Нютонов бином
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Нютонов бином
Нютонов бином
Биномни коефициенти, формула и решени задачи
Пълен урок с теория, биномни коефициенти, формула за разлагане, общ член, подробно решени задачи и задачи за самостоятелна работа
Как се разлага \((a+b)^n\), как се намира конкретен член от разложението и как се използват биномните коефициенти
Нютоновият бином е една от най-важните формули в алгебрата и комбинаториката. Той ни позволява да разложим степента \((a+b)^n\) като сума от едночлени с точно определени коефициенти. Тези коефициенти се наричат биномни коефициенти и описват по колко начина можем да изберем \(k\) елемента от общо \(n\).
Исторически идеята е позната още в математиката на Индия, Персия и Китай. През IX век Абу Бакр ал-Караджи описва свойства на биномните коефициенти, а Омар Хаям популяризира тяхната триъгълна подредба. В Европа тази подредба става известна като Триъгълника на Паскал, а Исак Нютон обобщава идеята и я превръща в мощен инструмент на алгебрата и анализа.
В този урок следваме класическата структура: дефиниции, теорема, общ член на разложението, план за решаване, най-чести грешки, 4 подробно решени задачи и задачи за самостоятелна работа.
Определения и основни свойства
Определение 1: Биномен коефициент се нарича числото
\[\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},\]
където \(n\in\mathbb{N}\) и \(0\le k\le n\). Чете се „\(n\) над \(k\)".
Основни стойности:
\[\binom{n}{0}=1,\qquad \binom{n}{n}=1.\]
Освен това е вярно и симетричното свойство
\[\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}.\]
Теорема 1 (Биномна теорема / Нютонов бином): За всяко естествено число \(n\) и за произволни числа \(a\) и \(b\) е изпълнено
\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^k =\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\cdots+\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+\cdots+\binom{n}{n}b^n.\]
Общ член на разложението: \((r+1)\)-вият член в разложението на \((a+b)^n\) е
\[T_{r+1}=\binom{n}{r}a^{\,n-r}b^r,\qquad r=0,1,2,\ldots,n.\]
Тази формула е особено удобна, когато трябва да намерим не цялото разложение, а само определен член.
План за решаване на задачи с Нютонов бином:
• разпознаваме кои са \(a\), \(b\) и \(n\);
• при пълно разлагане използваме формулата на Нютоновия бином;
• при търсене на конкретен член използваме общия член \(T_{r+1}\);
• пресмятаме точно биномния коефициент \(\binom{n}{r}\);
• внимаваме със степените на \(a\) и \(b\) и със знаците, когато \(b\) е отрицателно число или израз.
• разпознаваме кои са \(a\), \(b\) и \(n\);
• при пълно разлагане използваме формулата на Нютоновия бином;
• при търсене на конкретен член използваме общия член \(T_{r+1}\);
• пресмятаме точно биномния коефициент \(\binom{n}{r}\);
• внимаваме със степените на \(a\) и \(b\) и със знаците, когато \(b\) е отрицателно число или израз.
Къде се греши най-често:
• обърква се редът на степените \(a^{n-k}b^k\);
• пропуска се знакът „минус" при разлагане на \((a-b)^n\);
• грешно се избира \(r\) при намиране на \((r+1)\)-вия член;
• не се повдига в степен целият множител, например \((2y)^9\), а само \(y^9\);
• смята се неправилно биномният коефициент.
• обърква се редът на степените \(a^{n-k}b^k\);
• пропуска се знакът „минус" при разлагане на \((a-b)^n\);
• грешно се избира \(r\) при намиране на \((r+1)\)-вия член;
• не се повдига в степен целият множител, например \((2y)^9\), а само \(y^9\);
• смята се неправилно биномният коефициент.
Разработени задачи
Кликнете върху задача, за да видите решението.
1
Представете \((1-x)^{10}\) като сума от едночлени.
▼
Решение
Прилагаме Нютоновия бином при \(a=1\), \(b=-x\), \(n=10\):
\[(1-x)^{10}=\sum_{k=0}^{10}\binom{10}{k}(-x)^k.\]
Биномните коефициенти: \(\binom{10}{0}=1\), \(\binom{10}{1}=10\), \(\binom{10}{2}=45\), \(\binom{10}{3}=120\), \(\binom{10}{4}=210\), \(\binom{10}{5}=252\), \(\binom{10}{6}=210\), \(\binom{10}{7}=120\), \(\binom{10}{8}=45\), \(\binom{10}{9}=10\), \(\binom{10}{10}=1\). Следователно:
\[(1-x)^{10}=1-10x+45x^2-120x^3+210x^4-252x^5+210x^6-120x^7+45x^8-10x^9+x^{10}.\]
2
Намерете първите три члена в разложението на \((x+2y)^{20}\).
▼
Решение
\[(x+2y)^{20}=\binom{20}{0}x^{20}+\binom{20}{1}x^{19}(2y)+\binom{20}{2}x^{18}(2y)^2+\cdots\]
\[T_1=x^{20},\qquad T_2=20\cdot x^{19}\cdot2y=40x^{19}y,\qquad T_3=190\cdot x^{18}\cdot4y^2=760x^{18}y^2.\]
Следователно първите три члена са \(x^{20}+40x^{19}y+760x^{18}y^2\).
3
Намерете десетия член от разложението на \((x+2y)^{16}\).
▼
Решение
Търсим \(T_{10}\), значи \(r+1=10\Rightarrow r=9\). При \(n=16\), \(a=x\), \(b=2y\):
\[T_{10}=\binom{16}{9}x^{7}(2y)^9=11440\cdot x^7\cdot512y^9=5857280x^7y^9.\]
4
Третият член от разложението на \(\left(x^{\lg(x)}+x\right)^5\) е равен на \(100\). Намерете \(x\).
▼
Решение
Тъй като участва \(\lg(x)\), трябва \(x\gt0\). При \(a=x^{\lg(x)}\), \(b=x\), \(n=5\):
\[T_3=\binom{5}{2}\left(x^{\lg(x)}\right)^3x^2=10\cdot x^{3\lg(x)+2}=100\quad\Rightarrow\quad x^{3\lg(x)+2}=10.\]
Полагаме \(\lg(x)=t\), \(x=10^t\):
\[10^{t(3t+2)}=10^1\quad\Rightarrow\quad 3t^2+2t-1=0.\]
Корените: \(t_1=\dfrac{1}{3}\), \(t_2=-1\). Следователно:
\[\boxed{x_1=\sqrt[3]{10},\quad x_2=\frac{1}{10}.}\]
Задачи за самостоятелна работа
Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.
Задача 1Разложете \((x+1)^6\) като сума от едночлени.
Задача 2Разложете \((2a-b)^5\) като сума от едночлени.
Задача 3Намерете първите четири члена в разложението на \((3x+y)^8\).
Задача 4Намерете петия член от разложението на \((a+2b)^9\).
Задача 5Намерете коефициента пред \(x^4y^5\) в разложението на \((x+y)^9\).
Задача 6Намерете коефициента пред \(x^3\) в разложението на \((x+2)^7\).
Задача 7Намерете постоянния член в разложението на \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^8\).
Задача 8Намерете третия член от разложението на \((2x-3y)^{10}\).
Задача 9Намерете десетия член от разложението на \((1+x)^{15}\).
Задача 10Ако вторият член от разложението на \((x^2+1)^5\) е равен на \(80\), намерете \(x\).
Задача 11Докажете, че сборът на биномните коефициенти в \(n\)-тия ред е \(2^n\):
\[\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\cdots+\binom{n}{n}=2^n.\]
Задача 12Докажете, че
\[\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n}=n\cdot2^{n-1}.\]
Видео уроци
Свързани уроци
▶
Математическа индукция — определение, принцип и решени задачи
Базова стъпка, индукционна хипотеза и индукционен преход — 4 подробно решени задачи и задачи за самостоятелна работа.
Преглед на урока →
Използвана литература
- 1.Учебни материали по алгебра за 8.–12. клас — раздели за Нютонов бином и биномни коефициенти.
- 2.Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Its Applications — комбинаторен смисъл и свойства на биномните коефициенти.
- 3.Richard P. Stanley, Enumerative Combinatorics — класически идеи за биноми и комбинаторни интерпретации.
- 4.Собствени бележки, примери и задачи към този урок.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Софийски университет „Св. Климент Охридски“
- ›УАСГ – Университет по архитектура, строителство и геодезия
- ›Технически университет – София и др.
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти по всички математически дисциплини:
Математически анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диференциални уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар