Непрекъснатост на функция

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Непрекъснатост на функции

Непрекъснатост на функции
определения, видове прекъсвания, теореми

Определения по Коши и Хайне, прекъсвания от първи и втори род, теореми на Болцано–Коши и Вайерщрас — 7 разработени задачи, самостоятелна работа и онлайн тест

Математически анализ Непрекъснатост Прекъснати функции Теорема на Болцано–Коши Теорема на Вайерщрас Университет Д-р Атанас Илчев

Формални определения за непрекъснатост, класификация на прекъсванията и фундаментални теореми

Непрекъснатостта на функции е ключово понятие в математическия анализ. Интуитивно казано, функция е непрекъсната, ако нейната графика може да се нарисува, без да се вдига моливът — без скокове, дупки или вертикални асимптоти. Формалните определения по Коши и Хайне правят тази идея точна и позволяват строго да се изследват свойствата на функциите.

Определения за непрекъснатост

Определение 1. Нека точката \(a\) принадлежи на дефиниционното множество на функцията \(f\) и е точка на сгъстяване за него. Казваме, че функцията \(f\) е непрекъсната в точката \(a\), ако \[ \lim_{x\to a}f(x)=f(a). \]

Определение 2 (по Коши). Нека \(f:\Delta\to\mathbb{R}\), \(a\in\Delta\) и \(a\) е точка на сгъстяване за \(\Delta\). Казваме, че функцията \(f\) е непрекъсната в точката \(a\), ако за всяко \(\varepsilon\gt0\) съществува \(\delta\gt0\), така че за всяко \(x\in\Delta\), удовлетворяващо \(|x-a|\lt\delta\), е изпълнено \[ |f(x)-f(a)|\lt\varepsilon. \]

Определение 3 (по Хайне). Нека \(f:\Delta\to\mathbb{R}\), \(a\in\Delta\) и \(a\) е точка на сгъстяване за \(\Delta\). Казваме, че функцията \(f\) е непрекъсната в точката \(a\), ако за всяка редица \(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\subseteq\Delta\), сходяща към \(a\), е изпълнено \[ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=f(a). \]

Определение 4. Казваме, че функцията \(f:\Delta\to\mathbb{R}\) е непрекъсната в \(\Delta\), ако е непрекъсната във всяка точка \(a\in\Delta\).

Забележка. Трите определения са еквивалентни — всяко от тях може да се изведе от другите. В практиката най-удобно е Определение 1: трябва да проверим, че границата на функцията в точката съществува и е равна на стойността на функцията в тази точка. За кусково-дефинирани функции това означава да сметнем лявата и дясната граница и да ги сравним с \(f(a)\).

Теорема (аритметика на непрекъснатите функции). Нека функциите \(f,g:\Delta\to\mathbb{R}\) са непрекъснати в точката \(x_0\in\Delta\). Тогава:

1. \(f\pm g\) и \(f\cdot g\) са непрекъснати в точката \(x_0\);
2. Ако \(g(x_0)\neq0\), то \(\dfrac{f}{g}\) е непрекъсната в точката \(x_0\);
3. Ако \(f:\Delta\to I\), \(g:I\to\mathbb{R}\), \(f\) е непрекъсната в \(x_0\), а \(g\) е непрекъсната в точката \(f(x_0)\), то \(g\circ f\) е непрекъсната в \(x_0\).

Непрекъснати елементарни функции. Следните функции са непрекъснати в целия си дефиниционен интервал: константата \(f(x)=c\), степенната функция \(x^n\), всеки полином, тригонометричните функции \(\sin x\), \(\cos x\), \(\operatorname{tg}x\), \(\operatorname{ctg}x\), показателната функция \(a^x\), логаритмичната \(\log_a x\) за \(x\gt0\), и обратните тригонометрични функции в съответните им области.

---

Прекъснати функции и видове прекъсвания

Определение. Нека \(f:\Delta\to\mathbb{R}\) и \(a\) е точка на сгъстяване на \(\Delta\). Казваме, че \(a\) е точка на прекъсване за функцията \(f\), ако поне едно от условията за непрекъснатост в \(a\) не е изпълнено: или \(f(a)\) не е дефинирана, или \(\lim_{x\to a}f(x)\) не съществува, или \(\lim_{x\to a}f(x)\neq f(a)\).

Определение. Казваме, че в точката \(a\) функцията има прекъсване от първи род, ако съществуват и са крайни едностранните граници \[ \lim_{x\to a-0}f(x)\quad\text{и}\quad \lim_{x\to a+0}f(x). \]

• ако тези граници са различни, прекъсването е скоково;
• ако тези граници съвпадат, но са различни от \(f(a)\) или \(f(a)\) не е дефинирана, прекъсването е отстранимо.

Определение. Казваме, че в точката \(a\) функцията има прекъсване от втори род, когато поне една от границите \(\lim\limits_{x\to a-0}f(x)\) или \(\lim\limits_{x\to a+0}f(x)\) не съществува или е безкрайност.

Определение. Казваме, че функцията \(f:\Delta\to\mathbb{R}\) е непрекъсната отляво (отдясно) в точката \(a\in\Delta\), ако \[ \lim_{x\to a-0}f(x)=f(a)\quad\Bigl(\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)\Bigr). \]

---

Фундаментални теореми

Теорема на Болцано–Коши (1-ва). Нека \(f\) е непрекъсната функция на затворения интервал \([a,b]\) и \(f(a)\cdot f(b)\lt0\). Тогава съществува \(c\in(a,b)\), такова, че \(f(c)=0\).

Теорема на Болцано–Коши (2-ра). Нека \(f(x)\) е непрекъсната функция на интервала \([a,b]\), \(f(a)=A\) и \(f(b)=B\). Тогава за всяко \(C\) между стойностите \(A\) и \(B\) съществува \(c\in[a,b]\), такова, че \(f(c)=C\).

Теорема на Вайерщрас (1-ва). Ако \(f(x)\) е непрекъсната на затворения интервал \([a,b]\), то тя е ограничена, т.е. съществуват константи \(m,M\in\mathbb{R}\), така че \(m\leq f(x)\leq M\) за всяко \(x\in[a,b]\).

Теорема на Вайерщрас (2-ра). Ако \(f(x)\) е непрекъсната на затворения интервал \([a,b]\), то тя достига своята точна долна и точна горна граница, т.е. съществуват \(x_1,x_2\in[a,b]\), така че \(f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)\) за всяко \(x\in[a,b]\).

Следствие. Ако \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) е непрекъсната, тогава областта от стойностите ѝ е краен затворен интервал \([f(x_1),f(x_2)]\), като в частния случай на константна функция този интервал е \([c,c]\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Докажете, че \(f(x)=\begin{cases}5x-4,&0\lt x\leq1\\4x^3-3x,&1\lt x\lt2\end{cases}\) е непрекъсната в точката \(x=1\).

▼

Решение

За непрекъснатост в \(x=1\) трябва \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)\). Пресмятаме едностранните граници:

\[ \lim_{x\to1-0}(5x-4)=5\cdot1-4=1, \] \[ \lim_{x\to1+0}(4x^3-3x)=4\cdot1-3\cdot1=1. \]

Тъй като лявата и дясната граница съвпадат, съществува \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=1\). Проверяваме стойността: \(f(1)=5\cdot1-4=1\). Следователно \(\lim\limits_{x\to1}f(x)=f(1)=1\) и функцията е непрекъсната в \(x=1\). \(\blacksquare\)

2

Докажете, че \(f(x)=\begin{cases}\dfrac{x^2}{2},&0\leq x\leq1\\2x^2-3x+\dfrac{3}{2},&1\leq x\leq2\end{cases}\) е непрекъсната в \(x=1\).

▼

Решение

Пресмятаме едностранните граници:

\[ \lim_{x\to1-0}f(x)=\lim_{x\to1-0}\frac{x^2}{2}=\frac{1}{2}, \] \[ \lim_{x\to1+0}f(x)=\lim_{x\to1+0}\left(2x^2-3x+\frac{3}{2}\right)=2-3+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}. \]

Стойността: \(f(1)=\dfrac{1^2}{2}=\dfrac{1}{2}\).

Тъй като \(\lim\limits_{x\to1-0}f(x)=\lim\limits_{x\to1+0}f(x)=f(1)=\dfrac{1}{2}\), функцията е непрекъсната в \(x=1\). \(\blacksquare\)

3

Изследвайте за непрекъснатост \(f(x)=\begin{cases}2x+1,&x\leq2\\x^2-1,&x\gt2\end{cases}\) в точката \(x=2\).

▼

Решение

Пресмятаме едностранните граници:

\[ \lim_{x\to2-0}f(x)=\lim_{x\to2-0}(2x+1)=5, \] \[ \lim_{x\to2+0}f(x)=\lim_{x\to2+0}(x^2-1)=3. \]

Тъй като \(\lim\limits_{x\to2-0}f(x)\neq\lim\limits_{x\to2+0}f(x)\), не съществува \(\lim\limits_{x\to2}f(x)\) и функцията е прекъсната в \(x=2\). Прекъсването е от първи род, по-точно скоково прекъсване, с величина \(5-3=2\). \(\blacksquare\)

4

Изследвайте за непрекъснатост \(f(x)=\begin{cases}x+2,&x\lt1\\4x-1,&1\leq x\leq3\\x^2+5,&x\gt3\end{cases}\) в точките \(x=1\) и \(x=3\).

▼

Решение

В точката \(x=1\): \(f(1)=4\cdot1-1=3\).

\[ \lim_{x\to1-0}f(x)=\lim_{x\to1-0}(x+2)=3,\quad \lim_{x\to1+0}f(x)=\lim_{x\to1+0}(4x-1)=3. \]

Тъй като двете граници съвпадат и са равни на \(f(1)=3\), функцията е непрекъсната в \(x=1\).

В точката \(x=3\): \(f(3)=4\cdot3-1=11\).

\[ \lim_{x\to3-0}f(x)=\lim_{x\to3-0}(4x-1)=11,\quad \lim_{x\to3+0}f(x)=\lim_{x\to3+0}(x^2+5)=14. \]

Тъй като \(11\neq14\), функцията е прекъсната в \(x=3\) с прекъсване от първи род, по-точно скоково прекъсване. \(\blacksquare\)

5

Намерете точките на прекъсване на \(f(x)=\dfrac{|2x+5|}{2x+5}\) и определете вида им.

▼

Решение

Функцията не е дефинирана за \(x=-\dfrac{5}{2}\). Пресмятаме едностранните граници:

\[ \lim_{x\to-\frac{5}{2}-0}\frac{|2x+5|}{2x+5}=\lim_{x\to-\frac{5}{2}-0}\frac{-(2x+5)}{2x+5}=-1, \] \[ \lim_{x\to-\frac{5}{2}+0}\frac{|2x+5|}{2x+5}=\lim_{x\to-\frac{5}{2}+0}\frac{2x+5}{2x+5}=1. \]

Двете граници съществуват и са крайни, но са различни (\(-1\neq1\)). Следователно \(x=-\dfrac{5}{2}\) е точка на прекъсване от първи род, по-точно скоково прекъсване, с величина 2. За всяко друго \(x\) функцията е непрекъсната. \(\blacksquare\)

6

Изследвайте за прекъсване функцията \(f(x)=3^{\frac{x}{1-x^2}}\).

▼

Решение

Функцията не е дефинирана за \(x=\pm1\). Изследваме всяка точка:

В точката \(x=-1\):

\[ \lim_{x\to-1-0}3^{\frac{x}{1-x^2}}=3^{+\infty}=+\infty,\quad \lim_{x\to-1+0}3^{\frac{x}{1-x^2}}=3^{-\infty}=0. \]

Поне една от едностранните граници е безкрайност, следователно в \(x=-1\) има прекъсване от втори род.

В точката \(x=1\):

\[ \lim_{x\to1-0}3^{\frac{x}{1-x^2}}=3^{+\infty}=+\infty,\quad \lim_{x\to1+0}3^{\frac{x}{1-x^2}}=3^{-\infty}=0. \]

Отново поне една от едностранните граници е безкрайност, следователно в \(x=1\) има прекъсване от втори род. \(\blacksquare\)

7

Намерете интервал, в който \(f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-3x^2+5x+1\) има корен.

▼

Решение

Функцията е полином, следователно е непрекъсната навсякъде. Търсим две стойности с различни знаци. Пресмятаме:

\[ f(0)=1\gt0,\quad f(4)=\frac{64}{3}-48+20+1=\frac{64-81}{3}=-\frac{17}{3}\lt0. \]

Тъй като \(f(0)\cdot f(4)\lt0\), по теоремата на Болцано–Коши съществува \(c\in(0,4)\), такова, че \(f(c)=0\).

Следователно функцията има поне един корен в интервала \((0,4)\). \(\blacksquare\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Изследвайте функциите за непрекъснатост в посочените точки и намерете вида на прекъсванията (ако има такива).

Задача 1 \(f(x)=\begin{cases}1-x^2,&x\lt0\\x+2,&x\geq0\end{cases}\) — изследвайте в \(x=0\).

Задача 2 Намерете точките на прекъсване на \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\) и определете вида им.

Задача 3 Намерете интервал, в който \(f(x)=4\operatorname{arctg}(x)-\dfrac{1}{1+x^2}\) има корен.

Задача 4 Намерете интервал, в който \(f(x)=\ln(x)-\sin(x)\) има корен.

Задача 5 Докажете, че при \(a\gt0\) функцията \[ f(x)=\begin{cases} \dfrac{x^2}{a}-a,&0\lt x\lt a\\ 0,&x=a\\ a-\dfrac{a^3}{x^2},&x\gt a \end{cases} \] е непрекъсната в \(x=a\).

Задача 6 Ограничена ли е в интервала \([0,100]\) функцията \[ f(x)=\begin{cases} x\sin(x)-\operatorname{arctg}(x)\cos(3x)+e^{-1/x},&x\in(0,100],\\ 0,&x=0? \end{cases} \]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Непрекъснатост на функции

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Функцията \(f\) е непрекъсната в точката \(a\), ако:

\(f(a)\) е дефинирана \(\lim\limits_{x\to a}f(x)\) съществува \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)\) \(\lim\limits_{x\to a}f(x)=0\)

2Определението по Коши за непрекъснатост изисква: за всяко \(\varepsilon\gt0\) да съществува \(\delta\gt0\), такова, че при \(|x-a|\lt\delta\):

\(|f(x)-f(a)|\lt\varepsilon\) \(|f(x)|\lt\varepsilon\) \(|f(x)-f(a)|\gt\varepsilon\) \(f(x)=f(a)\)

3Функцията \(f(x)=\begin{cases}2x+1,\ x\leq2\\x^2-1,\ x\gt2\end{cases}\) в точката \(x=2\) е:

Непрекъсната Прекъсната от втори род Непрекъсната отляво и отдясно Прекъсната от първи род

4Прекъсване от втори род е налице, когато:

Лявата и дясната граница съществуват и са равни Поне една от едностранните граници не съществува или е безкрайност Границата съществува, но е различна от стойността Функцията е дефинирана в точката

5Прекъсване от първи род е налице, когато:

Функцията клони към безкрайност Функцията не е дефинирана в точката Двете едностранни граници съществуват и са крайни Поне една от едностранните граници не съществува

6Функцията \(f(x)=\dfrac{|2x+5|}{2x+5}\) има прекъсване в точката \(x=-\dfrac{5}{2}\) от:

Първи род Втори род Отстранимо прекъсване Няма прекъсване

7Теоремата на Болцано–Коши (1-ва) гарантира съществуването на корен на \(f\) в \((a,b)\), ако:

\(f\) е монотонна в \([a,b]\) \(f(a)=f(b)=0\) \(f\) е непрекъсната и \(f(a)\cdot f(b)\gt0\) \(f\) е непрекъсната и \(f(a)\cdot f(b)\lt0\)

8Теоремата на Вайерщрас (1-ва) твърди, че непрекъсната функция в \([a,b]\) е:

Диференцируема Ограничена Монотонна Периодична

9Сумата на две непрекъснати в точката \(x_0\) функции е:

Непрекъсната в \(x_0\) Прекъсната в \(x_0\) Непрекъсната само ако \(x_0=0\) Не задължително непрекъсната

10Функцията \(f(x)=3^{\frac{x}{1-x^2}}\) в точката \(x=1\) има прекъсване от:

Първи род Отстранимо Втори род Няма прекъсване

11Определението по Хайне за непрекъснатост изисква: за всяка редица \(\{x_n\}\to a\):

\(f(x_n)\to\infty\) \(f(x_n)=f(a)\) за всяко \(n\) \(f(x_n)\to0\) \(f(x_n)\to f(a)\)

12Всеки полином \(p(x)=a_nx^n+\ldots+a_0\) е непрекъснат:

Само в \(x=0\) За всяко \(x\in\mathbb{R}\) Само за \(x\gt0\) Само в краен интервал

13Теоремата на Вайерщрас (2-ра) твърди, че непрекъсната функция в \([a,b]\):

Достига своята точна долна и горна граница Е монотонна Е диференцируема Има точно един корен

14За \(f(x)=\begin{cases}x+2,\ x\lt1\\4x-1,\ 1\leq x\leq3\\x^2+5,\ x\gt3\end{cases}\) функцията е прекъсната в точката:

\(x=1\) В нито една от двете точки \(x=3\) И в двете точки

15Ако \(f:[a,b]\to\mathbb{R}\) е непрекъсната, тогава областта от стойностите е:

Отворен интервал Краен затворен интервал Цялата реална ос Само безкрайно множество

---

Видео урок

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

Свързани уроци

◀

Граница на функция — определения по Хайне и Коши

Определения по Хайне и Коши, теореми за граници, едностранни граници — 11 разработени задачи и тест.

Преглед на урока →

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
• ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
• ›Технически университет – София и др.
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти по всички математически дисциплини:
  Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆