📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Дискретна математика › Релации и функции › Видове релации

Видове релации

Рефлексивна, антирефлексивна, симетрична, антисиметрична, силно антисиметрична и транзитивна релация — дефиниции, примери, таблично и графово представяне, затваряния — 15 разработени задачи, 20 за самостоятелна работа и онлайн тест

Дискретна математика Релации Рефлексивна Симетрична Транзитивна Затваряне Д-р Атанас Илчев

Релациите са основно понятие в дискретната математика — те описват зависимости между обекти от дадено множество. В този урок ще изучим шестте основни свойства, които една релация може да притежава, ще видим как те се разпознават чрез таблично и графово представяне и ще се запознаем с понятието затваряне на релация.

📝 Основни дефиниции

Дефиниция. Нека \(A\) е множество и \(R \subseteq A \times A = A^2\) е релация.

• \(R\) е рефлексивна, ако за всяко \(a \in A\) е изпълнено \((a,a) \in R\).
• \(R\) е антирефлексивна, ако за всяко \(a \in A\) е изпълнено \((a,a) \notin R\).
• \(R\) е симетрична, ако за \(a,b \in A\) от \((a,b) \in R\) следва \((b,a) \in R\).
• \(R\) е антисиметрична, ако за \(a,b \in A,\ a \neq b\) от \((a,b) \in R\) следва \((b,a) \notin R\), или от \((a,b) \in R\) и \((b,a) \in R\) следва \(a = b\).
• \(R\) е силно антисиметрична, ако за всеки \(a,b \in A,\ a \neq b\) е изпълнено точно едно от \((a,b) \in R\) и \((b,a) \in R\).
• \(R\) е транзитивна, ако за \(a,b,c \in A\) от \((a,b) \in R\) и \((b,c) \in R\) следва \((a,c) \in R\).

Важно: Релацията може да е едновременно симетрична и антисиметрична. Например релацията на равенство върху всяко множество е и симетрична, и антисиметрична. Силно антисиметричната релация е по-силно условие от антисиметричната — тя изисква за всяка двойка различни елементи точно едната наредена двойка да е в релацията.

📋 Таблично представяне

Релация \(R\) върху \(A = \{a_1, \ldots, a_n\}\) се представя с булева матрица \(M_R\), където \(M_R[i][j] = 1\) тогава и само тогава, когато \((a_i, a_j) \in R\).

Свойство	Признак в матрицата
Рефлексивна	По главния диагонал стоят само единици.
Антирефлексивна	По главния диагонал стоят само нули.
Симетрична	Матрицата е симетрична: \(M_R = M_R^T\), т.е. клетките, симетрични спрямо главния диагонал, имат еднакви стойности.
Антисиметрична	За клетките, симетрични спрямо диагонала, поне едната е 0 — не могат и двете да са 1 (за \(i \neq j\)).
Силно антисиметрична	Клетките, симетрични спрямо диагонала, имат различни стойности: едната е 0, другата е 1.

📊 Графово представяне

Представяне чрез насочен граф (диаграма). На всеки елемент на \(A\) съответства връх на графа. Стрелка от \(a\) към \(b\) означава \((a,b) \in R\). По-долу са показани примери с \(A = \{a, b, c\}\).

Рефлексивна

Примка на всеки връх: \((a,a),(b,b),(c,c)\in R\)

Антирефлексивна

Стрелки между различни върхове — но без нито една примка

Симетрична

Всяка стрелка има обратна: \((a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R\)

Антисиметрична

a→b, b→c, между a и c — може да няма стрелка

Силно антисиметрична

a→b, b→c, и задължително c→a — не може да липсва

Транзитивна

— дадени   -- задължително a→c

Пример: \(R = \{(1,2),(2,3)\}\) върху \(A=\{1,2,3\}\). По-долу са показани трите затваряния.

Изходна \(R\)

\(\{(1,2),(2,3)\}\)

Рефл. \(R_{rc}\)

- - добавяме \((1,1),(2,2),(3,3)\)

Симетр. \(R_{sc}\)

- - добавяме \((2,1),(3,2)\)

Транзит. \(R_{tc}\)

- - добавяме \((1,3)\)

---

✍️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Дадена е релацията \(R = \{(1,1),(1,2),(2,1),(3,3)\}\) върху \(A = \{1,2,3\}\). Определете кои от свойствата рефлексивност, антирефлексивност, симетричност, антисиметричност и транзитивност притежава \(R\).

▼

Решение

Рефлексивна? Трябва \((1,1),(2,2),(3,3) \in R\). Имаме \((1,1)\) и \((3,3)\), но \((2,2) \notin R\). Не е рефлексивна.

Антирефлексивна? Трябва \((a,a) \notin R\) за всяко \(a\). Но \((1,1) \in R\). Не е антирефлексивна.

Симетрична? \((1,2) \in R\) и \((2,1) \in R\) — добре. Проверяваме всички: \((1,1),(3,3)\) са симетрични сами на себе си. Симетрична е.

Антисиметрична? \((1,2) \in R\) и \((2,1) \in R\), но \(1 \neq 2\). Не е антисиметрична.

Транзитивна? \((1,2) \in R\) и \((2,1) \in R\), следователно трябва \((1,1) \in R\) — има. \((2,1) \in R\) и \((1,2) \in R\), следователно трябва \((2,2) \in R\) — няма! Не е транзитивна.

Заключение: \(R\) е само симетрична.\(\blacksquare\)

2

Определете свойствата на релацията на равенство \(R_{=} = \{(a,a) \mid a \in \mathbb{R}\}\) върху \(\mathbb{R}\).

▼

Решение

Рефлексивна: \((a,a) \in R_{=}\) за всяко \(a\). ✓

Симетрична: ако \((a,b) \in R_{=}\), то \(a=b\), следователно \((b,a) = (a,a) \in R_{=}\). ✓

Антисиметрична: ако \((a,b) \in R_{=}\) и \((b,a) \in R_{=}\), то \(a=b\). ✓

Транзитивна: ако \(a=b\) и \(b=c\), то \(a=c\). ✓

Антирефлексивна: \((a,a) \in R_{=}\) за всяко \(a\), следователно не е антирефлексивна.

Заключение: \(R_{=}\) е рефлексивна, симетрична, антисиметрична и транзитивна.\(\blacksquare\)

3

Определете свойствата на релацията „по-малко" \(R_{<} = \{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{R},\ a \lt b\}\) върху \(\mathbb{R}\).

▼

Решение

Рефлексивна? \(a \lt a\) не е в сила за никое \(a\). Не е.

Антирефлексивна: \((a,a) \notin R_{<}\) за всяко \(a\). ✓

Симетрична? Ако \(a \lt b\), то \(b \lt a\) не е вярно. Не е.

Антисиметрична: Ако \(a \lt b\) и \(b \lt a\) — невъзможно. Условието е изпълнено вакуумно. ✓

Силно антисиметрична: За \(a \neq b\) точно едно от \(a \lt b\) и \(b \lt a\) е в сила (тъй като реалните числа са линейно наредени). ✓

Транзитивна: Ако \(a \lt b\) и \(b \lt c\), то \(a \lt c\). ✓

Заключение: \(R_{<}\) е антирефлексивна, антисиметрична, силно антисиметрична и транзитивна.\(\blacksquare\)

4

Дадена е булевата матрица на релацията \(R\) върху \(\{1,2,3,4\}\): \[M_R = \begin{pmatrix}1&1&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}.\] Определете свойствата на \(R\).

▼

Решение

Рефлексивна: главният диагонал е \(1,1,1,1\). ✓

Антисиметрична: проверяваме всички двойки \((i,j)\) с \(i \neq j\): ако \(M[i][j]=1\), то \(M[j][i]=0\). Действително \(M[1][2]=1, M[2][1]=0\); \(M[2][3]=1, M[3][2]=0\); и т.н. ✓

Симетрична? \(M[1][2]=1\), но \(M[2][1]=0\). Не е.

Транзитивна? \((1,2) \in R\) и \((2,3) \in R\), проверяваме \((1,3)\): \(M[1][3]=0\). Не е транзитивна.

Заключение: \(R\) е рефлексивна и антисиметрична.\(\blacksquare\)

5

Дадена е релацията делимост \(R_{\mid} = \{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{N}^+,\ a \mid b\}\). Определете свойствата на \(R_{\mid}\) върху \(\mathbb{N}^+\).

▼

Решение

Рефлексивна: \(a \mid a\) за всяко \(a \in \mathbb{N}^+\). ✓

Антисиметрична: ако \(a \mid b\) и \(b \mid a\), то \(a = b\). ✓

Транзитивна: ако \(a \mid b\) и \(b \mid c\), то \(a \mid c\). ✓

Симетрична? \(2 \mid 6\), но \(6 \nmid 2\). Не е.

Заключение: \(R_{\mid}\) е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна — тоест е релация на частична наредба.\(\blacksquare\)

6

Дадена е релацията \(R = \{(1,2),(2,3),(3,3)\}\) върху \(A = \{1,2,3\}\). Намерете рефлексивното затваряне \(R_{rc}\) и симетричното затваряне \(R_{sc}\).

▼

Решение

Рефлексивно затваряне: добавяме \((a,a)\) за всяко \(a\), за което \((a,a) \notin R\). Имаме \((3,3) \in R\), липсват \((1,1)\) и \((2,2)\).

\[R_{rc} = \{(1,2),(2,3),(3,3)\} \cup \{(1,1),(2,2)\} = \{(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3)\}.\]

Симетрично затваряне: \(R^{-1} = \{(2,1),(3,2),(3,3)\}\). Следователно:

\[R_{sc} = R \cup R^{-1} = \{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,3)\}.\;\blacksquare\]

7

Намерете транзитивното затваряне на релацията \(R = \{(1,2),(2,3),(3,3)\}\) върху \(A = \{1,2,3\}\).

▼

Решение

Пресмятаме степените по формулата \(R_{tc} = R \cup R^2 \cup R^3\) (тъй като \(|A|=3\)).

\[R^2 = R \circ R = \{(1,3),(2,3),(3,3)\}.\] \[R^3 = R^2 \circ R = \{(1,3),(2,3),(3,3)\}.\]

Забелязваме, че \(R^3 = R^2\), следователно:

\[R_{tc} = R \cup R^2 = \{(1,2),(2,3),(3,3)\} \cup \{(1,3),(2,3),(3,3)\} = \{(1,2),(1,3),(2,3),(3,3)\}.\;\blacksquare\]

8

Дадена е релацията „перпендикулярност на прави в равнината": \(a \perp b\). Определете свойствата на тази релация.

▼

Решение

Рефлексивна? Правата не е перпендикулярна на себе си. Не е.

Антирефлексивна: \((a,a) \notin R_\perp\) за всяка права \(a\). ✓

Симетрична: ако \(a \perp b\), то \(b \perp a\). ✓

Антисиметрична? \(a \perp b\) и \(b \perp a\), но \(a \neq b\). Не е.

Транзитивна? Ако \(a \perp b\) и \(b \perp c\), то \(a\) и \(c\) са или успоредни, или съвпадат — не е задължително \(a \perp c\). Не е транзитивна.

Заключение: перпендикулярността е антирефлексивна и симетрична.\(\blacksquare\)

9

Дадена е релацията \(R\) върху \(\mathbb{Z}\): \((a,b) \in R \Leftrightarrow a \equiv b \pmod{3}\) (конгруентност по модул 3). Определете свойствата на \(R\).

▼

Решение

Рефлексивна: \(a \equiv a \pmod{3}\) за всяко \(a\). ✓

Симетрична: ако \(a \equiv b \pmod{3}\), то \(b \equiv a \pmod{3}\). ✓

Транзитивна: ако \(a \equiv b\) и \(b \equiv c \pmod{3}\), то \(a \equiv c \pmod{3}\). ✓

Антисиметрична? \(1 \equiv 4 \pmod{3}\) и \(4 \equiv 1 \pmod{3}\), но \(1 \neq 4\). Не е.

Заключение: конгруентността по модул 3 е рефлексивна, симетрична и транзитивна — тоест е релация на еквивалентност.\(\blacksquare\)

10

Дадена е релацията \(R = \{(a,b) \mid a,b \in \{1,2,3,4,5\},\ a+b=6\}\). Намерете явно \(R\) и определете свойствата му.

▼

Решение

Намираме двойките: \(R = \{(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\}\).

Рефлексивна? \((1,1) \notin R\). Не е.

Антирефлексивна? \((3,3) \in R\). Не е.

Симетрична: ако \((a,b) \in R\), то \(a+b=6\), значи \(b+a=6\) и \((b,a) \in R\). ✓

Антисиметрична? \((1,5) \in R\) и \((5,1) \in R\), но \(1 \neq 5\). Не е.

Транзитивна? \((1,5) \in R\) и \((5,1) \in R\), следователно трябва \((1,1) \in R\) — но \(1+1 \neq 6\). Не е.

Заключение: \(R\) е само симетрична.\(\blacksquare\)

11

Дадена е релацията \(R_{\subseteq} = \{(S_i, S_j) \mid S_i, S_j \subseteq A,\ S_i \subseteq S_j\}\) върху \(2^A\) за произволно крайно множество \(A\). Определете свойствата на \(R_{\subseteq}\).

▼

Решение

Рефлексивна: \(S \subseteq S\) за всяко \(S\). ✓

Антисиметрична: ако \(S_i \subseteq S_j\) и \(S_j \subseteq S_i\), то \(S_i = S_j\). ✓

Транзитивна: ако \(S_i \subseteq S_j\) и \(S_j \subseteq S_k\), то \(S_i \subseteq S_k\). ✓

Симетрична? \(\emptyset \subseteq \{a\}\), но \(\{a\} \not\subseteq \emptyset\). Не е.

Силно антисиметрична? \(\emptyset \subseteq \emptyset\) и трябва за \(S_i \neq S_j\) точно едно от включванията да е в сила. Но \(\{a\} \not\subseteq \{b\}\) и \(\{b\} \not\subseteq \{a\}\) за \(a \neq b\). Не е силно антисиметрична.

Заключение: включването е рефлексивна, антисиметрична и транзитивна — частична наредба.\(\blacksquare\)

12

Дадена е релацията \(R = \{(1,2),(2,3),(1,3)\}\) върху \(A = \{1,2,3\}\). Проверете дали \(R\) е транзитивна и намерете транзитивното затваряне \(R_{tc}\).

▼

Решение

Транзитивна? Проверяваме всички тройки \((a,b,c)\): \((1,2)\in R\) и \((2,3)\in R\) → трябва \((1,3)\in R\) — има. Всички останали двойки не дават нови изисквания. Да, транзитивна е.

Следователно \(R_{tc} = R = \{(1,2),(2,3),(1,3)\}\).\(\blacksquare\)

13

Намерете всички релации върху \(A = \{1,2\}\), които са едновременно симетрични и антисиметрични.

▼

Решение

Релация върху \(\{1,2\}\) е подмножество на \(\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}\).

Антисиметричност изисква: ако \((1,2) \in R\) и \((2,1) \in R\), то \(1=2\) — невъзможно. Значи не могат едновременно \((1,2)\) и \((2,1)\) да са в \(R\).

Симетричност изисква: ако \((1,2) \in R\), то \((2,1) \in R\).

Комбинирайки двете: нито \((1,2)\), нито \((2,1)\) може да е в \(R\). Следователно \(R \subseteq \{(1,1),(2,2)\}\). Всяко подмножество на \(\{(1,1),(2,2)\}\) е едновременно симетрично и антисиметрично.

Четирите такива релации: \(\emptyset\), \(\{(1,1)\}\), \(\{(2,2)\}\), \(\{(1,1),(2,2)\}\).\(\blacksquare\)

14

Дадена е булевата матрица \[M_R = \begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}.\] Определете свойствата на \(R\) и намерете рефлексивното затваряне \(R_{rc}\).

▼

Решение

Антирефлексивна: диагоналът е \(0,0,0\). ✓

Симетрична: \(M_R\) е симетрична матрица (\(M[i][j]=M[j][i]\)). ✓

Транзитивна? \((1,2)\in R\) и \((2,1)\in R\), следователно при транзитивност трябва \((1,1)\in R\), но \(M[1][1]=0\). Не е транзитивна.

Заключение: \(R\) е антирефлексивна и симетрична.

Рефлексивно затваряне: добавяме единици по диагонала:

\[M_{R_{rc}} = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix},\quad\text{т.е. }R_{rc} = A\times A.\;\blacksquare\]

15

Дадена е релацията „роднинска връзка брат": \(R = \{(x,y) \mid x,y \in P,\ x \text{ е брат на } y\}\) върху \(P = \{\text{Иван, Петър, Георги, Димитър, Асен}\}\), като е известно, че Асен е брат на Петър, Георги е брат на Димитър, а Димитър е брат на Иван. Приемаме идеализирания модел, в който релацията е симетрична и транзитивна. Запишете явно \(R\) и определете свойствата му.

▼

Решение

От симетричността на „брат": Петър е брат на Асен. Георги е брат на Димитър и обратно. Димитър е брат на Иван и обратно. От транзитивността: Георги е брат на Иван (и обратно).

\[R = \{(\text{Асен,Петър}),(\text{Петър,Асен}),(\text{Георги,Димитър}),(\text{Димитър,Георги}),\] \[(\text{Георги,Иван}),(\text{Иван,Георги}),(\text{Димитър,Иван}),(\text{Иван,Димитър})\}.\]

Симетрична: да. ✓ Транзитивна: да. ✓ Рефлексивна: не (никой не е брат на себе си). ✓ Антирефлексивна: да.\(\blacksquare\)

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Дадена е \(R = \{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) върху \(\{1,2,3\}\). Определете свойствата.
Отг.: рефлексивна, симетрична, транзитивна (релация на еквивалентност).

Задача 2Дадена е \(R = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) върху \(\{1,2,3\}\). Определете свойствата.
Отг.: антирефлексивна, антисиметрична, не е транзитивна (липсва (1,3) и др.).

Задача 3Запишете булевата матрица на релацията \(R = \{(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3)\}\) върху \(\{1,2,3\}\) и определете свойствата.
Отг.: рефлексивна, симетрична и транзитивна (проверка: \((1,3)\circ(3,1)=(1,1)\in R\) ✓; \((3,1)\circ(1,3)=(3,3)\in R\) ✓) — релация на еквивалентност.

Задача 4Определете свойствата на релацията \(R_{\leq} = \{(a,b) \mid a \leq b\}\) върху \(\mathbb{R}\).
Отг.: рефлексивна, антисиметрична, транзитивна. За всяка двойка \(a\neq b\) е вярно точно едно от \(a\leq b\) и \(b\leq a\), следователно \(R_{\leq}\) е и силно антисиметрична (линейна наредба).

Задача 5Определете свойствата на релацията \(R_{\neq} = \{(a,b) \mid a \neq b\}\) върху крайно множество \(A\).
Отг.: антирефлексивна, симетрична, не е транзитивна.

Задача 6Намерете рефлексивното и симетричното затваряне на \(R = \{(1,2),(3,2)\}\) върху \(\{1,2,3\}\).
Отг.: \(R_{rc}=R\cup\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\); \(R_{sc}=R\cup\{(2,1),(2,3)\}\).

Задача 7Намерете транзитивното затваряне на \(R = \{(1,2),(2,1),(3,3)\}\) върху \(\{1,2,3\}\).
Отг.: \(R^2=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\), \(R_{tc}=R\cup R^2=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3)\}\).

Задача 8Вярно ли е, че всяка силно антисиметрична релация е антисиметрична? Обосновете.
Отг.: Да. При силно антисиметрична не могат едновременно \((a,b)\) и \((b,a)\) да са в \(R\) за \(a\neq b\), което е по-силно от антисиметричността.

Задача 9Дадена е \(R = \{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{Z},\ 2 \mid (a-b)\}\). Определете свойствата.
Отг.: рефлексивна, симетрична, транзитивна (еквивалентност — четни/нечетни).

Задача 10Дадена е \(R = \{(a,b) \mid a,b \in \mathbb{N},\ a \lt b \text{ и } b - a \leq 3\}\). Определете свойствата.
Отг.: антирефлексивна, антисиметрична, не е транзитивна (пример: 1<3, 3<5, но 5-1=4>3).

Задача 11Намерете всички релации върху \(\{1\}\), \(\{1,2\}\) и \(\{1,2,3\}\), които са едновременно рефлексивни и антирефлексивни.
Отг.: Само \(\emptyset\) е антирефлексивна; само \(A\times A_{\text{diag}}\) е рефлексивна. Едновременно и двете — само при \(A=\emptyset\).

Задача 12Определете за коя релация (рефлексивна, симетрична и транзитивна) съответства разбиването на \(\mathbb{Z}\) на класовете на остатъците по модул 5.
Отг.: конгруентността \(a \equiv b \pmod{5}\) — релация на еквивалентност.

Задача 13Запишете матрицата и намерете симетричното затваряне на \(R = \{(1,3),(2,3),(3,1)\}\) върху \(\{1,2,3\}\).
Отг.: \(R^{-1}=\{(3,1),(3,2),(1,3)\}\); \(R_{sc}=\{(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)\}\).

Задача 14Дадена е релацията „успоредност на прави": \(a \parallel b\). Определете свойствата (приемаме, че правата е успоредна на себе си).
Отг.: рефлексивна, симетрична, транзитивна (еквивалентност).

Задача 15Може ли една релация да е едновременно симетрична и силно антисиметрична върху множество с поне два елемента?
Отг.: Не. Силната антисиметричност изисква за \(a\neq b\) точно едно от \((a,b)\in R\) и \((b,a)\in R\). Симетричността изисква: ако \((a,b)\in R\), то и \((b,a)\in R\). Двете условия са несъвместими — не може и двете наредени двойки да са в \(R\) (нарушава силна антисиметричност) и не може нито едната (нарушава силна антисиметричност). Следователно върху множество с поне два елемента такава релация не съществува.

Задача 16Намерете \(R^2\) и \(R^3\) за \(R = \{(1,2),(2,3),(3,1)\}\) върху \(\{1,2,3\}\).
Отг.: \(R^2=\{(1,3),(2,1),(3,2)\}\); \(R^3=\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\).

Задача 17Дадена е \(R\) с матрица \(M_R=\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\) върху \(\{1,2,3\}\). Определете свойствата и намерете \(R_{tc}\).
Отг.: рефлексивна, симетрична, транзитивна; \(R_{tc}=R\).

Задача 18Дадена е релацията \(R = \{(x,y) \mid x,y \in \mathbb{R},\ x^2 + y^2 = 1\}\). Определете свойствата на \(R\).
Отг.: не е рефлексивна (\(2\cdot1^2\neq1\)), симетрична е, не е транзитивна.

Задача 19Намерете транзитивното затваряне на \(R=\{(1,2),(2,4),(3,4),(4,1)\}\) върху \(\{1,2,3,4\}\).
Отг.: \(R_{tc}=\{(1,1),(1,2),(1,4),(2,1),(2,2),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,4)\}\).

Задача 20Дадена е релацията „приятелство" в социална мрежа. Тя е симетрична. При какви допълнителни условия би станала релация на еквивалентност?
Отг.: трябва да е и рефлексивна (всеки е приятел на себе си) и транзитивна (ако A и B са приятели, и B и C са приятели, то A и C също). Тогава образуваните класове са „кръгове от приятели".

---

✅ Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Видове релации

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Релацията \(R\) е рефлексивна, ако:

\((a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\in R\) \(\forall a\in A:\ (a,a)\in R\) \(\forall a\in A:\ (a,a)\notin R\) \((a,b)\in R \text{ и } (b,c)\in R \Rightarrow (a,c)\in R\)

2Кое свойство притежава релацията на равенство \(R_{=}\) върху \(\mathbb{R}\)?

Само рефлексивна Антирефлексивна и симетрична Рефлексивна, симетрична, транзитивна Силно антисиметрична

3Матрицата на симетрична релация е:

Диагонална Горнотриъгълна Симетрична (\(M=M^T\)) Единична

4Транзитивното затваряне \(R_{tc}\) на \(R\) върху множество с \(n\) елемента е:

\(R \cup R^{-1}\) \(R \cup \{(a,a)\mid a\in A\}\) \(R \cup R^2 \cup \ldots \cup R^n\) \(R \cap R^{-1}\)

5Кое е вярно за релацията „по-малко" \(R_{<}\) върху \(\mathbb{R}\)?

Рефлексивна и симетрична Само антисиметрична Антирефлексивна, антисиметрична и транзитивна Симетрична и транзитивна

6Симетричното затваряне \(R_{sc}\) се получава като:

Добавим \((a,a)\) за всяко \(a\) Изчислим \(R \cup R^{-1}\) Изчислим \(R \cap R^{-1}\) Изчислим \(R^2\)

7Дадена е \(R = \{(1,2),(2,3),(3,3)\}\) върху \(\{1,2,3\}\). Кое е \(R^2 = R\circ R\)?

\(\{(1,2),(2,3),(3,3)\}\) \(\{(1,3),(2,3),(3,3)\}\) \(\{(1,2),(2,2),(3,3)\}\) \(\{(1,1),(2,2),(3,3)\}\)

8Антисиметрична релация означава:

\(\forall a,b:\ (a,b)\in R \Rightarrow (b,a)\notin R\) от \((a,b)\in R\) и \((b,a)\in R\) следва \(a=b\) Няма двойки \((a,b)\) с \(a\neq b\) Релацията е антирефлексивна

9Конгруентността \(a \equiv b \pmod{m}\) е:

Релация на частична наредба Само симетрична Антирефлексивна и транзитивна Релация на еквивалентност

10Кое твърдение е вярно за силно антисиметрична релация?

За всяка двойка \(a\neq b\) точно едно от \((a,b)\) и \((b,a)\) е в \(R\) Нито \((a,b)\), нито \((b,a)\) е в \(R\) И двете \((a,b)\) и \((b,a)\) са в \(R\) Релацията е задължително рефлексивна

11В матричното представяне рефлексивна релация се разпознава по:

Всички елементи на матрицата са 1 Матрицата е горнотриъгълна Само нули по главния диагонал Само единици по главния диагонал

12Релацията на делимост \(a \mid b\) върху \(\mathbb{N}^+\) е:

Симетрична Рефлексивна, антисиметрична, транзитивна Силно антисиметрична Само рефлексивна

13Рефлексивното затваряне \(R_{rc}\) се получава като:

Добавим \((b,a)\) за всяко \((a,b)\in R\) Изчислим \(R^2\) Изчислим \(R \cup R^{-1}\) Добавим \((a,a)\) за всяко \(a\in A\), за което \((a,a)\notin R\)

14Перпендикулярността на прави е:

Рефлексивна и транзитивна Антирефлексивна и симетрична Симетрична и транзитивна Антисиметрична и транзитивна

15Колко релации върху \(\{1,2\}\) са едновременно симетрични и антисиметрични?

\(1\) \(2\) \(3\) \(4\)

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

🔗 Свързани уроци

3

Релации — основни понятия и дефиниции

Въведение в релациите: декартово произведение, дефиниция на релация, начини за задаване и представяне.

Преглед на статията →

---

📚 Използвана литература

• С. Бойчева, С. Толева-Стоименова. Дискретна математика. Сиела, 2018.
• К. Манев. Увод в дискретната математика. КЛМН, 2012.
• Х. Кискинов. Въведение в дискретната математика. Пловдивско университетско издателство.
• Ръководство за решаване на задачи по дискретна математика.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика и дискретна математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Дискретна математика, Линейна алгебра, Математически анализ
• ›Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆