Преобразуване на ирационални изрази 11 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Ирационални изрази

Ирационални изрази
Преобразувания и задачи

5 определения, формула за \(\sqrt{A\pm\sqrt{B}}\), 10 разработени задачи — събиране на подобни радикали, опростяване, доказване на равенства и задачи от ДЗИ

Ирационални изрази Подобни радикали Нормален вид ДЗИ задачи Д-р Атанас Илчев

Обобщение на свойствата на квадратния корен, корен трети и корен n-ти — приложение при преобразуване на ирационални изрази

Основни определения

Определение 1: Алгебричен израз, съдържащ корен (радикал), се нарича ирационален израз.

Определение 2: Множителят пред знака на радикала се нарича коефициент на радикала.

Определение 3: Радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и множители, които могат да се изнесат пред корена.

Определение 4: Радикали, които в нормалния си вид имат равни коренни показатели и еднакви подкоренни величини, се наричат подобни радикали. Те могат да се събират и изваждат.

Определение 5: Множеството от всички допустими стойности за даден израз образува дефиниционната му област.

Полезна формула: За \(A^2\geq B\geq0\): \[\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}}.\] Тя позволява да се „разгнезди" квадратен корен, съдържащ друг квадратен корен.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Извършете действията:
а) \(\sqrt[3]{864}-\sqrt[3]{256}-\sqrt[4]{243}\);  б) \(\sqrt[4]{2}-(\sqrt[4]{32}-\sqrt[4]{162}-\sqrt[4]{1250})\);  в) \(\!\left[\sqrt[6]{7\sqrt{7\sqrt{7}}}\right]^{\!2}\);  г) \(\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}\).

▼

Решение а) \(864=2^3\cdot3^3\cdot4\), \(256=2^3\cdot2^3\cdot4\), \(243=3^4\cdot3\): \[\sqrt[3]{4\cdot2^3\cdot3^3}-\sqrt[3]{4\cdot2^3\cdot2^3}-\sqrt[4]{3\cdot3^4}=6\sqrt[3]{4}-4\cdot2\sqrt[3]{4}-3\sqrt[4]{3}=6\sqrt[3]{4}-8\sqrt[3]{4}-3\sqrt[4]{3}.\] Забележка: \(\sqrt[3]{256}=\sqrt[3]{2^3\cdot64}=\sqrt[3]{2^3\cdot4^3}=2\cdot4=8\)... Нека провери: \(256=2^8=4\cdot64\), \(\sqrt[3]{256}=\sqrt[3]{4\cdot2^6}=4\sqrt[3]{4}\). Следователно: \[\sqrt[3]{864}-\sqrt[3]{256}-\sqrt[4]{243}=6\sqrt[3]{4}-4\sqrt[3]{4}-3\sqrt[4]{3}=2\sqrt[3]{4}-3\sqrt[4]{3}.\] б) \(\sqrt[4]{32}=2\sqrt[4]{2}\), \(\sqrt[4]{162}=3\sqrt[4]{2}\), \(\sqrt[4]{1250}=5\sqrt[4]{2}\): \[\sqrt[4]{2}-(2\sqrt[4]{2}-3\sqrt[4]{2}-5\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}-(-6\sqrt[4]{2})=7\sqrt[4]{2}.\] в) \(7\sqrt{7\sqrt{7}}=7\cdot7^{3/4}=7^{7/4}\), следователно: \[\left[\sqrt[6]{7^{7/4}}\right]^2=\left(7^{7/24}\right)^2=7^{7/12}=\sqrt[12]{7^7}.\] г) \(7+4\sqrt{3}=4+4\sqrt{3}+3=(2+\sqrt{3})^2\), следователно: \[\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt[4]{(2+\sqrt{3})^2}=\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}=\sqrt{4-3}=1.\]

2

Пресметнете:
а) \((\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})\);  б) \(\sqrt[3]{\left(\sqrt{18}+\sqrt{2}\right)^{\!2}}\);  в) \(2\sqrt[4]{\dfrac{4}{25}}:\sqrt[4]{\dfrac{64}{125}}\);  г) \(\sqrt[3]{\left(\sqrt{2}-3\right)^3}+\sqrt{\left(\sqrt{2}-2\right)^2}\).

▼

Решение а) Прилагаме \((a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\) с \(a=\sqrt[3]{2}\), \(b=\sqrt[3]{3}\): \[(\sqrt[3]{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3=2-3=-1.\] б) \(\sqrt{18}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}\), следователно: \[\sqrt[3]{(4\sqrt{2})^2}=\sqrt[3]{32}=2\sqrt[3]{4}.\] в) Записваме делението под един корен: \[2\sqrt[4]{\frac{4}{25}\cdot\frac{125}{64}}=2\sqrt[4]{\frac{500}{1600}}=2\sqrt[4]{\frac{5}{16}}=2\cdot\frac{\sqrt[4]{5}}{2}=\sqrt[4]{5}.\] г) При нечетен корен \(\sqrt[3]{(\sqrt{2}-3)^3}=\sqrt{2}-3\). При четен: \(\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}=|\sqrt{2}-2|=2-\sqrt{2}\) (тъй като \(\sqrt{2}\lt2\)): \[(\sqrt{2}-3)+(2-\sqrt{2})=-1.\]

3

Опростете: \(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}\).

▼

Решение Работим отвътре навън. \(13+2\sqrt{12}=12+2\sqrt{12}+1=(\sqrt{12}+1)^2\): \[2\sqrt{3+\sqrt{5-(\sqrt{12}+1)}}=2\sqrt{3+\sqrt{4-\sqrt{12}}}=2\sqrt{3+\sqrt{4-2\sqrt{3}}}.\] \(4-2\sqrt{3}=3-2\sqrt{3}+1=(\sqrt{3}-1)^2\), следователно \(\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1\): \[2\sqrt{3+\sqrt{3}-1}=2\sqrt{2+\sqrt{3}}.\] Прилагаме формулата с \(A=2\), \(B=3\), \(A^2-B=1\): \[2\left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\sqrt{6}+\sqrt{2}.\]

4

Опростете: \(\dfrac{a}{2}\sqrt[4]{(a+1)(a^2-1)(1+2a+a^2)}\cdot\dfrac{\sqrt{a-1}}{a^2+3a+2}\), при \(a\geq1\), \(a\neq2\).

▼

Решение Разлагаме: \(a^2-1=(a+1)(a-1)\), \(1+2a+a^2=(a+1)^2\), \(a^2+3a+2=(a+1)(a+2)\). Подкоренното произведение: \[(a+1)(a+1)(a-1)(a+1)^2=(a+1)^4(a-1).\] Следователно: \[\frac{a}{2}\cdot(a+1)\sqrt[4]{a-1}\cdot\frac{\sqrt{a-1}}{(a+1)(a+2)}=\frac{a}{2(a+2)}\cdot\sqrt[4]{a-1}\cdot\sqrt{a-1}=\frac{a}{2(a+2)}\sqrt[4]{(a-1)^3}.\]

5

Опростете при \(a\gt0\), \(a\neq1\): \[\left(\frac{a-\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}-1}-\frac{a+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}+1}\right)\!\left(\frac{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{a^3}}{\sqrt{a}+1}+\frac{1-\sqrt{a}}{\sqrt[4]{a}}\right)\!.\]

▼

Решение Първа скоба: \[\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a^2}-1)}{\sqrt[3]{a}-1}-\frac{\sqrt[3]{a^2}(\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}+1}=\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{a}+1)-\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^2}=\sqrt[3]{a}.\] Втора скоба: \[\frac{\sqrt[4]{a}(1+\sqrt{a})}{\sqrt{a}+1}+\frac{(1-\sqrt{a})(\sqrt{a}+1)}{\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+1)}=\frac{\sqrt[4]{a^2}(\sqrt{a}+1)+(1-a)}{\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+1)}=\frac{\sqrt{a}+a+1-a}{\sqrt[4]{a}(\sqrt{a}+1)}=\frac{1}{\sqrt[4]{a}}.\] Резултат: \[\sqrt[3]{a}\cdot\frac{1}{\sqrt[4]{a}}=\frac{\sqrt[12]{a^4}}{\sqrt[12]{a^3}}=\sqrt[12]{a}.\]

6

Докажете при \(a\neq -b\): \[\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{b^2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{3\sqrt[3]{ab}}{a+b}=0.\]

▼

Решение Нека \(p=\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\) и \(q=\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\). Тогава \(a+b=pq\). Привеждаме под общ знаменател \(pq\): \[\frac{p^2-q-3\sqrt[3]{ab}}{pq}=\frac{(\sqrt[3]{a^2}+2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})-(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})-3\sqrt[3]{ab}}{pq}=\frac{0}{pq}=0.\quad\blacksquare\]

7

Докажете, че \(\dfrac{(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}+1)(a-\sqrt{a}+1)}{a^2+a+1}\) не зависи от \(a\).

▼

Решение Нека \(t=\sqrt[4]{a}\). Тогава \(\sqrt{a}=t^2\). Прилагаме \((x+1)^2-x=(x+1-\sqrt{x})(x+1+\sqrt{x})\) с \(x=\sqrt{a}\): \[(\sqrt{a}-\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt{a}+\sqrt[4]{a}+1)=((\sqrt{a}+1)-\sqrt[4]{a})((\sqrt{a}+1)+\sqrt[4]{a})=(\sqrt{a}+1)^2-\sqrt{a}=a+\sqrt{a}+1.\] Следователно числителят: \[(a+\sqrt{a}+1)(a-\sqrt{a}+1)=(a+1)^2-(\sqrt{a})^2=a^2+2a+1-a=a^2+a+1.\] Дробта: \[\frac{a^2+a+1}{a^2+a+1}=1.\] Изразът е равен на 1 независимо от \(a\). \(\blacksquare\)

8

ДЗИ 29.08.2018
При \(x\gt y\gt0\), изразът \(\dfrac{4\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}\) е тъждествено равен на:
А) \(2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\);  Б) \(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\);  В) \(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\);  Г) \(2\sqrt{x}+\sqrt{4}\).

▼

Решение Числителят: \(4\sqrt{x}-\sqrt{y}=(2\sqrt[4]{x})^2-(\sqrt[4]{y})^2\). Прилагаме \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): \[\frac{(2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y})(2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})}{2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}=2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}.\] Верен отговор: А).

9

ДЗИ 25.05.2019
Стойността на \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}-\sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3}\) е:
А) \(3-2\sqrt{5}\);  Б) \(-1\);  В) \(1\);  Г) \(2\sqrt{5}-3\).

▼

Решение \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}=|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2\) (тъй като \(\sqrt{5}\gt2\)).
\(\sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3}=1-\sqrt{5}\) (нечетен корен — без абсолютна стойност).
\[(\sqrt{5}-2)-(1-\sqrt{5})=2\sqrt{5}-3.\] Верен отговор: Г).

10

ДЗИ 25.05.2019
Изразът \(\dfrac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}\) е равен на:
А) \(\sqrt[6]{2}\);  Б) \(\dfrac{2}{\sqrt[6]{2}}\);  В) \(\sqrt[3]{4}\);  Г) \(\sqrt[3]{2}\).

▼

Решение \(4\sqrt{2}=2^2\cdot2^{1/2}=2^{5/2}=\sqrt{32}\), следователно \(\sqrt[3]{4\sqrt{2}}=\sqrt[3]{\sqrt{32}}=\sqrt[6]{32}\). Тогава: \[\frac{\sqrt[6]{32}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[6]{32}}{\sqrt[6]{8}}=\sqrt[6]{\frac{32}{8}}=\sqrt[6]{4}=\sqrt[3]{2}.\] Верен отговор: Г).

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 — Пресмятане а) \(\sqrt[6]{8+\sqrt{39}}\cdot\sqrt[6]{8-\sqrt{39}}\);  б) \(\sqrt{\sqrt{13}-2}\cdot\sqrt{\sqrt{13}+2}+\sqrt[4]{(\sqrt{3}-2)^4}-\sqrt[3]{2+\sqrt{625}}\);  в) \((\sqrt[4]{25}+\sqrt[4]{4})^2\);  г) \((1-\sqrt[3]{2})(1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})\).

Задача 2 — Опростяване \[\sqrt{a^2-1}+(a-1)\sqrt{\frac{a+1}{a-1}}-2(a+1)\sqrt{\frac{a-1}{a+1}}.\]

Задача 3 — Допустими стойности и опростяване \[\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\left(\frac{x+\sqrt[4]{xy^3}}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}-\sqrt[4]{xy}\right):(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}).\]

Задача 4 — Допустими стойности и опростяване \[1+\frac{1+\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}+x}:\frac{1}{x\sqrt{x}-1}.\]

Задача 5 — Дефиниционна област а) \(\sqrt[6]{2x-\sqrt{5}}\);  б) \(\sqrt[5]{\dfrac{3-x}{-x^2+9}}\);  в) \(\sqrt[10]{\dfrac{3x^2-7x-6}{x^2-4x-21}}\);  г) \(\sqrt[4]{t^4-8t^2+15}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Ирационални изрази — преобразувания

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Ирационален израз е:

Всяко алгебрично тъждество Алгебричен израз, съдържащ корен Израз само с рационални коефициенти

2Подобни радикали са:

Радикали с еднакви коефициенти Радикали с равни показатели и еднакви подкоренни величини в нормален вид Всички корени с един и същи показател

3\(\sqrt[4]{32}=\)

\(\sqrt[4]{2}\) \(2\sqrt[4]{2}\) \(4\sqrt[4]{2}\)

4\(\sqrt[4]{2}-(2\sqrt[4]{2}-3\sqrt[4]{2}-5\sqrt[4]{2})=\)

\(-3\sqrt[4]{2}\) \(7\sqrt[4]{2}\) \(\sqrt[4]{2}\)

5\((\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9})=\)

\(1\) \(-1\) \(6\)

6\(\sqrt[3]{(\sqrt{2}-3)^3}=\)

\(|{\sqrt{2}-3}|\) \(\sqrt{2}-3\) \(3-\sqrt{2}\)

7\(\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}=\)

\(\sqrt{2}-2\) \(2-\sqrt{2}\) \(\sqrt{2}+2\)

8\(2\sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+2\sqrt{12}}}}\) след опростяване е:

\(\sqrt{2}+\sqrt{3}\) \(\sqrt{6}+\sqrt{2}\) \(2\sqrt{3}\)

9Изразът от З7 не зависи от \(a\) и е равен на:

\(0\) \(1\) \(a\)

10[ДЗИ 2018] \(\dfrac{4\sqrt{x}-\sqrt{y}}{2\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}=\)

\(2\sqrt{x}+\sqrt{y}\) \(2\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\) \(\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}\)

11[ДЗИ 2019] \(\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}-\sqrt[3]{(1-\sqrt{5})^3}=\)

\(-1\) \(2\sqrt{5}-3\) \(3-2\sqrt{5}\)

12[ДЗИ 2019] \(\dfrac{\sqrt[3]{4\sqrt{2}}}{\sqrt{2}}=\)

\(\sqrt[6]{2}\) \(\sqrt[3]{2}\) \(\sqrt[3]{4}\)

13Радикал е в нормален вид, ако:

Коефициентът му е равен на 1 Подкоренната величина няма знаменател и не може да се изнесе множител Показателят е четно число

14\(\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot\sqrt[4]{7+4\sqrt{3}}=\)

\(\sqrt{3}-1\) \(1\) \(2\)

15Резултатът от З5 (опростяване при \(a\gt0\), \(a\neq1\)) е:

\(\sqrt[6]{a}\) \(\sqrt[12]{a}\) \(\sqrt[4]{a}\)

---

Свързани уроци

▶

Степен с рационален степенен показател — свойства

Определение, свойства, представяне чрез корен, сравняване — 10 разработени задачи и тест.

Преглед на урока →

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по ирационални изрази:

Видео урок — Ирационални изрази. Преобразувания и задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆