Нютонов бином
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Нютонов бином
Нютонов бином
Биномни коефициенти, формула и решени задачи
Пълен урок с теория, биномни коефициенти, формула за разлагане, общ член, подробно решени задачи и задачи за самостоятелна работа
Как се разлага \((a+b)^n\), как се намира конкретен член от разложението и как се използват биномните коефициенти
Нютоновият бином е една от най-важните формули в алгебрата и комбинаториката. Той ни позволява да разложим степента \((a+b)^n\) като сума от едночлени с точно определени коефициенти. Тези коефициенти се наричат биномни коефициенти и описват по колко начина можем да изберем \(k\) елемента от общо \(n\).
Исторически идеята е позната още в математиката на Индия, Персия и Китай. През IX век Абу Бакр ал-Караджи описва свойства на биномните коефициенти, а Омар Хаям популяризира тяхната триъгълна подредба. В Европа тази подредба става известна като Триъгълника на Паскал, а Исак Нютон обобщава идеята и я превръща в мощен инструмент на алгебрата и анализа.
В този урок следваме класическата структура: дефиниции, теорема, общ член на разложението, план за решаване, най-чести грешки, 4 подробно решени задачи и задачи за самостоятелна работа.
Определения и основни свойства
Определение 1: Биномен коефициент се нарича числото
\[
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
\]
където \(n\in\mathbb{N}\) и \(0\le k\le n\). Чете се „\(n\) над \(k\)“.
Основни стойности:
\[
\binom{n}{0}=1,\qquad \binom{n}{n}=1.
\]
Освен това е вярно и симетричното свойство
\[
\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.
\]
Теорема 1 (Биномна теорема / Нютонов бином): За всяко естествено число \(n\) и за произволни числа \(a\) и \(b\) е изпълнено
\[
(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k
=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+\cdots+\binom{n}{n}b^n.
\]
Общ член на разложението: \((r+1)\)-вият член в разложението на \((a+b)^n\) е
\[
T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^r,\qquad r=0,1,2,\ldots,n.
\]
Тази формула е особено удобна, когато трябва да намерим не цялото разложение, а само определен член.
План за решаване на задачи с Нютонов бином:
• разпознаваме кои са \(a\), \(b\) и \(n\);
• при пълно разлагане използваме формулата на Нютоновия бином;
• при търсене на конкретен член използваме общия член \(T_{r+1}\);
• пресмятаме точно биномния коефициент \(\binom{n}{r}\);
• внимаваме със степените на \(a\) и \(b\) и със знаците, когато \(b\) е отрицателно число или израз.
• разпознаваме кои са \(a\), \(b\) и \(n\);
• при пълно разлагане използваме формулата на Нютоновия бином;
• при търсене на конкретен член използваме общия член \(T_{r+1}\);
• пресмятаме точно биномния коефициент \(\binom{n}{r}\);
• внимаваме със степените на \(a\) и \(b\) и със знаците, когато \(b\) е отрицателно число или израз.
Къде се греши най-често:
• обърква се редът на степените \(a^{n-k}b^k\);
• пропуска се знакът „минус“ при разлагане на \((a-b)^n\);
• грешно се избира \(r\) при намиране на \((r+1)\)-вия член;
• не се повдига в степен целият множител, например \((2y)^9\), а само \(y^9\);
• смята се неправилно биномният коефициент.
• обърква се редът на степените \(a^{n-k}b^k\);
• пропуска се знакът „минус“ при разлагане на \((a-b)^n\);
• грешно се избира \(r\) при намиране на \((r+1)\)-вия член;
• не се повдига в степен целият множител, например \((2y)^9\), а само \(y^9\);
• смята се неправилно биномният коефициент.
Приложения: Нютоновият бином се използва в алгебраични преобразувания, комбинаторика, теория на вероятностите, числени методи, анализ на алгоритми и при бързо намиране на коефициенти и конкретни членове в големи степени.
Решени задачи
1
Задача 1. Представете израза
\[
(1-x)^{10}
\]
като сума от едночлени.
▾
Решение
Ще използваме Нютоновия бином при \(a=1\), \(b=-x\) и \(n=10\):
\[
(1-x)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}(1)^{10-k}(-x)^k.
\]
Понеже \((1)^{10-k}=1\), получаваме
\[
(1-x)^{10}=\binom{10}{0}-\binom{10}{1}x+\binom{10}{2}x^2-\binom{10}{3}x^3+\cdots+\binom{10}{10}x^{10}.
\]
Изчисляваме биномните коефициенти:
\[
\binom{10}{0}=1,\quad \binom{10}{1}=10,\quad \binom{10}{2}=45,\quad \binom{10}{3}=120,
\]
\[
\binom{10}{4}=210,\quad \binom{10}{5}=252,\quad \binom{10}{6}=210,\quad \binom{10}{7}=120,
\]
\[
\binom{10}{8}=45,\quad \binom{10}{9}=10,\quad \binom{10}{10}=1.
\]
Следователно
\[
(1-x)^{10}=1-10x+45x^2-120x^3+210x^4-252x^5+210x^6-120x^7+45x^8-10x^9+x^{10}.
\]
2
Задача 2. Намерете първите три члена в разложението на бинома
\[
(x+2y)^{20}.
\]
▾
Решение
Прилагаме Нютоновия бином:
\[
(x+2y)^{20}=\binom{20}{0}x^{20}+\binom{20}{1}x^{19}(2y)+\binom{20}{2}x^{18}(2y)^2+\cdots
\]
Изчисляваме първите три члена:
\[
\binom{20}{0}x^{20}=x^{20},
\]
\[
\binom{20}{1}x^{19}(2y)=20\cdot x^{19}\cdot 2y=40x^{19}y,
\]
\[
\binom{20}{2}x^{18}(2y)^2=190\cdot x^{18}\cdot 4y^2=760x^{18}y^2.
\]
Следователно първите три члена са
\[
x^{20}+40x^{19}y+760x^{18}y^2.
\]
3
Задача 3. Да се намери десетият член от разложението на бинома
\[
(x+2y)^{16}.
\]
▾
Решение
Използваме формулата за \((r+1)\)-вия член:
\[
T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^r.
\]
Тук \(n=16\), \(a=x\), \(b=2y\), а търсим десетия член. Значи
\[
r+1=10 \quad\Rightarrow\quad r=9.
\]
Следователно
\[
T_{10}=\binom{16}{9}x^{16-9}(2y)^9.
\]
Понеже
\[
\binom{16}{9}=11440,\qquad x^{16-9}=x^7,\qquad (2y)^9=2^9y^9=512y^9,
\]
получаваме
\[
T_{10}=11440x^7\cdot 512y^9=5857280x^7y^9.
\]
Значи десетият член е
\[
\boxed{5857280x^7y^9}.
\]
4
Задача 4. Третият член от разложението на бинома
\[
\left(x^{\lg(x)}+x\right)^5
\]
е равен на \(100\). Намерете \(x\).
▾
Решение
Най-напред забелязваме, че \(x>0\), защото във формулата участва \(\lg(x)\).
При \(a=x^{\lg(x)}\), \(b=x\) и \(n=5\) третият член е \[ T_3=\binom{5}{2}\left(x^{\lg(x)}\right)^3x^2. \] По условие този член е равен на \(100\), следователно \[ \binom{5}{2}\left(x^{\lg(x)}\right)^3x^2=100. \] Понеже \(\binom{5}{2}=10\), получаваме \[ 10\left(x^{\lg(x)}\right)^3x^2=100 \quad\Rightarrow\quad x^{3\lg(x)+2}=10. \] Полагаме \[ \lg(x)=t \qquad\Rightarrow\qquad x=10^t. \] Тогава \[ (10^t)^{3t+2}=10^1, \] откъдето \[ 10^{3t^2+2t}=10^1 \quad\Rightarrow\quad 3t^2+2t=1. \] Решаваме квадратното уравнение: \[ 3t^2+2t-1=0. \] Корените са \[ t_1=\frac13,\qquad t_2=-1. \] Връщаме се към \(x=10^t\): \[ x_1=10^{1/3}=\sqrt[3]{10},\qquad x_2=10^{-1}=\frac{1}{10}. \] Следователно \[ \boxed{x=\sqrt[3]{10}\quad \text{или}\quad x=\frac{1}{10}}. \]
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Разложете \((x+1)^6\) като сума от едночлени.
Задача 2Разложете \((2a-b)^5\) като сума от едночлени.
Задача 3Намерете първите четири члена в разложението на \((3x+y)^8\).
Задача 4Намерете петия член от разложението на \((a+2b)^9\).
Задача 5Намерете коефициента пред \(x^4y^5\) в разложението на \((x+y)^9\).
Задача 6Намерете коефициента пред \(x^3\) в разложението на \((x+2)^7\).
Задача 7Намерете постоянния член в разложението на \(\left(x+\frac1x\right)^8\).
Задача 8Намерете третия член от разложението на \((2x-3y)^{10}\).
Задача 9Намерете десетия член от разложението на \((1+x)^{15}\).
Задача 10Ако вторият член от разложението на \((x^2+1)^5\) е равен на \(80\), намерете \(x\).
Задача 11Докажете, че сборът на биномните коефициенти в \(n\)-тия ред е \(2^n\), тоест
\[
\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n.
\]
Задача 12Докажете, че
\[
\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n}=n2^{n-1}.
\]
Литература и ориентири
- [1]Учебни материали по алгебра за 8.–12. клас — раздели за Нютонов бином и биномни коефициенти.
- [2]Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications — комбинаторен смисъл и свойства на биномните коефициенти.
- [3]Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics — класически идеи за биноми и комбинаторни интерпретации.
- [4]Собствени бележки, примери и задачи към този урок.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Подготовка
- ➤НВО след 7. клас
- ➤ДЗИ и кандидатстудентски изпити
- ➤Текуща подготовка по математика
Формат
- ➤Онлайн уроци за цялата страна
- ➤Индивидуални и групови занимания
- ➤Материали и домашни по теми
Уроци по математика с д-р Атанас Илчев
За въпроси, записване за уроци или подготовка по конкретна тема можеш да се свържеш директно с мен.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл. ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар