📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Математически анализ › Числови редици

Числови редици.
Граница на числова редица

Основни понятия, монотонност, ограниченост, граница по дефиниция (ε–N), лема за двамата полицаи, основна граница \(e\), 27 разработени задачи

Числови редици Граница Математически анализ Университет Д-р Атанас Илчев

Понятието „числова редица" е познато от училищния курс — аритметична и геометрична прогресия са двата основни типа. В курса по математически анализ разширяваме тези познания. Числовите редици са намерили приложение още от времето на Древен Египет (папирус на Ахмес, ок. 1550 г. пр.н.е.) до модерните компютърни науки. Сред най-известните редици са тази на Фибоначи (1202 г.), числата на Бернули и редицата на простите числа.

2.1. Основни понятия

Определение 2.1 (Числова редица). Ако по някакво правило на всяко естествено число съпоставим реално число, казваме, че сме задали числова редица \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\). Редицата може да се задава чрез: формула за общия член; рекурентна връзка; описание.

Определение 2.2 (Монотонност). Редицата \(\{a_n\}\) е: растяща ако \(a_n < a_{n+1}\); намаляваща ако \(a_n > a_{n+1}\); ненамаляваща ако \(a_n \le a_{n+1}\); нерастваща ако \(a_n \ge a_{n+1}\) — за всяко \(n\in\mathbb{N}\). Редицата е монотонна ако е ненамаляваща или нерастваща; строго монотонна ако е растяща или намаляваща.

Определение 2.3 (Ограниченост). Редицата \(\{a_n\}\) е ограничена отгоре ако \(\exists M\in\mathbb{R}:a_n\le M\); ограничена отдолу ако \(\exists M\in\mathbb{R}:a_n\ge M\); ограничена ако \(\exists M>0:|a_n|\le M\) за всяко \(n\in\mathbb{N}\).

Има редици, които не са нито растящи, нито намаляващи. Например \(-5,5,-5,5,\ldots\) — редуващо се, но не монотонно.

Разработени задачи — 2.1

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Напишете първите пет члена на редицата с общ член \(a_n=\dfrac{2n+1}{3n-5}\).

▼

Решение Заместваме \(n=1,2,3,4,5\): \[a_1=\frac{3}{-2}=-\frac{3}{2},\quad a_2=\frac{5}{1}=5,\quad a_3=\frac{7}{4},\quad a_4=\frac{9}{7},\quad a_5=\frac{11}{10}.\] Забележка: за \(n=1\) знаменателят е \(3\cdot1-5=-2\neq0\). Редицата е добре дефинирана за всяко \(n\in\mathbb{N}\) (знаменателят се нулира при \(n=5/3\notin\mathbb{N}\)).

2

Напишете първите пет члена на редицата, зададена чрез \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_n=2a_{n-1}+3a_{n-2}\).

▼

Решение \[a_3=2\cdot2+3\cdot1=7,\quad a_4=2\cdot7+3\cdot2=20,\quad a_5=2\cdot20+3\cdot7=61.\] Отговор: \(1,\;2,\;7,\;20,\;61\). При рекурентна редица не можем да намерим директно \(a_{99}\) — трябва последователно да пресметнем \(a_3,\ldots,a_{99}\).

3

Намерете формула за общия член на редицата: \(a_1=1\), \(a_2=2\), \(a_n=4a_{n-1}+3a_{n-2}\).

▼

Решение Търсим \(a_n=\alpha^n\). Характеристично уравнение: \(\alpha^2-4\alpha-3=0\), откъдето \(\alpha_{1,2}=2\pm\sqrt{7}\). Общото решение: \(a_n=A(2+\sqrt{7})^n+B(2-\sqrt{7})^n\). От \(a_1=1\), \(a_2=2\): \[A=\frac{1}{2(2+\sqrt{7})},\qquad B=-\frac{1}{2(\sqrt{7}-2)}.\] Следователно \(a_n=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{(2+\sqrt{7})^n}{2+\sqrt{7}}+\dfrac{(2-\sqrt{7})^n}{2-\sqrt{7}}\right)\).

4

Изследвайте дали редицата \(a_n=\dfrac{3n-1}{5n+2}\) е растяща или намаляваща.

▼

Решение Пресмятаме \(a_{n+1}-a_n\): \[\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3n-1}{5n+2}=\frac{(3n+2)(5n+2)-(3n-1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}=\frac{11}{(5n+7)(5n+2)}>0.\] Следователно редицата е растяща.

2.2. Граница на числова редица

Определение 2.4 (Граница, ε–N). Редицата \(\{a_n\}\) е сходяща с граница \(a\), ако: \[\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\forall n\ge N\colon|a_n-a|<\varepsilon.\] Пишем \(\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a\). Несходяща редица се нарича разходяща.

Свойства (Твърдения 2.1–2.5):

• Константната редица \(a_n=a\) има граница \(a\).
• Добавянето/премахването на краен брой членове не променя границата.
• Всяка сходяща редица е ограничена.
• Ако \(\lim a_n=a\) и \(\lim b_n=b\): \(\lim(a_n\pm b_n)=a\pm b\); \(\lim(a_nb_n)=ab\); \(\lim\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac{a}{b}\) при \(b\neq0\); \(\lim\alpha a_n=\alpha a\).
• За всяко \(q\in\mathbb{N}\): \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^q}=0\).

Неопределености: \(\left[\dfrac{0}{0}\right]\), \(\left[\dfrac{\infty}{\infty}\right]\), \([0\cdot\infty]\), \([\infty-\infty]\), \([0^0]\), \([\infty^0]\), \([1^\infty]\).
Техника за \([\infty-\infty]\) с корени: умножаваме и делим на спрягания израз: \((A-B)(A+B)=A^2-B^2\).
Техника за полиномни дроби: изнасяме най-високата степен на \(n\) пред скоби в числителя и знаменателя.
Обща формула: при \(\dfrac{a_kn^k+\cdots}{b_ln^l+\cdots}\): ако \(k<l\) → 0; ако \(k=l\) → \(\dfrac{a_k}{b_l}\); ако \(k>l\) → \(+\infty\) ако \(a_kb_l>0\) (старшите коефициенти имат еднакъв знак), и \(-\infty\) ако \(a_kb_l<0\) (старшите коефициенти имат противоположни знаци).

Разработени задачи — 2.2

Кликнете върху задача за пълното решение.

5

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^3-3n^2+4n-1}{3n^4+2n-7}\).

▼

Решение Степента на числителя (3) е по-малка от тази на знаменателя (4), затова границата е \(0\). Формално: изнасяме \(n^4\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{n^3(2-\frac3n+\cdots)}{n^4(3+\cdots)}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{3n}=\mathbf{0}.\]

6

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^4+2n-7}{2n^3-3n^2+4n-1}\).

▼

Решение Степента на числителя (4) е по-голяма от тази на знаменателя (3), старшите коефициенти са положителни, затова \(\lim\dfrac{3n}{2}=\mathbf{+\infty}\).

7

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n^2+3n-1}{3n^2-5n+3}\).

▼

Решение Степените са равни — границата е отношението на старшите коефициенти: \[\lim_{n\to\infty}\frac{2n^2(1+\frac3{2n}-\frac1{2n^2})}{3n^2(1-\frac5{3n}+\frac1{n^2})}=\mathbf{\frac{2}{3}}.\]

8

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(\dfrac{1+3+5+\cdots+(2n-1)}{n+3}-n\right)\).

▼

Решение Сумата \(1+3+\cdots+(2n-1)=n^2\) (аритметична прогресия с \(n\) члена, \(d=2\)). Следователно: \[\lim_{n\to\infty}\!\left(\frac{n^2}{n+3}-n\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2-n(n+3)}{n+3}=\lim_{n\to\infty}\frac{-3n}{n+3}=\mathbf{-3}.\]

9

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}\).

▼

Решение Изнасяме \((n+1)!\) пред скоби: \((n+2)!=(n+2)(n+1)!\). Следователно: \[\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!\bigl[(n+2)+1\bigr]}{(n+1)!\bigl[(n+2)-1\bigr]}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+3}{n+1}=\mathbf{1}.\]

10

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}\).

▼

Решение Разлагаме: \(\dfrac{1}{k(k+1)}=\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\). Сумата е телескопична — съкращават се всички вътрешни членове: \[\sum_{k=1}^n\!\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1-\frac1{n+1}\;\xrightarrow{n\to\infty}\;\mathbf{1}.\]

11

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{n}\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}\).

▼

Решение Разлагаме: \(\dfrac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\dfrac{1}{2}\!\left(\dfrac{1}{2k+1}-\dfrac{1}{2k+3}\right)\). Телескопична сума: \[\frac12\!\left(1-\frac{1}{2n+3}\right)\;\xrightarrow{n\to\infty}\;\mathbf{\frac{1}{2}}.\]

12

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n\sqrt[3]{5n^2}+\sqrt[4]{9n^8+1}}{(n+\sqrt{n})\sqrt{n^2-n+7}}\).

▼

Решение Числител: \(\sqrt[3]{5}\,n^{5/3}+n^2\sqrt[4]{9+n^{-8}}\) — доминира \(n^2\). Знаменател: \(n(1+n^{-1/2})\cdot n\sqrt{1-n^{-1}+7n^{-2}}\) — доминира \(n^2\). Следователно: \[\lim_{n\to\infty}\frac{n^2(\sqrt[3]{5}\,n^{-1/3}+\sqrt[4]{9+n^{-8}})}{n^2(1+n^{-1/2})\sqrt{1-n^{-1}+7n^{-2}}}=\frac{0+\sqrt[4]{9}}{1\cdot1}=\mathbf{\sqrt[4]{9}}.\]

13

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{n-1}-\sqrt{n^2+1}}{\sqrt[3]{3n^3+3}+\sqrt[4]{n^5+1}}\).

▼

Решение Числителят доминира \(-n\), знаменателят доминира \(n^{5/4}\): \[\lim_{n\to\infty}\frac{-n}{n^{5/4}}=\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{n^{1/4}}=\mathbf{0}.\]

14

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt{2n^2+1}+n}{\sqrt[3]{n^3+7}-1}\).

▼

Решение \[\lim_{n\to\infty}\frac{n(\sqrt{2+n^{-2}}+1)}{n(\sqrt[3]{1+7n^{-3}}-n^{-1})}=\frac{\sqrt{2}+1}{1-0}=\mathbf{\sqrt{2}+1}.\]

15

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{2n+3}-\sqrt{2n-1})\). [неопределеност \(\infty-\infty\)]

▼

Решение Умножаваме и делим на спрягания израз: \[\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+3)-(2n-1)}{\sqrt{2n+3}+\sqrt{2n-1}}=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{\sqrt{n}(\sqrt{2+3/n}+\sqrt{2-1/n})}=\mathbf{0}.\]

16

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}(\sqrt{3n^2+n-2}-\sqrt{3n^2+2n+3})\). [неопределеност \(\infty-\infty\)]

▼

Решение \[\lim_{n\to\infty}\frac{(3n^2+n-2)-(3n^2+2n+3)}{\sqrt{3n^2+n-2}+\sqrt{3n^2+2n+3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{-n-5}{2n\sqrt{3+\cdots}}=\lim_{n\to\infty}\frac{-1-5/n}{2\sqrt{3}}=\mathbf{-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}}.\]

17

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-n)\). [неопределеност \(\infty\cdot(\infty-\infty)\)]

▼

Решение \[\lim_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-n)\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+n^{-2}}+1}=\mathbf{\frac{1}{2}}.\]

Лема за двамата полицаи

Лема 2.1 (Граничен преход в неравенства). Ако \(\lim a_n=a\), \(\lim b_n=b\) и \(a_n\le b_n\) за всяко \(n\), то \(a\le b\).

Лема 2.2 (Лема за двамата полицаи). Ако \(a_n\le b_n\le c_n\) за всяко \(n\) и \(\lim a_n=\lim c_n=s\), то \(\lim b_n=s\).

18

Намерете \(\lim b_n\), където \(b_n=\sum\limits_{\nu=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+\nu}\).

▼

Решение Заменяме \(\nu\) с \(1\) (горна оценка) и с \(n\) (долна оценка): \[\underbrace{\frac{n^2}{n^2+n}}_{a_n}\le b_n\le\underbrace{\frac{n^2}{n^2+1}}_{c_n}.\] \(\lim a_n=\lim c_n=1\), следователно от Лемата за двамата полицаи \(\lim b_n=\mathbf{1}\).

19

Намерете \(\lim b_n\), където \(b_n=\sum\limits_{\nu=1}^{n}\sqrt[3]{\dfrac{n}{2n^4+\nu}}\).

▼

Решение \[n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+n}}\le b_n\le n\sqrt[3]{\frac{n}{2n^4+1}}.\] И двете оценки клонят към \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\) (проверка: \(n\cdot\dfrac{n^{1/3}}{(2n^4)^{1/3}}=\dfrac{n^{4/3}}{2^{1/3}n^{4/3}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\)). Следователно \(\lim b_n=\mathbf{\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}}\).

Основна граница за степени. За \(a\ge0\): \[\lim_{n\to\infty}a^n=\begin{cases}+\infty, & a>1,\\ 1, & a=1,\\ 0, & 0\le a<1.\end{cases}\]

20

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^n+3^n}{4^n}\).

▼

Решение \[\lim_{n\to\infty}\!\left[\left(\tfrac12\right)^n+\left(\tfrac34\right)^n\right]=0+0=\mathbf{0}.\]

21

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2^{n+1}-3^n+6^n}{2^{n+3}+3^{n+2}+6^{n+1}}\).

▼

Решение Изнасяме \(6^n\) (най-голямото): \(\lim\dfrac{2(1/3)^n-(1/2)^n+1}{8(1/3)^n+9(1/2)^n+6}=\dfrac{0-0+1}{0+0+6}=\mathbf{\dfrac{1}{6}}\).

2.3. Основна граница \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n=e\)

Твърдение. Редицата \(a_n=\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^n\) е растяща и ограничена. Нейната граница \(e\approx2{,}71828\ldots\) е основата на естествения логаритъм.

Теорема 2.1. Ако \(a_n\neq0\), \(a_n\neq-1\) и \(\lim|a_n|=\infty\), то \(\lim\bigl(1+\tfrac{1}{a_n}\bigr)^{a_n}=e\).

Следствие 2.1. За всяко \(k\in\mathbb{Z}\): \(\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(1+\tfrac{k}{n}\bigr)^n=e^k\).

22

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(\dfrac{n+2}{n}\right)^n\).

▼

Решение \(\left(1+\dfrac{2}{n}\right)^n\xrightarrow{\text{Следствие 2.1}}\mathbf{e^2}\).

23

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(1-\dfrac{2}{2n+3}\right)^n\).

▼

Решение Записваме \(n=\dfrac{2n+3-3}{2}\): \[\left(1-\frac{2}{2n+3}\right)^{\frac{2n+3}{2}}\cdot\left(1-\frac{2}{2n+3}\right)^{-3/2}\to(e^{-2})^{1/2}\cdot1=\mathbf{\frac{1}{e}}.\]

24

Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(\dfrac{n^2-4n+3}{n^2+3n+2}\right)^n\).

▼

Решение \[\frac{(1-3/n)(1-1/n)}{(1+1/n)(1+2/n)}\implies\lim\left[\cdots\right]^n=\frac{e^{-3}\cdot e^{-1}}{e^1\cdot e^2}=\mathbf{\frac{1}{e^7}}.\]

2.4. Доказване на граници по дефиниция

Схемата на доказателство по дефиниция (ε–N):

1. Подготовка: изчисляваме \(|a_n-a|\) и намираме \(N\) от условието \(|a_N-a|<\varepsilon\).
2. Доказателство: за дадено \(\varepsilon>0\) избираме \(N\) и доказваме верижната оценка \(|a_n-a|\le\cdots\le\cdots<\varepsilon\).

25

Докажете, че \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0\).

▼

Решение Подготовка: \(\bigl|\tfrac1n-0\bigr|=\tfrac1n<\varepsilon\Leftrightarrow N>\tfrac1\varepsilon\).
Доказателство: Нека \(\varepsilon>0\). Избираме \(N>\tfrac1\varepsilon\). За всяко \(n\ge N\): \[\left|\frac1n-0\right|=\frac1n\le\frac1N<\varepsilon.\] Следователно \(\lim\dfrac1n=0\). \(\square\)

26

Докажете, че \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{2n-1}{3n+5}=\dfrac{2}{3}\).

▼

Решение \[\left|\frac{2n-1}{3n+5}-\frac23\right|=\frac{13}{3(3n+5)}<\frac{13}{9n}<\frac{13}{n}.\] Избираме \(N>\tfrac{13}{\varepsilon}\). За \(n\ge N\): \(\bigl|\cdots\bigr|<\tfrac{13}{n}\le\tfrac{13}{N}<\varepsilon\). \(\square\)
Забележка: По-точна оценка дава \(N>\tfrac{13}{9\varepsilon}-\tfrac53\), при която \(N\) е по-малко (около 10 пъти по-малко), но доказателството е еквивалентно.

27

Докажете, че \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{4n^4-3n^3+5}{7n^4+5n^2-3}=\dfrac{4}{7}\).

▼

Решение \[\left|\cdots-\frac47\right|=\frac{21n^3+20n^2-12}{7(7n^4+5n^2-3)}<\frac{21n^3+20n^3}{7\cdot7n^4}=\frac{41}{49n}<\frac{41}{7n}.\] Избираме \(N>\tfrac{41}{7\varepsilon}\). За \(n\ge N\): оценката дава \(<\varepsilon\). \(\square\)

---

Самостоятелна работа

З 1Намерете първите 6 члена на \(a_n=\dfrac{n+2}{2n-3}\).

З 2Изследвайте дали \(a_n=\dfrac{5n-1}{7n+4}\) е растяща или намаляваща.

З 3Намерете формула за общия член: \(a_1=2\), \(a_2=5\), \(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\).

З 4Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n^3+2n-1}{5n^3-4n^2+7}\).

З 5Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(\sqrt{n^2+2n}-n\bigr)\).

З 6Докажете по дефиниция, че \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{3n+1}{n+2}=3\).

З 7Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+2)}\).

З 8Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(1+\dfrac{3}{n}\right)^n\).

З 9Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n^2+\sin n}{n^2+\cos n}\).

З 10Намерете \(\lim\limits_{n\to\infty}\!\left(\dfrac{n+3}{n-1}\right)^{2n}\).

---

Онлайн тест — Числови редици

15 въпроса × 4 т. = 60 т.  |  Оценки: ≥50→6, ≥40→5, ≥30→4, ≥15→3, иначе→2

1Как се задава числова редица?

Само чрез таблица Чрез правило, което на всяко естествено число съпоставя реално число Само чрез графика

2Редицата \(\{a_n\}\) е намаляваща, ако:

\(a_n \lt a_{n+1}\) \(a_n \gt a_{n+1}\) \(|a_n|\le M\)

3Всяка сходяща редица е:

Монотонна Ограничена Растяща

4Каква е границата на \(\dfrac{2n^2+3n-1}{3n^2-5n+3}\)?

\(0\) \(\dfrac{2}{3}\) \(\dfrac{3}{2}\)

5Каква е границата на \(\dfrac{2n^3-1}{5n^4+3}\)?

\(\dfrac{2}{5}\) \(0\) \(+\infty\)

6Колко е \(\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^3}\)?

\(1\) \(0\) \(+\infty\)

7Кой метод прилагаме при \([\infty-\infty]\) с корени?

Разлагане на елементарни дроби Умножение и деление на спрягания израз Интегриране по части

8С коя лема притискаме редица между две редици с еднаква граница?

Лема на Безу Лема за двамата полицаи Лема на Зорн

9Колко е \(\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k(k+1)}\)?

\(\dfrac{1}{2}\) \(1\) \(+\infty\)

10Колко е \(\lim\limits_{n\to\infty}\bigl(1+\dfrac{1}{n}\bigr)^n\)?

\(1\) \(e\) \(+\infty\)

11Каква е границата на \(\bigl(1+\dfrac{5}{n}\bigr)^n\)?

\(5e\) \(e^5\) \(\dfrac{1}{e^5}\)

12Каква е границата на \(\bigl(\dfrac{3}{4}\bigr)^n\)?

\(1\) \(0\) \(+\infty\)

13При доказване по дефиниция \(\lim a_n=a\), за дадено \(\varepsilon>0\) трябва да намерим:

Формулата за \(a_n\) \(N\in\mathbb{N}\), такова че за \(n\ge N\) да е \(|a_n-a|<\varepsilon\) Точното значение на \(a\)

14Какво е характерно за телескопичната сума?

Всички членове са равни Почти всички вътрешни членове се съкращават по двойки Сумата е геометрична прогресия

15Каква е границата на \(\lim\limits_{n\to\infty}n(\sqrt{n^2+1}-n)\)?

\(0\) \(\dfrac{1}{2}\) \(1\)

---

Видео урок

Видео урок по тема „Числови редици. Граница на числова редица" предстои. Следете канала за нови публикации.

Използвана литература

• В. Георгиев, А. Илчев. Ръководство за решаване на задачи по диференциално смятане на функция на една променлива с използване на Python. Университетско издателство „Паисий Хилендарски", Пловдив, 2024.
• Б. Златанов. Математически анализ. Диференциално смятане на функция на една променлива с използване на алгебрични компютърни системи. Университетско издателство „Паисий Хилендарски", Пловдив, 2018.
• С. Манолов, Н. Шополов, Л. Петрушев, К. Анастасова, П. Панайотов. Сборник задачи по висша математика — втора част. Държавно издателство „Техника", София, 1979.
• В. А. Зорич. Математический анализ, том I. Наука, Москва, 1981.
• W. Rudin. Principles of Mathematical Analysis. 3rd ed., McGraw-Hill, 1976.
• Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I. Наука, Москва, 1966.

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆