Мистерията на константата на Каталан и известни решения на безкрайни суми, които всеки трябва да знае
Мистерията на константата на Каталан и известни решения на безкрайни суми, които всеки трябва да знае
Хармоничният ред, сумата на Лайбниц, Базелската задача, константата на Апери, константата на Каталан — зад всяко от тези имена стои история на откритие, изненада, а понякога и дълбока загадка, която математиката все още не е разрешила.
Безкрайните редове — или безкрайните суми — са сред математическите обекти, които неизменно ме очароват. И явно не съм сам: те привличат интереса на широка публика, защото съчетават съвсем прости за формулиране въпроси с дълбоки и често неочаквани отговори. Колкото повече хора се срещнат с тази красива материя, толкова по-добре — както за самите тях, така и за математическата култура изобщо.
В тази статия ще разгледаме какво знаем, но и какво не знаем за тези редове. В центъра на вниманието ни ще бъде една от най-простите и същевременно най-загадъчните константи в математиката — константата на Каталан, означавана с \(G\). Но преди да стигнем до нея, нека тръгнем от началото.
Класически резултати
От средата на XIV век знаем, че хармоничният ред \[1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots\] е разходящ. Това означава, че частичните му суми нарастват неограничено — макар и изключително бавно (до \(n\)-ия член сумата се държи приблизително като \(\ln n\)). Първото известно доказателство дава френският натурфилософ Никол Оресме около 1350 г. Колкото и голяма граница да изберем, при достатъчно много членове тя в крайна сметка ще бъде надхвърлена.
Ако заменим естествените числа в знаменателите с простите числа, редът отново е разходящ — макар простите числа да стават все по-редки, сумата от реципрочните им стойности все пак расте неограничено. Съвсем различно е положението при простите числа близнаци (двойки от вида \((p, p+2)\), например 3 и 5, 11 и 13): там сумата е сходяща. Това е косвено свидетелство, че близнаците са разположени значително по-нарядко от простите числа изобщо.
Нека сега вземем хармоничния ред, но с редуване на знаци пред членовете:
\[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots = \ln 2.\]Редуването на знаци прави голяма разлика — от разходяща сума получаваме сходяща, и то с точно определена стойност. Това се доказва лесно чрез реда на Тейлър за естествения логаритъм.
Следващата стъпка е да попитаме: ами ако вземем само нечетните числа в знаменателите, пак с редуване на знаци? В края на XIV век индийският математик Мадхава от Сангамаграма (ок. 1340–1425) доказва следния невероятен резултат:
\[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots = \frac{\pi}{4}.\]Появата на \(\pi\) тук не е случайна: този ред е специалният случай \(x=1\) на разложението на \(\arctan x\), а \(\arctan 1 = \frac{\pi}{4}\) — стойността, отговаряща на ъгъл от \(45^\circ\), който има непосредствена геометрична връзка с окръжността.
Тази сума днес носи името на Готфрид Лайбниц, но е известна с изключително бавната си сходимост: за да се гарантира грешка под \(10^{-10}\) само чрез пряко сумиране, са нужни приблизително 20 милиарда члена. Затова редът няма практическа стойност за бързо пресмятане на \(\pi\), но е забележителен като проста и красива връзка между аритметичен ред, функцията арктангенс и числото \(\pi\).
Базелската задача
През 1644 г. италианският математик Пиетро Менголи поставя задачата да се намери точната стойност на реда: \[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots \approx 1{,}6449\ldots\] Числата в знаменателите са точни квадрати; днес този ред се записва като \(\zeta(2)\). Задачата се оказва изключително твърд орех — близо девет десетилетия тя устоява на опитите на едни от най-силните европейски математици. Става известна като Базелската задача по името на швейцарския град Базел, свързан както със семейство Бернули, така и с Леонард Ойлер.
През 1735 г. двадесет и осемгодишният Леонард Ойлер обявява забележителния резултат. В първоначалния си аргумент той разглежда \(\sin x\) като своеобразен безкраен полином и използва разлагането \[\sin x = x\prod_{n=1}^{\infty}\!\left(1-\frac{x^2}{\pi^2 n^2}\right).\] Сравняването на коефициентите от двете страни води до търсената стойност. Аргументът е прозорлив, но използва операции, които по-късно трябва да бъдат обосновани строго — самият резултат обаче е верен:
\[1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}.\]Версията с редуващи се знаци следва без особено усилие: \[1-\frac{1}{4}+\frac{1}{9}-\frac{1}{16}+\cdots = \frac{\pi^2}{12}.\] Ойлер не спира дотук. Той разглежда редовете с по-висока степен на знаменателите и открива обща формула за четни степени, включваща т.нар. числа на Бернули — ирония на историята, тъй като Якоб Бернули е сред тези, които не успяват да решат Базелската задача. Например при степен 4: \[1+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\cdots = \frac{\pi^4}{90}.\]
Загадката
Чрез анализа на Фурие може да се докаже и следният красив резултат: \[1-\frac{1}{3^3}+\frac{1}{5^3}-\frac{1}{7^3}+\cdots = \frac{\pi^3}{32}.\] Нека обобщим. Разгледахме следната таблица от редове и техните стойности:
Внимателният читател ще забележи, че в тази таблица липсват две стойности. Първата е:
\[G = 1-\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots \approx 0{,}915965594\ldots\]Това е константата на Каталан, наречена на белгийско-френския математик Еужен Шарл Каталан, който през 1865 г. публикува изследване, свързано с нея. На пръв поглед изглежда като естествения следващ член в таблицата — и наистина е. За \(G\) са известни множество точни представяния чрез редове и интеграли, но не и проста формула от вида на \(\beta(1)=\frac{\pi}{4}\) или \(\beta(3)=\frac{\pi^3}{32}\). Нещо повече — все още не е доказано дори дали \(G\) е рационално, или ирационално число.
\(G\) е специалната стойност \(\beta(2)\) на бета функцията на Дирихле. Появява се в теорията на числата, комбинаториката и в множество определени интеграли. Два особено елегантни примера:
\[G = \frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}\!\frac{x}{\sin x}\,dx \qquad \text{и} \qquad G = \int_1^{\infty}\!\frac{\ln x}{1+x^2}\,dx.\]Двата интеграла изглеждат съвсем различни, но водят до едно и също число. Въпреки множеството подобни представяния аритметичната природа на \(G\) остава неизвестна — доказването на неговата ирационалност или намирането на неочаквана връзка със стандартните константи би било значителен математически резултат.
Другата липсваща стойност в таблицата е:
\[\zeta(3) = 1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+\cdots \approx 1{,}202056903\ldots\]Това е константата на Апери, наречена на френския математик Роже Апери. През 1978 г. той доказва по напълно изненадващ начин, че \(\zeta(3)\) е ирационално число — първият голям пробив в изследването на нечетните стойности на зета функцията. Ойлер също е изследвал \(\zeta(3)\): пресмятал я е числено и е намирал различни нейни представяния, но не е открил проста формула, аналогична на \(\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}\) и \(\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}\). И до днес \(\zeta(3)\) е единствената конкретна нечетна стойност с поотделно доказана ирационалност; в същото време резултатите на Ривоал и Бол–Ривоал (2000–2001 г.) показват, че сред нечетните стойности има безкрайно много ирационални, без все още да можем да посочим кои точно.
Редът с редуващи се знаци не води до нова независима константа, защото \(1 - \frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} - \cdots = \eta(3) = \bigl(1-2^{1-3}\bigr)\zeta(3) = \frac{3}{4}\zeta(3)\). Затова въпросите за неговата ирационалност и за евентуална проста формула са равностойни на съответните въпроси за \(\zeta(3)\).
Зета функцията, бета функцията и хипотезата на Риман
Повечето редове, които разгледахме, се събират около две основни функции. Първата е зета функцията на Риман \[\zeta(s) = 1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots \qquad (\operatorname{Re}(s)>1),\] а втората — бета функцията на Дирихле \[\beta(s) = 1-\frac{1}{3^s}+\frac{1}{5^s}-\frac{1}{7^s}+\cdots\] Зета функцията е най-простият пример за т.нар. \(L\)-функция на Дирихле, а бета функцията отговаря на непринципен характер по модул 4. Редът с редуващи се знаци \(\eta(s)=1-\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}-\cdots\), който също срещнахме, не е нова самостоятелна функция — той е просто кратно на зета функцията: \(\eta(s)=\bigl(1-2^{1-s}\bigr)\zeta(s)\).
Именно за зета функцията Ойлер открива забележителното произведение, взето по всички прости числа: \[\zeta(s) = \prod_{p\ \text{просто}} \frac{1}{1 - p^{-s}} \qquad (\operatorname{Re}(s)>1).\] Това тъждество е аналитичен запис на факта, че всяко естествено число се разлага по единствен начин на прости множители — и тъкмо то превръща зета функцията в мост между анализа и теорията на простите числа.
Тук се крие и една изненада, подмината от мнозина: за нечетните стойности на бета функцията изобщо няма загадка. Те се дават от обща формула чрез числата на Ойлер \(E_{2m}\): \[\beta(2m+1) = \frac{(-1)^m E_{2m}}{4^{m+1}\,(2m)!}\,\pi^{2m+1},\] откъдето следват \(\beta(1)=\frac{\pi}{4}\), \(\beta(3)=\frac{\pi^3}{32}\) и \(\beta(5)=\frac{5\pi^5}{1536}\). С други думи, появата на \(\pi\) при нечетна степен не е случайност, а част от закономерност. Съвсем различно е положението при четните аргументи \(\beta(2)=G\), \(\beta(4),\ldots\): за тях са известни много редове и интеграли, но не и проста формула от типа „рационално число, умножено по степен на \(\pi\)“. Тук аритметичната картина остава неясна — дори ирационалността на \(G\) все още не е доказана.
И двете функции могат да се продължат отвъд областта, в която редовете се сумират — но с важна разлика. Бета функцията се продължава като цяла функция върху цялата комплексна равнина, докато зета функцията е мероморфна: тя има един-единствен полюс при \(s=1\) — точно там, където сумата ѝ е разходящият хармоничен ред. При това продължаване \(\zeta\) получава т.нар. тривиални нули в точките \(-2, -4, -6, \ldots\), а \(\beta\) — в \(-1, -3, -5, \ldots\)
Аналитичното продължение поднася и на пръв поглед парадоксални стойности. Например \(\zeta(-1) = -\tfrac{1}{12}\) — оттам идва и прочутото „равенство“ \(1+2+3+\cdots = -\tfrac{1}{12}\). Важно е обаче да се подчертае: това не означава, че разходящата сума \(1+2+3+\cdots\) има обикновена стойност \(-\tfrac{1}{12}\). Редът си остава разходящ; числото \(-\tfrac{1}{12}\) е стойността на аналитичното продължение на зета функцията при \(s=-1\) (т.нар. зета-регуляризация). Повече за тази смайваща стойност разказвам в статията за сумата на Рамануджан.
Всичко това показва, че безкрайните редове, с които започнахме — на пръв поглед прости аритметични суми — водят към едни от най-дълбоките въпроси в математиката: разпределението на простите числа, аритметичната природа на математическите константи и границите на това, което изобщо можем да докажем.
Мадхава, Грегъри, Лайбниц, Ойлер и останалите герои в тази история едва ли са могли да предвидят каква огромна теория ще израсне от техните открития. А в основата ѝ стои един съвсем прост въпрос — какво се получава, ако продължаваме да прибавяме все нови и нови членове? Именно такива наивни на пръв поглед въпроси често отвеждат математиката до най-дълбоките ѝ идеи.
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7. клас
- ›НВО по математика след 10. клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Подготовка по математика за ISEE, SAT и A Level
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: математически анализ, линейна алгебра, аналитична геометрия, диференциални уравнения, теория на вероятностите, статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е харесала, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар