Функциии. Основни понятия

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Функции — основни понятия

Функции.
Основни понятия

Пълен урок с определения, разработени задачи, самостоятелна работа и интерактивен тест

Математически анализ 14 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Дефиниционна област, функционални стойности, четност, нечетност, периодичност, обратна и съставна функция

Понятието „функция" е едно от централните в математиката — без него е невъзможно да се опише движение, растеж или каквато и да е зависимост между величини. Идеята се заражда още в древността: Евдокс от Книд (ок. 408–355 г. пр.н.е.) я използва при метода на изчерпването. Рене Декарт (1596–1650) и Пиер дьо Ферма (1607–1665) дават ранно оформяне на идеята, а Готфрид Лайбниц (1646–1716) и Исак Нютон (1643–1727) поставят функцията в основата на анализа. Леонард Ойлер (1707–1783) формализира термина в „Introductio in analysin infinitorum" (1748), а Йохан Петер Густав Дирихле (1805–1859) дава модерната абстрактна дефиниция.

Основни определения

Определение 1 (Функция). Нека са дадени множествата \(X\) и \(Y\). Казваме, че е зададена функцията \(f\colon X\to Y\), ако на всяко \(x\in X\) се съпоставя единствено \(y=f(x)\in Y\). Множеството \(X\) се нарича дефиниционна област, а \(Y\) — множество от функционални стойности.

Ще разглеждаме следните основни класове функции:

1. 1. Полиноми: \(f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0\), \(a_k\in\mathbb{R}\)
2. 2. Дробно рационални: отношение на два полинома
3. 3. Степенна функция: \(f(x)=x^\alpha\), \(\alpha\in\mathbb{R}\)
4. 4. Показателна функция: \(f(x)=\alpha^x\), \(\alpha>0\), \(\alpha\neq1\)
5. 5. Логаритмична функция: \(f(x)=\log_\alpha x\), \(\alpha>0\), \(\alpha\neq1\)
6. 6. Тригонометрични функции: \(\sin x\), \(\cos x\), \(\operatorname{tg} x\), \(\operatorname{ctg} x\)

Определение 2 (Четност и нечетност). Функцията \(f\) е четна, ако \(f(-x)=f(x)\) за всяко \(x\) в дефиниционната й област; нечетна, ако \(f(-x)=-f(x)\). Ако нито едното не е изпълнено, функцията е нито четна, нито нечетна.

Четните функции са симетрични спрямо ос \(Oy\); нечетните — спрямо началото на координатната система.

Определение 3 (Периодичност). Функцията \(f(x)\), дефинирана в \(D\), е периодична с период \(T\neq0\), ако \((x+T)\in D\) и \(f(x+T)=f(x)\) за всяко \(x\in D\). Ако \(T\) е период, то \(f(x+kT)=f(x)\) за всяко \(k\in\mathbb{Z}\).

Следствие. Ако \(f(x)\) е периодична с период \(T\) и \(K\neq0\) е произволна константа, то \(f(Kx)\) е периодична с период \(P=\dfrac{T}{|K|}\). В частност: \(\sin x\) и \(\cos x\) имат период \(2\pi\); \(\operatorname{tg} x\) и \(\operatorname{ctg} x\) — период \(\pi\).

Периодът на сума от периодични функции с периоди \(T_1\) и \(T_2\) е \(\operatorname{НОК}(T_1,T_2)\). За дроби: \(\operatorname{НОК}\!\left(\dfrac{p_1}{q_1},\dfrac{p_2}{q_2}\right)=\dfrac{\operatorname{НОК}(p_1,p_2)}{\operatorname{НОД}(q_1,q_2)}\).

Определение 4 (Обратна функция). Нека \(f\colon X\to Y\) е такава, че за всяко \(y_0\in Y\) съществува единствено \(x_0\in X\) с \(f(x_0)=y_0\). Изображението \(f^{-1}\colon Y\to X\), дефинирано от \(f^{-1}(y_0)=x_0\), се нарича обратна функция на \(f\).

Намиране на \(f^{-1}(x)\): изразяваме \(x\) чрез \(y\) от \(y=f(x)\), след което разменяме \(x\) и \(y\).

Обратните тригонометрични функции:

1. 1. \(y=\arcsin x\), \(x\in[-1,1]\), \(y\in\!\left[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right]\)
2. 2. \(y=\arccos x\), \(x\in[-1,1]\), \(y\in[0,\pi]\)
3. 3. \(y=\operatorname{arctg} x\), \(x\in(-\infty,+\infty)\), \(y\in\!\left(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right)\)
4. 4. \(y=\operatorname{arcctg} x\), \(x\in(-\infty,+\infty)\), \(y\in(0,\pi)\)

\[\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2},\quad x\in[-1,1]\]

Определение 5 (Съставна функция). Нека \(f\colon X\to Y\) и \(g\colon Y\to Z\). Функцията \(F(x)=g(f(x))\) се нарича съставна функция (композиция) и се означава \(g\circ f\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Намерете дефиниционната област на \(f(x)=\sqrt{1-x^2}+\dfrac{x-3}{2x+1}\).

▼

Решение За \(f_1(x)=\sqrt{1-x^2}\): \(1-x^2\ge0\Rightarrow x\in[-1,1]\).
За \(f_2(x)=\dfrac{x-3}{2x+1}\): \(2x+1\neq0\Rightarrow x\neq-\tfrac{1}{2}\).
Дефиниционна област: сечение \(x\in\!\left[-1,-\tfrac{1}{2}\right)\cup\!\left(-\tfrac{1}{2},1\right]\).

2

Намерете дефиниционната област на \(f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-5}\).

▼

Решение За \(\sqrt{4-x}\): \(x\le4\). За \(\sqrt{x-5}\): \(x\ge5\). Двете области нямат сечение: дефиниционна област \(\emptyset\).

3

Намерете дефиниционната област на \(f(x)=\sqrt{3-x}+\arccos\!\left(\dfrac{x-2}{3}\right)\).

▼

Решение За \(\sqrt{3-x}\): \(x\le3\), т.е. \(x\in(-\infty,3]\).
За \(\arccos\!\left(\dfrac{x-2}{3}\right)\): \(-1\le\dfrac{x-2}{3}\le1\), откъдето \(-1\le x\le5\).
Сечение: \(x\in[-1,3]\).

4

Намерете дефиниционната област на \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(1+x)}\).

▼

Решение Условия: \(1+x>0\) и \(\ln(1+x)\neq0\).
От \(1+x>0\): \(x>-1\). От \(\ln(1+x)=0\): \(1+x=1\Rightarrow x=0\), което е изключено.
Дефиниционна област: \(x\in(-1,0)\cup(0,+\infty)\).

5

Намерете множеството от функционалните стойности на \(y=\dfrac{x^2-1}{x-1}\).

▼

Решение \(y=\dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1\) при \(x\neq1\). При \(x=1\) би трябвало \(y=2\), но \(x=1\) е изключено.
Множество от функционални стойности: \(y\in(-\infty,2)\cup(2,+\infty)\).

6

Намерете множеството от функционалните стойности на \(y=\sin x-\cos x\).

▼

Решение \[y=\sqrt{2}\!\left[\tfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right]=\sqrt{2}\sin\!\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right).\] Тъй като \(-1\le\sin(\cdot)\le1\), получаваме: \(y\in\!\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\).

7

Намерете множеството от функционалните стойности на \(y=\dfrac{1}{2-\sin(3x)}\).

▼

Решение От \(-1\le\sin(3x)\le1\): \(1\le2-\sin(3x)\le3\), следователно \(\dfrac{1}{3}\le\dfrac{1}{2-\sin(3x)}\le1\).
Множество от функционални стойности: \(y\in\!\left[\dfrac{1}{3},1\right]\).

8

Изследвайте \(f(x)=x\!\left(\dfrac{a^x-1}{a^x+1}\right)\) за четност и нечетност.

▼

Решение \[f(-x)=(-x)\cdot\frac{a^{-x}-1}{a^{-x}+1}=-x\cdot\frac{1-a^x}{1+a^x}=x\cdot\frac{a^x-1}{a^x+1}=f(x).\] Функцията е четна.

9

Изследвайте \(f(x)=x^5-12x^3+4x-\dfrac{2}{x}\) за четност и нечетност.

▼

Решение \[f(-x)=-x^5+12x^3-4x+\frac{2}{x}=-\!\left(x^5-12x^3+4x-\frac{2}{x}\right)=-f(x).\] Функцията е нечетна.

10

Намерете периода на \(y=\sin\!\left(\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\!\left(\dfrac{2x}{3}\right)\).

▼

Решение Период на \(\sin\!\left(\tfrac{3}{2}x\right)\): \(P_1=\dfrac{2\pi}{3/2}=\dfrac{4\pi}{3}\).
Период на \(\cos\!\left(\tfrac{2}{3}x\right)\): \(P_2=\dfrac{2\pi}{2/3}=3\pi\).
Периодът на сумата: \(\operatorname{НОК}\!\left(\dfrac{4\pi}{3},3\pi\right)=\dfrac{\operatorname{НОК}(4\pi,3\pi)}{\operatorname{НОД}(3,1)}=\dfrac{12\pi}{1}=\mathbf{12\pi}\).

11

Намерете \(f^{-1}(x)\), ако \(f(x)=\dfrac{1}{2}x+1\).

▼

Решение От \(y=\tfrac{1}{2}x+1\) изразяваме \(x\): \(x=2y-2\). Разменяме \(x\) и \(y\): \(f^{-1}(x)=2x-2\).

12

Намерете \(f^{-1}(x)\), ако \(f(x)=1+\sqrt{2+3x}\).

▼

Решение От \(y=1+\sqrt{2+3x}\): \(\sqrt{2+3x}=y-1\Rightarrow x=\dfrac{(y-1)^2-2}{3}\).
Разменяме: \(f^{-1}(x)=\dfrac{(x-1)^2-2}{3}=\dfrac{x^2-2x-1}{3}\).

13

Докажете тъждеството \(\sin(2\operatorname{arctg} x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\) за \(x\in(-\infty,+\infty)\).

▼

Решение Полагаме \(\alpha=\operatorname{arctg} x\), т.е. \(\operatorname{tg}\alpha=x\) и \(\alpha\in\!\left(-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\right)\).
Лява страна: \(\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha\).
Дясна страна: \(\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1+\operatorname{tg}^2\alpha}=\dfrac{2\sin\alpha/\cos\alpha}{1/\cos^2\alpha}=2\sin\alpha\cos\alpha\).
Двете страни са равни. \(\blacksquare\)

14

Ако \(f(x)=\dfrac{x}{1-x}\), намерете \(f(f(f(x)))\).

▼

Решение \[f(f(x))=\frac{x/(1-x)}{1-x/(1-x)}=\frac{x/(1-x)}{(1-2x)/(1-x)}=\frac{x}{1-2x}.\] \[f(f(f(x)))=\frac{x/(1-2x)}{1-x/(1-2x)}=\frac{x/(1-2x)}{(1-3x)/(1-2x)}=\frac{x}{1-3x}.\] Дефиниционна област: \(x\in\mathbb{R}\setminus\!\left\{0,\tfrac{1}{3},\tfrac{1}{2},1\right\}\).

---

Задачи за самостоятелна работа

Опитайте да решите сами, преди да потърсите помощ.

Задача 1 Намерете дефиниционната област на:
а) \(f(x)=\sqrt{x-1}+\dfrac{1}{x^2-4}\);  б) \(f(x)=\ln(x^2-9)\);  в) \(f(x)=\arcsin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+\sqrt{4-x^2}\);  г) \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+3}}{\ln(2-x)}\).

Задача 2 Намерете множеството от функционалните стойности на:
а) \(y=3\sin x+4\cos x\);  б) \(y=\dfrac{1}{1+\cos^2 x}\);  в) \(y=\dfrac{x^2-4}{x+2}\).

Задача 3 Изследвайте за четност и нечетност:
а) \(f(x)=x^4-3x^2+5\);  б) \(f(x)=x^3+2x\);  в) \(f(x)=\sin x+\cos x\);  г) \(f(x)=\ln\!\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)\).

Задача 4 Намерете периода на:
а) \(y=\cos(5x)\);  б) \(y=\sin\!\left(\dfrac{x}{3}\right)+\cos\!\left(\dfrac{x}{4}\right)\);  в) \(y=\operatorname{tg}(2x)+\sin(3x)\).

Задача 5 Намерете \(f^{-1}(x)\):
а) \(f(x)=3x-5\);  б) \(f(x)=\sqrt{x+2}-1\);  в) \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\).

Задача 6 При \(f(x)=x^2+1\) и \(g(x)=\sqrt{x}\) намерете \((g\circ f)(x)\) и \((f\circ g)(x)\). Определете дефиниционните им области.

Задача 7 Докажете, че \(\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}\) за \(x\in[-1,1]\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Функции — основни понятия

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Дефиниционната област на \(f(x)=\sqrt{1-x^2}+\dfrac{x-3}{2x+1}\) е:

\([-1,1]\) \([-1,-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2},1]\) \((-\infty,-\tfrac{1}{2})\cup(-\tfrac{1}{2},+\infty)\) \([-1,1]\setminus\{0\}\)

2Дефиниционната област на \(f(x)=\sqrt{4-x}+\sqrt{x-5}\) е:

\([4,5]\) \(\emptyset\) \((-\infty,4]\cup[5,+\infty)\) \([5,+\infty)\)

3Дефиниционната област на \(f(x)=\dfrac{x}{\ln(1+x)}\) е:

\((-1,+\infty)\) \((-1,0)\cup(0,+\infty)\) \((0,+\infty)\) \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\)

4Множеството от функционалните стойности на \(y=\sin x - \cos x\) е:

\([-1,1]\) \([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\) \([-2,2]\) \((-\infty,+\infty)\)

5Множеството от функционалните стойности на \(y=\dfrac{1}{2-\sin(3x)}\) е:

\([0,1]\) \([\tfrac{1}{3},1]\) \([\tfrac{1}{2},1]\) \((0,1]\)

6Множеството от функционалните стойности на \(y=\dfrac{x^2-1}{x-1}\) е:

\(\mathbb{R}\) \((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\) \([0,+\infty)\) \((-\infty,2]\)

7Функцията \(f(x)=x^5-12x^3+4x-\dfrac{2}{x}\) е:

Четна Нечетна Нито четна, нито нечетна Периодична

8Функцията \(f(x)=x\!\left(\dfrac{a^x-1}{a^x+1}\right)\) е:

Нечетна Четна Нито четна, нито нечетна Намаляваща

9Ако \(f\) е четна функция, нейната графика е симетрична спрямо:

Началото на координатната система Оста \(Oy\) Оста \(Ox\) Бисектрисата \(y=x\)

10Периодът на \(y=\sin\!\left(\dfrac{3x}{2}\right)+\cos\!\left(\dfrac{2x}{3}\right)\) е:

\(4\pi\) \(12\pi\) \(6\pi\) \(3\pi\)

11Обратната функция на \(f(x)=\dfrac{1}{2}x+1\) е:

\(f^{-1}(x)=2x+1\) \(f^{-1}(x)=2x-2\) \(f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\) \(f^{-1}(x)=\dfrac{1}{2}x-1\)

12Обратната функция на \(f(x)=1+\sqrt{2+3x}\) е:

\(f^{-1}(x)=\dfrac{(x-1)^2}{3}\) \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{3}\) \(f^{-1}(x)=\dfrac{x^2-2x+1}{3}\) \(f^{-1}(x)=3x^2-6x-3\)

13\(f(f(f(x)))\) при \(f(x)=\dfrac{x}{1-x}\) е равно на:

\(\dfrac{x}{1-2x}\) \(\dfrac{x}{1-3x}\) \(\dfrac{x}{1-x^3}\) \(\dfrac{3x}{1-x}\)

14Функцията \(\operatorname{tg} x\) е периодична с основен период:

\(2\pi\) \(\pi\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(4\pi\)

15\(\arcsin x+\arccos x\) за \(x\in[-1,1]\) е равно на:

\(0\) \(\dfrac{\pi}{2}\) \(\pi\) \(2\pi\)

---

Видео урок

Видео урок по тема „Функции — основни понятия" предстои. Следете канала за нови публикации.

---

Използвана литература

1. 1.В. Георгиев, А. Илчев. Ръководство за решаване на задачи по диференциално смятане на функция на една променлива с използване на Python. УИ „Паисий Хилендарски", Пловдив, 2024.
2. 2.Б. Златанов. Математически анализ. Диференциално смятане на функция на една променлива с използване на алгебрични компютърни системи. УИ „Паисий Хилендарски", Пловдив, 2018.
3. 3.С. Манолов, Н. Шополов, Л. Петрушев, К. Анастасова, П. Панайотов. Сборник задачи по висша математика — втора част. ДИ „Техника", София, 1979.
4. 4.В. А. Зорич. Математический анализ, том I. Наука, Москва, 1981.
5. 5.W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed., McGraw-Hill, 1976.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level и др.)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆