Рационални числа. Числова ос. Абсорютна стойност на рационално число. Сравняване на рационални числа

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Рационални числа

Рационални числа. Числова ос.
Абсолютна стойност. Сравняване

Положителни и отрицателни числа, противоположни числа, числова ос, модул и сравняване — 25 разработени задачи, 30 за самостоятелна работа и онлайн тест

6. класРационални числаЧислова осАбсолютна стойностСравняване25 решени задачиД-р Атанас Илчев

Досега работихме основно с положителни числа и нула. В този урок ще разширим числовия свят, като въведем отрицателните числа. Ще научим какво е рационално число, как се изобразяват числата върху числова ос, какво е абсолютна стойност (модул) и как се сравняват рационални числа.

Рационални числа и противоположни числа

Определение. Числата, които могат да се запишат като дроб \(\dfrac{p}{q}\), където \(p\) и \(q\) са цели числа и \(q\neq0\), се наричат рационални числа.

Всяко цяло число е рационално, всяка обикновена дроб е рационално число и всяка крайна или периодична десетична дроб е рационално число.

Примери: \(5 = \frac{5}{1}\); \(\;-3=\frac{-3}{1}\); \(\;\frac{7}{8}\); \(\;-2{,}4=\frac{-24}{10}\); \(\;0=\frac{0}{1}\).

Противоположни числа. Числата \(a\) и \(-a\) се наричат противоположни. Противоположното число на 0 е самото 0.

Примери: числата \(5\) и \(-5\) са противоположни; числата \(-3{,}7\) и \(3{,}7\) са противоположни.

Внимание! Числото \(-a\) не е непременно отрицателно! Знакът минус означава „противоположното число на \(a\)". Ако \(a\) е отрицателно, то \(-a\) е положително. Например: \(-(-7) = 7\).

Числова ос

Числова ос. Права, върху която една от посоките е избрана за положителна и са отбелязани точки \(O\) и \(E\), изобразяващи числата 0 и 1, се нарича числова ос. Положителните числа са вдясно от 0, отрицателните — вляво. Две противоположни числа са на еднакво разстояние от 0, но от различните му страни.

Абсолютна стойност (модул)

Определение. Разстоянието от образа на числото \(a\) до нулата върху числовата ос се нарича модул на \(a\). Означаваме с \(|a|\). \[|a| = \begin{cases}a, &\text{ако }a > 0,\\0, &\text{ако }a = 0,\\-a, &\text{ако }a < 0.\end{cases}\] Модулът е винаги неотрицателен: \(|a|\geq0\). Противоположните числа имат еднакъв модул: \(|a|=|-a|\).

Сравняване на рационални числа

Правила за сравняване.

• Всяко положително число е по-голямо от нула и от всяко отрицателно число.
• Нулата е по-голяма от всяко отрицателно число.
• От две отрицателни числа по-голямо е това с по-малък модул: \(-3 > -5\).
• Върху числовата ос по-голямото число е вдясно.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Запишете с положително или отрицателно число: а) температура 18° над нулата; б) 12° под нулата; в) печалба 350 лв.; г) загуба 120 лв.

▼

Решение \[\text{а) }+18°;\quad\text{б) }-12°;\quad\text{в) }+350\text{ лв.};\quad\text{г) }-120\text{ лв.}\;\blacksquare\]

2

Фирма планира 500 изделия месечно. Януари — 530, февруари — 475, март — 502. Запишете отклонението от плана.

▼

Решение

Януари: \(530-500=+30\); Февруари: \(475-500=-25\); Март: \(502-500=+2\). \(\blacksquare\)

3

Запишете противоположните числа на: \(3;\;-8;\;0;\;2{,}5;\;-\frac{3}{7};\;-(-4)\).

▼

Решение

Противоположното на \(a\) е \(-a\). Забелязваме: \(-(-4)=4\), противоположното му е \(-4\).

\[-3;\quad8;\quad0;\quad-2{,}5;\quad\frac{3}{7};\quad-4.\;\blacksquare\]

4

Намерете \(a\): а) \(-a=4{,}2\); б) \(-a=-9{,}1\); в) \(a=-(-6)\); г) \(-(-a)=5\).

▼

Решение

а) \(a=-4{,}2\); б) \(a=9{,}1\); в) \(a=6\); г) \(-(-a)=a\), значи \(a=5\). \(\blacksquare\)

5

Пресметнете: а) \(|{-7}|\); б) \(|3{,}5|\); в) \(|0|\); г) \(|{-(-2{,}8)}|\).

▼

Решение \[\text{а) }7;\quad\text{б) }3{,}5;\quad\text{в) }0;\quad\text{г) }|-(-2{,}8)|=|2{,}8|=2{,}8.\;\blacksquare\]

6

Пресметнете: \(|{-4{,}2}|+|{-3{,}8}|\).

▼

Решение \[4{,}2+3{,}8=8.\;\blacksquare\]

7

Пресметнете: \(|4{,}2-3{,}8|\).

▼

Решение \[|0{,}4|=0{,}4.\;\blacksquare\]

8

Пресметнете: \(\left|-\frac{5}{18}\right|+\left|-\frac{1}{6}\right|\).

▼

Решение \[\frac{5}{18}+\frac{1}{6}=\frac{5}{18}+\frac{3}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}.\;\blacksquare\]

9

Пресметнете: \(|{-3}|\cdot|{-4}|\cdot|{-5}|-5\).

▼

Решение \[3\cdot4\cdot5-5=60-5=55.\;\blacksquare\]

10

Сравнете: а) \(-23\) и \(-24\); б) \(-56\) и \(55\); в) \(-3{,}05\) и \(-3{,}5\).

▼

Решение

а) И двете са отрицателни. \(|-23|=23<24=|-24|\), по-малък модул → по-голямо число: \(-23>-24\).

б) Положително > отрицателно: \(-56<55\).

в) \(|-3{,}05|=3{,}05<3{,}5=|-3{,}5|\), значи \(-3{,}05>-3{,}5\). \(\blacksquare\)

11

Сравнете: а) \(-\frac{3}{8}\) и \(-\frac{5}{14}\); б) \(-\frac{1}{6}\) и \(-\frac{2}{11}\).

▼

Решение

а) ОЗ=56: \(\frac{3}{8}=\frac{21}{56}\), \(\frac{5}{14}=\frac{20}{56}\). Тъй като \(\frac{21}{56}>\frac{20}{56}\), то \(-\frac{3}{8}<-\frac{5}{14}\).

б) ОЗ=66: \(\frac{1}{6}=\frac{11}{66}\), \(\frac{2}{11}=\frac{12}{66}\). Тъй като \(\frac{11}{66}<\frac{12}{66}\), то \(-\frac{1}{6}>-\frac{2}{11}\). \(\blacksquare\)

12

Подредете във възходящ ред: \(-1{,}4;\;2;\;-3\frac{1}{2};\;-1;\;-\frac{1}{2};\;0{,}25;\;-10;\;5{,}2\).

▼

Решение \[-10<-3\tfrac{1}{2}<-1{,}4<-1<-\tfrac{1}{2}<0{,}25<2<5{,}2.\;\blacksquare\]

13

Намерете най-голямото и най-малкото от: \(-2\frac{1}{3};\;-21{,}5;\;-(-5);\;-2{,}7;\;-0{,}32;\;1{,}2\).

▼

Решение

\(-(-5)=5\). Подреждаме: \(-21{,}5<-2{,}7<-2\frac{1}{3}<-0{,}32<1{,}2<5\). Най-малко: \(-21{,}5\), най-голямо: \(5\). \(\blacksquare\)

14

Между кои две последователни цели числа се намира: \(2{,}3;\;-4{,}3;\;-0{,}23;\;9{,}99\)?

▼

Решение \[2<2{,}3<3;\quad -5<-4{,}3<-4;\quad -1<-0{,}23<0;\quad 9<9{,}99<10.\;\blacksquare\]

15

Запишете всички цели числа, по-големи от \(-7\) и по-малки от \(-1\).

▼

Решение \[-6,\;-5,\;-4,\;-3,\;-2.\;\blacksquare\]

16

Точка \(A\) изобразява \(-3\), точка \(B\) — числото \(15\). Кое число изобразява средата \(C\) на отсечката \(AB\)?

▼

Решение \[\frac{-3+15}{2}=\frac{12}{2}=6.\;\blacksquare\]

17

Пресметнете: \(|{-25}|-|{-2}|\cdot|{-5{,}7}|\).

▼

Решение \[25-2\cdot5{,}7=25-11{,}4=13{,}6.\;\blacksquare\]

18

Намерете стойността на \(\frac{|a|}{a}\), ако \(a>0\), и на \(\frac{|a|}{-a}\), ако \(a<0\).

▼

Решение

Ако \(a>0\): \(|a|=a\), значи \(\frac{a}{a}=1\). Ако \(a<0\): \(|a|=-a\), значи \(\frac{-a}{-a}=1\). И в двата случая отговорът е \(1\).

Важно: не бъркайте! При \(a<0\) имаме \(\frac{|a|}{a}=\frac{-a}{a}=-1\), но \(\frac{|a|}{-a}=\frac{-a}{-a}=1\). \(\blacksquare\)

19

От числата \(0{,}8;\;-1{,}75;\;0;\;-(-8{,}2);\;17\frac{2}{3};\;-100\) кое има: а) най-малка абсолютна стойност; б) най-голяма абсолютна стойност?

▼

Решение

\(-(-8{,}2)=8{,}2\). Модулите: \(0{,}8;\;1{,}75;\;0;\;8{,}2;\;17\frac{2}{3};\;100\). Най-малък: \(|0|=0\); най-голям: \(|-100|=100\). \(\blacksquare\)

20

Пресметнете: \(\left|{-3}\right|\cdot\left|{-4}\right|-\left|{-5}\right|\cdot2+\left|{12{,}5}\right|+\left|{-3}\right|-\left|{-2}\right|\).

▼

Решение \[3\cdot4-5\cdot2+12{,}5+3-2=12-10+12{,}5+3-2=15{,}5.\;\blacksquare\]

21

Намерете всички рационални числа \(x\): а) \(|x|=5\); б) \(|x|+1=3\); в) \(\frac{|x|}{2}=4\); г) \(|x|=-3\).

▼

Решение

а) \(x=5\) или \(x=-5\). б) \(|x|=2\), значи \(x=\pm2\). в) \(|x|=8\), значи \(x=\pm8\). г) Няма решение — модулът не може да бъде отрицателен. \(\blacksquare\)

22

Намерете най-голямото цяло отрицателно и най-малкото цяло положително число \(a\), за които \(|a|>3\). Определете разстоянието между тях на числовата ос.

▼

Решение

\(|a|>3\) означава \(a>3\) или \(a<-3\). Най-малкото цяло положително: \(a=4\). Най-голямото цяло отрицателно: \(a=-4\). Разстояние: \(4-(-4)=8\). \(\blacksquare\)

23

Коя е най-голямата стойност на израза \(9-2\cdot|a|\) и при коя стойност на \(a\) се достига?

▼

Решение

Тъй като \(|a|\geq0\), то \(2|a|\geq0\), следователно \(9-2|a|\leq9\). Равенство при \(|a|=0\), т.е. \(a=0\). Най-голямата стойност е \(\boxed{9}\). \(\blacksquare\)

24

Пресметнете: \(\dfrac{3\cdot|{-a}|+2{,}5}{5}\) при \(a=0;\;\frac{1}{3};\;-2;\;-1{,}5\).

▼

Решение

Тъй като \(|-a|=|a|\), изразът е \(\frac{3|a|+2{,}5}{5}\).

\(a=0\): \(\frac{0+2{,}5}{5}=0{,}5\). \(a=\frac{1}{3}\): \(\frac{1+2{,}5}{5}=0{,}7\). \(a=-2\): \(\frac{6+2{,}5}{5}=1{,}7\). \(a=-1{,}5\): \(\frac{4{,}5+2{,}5}{5}=1{,}4\). \(\blacksquare\)

25

Намерете число \(a\), ако: а) \(-a=|{-1{,}4}|\); б) \(|{-a}|=-1{,}6\); в) \(-(a-1)=-1\frac{1}{6}\); г) \(2\cdot|a|=7{,}2\).

▼

Решение

а) \(-a=1{,}4\), значи \(a=-1{,}4\).

б) \(|-a|=|a|\geq0\), но \(-1{,}6<0\) — няма решение.

в) \(-(a-1)=-1\frac{1}{6}\), значи \(a-1=1\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\), откъдето \(a=1+\frac{7}{6}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}\).

г) \(|a|=3{,}6\), значи \(a=3{,}6\) или \(a=-3{,}6\). \(\blacksquare\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Запишете с положително или отрицателно число: повишение на нивото на реката с 15 cm; понижение с 8 cm.
Отг.: \(+15;\;-8\).

Задача 2Запишете противоположните числа на: \(7;\;-12;\;0;\;-3{,}14;\;\frac{5}{9}\).
Отг.: \(-7;\;12;\;0;\;3{,}14;\;-\frac{5}{9}\).

Задача 3Пресметнете: \(|{-9}|\); \(|4{,}7|\); \(|{-(-3)}|\).
Отг.: \(9;\;4{,}7;\;3\).

Задача 4Пресметнете: \(|{-6}|+|{-4}|\).
Отг.: \(10\).

Задача 5Пресметнете: \(|{-8}|\cdot|{-3}|-|{-7}|\).
Отг.: \(17\).

Задача 6Сравнете: \(-55\) и \(\frac{1}{55}\).
Отг.: \(-55<\frac{1}{55}\).

Задача 7Сравнете: \(2\) и \(-2{,}5\).
Отг.: \(2>-2{,}5\).

Задача 8Сравнете: \(-25\) и \(-22\).
Отг.: \(-25<-22\).

Задача 9Сравнете: \(-7{,}25\) и \(-7{,}238\).
Отг.: \(-7{,}25<-7{,}238\).

Задача 10Сравнете: \(-1\frac{7}{9}\) и \(-1\frac{7}{8}\).
Отг.: \(-1\frac{7}{9}>-1\frac{7}{8}\).

Задача 11Подредете във възходящ ред: \(3\frac{7}{15};\;-4\frac{1}{8};\;-0{,}235;\;7{,}2;\;-3{,}5;\;1\).
Отг.: \(-4\frac{1}{8}<-3{,}5<-0{,}235<1<3\frac{7}{15}<7{,}2\).

Задача 12Подредете в низходящ ред: \(-38;\;-121{,}3;\;15\frac{2}{5};\;-27\frac{1}{4};\;15{,}42;\;42\).
Отг.: \(42>15{,}42>15\frac{2}{5}>-27\frac{1}{4}>-38>-121{,}3\).

Задача 13Между кои две последователни цели числа се намира: \(-8{,}0001;\;-292{,}5;\;\frac{5}{11};\;-\frac{7}{8}\)?
Отг.: \(-9\) и \(-8\); \(-293\) и \(-292\); \(0\) и \(1\); \(-1\) и \(0\).

Задача 14Намерете най-голямото цяло число, по-малко от 2; от \(-5\); от 3; от \(-1\).
Отг.: \(1;\;-6;\;2;\;-2\).

Задача 15Запишете две положителни и две отрицателни числа, по-малки от 1.
Пример: \(0{,}5;\;0{,}1;\;-0{,}2;\;-0{,}8\).

Задача 16Запишете три цели отрицателни числа, по-малки от \(-10\).
Пример: \(-11;\;-12;\;-13\).

Задача 17Запишете всички цели числа, по-големи от \(-8\) и по-малки от \(-2\).
Отг.: \(-7;\;-6;\;-5;\;-4;\;-3\).

Задача 18Точка \(A\) изобразява \(-26\), точка \(B\) — числото \(25\). Кое число е средата на \(AB\)?
Отг.: \(-0{,}5\).

Задача 19Пресметнете: \(|{-12{,}5}|+|{-3}|-|{-2}|\).
Отг.: \(13{,}5\).

Задача 20Пресметнете: \(|{-200}|-|{-1}|\cdot|{-100}|\).
Отг.: \(100\).

Задача 21Намерете \(x\): \(|x|+3=7\).
Отг.: \(x=\pm4\).

Задача 22Намерете \(x\): \(3\cdot|x|=12\).
Отг.: \(x=\pm4\).

Задача 23Намерете \(a\), ако \(-a=|{-1{,}4}|\).
Отг.: \(a=-1{,}4\).

Задача 24Намерете всички цели числа, чийто модул не е по-голям от 4.
Отг.: \(-4;\;-3;\;-2;\;-1;\;0;\;1;\;2;\;3;\;4\).

Задача 25Пресметнете: \(5\cdot|{-4}|^3-|{-3}|^3\).
Отг.: \(5\cdot64-27=293\).

Задача 26Намерете най-малката стойност на \(13+|a|\).
Отг.: \(13\) при \(a=0\).

Задача 27Намерете най-голямата стойност на \(\frac{2}{3+|a-1|}\).
Отг.: \(\frac{2}{3}\) при \(a=1\).

Задача 28Сравнете: \(-5\frac{2}{3}\) и \(-5{,}67\).
Отг.: \(-5\frac{2}{3}>-5{,}67\), тъй като \(5{,}6\overline{6}<5{,}67\).

Задача 29Вярно ли е, че: а) ако \(|a|=|b|\), то \(a=b\); б) ако \(a=-b\), то \(|a|=|b|\)?
Отг.: а) Не; б) Да.

Задача 30Пресметнете: \(|{-3{,}2}|\cdot|2|+|12-5\frac{1}{2}|-|{-(-55)}|\).
Отг.: \(6{,}4+6{,}5-55=-42{,}1\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Рационални числа, числова ос, абсолютна стойност, сравняване

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Противоположното число на \(-8\) е:

\(-8\) \(\frac{1}{8}\) \(-\frac{1}{8}\) \(8\)

2\(|{-12{,}5}| =\)

\(12{,}5\) \(-12{,}5\) \(0\) \(\frac{1}{12{,}5}\)

3Кое число е по-голямо: \(-23\) или \(-24\)?

\(-24\) \(-23\) Равни са Не може да се сравнят

4\(-(-7) =\)

\(-7\) \(0\) \(7\) \(\frac{1}{7}\)

5\(|{-3}|\cdot|{-4}| =\)

\(-12\) \(-7\) \(7\) \(12\)

6Между кои две цели числа е \(-4{,}3\)?

\(-5\) и \(-4\) \(-4\) и \(-3\) \(4\) и \(5\) \(-3\) и \(-4\)

7Модулът на числото 0 е:

не е дефиниран \(0\) \(1\) \(-1\)

8Ако \(|x|=6\), то \(x\) е:

само \(6\) само \(-6\) \(6\) или \(-6\) \(0\)

9Кое от следните е вярно?

\(-5>-3\) \(-5>0\) \(-5<0\) \(-5=5\)

10Средата на отсечката с крайни точки \(-4\) и \(10\) е:

\(7\) \(6\) \(14\) \(3\)

11Кое число има най-голям модул: \(-3;\;5;\;-8;\;2\)?

\(-3\) \(5\) \(-8\) \(2\)

12\(|{-4{,}2}|+|{-3{,}8}| =\)

\(0{,}4\) \(-8\) \(-0{,}4\) \(8\)

13Ако \(a<0\), то \(\frac{|a|}{a} =\)

\(1\) \(-1\) \(0\) \(a\)

14Най-голямата стойност на \(7-3|a|\) е:

\(7\) \(4\) \(10\) \(0\)

15Колко цели числа удовлетворяват \(|n|<3\)?

\(3\) \(5\) \(6\) \(7\)

---

Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

▶ Абонирайте се за канала

---

Свързани уроци

◀

Степенуване на произведение и на частно. Степенуване на степен

Три правила за степенуване, стандартен запис — 25 решени задачи и тест.

Преглед на урока →

---

Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет, УАСГ, ТУ и др.
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Диф. уравнения, ТВ, Статистика и др.

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆