\).
\(\delta=\min\!\left\{1,\dfrac{\varepsilon}{5}\right\}\).

Задача 3 Докажете, че \(\lim\limits_{x\to 2}\dfrac{2}{x}=1\).

▼ Отговор

\(\left|\dfrac{2}{x}-1\right|=\dfrac{|x-2|}{|x|}\lt\dfrac{\delta}{|x|}\). При \(\delta\leq1\): \(1\lt x\lt3\Rightarrow|x|\gt1\).
\(\delta=\min\{1,\varepsilon\}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: \(\varepsilon\)-\(\delta\) определение по Коши

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Определението по Коши казва: \(\lim_{x\to a}f(x)=L\), ако за всяко \(\varepsilon\gt0\) съществува \(\delta\gt0\), такова, че от \(|x-a|\lt\delta\) следва:

\(|f(x)-L|\leq\varepsilon\) \(|f(x)-L|\lt\varepsilon\) \(|f(x)-L|\gt\varepsilon\) \(|f(x)+L|\lt\varepsilon\)

2При доказване на \(\lim_{x\to 1}(5x-7)=-2\) получаваме \(\delta=\)

\(5\varepsilon\) \(\varepsilon/5\) \(\varepsilon/7\) \(\varepsilon\)

3При опростяване \(|5x-7-(-2)|\) получаваме:

\(|5x-9|\) \(5|x-1|\) \(|5x+5|\) \(5|x+1|\)

4При доказване на \(\lim_{x\to 3}(x^2-8)=1\) разлагаме \(|x^2-9|\) като:

\(|x-9||x+1|\) \(|x-3||x+3|\) \(|x-3|^2\) \(|x+3|^2\)

5Защо налагаме \(\delta\leq1\) при доказването на З2?

За да опростим изчисленията За да ограничим \(x\) и да получим горна граница за \(|x+3|\) Защото \(\delta\) не може да е по-голямо от 1 За да гарантираме \(\varepsilon\lt1\)

6При \(\delta\leq1\) и \(|x-3|\lt\delta\) намираме \(|x+3|\lt\)

\(3\) \(7\) \(5\) \(4\)

7При доказването на З2 \(\delta=\)

\(\varepsilon/7\) \(\min\!\left\{1,\varepsilon/7\right\}\) \(\min\!\left\{1,7\varepsilon\right\}\) \(7\varepsilon\)

8При \(\varepsilon=10\) в З2 \(\delta=\min\{1,10/7\}=\)

\(10/7\approx1{,}43\) \(1\) \(0{,}7\) \(10\)

9При доказването на \(\lim_{x\to-2}\frac{1}{5x}=-\frac{1}{10}\), след опростяване получаваме:

\(\dfrac{|x+2|}{5|x|}\) \(\dfrac{|x+2|}{10|x|}\) \(\dfrac{|x-2|}{10|x|}\) \(\dfrac{1}{10|x|}\)

10При \(\delta\leq1\) и \(|x+2|\lt1\) намираме \(|x|\gt\)

\(2\) \(1\) \(3\) \(0\)

11При доказването на З3 \(\delta=\)

\(\varepsilon/10\) \(\min\{1,10\varepsilon\}\) \(\min\{1,\varepsilon/10\}\) \(10\varepsilon\)

12При \(\lim_{x\to 2}(3x+1)=7\), \(\delta=\)

\(\varepsilon/5\) \(\varepsilon/3\) \(3\varepsilon\) \(\varepsilon\)

13При \(\lim_{x\to 2}(x^2-1)=3\) и \(\delta\leq1\), горната граница за \(|x+2|\) е:

\(3\) \(5\) \(7\) \(4\)

14Конструкцията \(\delta=\min\{1, \varepsilon/C\}\) е необходима, когато:

Функцията е линейна В оценката се появява \(x\) и трябва да го ограничим \(\delta\) трябва да е по-малко от 1 \(\varepsilon\) е много малко

15Намирането на \(\delta\) в ε-δ доказателство е:

Задължително единствено Не е единствено — достатъчно е едно такова \(\delta\) Задължително равно на \(\varepsilon\) Задължително по-малко от 1

---

Видео урок

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Видео урок по темата „Доказване на граници по Коши“ предстои.
Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

◀

Граница на функция — определения по Хайне и Коши

Урок по математически анализ: определения по Хайне и Коши, теореми за граници, едностранни граници. 11 разработени задачи и тест.

Преглед на урока →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆