Степен с рационален степенен показател — свойства

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Степен с рационален показател

Степен с рационален степенен показател
свойства, формули, задачи

Определение на степен с рационален показател, основни свойства, връзка с корени, сравняване на степени — 10 разработени задачи, самостоятелна работа и онлайн тест

Алгебра Степен с рационален показател Свойства на степените Корен n-ти Сравняване на степени 11 клас Д-р Атанас Илчев

Определения, свойства и основни типове задачи върху степен с рационален показател

Степента с рационален показател обобщава степените с цял показател и корените. Благодарение на нея можем да записваме и преобразуваме по единен начин изрази, които съдържат корени от различен ред. Това прави пресмятанията по-удобни и позволява да прилагаме познатите свойства на степените и в по-широк кръг задачи. Темата е основна при изучаването на показателни и логаритмични функции.

Важно уточнение. В този урок работим с обичайното училищно определение за степен с рационален показател: за \(a^{\frac{m}{n}}\) приемаме \(a\geq0\), а при отрицателен показател изискваме \(a>0\). Така всички разглеждани изрази остават в множеството на реалните числа.

Припомняне: свойства на степените с цял показател

Основни формули. Нека \(m\) и \(n\) са естествени числа, а \(a\) и \(b\) — реални числа. Тогава:

1. \(a^m\cdot a^n = a^{m+n}\)
2. \(\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\), при \(a\neq0\) и \(m\gt n\)
3. \((a^m)^n=a^{m\cdot n}\)
4. \((ab)^n=a^n\cdot b^n\)
5. \(\left(\dfrac{a}{b}\right)^n=\dfrac{a^n}{b^n}\), при \(b\neq0\)
6. \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\), при \(a\neq0\)

По определение \(a^0=1\) за всяко \(a\neq0\).

---

Определение на степен с рационален показател

Определение 1. Нека \(a\geq0\), \(m\) и \(n\) са естествени числа, като \(n\geq2\). Тогава \[ a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}. \] С други думи, степента с рационален показател \(\frac{m}{n}\) представлява корен \(n\)-ти от \(a^m\).

Определение 2. Нека \(a\gt0\), \(m\) и \(n\) са естествени числа, като \(n\geq2\). Тогава \[ a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{a^{\frac{m}{n}}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}. \]

Забележка. В този урок ще работим с обичайното училищно определение: степента \(a^{\frac{m}{n}}\) разглеждаме за \(a\geq0\), а при отрицателен рационален показател изискваме \(a>0\). Например \((-4)^{\frac{1}{2}}\) няма смисъл в множеството на реалните числа. Също така \(0^{-\frac{m}{n}}\) не е дефинирано, защото това би означавало деление на нула.

Примери. \[ 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4,\qquad 25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5,\qquad 16^{-\frac{3}{4}}=\frac{1}{\sqrt[4]{16^3}}=\frac{1}{\sqrt[4]{4096}}=\frac{1}{8}. \]

---

Свойства на степен с рационален показател

За степените с рационален показател остават в сила всички правила, познати от степените с цял показател. Нека \(a\gt0\), \(b\gt0\), и \(\frac{m}{n}\), \(\frac{p}{q}\) са рационални числа.

Свойство 1 (умножение на степени с равни основи). \[ a^{\frac{m}{n}}\cdot a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}+\frac{p}{q}}. \]

Свойство 2 (деление на степени с равни основи). \[ a^{\frac{m}{n}}:a^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}-\frac{p}{q}}. \]

Свойство 3 (степенуване на степен). \[ \left(a^{\frac{m}{n}}\right)^{\frac{p}{q}}=a^{\frac{m}{n}\cdot\frac{p}{q}}=a^{\frac{mp}{nq}}. \]

Свойство 4 (степен на произведение). \[ (a\cdot b)^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{m}{n}}\cdot b^{\frac{m}{n}}. \]

Свойство 5 (степен на частно). \[ \left(\frac{a}{b}\right)^{\frac{m}{n}}=\frac{a^{\frac{m}{n}}}{b^{\frac{m}{n}}},\quad b\neq0. \]

Свойство 6 (знак на степента). При \(a\gt0\) за всяко рационално число \(r\): \[ a^r\gt0. \]

---

Сравняване на степени с рационален показател

Правило за сравняване. Нека \(r_1\) и \(r_2\) са рационални числа и \(r_1\lt r_2\). Тогава:

• ако \(a\gt1\), то \(a^{r_1}\lt a^{r_2}\), т.е. степенната функция е растяща;
• ако \(0\lt a\lt1\), то \(a^{r_1}\gt a^{r_2}\), т.е. степенната функция е намаляваща.

Забележка. Също така, ако \(a\neq1\), \(a\gt0\) и \(a^{\frac{m}{n}}=a^{\frac{p}{q}}\), то \(\frac{m}{n}=\frac{p}{q}\). Това свойство е в основата на решаването на показателни уравнения.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Запишете чрез корен: а) \(27^{\frac{2}{3}}\);   б) \(49^{\frac{1}{2}}\);   в) \(c^{\frac{5}{4}}\);   г) \((p-q)^{\frac{3}{8}}\).

▼

Решение

Прилагаме определението \(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\), когато изразът е дефиниран:

\[ \text{а)}\ 27^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{27^2}=\sqrt[3]{729}=9; \] \[ \text{б)}\ 49^{\frac{1}{2}}=\sqrt{49}=7; \] \[ \text{в)}\ c^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{c^5}; \] \[ \text{г)}\ (p-q)^{\frac{3}{8}}=\sqrt[8]{(p-q)^3}. \quad\blacksquare \]

2

Представете израза с корен чрез степен с рационален показател: а) \(\sqrt[3]{2{,}5^2}\);   б) \(\sqrt[4]{t^3}\);   в) \(\sqrt[5]{7^{-1}}\);   г) \(\sqrt[6]{(s^2-t)^3}\).

▼

Решение

Прилагаме обратната посока на определението \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\), когато изразът е дефиниран:

\[ \text{а)}\ \sqrt[3]{2{,}5^2}=2{,}5^{\frac{2}{3}}; \] \[ \text{б)}\ \sqrt[4]{t^3}=t^{\frac{3}{4}}; \] \[ \text{в)}\ \sqrt[5]{7^{-1}}=7^{-\frac{1}{5}}; \] \[ \text{г)}\ \sqrt[6]{(s^2-t)^3}=(s^2-t)^{\frac{3}{6}}=(s^2-t)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{s^2-t}. \quad\blacksquare \]

3

Представете във вид на степен с рационален показател: а) \(b^{-\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{2}}\);   б) \(b^{\frac{3}{4}}:b^{-\frac{1}{2}}\);   в) \(\left(c^{-\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{4}}\);   г) \(d^{0{,}7}\cdot d^{-3}\cdot d^{5{,}3}\).

▼

Решение

Прилагаме свойствата за умножение, деление и степенуване на степени с равни основи:

\[ \text{а)}\ b^{-\frac{1}{3}}\cdot b^{\frac{1}{2}}=b^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}=b^{\frac{-2+3}{6}}=b^{\frac{1}{6}}; \] \[ \text{б)}\ b^{\frac{3}{4}}:b^{-\frac{1}{2}}=b^{\frac{3}{4}-\left(-\frac{1}{2}\right)}=b^{\frac{3}{4}+\frac{1}{2}}=b^{\frac{3}{4}+\frac{2}{4}}=b^{\frac{5}{4}}; \] \[ \text{в)}\ \left(c^{-\frac{2}{5}}\right)^{\frac{3}{4}}=c^{-\frac{2}{5}\cdot\frac{3}{4}}=c^{-\frac{6}{20}}=c^{-\frac{3}{10}}; \] \[ \text{г)}\ d^{0{,}7}\cdot d^{-3}\cdot d^{5{,}3}=d^{0{,}7+(-3)+5{,}3}=d^{3}. \quad\blacksquare \]

4

Пресметнете стойността на израза: а) \(36^{0{,}5}\cdot 6^{-1}\cdot 8^{\frac{2}{3}}\);   б) \(\left(\dfrac{27}{125}\right)^{\frac{1}{3}}\).

▼

Решение

а) Преобразуваме всяко число в удобен вид:

\[ 36^{0{,}5}=36^{\frac{1}{2}}=\sqrt{36}=6,\quad 8^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{8^2}=\sqrt[3]{64}=4. \]

Следователно:

\[ 36^{0{,}5}\cdot6^{-1}\cdot8^{\frac{2}{3}}=6\cdot\frac{1}{6}\cdot4=4. \]

б) Прилагаме свойството за степен на частно:

\[ \left(\frac{27}{125}\right)^{\frac{1}{3}}=\frac{27^{\frac{1}{3}}}{125^{\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{3}{5}. \quad\blacksquare \]

5

Сравнете числата: а) \(1{,}5^{3}\) и \(1{,}5^{-1}\);   б) \((0{,}3)^{\frac{1}{3}}\) и \((0{,}3)^{\frac{1}{4}}\);   в) \(5^{-2}\) и \(5^{-3}\).

▼

Решение

а) Основата е \(a=1{,}5\gt1\), следователно степенната функция е растяща. Тъй като \(3\gt-1\), имаме \(1{,}5^{3}\gt1{,}5^{-1}\).

б) Основата е \(a=0{,}3\), като \(0\lt0{,}3\lt1\), следователно степенната функция е намаляваща. Тъй като \(\frac{1}{3}\gt\frac{1}{4}\), имаме \((0{,}3)^{\frac{1}{3}}\lt(0{,}3)^{\frac{1}{4}}\).

в) Основата е \(a=5\gt1\), следователно степенната функция е растяща. Тъй като \(-2\gt-3\), имаме \(5^{-2}\gt5^{-3}\). \(\blacksquare\)

6

Намерете допустимите стойности на променливата в израза: а) \(x^{\frac{1}{2}}\);   б) \((x-3)^{\frac{1}{4}}\);   в) \((x+1)^{-\frac{2}{3}}\);   г) \((x-5)^{-\frac{1}{8}}\).

▼

Решение

Според използваното в урока училищно определение степента \(a^{\frac{m}{n}}\) е определена при \(a\geq0\). Ако показателят е отрицателен, допълнително трябва \(a\gt0\), защото деление на нула не е допустимо.

а) За \(x^{\frac{1}{2}}\): показателят е положителен, затова \(x\geq0\).

б) За \((x-3)^{\frac{1}{4}}\): показателят е положителен, затова \(x-3\geq0\), т.е. \(x\geq3\).

в) За \((x+1)^{-\frac{2}{3}}\): показателят е отрицателен, затова \(x+1\gt0\), т.е. \(x\gt-1\).

г) За \((x-5)^{-\frac{1}{8}}\): показателят е отрицателен, затова \(x-5\gt0\), т.е. \(x\gt5\). \(\blacksquare\)

7

Намерете рационалното число \(k\), за което е вярно равенството: а) \(81^k=3\);   б) \(\left(4^{-1}\right)^k=\sqrt{\dfrac{1}{4}}\);   в) \(\left(\sqrt[3]{5}\right)^{k-2}=25^{-1}\).

▼

Решение

а) Записваме \(81=3^4\). Тогава:

\[ (3^4)^k=3^1 \;\Longrightarrow\; 3^{4k}=3^1 \;\Longrightarrow\; 4k=1 \;\Longrightarrow\; k=\frac{1}{4}. \]

б) Записваме \(\sqrt{\frac{1}{4}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=4^{-\frac{1}{2}}\). Тогава:

\[ \left(4^{-1}\right)^k=4^{-\frac{1}{2}} \;\Longrightarrow\; 4^{-k}=4^{-\frac{1}{2}} \;\Longrightarrow\; -k=-\frac{1}{2} \;\Longrightarrow\; k=\frac{1}{2}. \]

в) Записваме \(\sqrt[3]{5}=5^{\frac{1}{3}}\) и \(25^{-1}=(5^2)^{-1}=5^{-2}\). Тогава:

\[ \left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{k-2}=5^{-2} \;\Longrightarrow\; 5^{\frac{k-2}{3}}=5^{-2} \;\Longrightarrow\; \frac{k-2}{3}=-2 \;\Longrightarrow\; k-2=-6 \;\Longrightarrow\; k=-4. \quad\blacksquare \]

8

Опростете израза и запишете резултата чрез корен: а) \(\dfrac{1}{a}\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}\), при \(a\gt0\);   б) \(b^{-\frac{2}{6}}\cdot b^{\frac{8}{3}}\cdot b^{\frac{5}{2}}\cdot b^{-2}\), при \(b\gt0\).

▼

Решение

а) Записваме всички множители като степени на \(a\) и събираме показателите:

\[ \frac{1}{a}\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}=a^{-1}\cdot a^{\frac{1}{2}}\cdot a^{\frac{1}{4}}=a^{-1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}. \]

Привеждаме дробите към общ знаменател 4:

\[ -1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{-4+2+1}{4}=-\frac{1}{4}. \]

Следователно:

\[ a^{-\frac{1}{4}}=\frac{1}{a^{\frac{1}{4}}}=\frac{1}{\sqrt[4]{a}}. \]

б) Първо опростяваме дробните показатели: \(-\frac{2}{6}=-\frac{1}{3}\). Събираме:

\[ b^{-\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+\frac{5}{2}-2}. \]

Привеждаме към общ знаменател 6:

\[ -\frac{1}{3}+\frac{8}{3}+\frac{5}{2}-2=\frac{-2+16+15-12}{6}=\frac{17}{6}. \]

Следователно:

\[ b^{\frac{17}{6}}=\sqrt[6]{b^{17}}. \]

Ако искаме резултатът да бъде записан в по-удобен вид, можем да отделим цялата част на показателя:

\[ b^{\frac{17}{6}}=b^2\cdot b^{\frac{5}{6}}=b^2\sqrt[6]{b^5}. \quad\blacksquare \]

9

Пресметнете: а) \(\left(\dfrac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}\);   б) \(\left[32\cdot 2^{-4}-\left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}\right]^{-3}\);   в) \(\left(\sqrt[3]{27}-\sqrt{16}\right):2^{-2}\).

▼

Решение

а) Прилагаме свойството за степен на частно, а след това определението:

\[ \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{4^{\frac{3}{2}}}{9^{\frac{3}{2}}}. \]

Пресмятаме отделно числителя и знаменателя. Тъй като \(4=2^2\) и \(9=3^2\):

\[ 4^{\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{2}}=2^3=8,\qquad 9^{\frac{3}{2}}=(3^2)^{\frac{3}{2}}=3^3=27. \]

Следователно:

\[ \left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{3}{2}}=\frac{8}{27}. \]

б) Работим стъпка по стъпка отвътре навън. Пресмятаме скобата:

\[ 32\cdot 2^{-4}=2^5\cdot 2^{-4}=2^{5-4}=2^1=2, \] \[ \left(\frac{2}{5}\right)^{-1}=\frac{5}{2}. \]

Тогава изразът в квадратната скоба е:

\[ 2-\frac{5}{2}=\frac{4-5}{2}=-\frac{1}{2}. \]

Накрая:

\[ \left(-\frac{1}{2}\right)^{-3}=\frac{1}{\left(-\frac{1}{2}\right)^3}=\frac{1}{-\frac{1}{8}}=-8. \]

в) Пресмятаме корените:

\[ \sqrt[3]{27}=3,\qquad \sqrt{16}=4. \]

Тогава:

\[ (3-4):2^{-2}=(-1):\frac{1}{4}=(-1)\cdot 4=-4. \quad\blacksquare \]

10

Установете, че стойността на израза \(\left(9\cdot 0{,}25^{3x-1}\right):\left(-0{,}5\cdot 0{,}25^{3x-2}\right)\) не зависи от \(x\).

▼

Решение

Целта е да покажем, че след опростяване всички степени, съдържащи \(x\), се съкращават. Записваме \(0{,}25=\frac{1}{4}\) и \(0{,}5=\frac{1}{2}\):

\[ \frac{9\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{3x-1}}{-\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{4}\right)^{3x-2}}. \]

Разделяме степените с равни основи. При деление на степени с еднаква основа изваждаме показателите:

\[ \frac{\left(\frac{1}{4}\right)^{3x-1}}{\left(\frac{1}{4}\right)^{3x-2}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{(3x-1)-(3x-2)}=\left(\frac{1}{4}\right)^{3x-1-3x+2}=\left(\frac{1}{4}\right)^1=\frac{1}{4}. \]

Виждаме, че показателят вече не съдържа \(x\). Остава:

\[ \frac{9\cdot\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{9}{4}}{-\frac{1}{2}}=\frac{9}{4}\cdot(-2)=-\frac{9}{2}=-4{,}5. \]

Стойността на израза е \(-4{,}5\) за всяко \(x\), т.е. не зависи от \(x\). \(\blacksquare\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Приложете свойствата на степените с рационален показател. Опитайте да решите задачите самостоятелно, преди да проверите отговорите.

Задача 1 Пресметнете: \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1}-\left(-\dfrac{7}{11}\right)^0+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\;:\;4^{-1}\).

Задача 2 Представете като степен с рационален показател: а) \(\sqrt[5]{3{,}7^2}\);   б) \(\sqrt[3]{m^{-1}}\);   в) \(\sqrt[7]{(u^2-v)^4}\).

Задача 3 Опростете и запишете като единична степен: \(a^{-\frac{1}{4}}\cdot a^{\frac{3}{4}}\cdot a^{-\frac{1}{2}}\).

Задача 4 Пресметнете: \(100^{0{,}3}\cdot 5^{\frac{1}{5}}\cdot 2^{\frac{1}{5}}\).

Задача 5 Сравнете: а) \(2{,}1^{5}\) и \(2{,}1^{-3}\);   б) \((0{,}4)^{-\frac{1}{3}}\) и \((0{,}4)^{-\frac{1}{5}}\).

Задача 6 Намерете допустимите стойности на променливата в израза \((2x-7)^{-\frac{3}{10}}\).

Задача 7 Намерете \(k\in\mathbb{Q}\), ако \(\left(\sqrt[3]{2}\right)^{k+1}=8^{-1}\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Степен с рационален показател

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Стойността на \(8^{\frac{2}{3}}\) е:

\(2\) \(4\) \(6\) \(16\)

2Записът \(a^{\frac{m}{n}}\) при \(a\geq0\) и \(n\geq2\) е равен на:

\(\sqrt[n]{a^m}\) \(\sqrt[m]{a^n}\) \(a^m\cdot a^n\) \(\dfrac{a^m}{a^n}\)

3Стойността на \(25^{-\frac{1}{2}}\) е:

\(-5\) \(5\) \(\dfrac{1}{5}\) \(-\dfrac{1}{5}\)

4Резултатът от \(a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{2}{3}}\) е:

\(a^{\frac{2}{9}}\) \(a^{\frac{1}{3}}\) \(a^2\) \(a\)

5При \(a\gt1\) и \(r_1\lt r_2\) вярно е, че:

\(a^{r_1}\gt a^{r_2}\) \(a^{r_1}\lt a^{r_2}\) \(a^{r_1}=a^{r_2}\) Не може да се определи

6Стойността на \(\left(\dfrac{16}{81}\right)^{\frac{1}{4}}\) е:

\(\dfrac{4}{9}\) \(\dfrac{8}{27}\) \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{1}{3}\)

7Изразът \(\sqrt[4]{t^3}\) се записва като:

\(t^{\frac{3}{4}}\) \(t^{\frac{4}{3}}\) \(t^{12}\) \(t^{-\frac{3}{4}}\)

8Резултатът от \(\left(c^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}\) е:

\(c^{\frac{4}{9}}\) \(c^2\) \(c^{\frac{1}{3}}\) \(c\)

9При \(0\lt a\lt1\) и \(r_1\lt r_2\) вярно е, че:

\(a^{r_1}\gt a^{r_2}\) \(a^{r_1}\lt a^{r_2}\) \(a^{r_1}=a^{r_2}\) Не може да се определи

10Допустимите стойности на \(x\) в израза \((x-2)^{-\frac{1}{4}}\) са:

\(x\geq2\) \(x\gt2\) \(x\geq0\) \(x\gt0\)

11Стойността на \((-2)^{\frac{3}{4}}\) е:

\(\sqrt[4]{-8}\) \(-\sqrt[4]{8}\) Не е дефинирана \(8\)

12Стойността на \(0^{\frac{3}{5}}\) е:

\(1\) Не е дефинирана \(\dfrac{3}{5}\) \(0\)

13Ако \(121^k=11\), то \(k\) е равно на:

\(2\) \(\dfrac{1}{2}\) \(11\) \(-\dfrac{1}{2}\)

14Стойността на \(4^{\frac{3}{2}}\) е:

\(6\) \(16\) \(8\) \(2\)

15Резултатът от \(a^{\frac{5}{6}}:a^{\frac{1}{6}}\) е:

\(a^{\frac{2}{3}}\) \(a^{\frac{5}{36}}\) \(a^5\) \(a\)

---

Видео уроци

Видео урок — Степен с рационален степенен показател

---

Свързани уроци

◀

Логаритъм — определение, свойства, задачи

Определение на логаритъм, основни свойства, формули за преобразуване — разработени задачи и тест.

Преглед на урока →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆