Уилям Хамилтон - откривателят на кватернионите
Уилям Роуан Хамилтон —
откривателят на кватернионите
Дете полиглот, студент без равен, учен с поетична душа — Хамилтон преминава от детски езикови чудеса до най-важното алгебрично откритие на XIX век, записано набързо с нож върху камъка на дъблински мост.
Детето, което учело езици като формули
.jpg)
Уилям Роуан Хамилтон е роден на 4 август 1805 г. в Дъблин. Още в детските си години той проявява забележителни способности — на четиригодишна възраст свободно чете и пише, знае добре география. На осем учи френски и италиански. Бързите му успехи в овладяването на латински, арабски и дори санскрит и персийски изумяват всички около него. Към дванадесетата си година той е истински полиглот — зад гърба му стоят над дузина езика.
Но Хамилтон не е само лингвист. Към тази изключителна надареност трябва да прибавим и огромното му желание да се труди, да изучава нови науки — черта, характерна за целия му съзнателен живот като учен. Знанията му по литература и богословие учудвали всички, които го познавали, а поезията ще остане негова страст до последния ден. Много години по-късно именно Уилям Уордсуърт, с когото ще се сприятели, ще го убеди нежно: призванието му е математиката, не поезията.
Решаващият тласък към математиката идва рано. На осем години Хамилтон се среща с американеца Зера Колбърн — пътуващото „аритметично чудо", което извършва невероятни умствени изчисления пред изумена публика. Двамата се впускат в надпреварване. Хамилтон губи. Точно това поражение разпалва у него истинска страст към числата и точните науки.
Бринклей, Лаплас и невероятното начало
През 1815 г. Хамилтон постъпва в училище, където се учи до 1823 г. Тук математическите му способности се проявяват в пълна сила. Изучавайки учебника на Лаплас „Небесна механика", той открива грешка, незабелязана от никого до този момент. Неговата бележка е показана на Бринклей — тогавашния кралски астроном на Ирландия, — който веднага се заинтересувал от даровития младеж. Това запознанство изиграва огромна роля в живота на Хамилтон и силно подхранва интереса му към математиката.
През 1824 г. Хамилтон постъпва в Тринити колеж на Дъблинския университет. Почти всеки семестър получава премии за успехите си. Тук той започва и първите си самостоятелни изследвания — в областта на геометричната оптика, които сам нарекъл „Теория на системите лъчи". По онова време Хамилтон окончателно разбира, че истинското му призвание е математиката — областта на човешкото знание, в която може да прояви своите изключителни способности. И то въпреки че продължава да се вълнува от литературата и да пише искрени, проникновени стихове.
Кралски астроном на 22 години
1827 година се оказва решаваща. Учителят и ръководителят на Хамилтон в изследванията по астрономия — Бринклей — приема епархия в Клойн. На овакантеното място за кралски астроном и професор по астрономия е издигната кандидатурата на 22-годишния Хамилтон. Той е избран единодушно за професор в деня на завършването на колежа — безпрецедентно събитие в историята на Тринити.
Дълги години ръководи Дъблинската обсерватория в Дунсинк, чете лекции по небесна механика и продължава изследванията си. На 22 октомври 1832 г. прави нещо рядко в историята на науката: предсказва теоретично съществуването на неизвестно дотогава явление — вътрешна и външна конична рефракция. Откритието е потвърдено експериментално значително по-късно и може да се постави наравно с намирането на Нептун от Льоверие — планета, открита там, където математиката я е поставила предварително. Откритието на коничната рефракция прави особено популярно името на Хамилтон далеч зад пределите на Ирландия.
През следващите години ученият продължава изследванията в областта на динамиката и отново получава блестящи резултати. През 1842 г. Якоби на ежегодното събрание на Британската асоциация заявява: „Хамилтон — това е Лагранж на вашата страна." За тези изследвания Хамилтон е награден със златния медал на Английското кралско дружество. През декември 1837 г., едва 32-годишен, е избран за президент на Ирландската академия на науките, а през следващата 1838 г. получава от Руската академия на науките писмо, в което се съобщава, че е избран за чуждестранен член-кореспондент.
Пътят към кватернионите — историята на комплексните числа
За да разберем какво е постигнал Хамилтон, трябва да се върнем малко назад. Проблемът с комплексните числа по онова време има вече дълга история. От дълбока древност хората се затрудняват при решаването на задачи, в които се налага да се извлича квадратен корен от отрицателни числа. Считало се, че тези задачи нямат решение. През първата половина на XVI в. са намерени формулите за решаване на кубични уравнения в радикали и се оказва, че в така наречения неразложим случай реалните корени на уравнение с реални коефициенти се изразяват с квадратни корени от отрицателни числа. Въпреки това дълги години комплексните числа остават неясни и неопределени — наречени мними, въображаеми, недействителни.
Но през седемдесетте и особено осемдесетте години на XIX в. се изяснява ролята на комплексните числа в алгебрата, анализа и теорията на диференциалните уравнения. Открита е геометричната им интерпретация. Хамилтон познава добре тази геометрична интерпретация и именно на него дължим представянето на комплексните числа като наредени двойки реални числа. Това дава на комплексните числа ясен алгебричен смисъл, лишен от всякаква мистика и тайнственост. Наредените двойки се подчиняват на следните правила:
- (a₁, b₁) = (a₂, b₂), когато a₁ = a₂ и b₁ = b₂
- (a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁+a₂, b₁+b₂)
- (a₁, b₁)·(a₂, b₂) = (a₁a₂ − b₁b₂, a₁b₂ + a₂b₁)
По-нататък Хамилтон реализира комплексните числа като съвкупност от оператори на двумерното векторно пространство. Естествено това представяне предизвиква и желанието за обобщение. Хамилтон си поставя за цел да изучи по-подробно векторите от тримерното пространство и съответната им система от оператори. Дълго търси правило за умножаване на тройките (a, b, c) по аналогия с двойките. Големите трудности идват от това, че е убеден: в новата алгебра ще бъдат запазени всички закони на обикновената алгебра.
По аналогия с комплексните числа Хамилтон записва своите тройки във вида a + bi + cj, където 1, i, j са негови единични ортогонални вектори. И докато въпросът със събирането и изваждането е ясен, умножаването им — колкото и да го конструира ученият — не се подчинява на обикновените закони на алгебрата. При всяка такава конструкция се получават така наречените делители на нулата: произведението на две ненулеви тройки излиза равно на нулевата тройка. Хамилтон търси представяне на произведението (a + bi + cj)(x + yi + zj) отново като вектор от тримерното пространство по такъв начин, че дължината на произведението да е равна на произведението от дължините на множителите — правило, което сам нарича „правило за модулите".
16 октомври 1843 г. — искрата на Бъргам мост
_regarding_the_discovery_of_Quaternions_multiplication_by_Sir_William_Rowan_Hamilton.jpg)
Проблемът преследва Хамилтон с години. Синовете му Уилям и Едуин имат навика всяка сутрин да го питат: „Ами, татко, можеш ли да умножаваш тройките?" — на което той отговаря, тъжно поклащайки глава: „Не, мога само да ги събирам и изваждам."
На 16 октомври 1843 г., понеделник, Хамилтон вървял по крайбрежната улица на Дъблин заедно с жена си — отивали в Академията, където той трябвало да председателства заседание. Мислите му работели независимо от разговора с нея. И тогава — по думите на самия Хамилтон — се случило нещо: „Струваше ми се, сякаш се затвори електрическата верига и избухна искра."
Отговорът се крие не в тройките, а в четворките. Щом приемел четири измерения вместо три и се откажел от комутативния закон за умножение (т.е. приел, че i·j ≠ j·i), всичко се наредило. Хамилтон не можал да сподави порива си и изрязал с нож върху камъка на Бъргамския мост, покрай който минавали, основните формули:
Хамилтон сам разказва за това откритие в писмо до сина си Арчибалд:
Защо кватернионите са революционни
Претърпявайки „неуспех" с тройките, Хамилтон успява да построи алгебрата на кватернионите, като се отказва от комутативния закон за умножение. Получава удобна форма за произведението на два кватерниона, която вече удовлетворява „правилото за модулите". Това стана на 16 октомври 1843 г.
Откритието оказва революционно влияние в алгебрата. То е първият в историята на математиката пример на некомутативна числова система. Анри Поанкаре сравнява откритието на такива системи в алгебрата с откритието на неевклидовата геометрия — и двете показват, че математиката не е ограничена до рамките, в които сме я мислили.
Днес е известно, че правилото за модулите е изпълнено единствено когато пространството е с 1, 2, 4 или 8 измерения — резултат, доказан от немския математик Хурвиц значително по-късно, едва през 1898 г. Това са реалните числа, комплексните числа, кватернионите и октонионите.
Грасман, Кейли и наследството
През 1844 г. Херман Грасман публикува изследванията си върху по-общи хиперкомплексни системи с n единици — така наречените числови системи. Реалните и комплексните числа, а също и кватернионите са частни случаи (съответно при n = 1, 2, 4). Хамилтон много ценял своето откритие до края на живота си и търсел удобни случаи да го използва. Въвежда оператора
∇ = i ∂/∂x + j ∂/∂y + k ∂/∂z
— операторът набла, — и по такъв начин дава своя принос за основите на съвременното операционно смятане. Въведените от А. Кейли матрици и операциите с тях стоят в идейно отношение много близо до кватернионите на Хамилтон. Уилям Роуан Хамилтон почива на 2 септември 1865 г.
- 1805 — роден на 4 август в Дъблин
- 1815–1823 — учи в училище; открива грешка при Лаплас
- 1824 — постъпва в Тринити колеж, Дъблин
- 1827 — назначен за кралски астроном на 22 години
- 1832 — предсказва теоретично коничната рефракция
- 1837 — избран за президент на Ирландската академия на науките
- 1843 — открива кватернионите на Бъргам мост (16 октомври)
- 1844 — Грасман публикува по-общата теория на хиперкомплексните числа
- 1865 — умира на 2 септември; погребан в Дъблин
Още от поредицата „История на математиката"
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар