Рационални числа. Числова ос. Абсорютна стойност на рационално число. Сравняване на рационални числа

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › 6. клас › Рационални числа

Рационални числа. Числова ос.
Абсолютна стойност. Сравняване

Положителни и отрицателни числа, противоположни числа, числова ос, модул и сравняване — 25 разработени задачи, 30 за самостоятелна работа и онлайн тест

6. класРационални числаЧислова осАбсолютна стойностСравняване25 решени задачиД-р Атанас Илчев

Досега работихме основно с положителни числа и нула. В този урок ще разширим числовия свят, като въведем отрицателните числа. Ще научим какво е рационално число, как се изобразяват числата върху числова ос, какво е абсолютна стойност (модул) и как се сравняват рационални числа.

📺 Рационални числа и противоположни числа

Определение. Числата, които могат да се запишат като дроб \(\dfrac{p}{q}\), където \(p\) и \(q\) са цели числа и \(q\neq0\), се наричат рационални числа.

Всяко цяло число е рационално, всяка обикновена дроб е рационално число и всяка крайна или периодична десетична дроб е рационално число.

Примери: \(5 = \frac{5}{1}\); \(\;-3=\frac{-3}{1}\); \(\;\frac{7}{8}\); \(\;-2{,}4=\frac{-24}{10}\); \(\;0=\frac{0}{1}\).

Противоположни числа. Числата \(a\) и \(-a\) се наричат противоположни. Противоположното число на 0 е самото 0.

Примери: числата \(5\) и \(-5\) са противоположни; числата \(-3{,}7\) и \(3{,}7\) са противоположни.

Внимание! Числото \(-a\) не е непременно отрицателно! Знакът минус означава „противоположното число на \(a\)". Ако \(a\) е отрицателно, то \(-a\) е положително. Например: \(-(-7) = 7\).

↦ Числова ос

Числова ос. Права, върху която една от посоките е избрана за положителна и са отбелязани точки \(O\) и \(E\), изобразяващи числата 0 и 1, се нарича числова ос. Положителните числа са вдясно от 0, отрицателните — вляво. Две противоположни числа са на еднакво разстояние от 0, но от различните му страни.

📏 Абсолютна стойност (модул)

Определение. Разстоянието от образа на числото \(a\) до нулата върху числовата ос се нарича модул на \(a\). Означаваме с \(|a|\). \[|a| = \begin{cases}a, &\text{ако }a \gt 0,\\0, &\text{ако }a = 0,\\-a, &\text{ако }a \lt 0.\end{cases}\] Модулът е винаги неотрицателен: \(|a|\geq0\). Противоположните числа имат еднакъв модул: \(|a|=|-a|\).

⚖️ Сравняване на рационални числа

Правила за сравняване.

• Всяко положително число е по-голямо от нула и от всяко отрицателно число.
• Нулата е по-голяма от всяко отрицателно число.
• От две отрицателни числа по-голямо е това с по-малък модул: \(-3 \gt -5\).
• Върху числовата ос по-голямото число е вдясно.

---

✍️ Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Запишете с положително или отрицателно число: а) температура 18° над нулата; б) 12° под нулата; в) печалба 350 лв.; г) загуба 120 лв.

▼

Решение \[\text{а) }+18°;\quad\text{б) }-12°;\quad\text{в) }+350\text{ лв.};\quad\text{г) }-120\text{ лв.}\;\blacksquare\]

2

Фирма планира 500 изделия месечно. Януари — 530, февруари — 475, март — 502. Запишете отклонението от плана.

▼

Решение

Януари: \(530-500=+30\); Февруари: \(475-500=-25\); Март: \(502-500=+2\). \(\blacksquare\)

3

Запишете противоположните числа на: \(3;\;-8;\;0;\;2{,}5;\;-\frac{3}{7};\;-(-4)\).

▼

Решение

Противоположното на \(a\) е \(-a\). Забелязваме: \(-(-4)=4\), противоположното му е \(-4\).

\[-3;\quad8;\quad0;\quad-2{,}5;\quad\frac{3}{7};\quad-4.\;\blacksquare\]

4

Намерете \(a\): а) \(-a=4{,}2\); б) \(-a=-9{,}1\); в) \(a=-(-6)\); г) \(-(-a)=5\).

▼

Решение

а) \(a=-4{,}2\); б) \(a=9{,}1\); в) \(a=6\); г) \(-(-a)=a\), значи \(a=5\). \(\blacksquare\)

5

Пресметнете: а) \(|{-7}|\); б) \(|3{,}5|\); в) \(|0|\); г) \(|{-(-2{,}8)}|\).

▼

Решение \[\text{а) }7;\quad\text{б) }3{,}5;\quad\text{в) }0;\quad\text{г) }|-(-2{,}8)|=|2{,}8|=2{,}8.\;\blacksquare\]

6

Пресметнете: \(|{-4{,}2}|+|{-3{,}8}|\).

▼

Решение \[4{,}2+3{,}8=8.\;\blacksquare\]

7

Пресметнете: \(|4{,}2-3{,}8|\).

▼

Решение \[|0{,}4|=0{,}4.\;\blacksquare\]

8

Пресметнете: \(\left|-\frac{5}{18}\right|+\left|-\frac{1}{6}\right|\).

▼

Решение \[\frac{5}{18}+\frac{1}{6}=\frac{5}{18}+\frac{3}{18}=\frac{8}{18}=\frac{4}{9}.\;\blacksquare\]

9

Пресметнете: \(|{-3}|\cdot|{-4}|\cdot|{-5}|-5\).

▼

Решение \[3\cdot4\cdot5-5=60-5=55.\;\blacksquare\]

10

Сравнете: а) \(-23\) и \(-24\); б) \(-56\) и \(55\); в) \(-3{,}05\) и \(-3{,}5\).

▼

Решение

а) \(|-23|=23\lt24=|-24|\), по-малък модул → по-голямо число: \(-23\gt-24\).

б) Положително > отрицателно: \(-56\lt55\).

в) \(|-3{,}05|=3{,}05\lt3{,}5=|-3{,}5|\), значи \(-3{,}05\gt-3{,}5\). \(\blacksquare\)

11

Сравнете: а) \(-\frac{3}{8}\) и \(-\frac{5}{14}\); б) \(-\frac{1}{6}\) и \(-\frac{2}{11}\).

▼

Решение

а) ОЗ=56: \(\frac{3}{8}=\frac{21}{56}\), \(\frac{5}{14}=\frac{20}{56}\). Тъй като \(\frac{21}{56}\gt\frac{20}{56}\), то \(-\frac{3}{8}\lt-\frac{5}{14}\).

б) ОЗ=66: \(\frac{1}{6}=\frac{11}{66}\), \(\frac{2}{11}=\frac{12}{66}\). Тъй като \(\frac{11}{66}\lt\frac{12}{66}\), то \(-\frac{1}{6}\gt-\frac{2}{11}\). \(\blacksquare\)

12

Подредете във възходящ ред: \(-1{,}4;\;2;\;-3\frac{1}{2};\;-1;\;-\frac{1}{2};\;0{,}25;\;-10;\;5{,}2\).

▼

Решение \[-10\lt-3\tfrac{1}{2}\lt-1{,}4\lt-1\lt-\tfrac{1}{2}\lt0{,}25\lt2\lt5{,}2.\;\blacksquare\]

13

Намерете най-голямото и най-малкото от: \(-2\frac{1}{3};\;-21{,}5;\;-(-5);\;-2{,}7;\;-0{,}32;\;1{,}2\).

▼

Решение

\(-(-5)=5\). Подреждаме: \(-21{,}5\lt-2{,}7\lt-2\frac{1}{3}\lt-0{,}32\lt1{,}2\lt5\). Най-малко: \(-21{,}5\), най-голямо: \(5\). \(\blacksquare\)

14

Между кои две последователни цели числа се намира: \(2{,}3;\;-4{,}3;\;-0{,}23;\;9{,}99\)?

▼

Решение \[2\lt2{,}3\lt3;\quad -5\lt-4{,}3\lt-4;\quad -1\lt-0{,}23\lt0;\quad 9\lt9{,}99\lt10.\;\blacksquare\]

15

Запишете всички цели числа, по-големи от \(-7\) и по-малки от \(-1\).

▼

Решение \[-6,\;-5,\;-4,\;-3,\;-2.\;\blacksquare\]

16

Точка \(A\) изобразява \(-3\), точка \(B\) — числото \(15\). Кое число изобразява средата \(C\) на отсечката \(AB\)?

▼

Решение \[\frac{-3+15}{2}=\frac{12}{2}=6.\;\blacksquare\]

17

Пресметнете: \(|{-25}|-|{-2}|\cdot|{-5{,}7}|\).

▼

Решение \[25-2\cdot5{,}7=25-11{,}4=13{,}6.\;\blacksquare\]

18

Намерете стойността на \(\frac{|a|}{a}\), ако \(a\gt0\), и на \(\frac{|a|}{-a}\), ако \(a\lt0\).

▼

Решение

Ако \(a\gt0\): \(|a|=a\), значи \(\frac{a}{a}=1\). Ако \(a\lt0\): \(|a|=-a\), значи \(\frac{-a}{-a}=1\). И в двата случая отговорът е \(1\).

Важно: При \(a\lt0\) имаме \(\frac{|a|}{a}=\frac{-a}{a}=-1\), но \(\frac{|a|}{-a}=\frac{-a}{-a}=1\). \(\blacksquare\)

19

От числата \(0{,}8;\;-1{,}75;\;0;\;-(-8{,}2);\;17\frac{2}{3};\;-100\) кое има: а) най-малка абсолютна стойност; б) най-голяма абсолютна стойност?

▼

Решение

\(-(-8{,}2)=8{,}2\). Модулите: \(0{,}8;\;1{,}75;\;0;\;8{,}2;\;17\frac{2}{3};\;100\). Най-малък: \(|0|=0\); най-голям: \(|-100|=100\). \(\blacksquare\)

20

Пресметнете: \(\left|{-3}\right|\cdot\left|{-4}\right|-\left|{-5}\right|\cdot2+\left|{12{,}5}\right|+\left|{-3}\right|-\left|{-2}\right|\).

▼

Решение \[3\cdot4-5\cdot2+12{,}5+3-2=12-10+12{,}5+3-2=15{,}5.\;\blacksquare\]

21

Намерете всички рационални числа \(x\): а) \(|x|=5\); б) \(|x|+1=3\); в) \(\frac{|x|}{2}=4\); г) \(|x|=-3\). ⭐ трудна

▼

Решение

а) \(x=5\) или \(x=-5\). б) \(|x|=2\), значи \(x=\pm2\). в) \(|x|=8\), значи \(x=\pm8\). г) Няма решение — модулът не може да бъде отрицателен. \(\blacksquare\)

22

Намерете най-голямото цяло отрицателно и най-малкото цяло положително число \(a\), за които \(|a|\gt3\). Определете разстоянието между тях на числовата ос. ⭐ трудна

▼

Решение

\(|a|\gt3\) означава \(a\gt3\) или \(a\lt-3\). Най-малкото цяло положително: \(a=4\). Най-голямото цяло отрицателно: \(a=-4\). Разстояние: \(4-(-4)=8\). \(\blacksquare\)

23

Коя е най-голямата стойност на израза \(9-2\cdot|a|\) и при коя стойност на \(a\) се достига? ⭐ трудна

▼

Решение

Тъй като \(|a|\geq0\), то \(2|a|\geq0\), следователно \(9-2|a|\leq9\). Равенство при \(|a|=0\), т.е. \(a=0\). Най-голямата стойност е \(\boxed{9}\). \(\blacksquare\)

24

Пресметнете: \(\dfrac{3\cdot|{-a}|+2{,}5}{5}\) при \(a=0;\;\frac{1}{3};\;-2;\;-1{,}5\). ⭐ трудна

▼

Решение

Тъй като \(|-a|=|a|\), изразът е \(\frac{3|a|+2{,}5}{5}\).

\(a=0\): \(\frac{0+2{,}5}{5}=0{,}5\). \(a=\frac{1}{3}\): \(\frac{1+2{,}5}{5}=0{,}7\). \(a=-2\): \(\frac{6+2{,}5}{5}=1{,}7\). \(a=-1{,}5\): \(\frac{4{,}5+2{,}5}{5}=1{,}4\). \(\blacksquare\)

25

Намерете число \(a\), ако: а) \(-a=|{-1{,}4}|\); б) \(|{-a}|=-1{,}6\); в) \(-(a-1)=-1\frac{1}{6}\); г) \(2\cdot|a|=7{,}2\). ⭐ трудна

▼

Решение

а) \(-a=1{,}4\), значи \(a=-1{,}4\).

б) \(|-a|=|a|\geq0\), но \(-1{,}6\lt0\) — няма решение.

в) \(-(a-1)=-1\frac{1}{6}\), значи \(a-1=1\frac{1}{6}=\frac{7}{6}\), откъдето \(a=1+\frac{7}{6}=\frac{13}{6}=2\frac{1}{6}\).

г) \(|a|=3{,}6\), значи \(a=3{,}6\) или \(a=-3{,}6\). \(\blacksquare\)

---

📝 Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите задачите самостоятелно.

Задача 1Запишете с положително или отрицателно число: повишение на нивото на реката с 15 cm; понижение с 8 cm.
Отг.: \(+15;\;-8\).

Задача 2Запишете противоположните числа на: \(7;\;-12;\;0;\;-3{,}14;\;\frac{5}{9}\).
Отг.: \(-7;\;12;\;0;\;3{,}14;\;-\frac{5}{9}\).

Задача 3Пресметнете: \(|{-9}|\); \(|4{,}7|\); \(|{-(-3)}|\).
Отг.: \(9;\;4{,}7;\;3\).

Задача 4Пресметнете: \(|{-6}|+|{-4}|\).
Отг.: \(10\).

Задача 5Пресметнете: \(|{-8}|\cdot|{-3}|-|{-7}|\).
Отг.: \(17\).

Задача 6Сравнете: \(-55\) и \(\frac{1}{55}\).
Отг.: \(-55\lt\frac{1}{55}\).

Задача 7Сравнете: \(2\) и \(-2{,}5\).
Отг.: \(2\gt-2{,}5\).

Задача 8Сравнете: \(-25\) и \(-22\).
Отг.: \(-25\lt-22\).

Задача 9Сравнете: \(-7{,}25\) и \(-7{,}238\).
Отг.: \(-7{,}25\lt-7{,}238\).

Задача 10Сравнете: \(-1\frac{7}{9}\) и \(-1\frac{7}{8}\).
Отг.: \(-1\frac{7}{9}\gt-1\frac{7}{8}\).

Задача 11Подредете във възходящ ред: \(3\frac{7}{15};\;-4\frac{1}{8};\;-0{,}235;\;7{,}2;\;-3{,}5;\;1\).
Отг.: \(-4\frac{1}{8}\lt-3{,}5\lt-0{,}235\lt1\lt3\frac{7}{15}\lt7{,}2\).

Задача 12Подредете в низходящ ред: \(-38;\;-121{,}3;\;15\frac{2}{5};\;-27\frac{1}{4};\;15{,}42;\;42\).
Отг.: \(42\gt15{,}42\gt15\frac{2}{5}\gt-27\frac{1}{4}\gt-38\gt-121{,}3\).

Задача 13Между кои две последователни цели числа се намира: \(-8{,}0001;\;-292{,}5;\;\frac{5}{11};\;-\frac{7}{8}\)?
Отг.: \(-9\) и \(-8\); \(-293\) и \(-292\); \(0\) и \(1\); \(-1\) и \(0\).

Задача 14Намерете най-голямото цяло число, по-малко от 2; от \(-5\); от 3; от \(-1\).
Отг.: \(1;\;-6;\;2;\;-2\).

Задача 15Запишете две положителни и две отрицателни числа, по-малки от 1.
Пример: \(0{,}5;\;0{,}1;\;-0{,}2;\;-0{,}8\).

Задача 16Запишете три цели отрицателни числа, по-малки от \(-10\).
Пример: \(-11;\;-12;\;-13\).

Задача 17Запишете всички цели числа, по-големи от \(-8\) и по-малки от \(-2\).
Отг.: \(-7;\;-6;\;-5;\;-4;\;-3\).

Задача 18Точка \(A\) изобразява \(-26\), точка \(B\) — числото \(25\). Кое число е средата на \(AB\)?
Отг.: \(-0{,}5\).

Задача 19Пресметнете: \(|{-12{,}5}|+|{-3}|-|{-2}|\).
Отг.: \(13{,}5\).

Задача 20Пресметнете: \(|{-200}|-|{-1}|\cdot|{-100}|\).
Отг.: \(100\).

Задача 21Намерете \(x\): \(|x|+3=7\).
Отг.: \(x=\pm4\).

Задача 22Намерете \(x\): \(3\cdot|x|=12\).
Отг.: \(x=\pm4\).

Задача 23Намерете \(a\), ако \(-a=|{-1{,}4}|\).
Отг.: \(a=-1{,}4\).

Задача 24Намерете всички цели числа, чийто модул не е по-голям от 4.
Отг.: \(-4;\;-3;\;-2;\;-1;\;0;\;1;\;2;\;3;\;4\).

Задача 25Пресметнете: \(5\cdot|{-4}|^3-|{-3}|^3\).
Отг.: \(5\cdot64-27=293\).

Задача 26Намерете най-малката стойност на \(13+|a|\).
Отг.: \(13\) при \(a=0\).

Задача 27Намерете най-голямата стойност на \(\frac{2}{3+|a-1|}\).
Отг.: \(\frac{2}{3}\) при \(a=1\).

Задача 28Сравнете: \(-5\frac{2}{3}\) и \(-5{,}67\).
Отг.: \(-5\frac{2}{3}\gt-5{,}67\), тъй като \(5{,}6\overline{6}\lt5{,}67\).

Задача 29Вярно ли е, че: а) ако \(|a|=|b|\), то \(a=b\); б) ако \(a=-b\), то \(|a|=|b|\)?
Отг.: а) Не; б) Да.

Задача 30Пресметнете: \(|{-3{,}2}|\cdot|2|+|12-5\frac{1}{2}|-|{-(-55)}|\).
Отг.: \(6{,}4+6{,}5-55=-42{,}1\).

---

✅ Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Рационални числа, числова ос, абсолютна стойност, сравняване

Изберете верния отговор.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Противоположното число на \(-8\) е:

\(-8\) \(\frac{1}{8}\) \(-\frac{1}{8}\) \(8\)

2\(|{-12{,}5}| =\)

\(12{,}5\) \(-12{,}5\) \(0\) \(\frac{1}{12{,}5}\)

3Кое число е по-голямо: \(-23\) или \(-24\)?

\(-24\) \(-23\) Равни са Не може да се сравнят

4\(-(-7) =\)

\(-7\) \(0\) \(7\) \(\frac{1}{7}\)

5\(|{-3}|\cdot|{-4}| =\)

\(-12\) \(-7\) \(7\) \(12\)

6Между кои две цели числа е \(-4{,}3\)?

\(-5\) и \(-4\) \(-4\) и \(-3\) \(4\) и \(5\) \(-3\) и \(-4\)

7Модулът на числото 0 е:

не е дефиниран \(0\) \(1\) \(-1\)

8Ако \(|x|=6\), то \(x\) е:

само \(6\) само \(-6\) \(6\) или \(-6\) \(0\)

9Кое от следните е вярно?

\(-5\gt-3\) \(-5\gt0\) \(-5\lt0\) \(-5=5\)

10Средата на отсечката с крайни точки \(-4\) и \(10\) е:

\(7\) \(6\) \(14\) \(3\)

11Кое число има най-голям модул: \(-3;\;5;\;-8;\;2\)?

\(-3\) \(5\) \(-8\) \(2\)

12\(|{-4{,}2}|+|{-3{,}8}| =\)

\(0{,}4\) \(-8\) \(-0{,}4\) \(8\)

13Ако \(a\lt0\), то \(\frac{|a|}{a} =\)

\(1\) \(-1\) \(0\) \(a\)

14Най-голямата стойност на \(7-3|a|\) е:

\(7\) \(4\) \(10\) \(0\)

15Колко цели числа удовлетворяват \(|n|\lt3\)?

\(3\) \(5\) \(6\) \(7\)

---

🎥️ Видео уроци

🎥

Видео урок — очаквайте скоро

Следете канала за нови публикации.

▶ Абонирайте се за канала

---

🔗 Свързани уроци

3

Събиране и изваждане на рационални числа

Правила, свойства на събирането, въвеждане и разкриване на скоби, алгебричен сбор — 25 разработени задачи и онлайн тест.

Преглед на урока →

---

📚 Използвана литература

• Г. Паскалев, М. Алашка. Сборник от задачи по математика за 6. клас. Архимед.
• Ст. Петков и колектив. Математика за 6. клас. Просвета.
• Ч. Лозанов и колектив. Помагало по математика за 6. клас.
• П. Рангелова, К. Бекриев, Л. Дилкина, Н. Иванова. Сборник по математика за 6. клас. Коала Прес.
• Т. Витанов, Л. Дилкина, П. Тодорова, И. Цветанова, И. Джонджорова. Сборник по математика за 6. клас. Клет.
• В. Златилов, Т. Тонова, Л. Мничева. Още математика за 6. клас. Труд.
• Списание Математика.
• Списание Квант.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Софийски университет, УАСГ, ТУ и др.
• ›Прием в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Диф. уравнения, ТВ, Статистика и др.

✆ 0883 375 433☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆гл.ас. д-р Атанас Илчев◆Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆