Корен трети. Свойства 11 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Корен трети

Корен трети
Свойства и задачи

Седем свойства на кубичния корен — пресмятане, сравняване, изнасяне/внасяне на множител, опростяване и рационализиране — 15 разработени задачи

Корен трети Кубичен корен Рационализиране 15 задачи Д-р Атанас Илчев

От основните свойства до рационализирането на знаменатели — 15 разработени задачи и 5 групи за самостоятелна работа

Теория — 7 свойства на корен трети

Освен квадратни корени съществуват и корени от по-висок ред. В този урок разглеждаме корен трети (кубичен корен) и неговите основни свойства. За разлика от квадратния корен, кубичният корен е дефиниран за всички реални числа — включително отрицателните.

Свойства на корен трети (за \(a, b \in \mathbb{R}\), \(b\neq0\), \(m\in\mathbb{N}\)):
1) \(\sqrt[3]{a^3} = a\)
2) \(\sqrt[3]{a^m} = \left(\sqrt[3]{a}\right)^m\)
3) \(\sqrt[3]{ab} = \sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}\)
4) \(\sqrt[3]{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\)
5) \(\sqrt[3]{a^3 b} = a\sqrt[3]{b}\)
6) \(a\sqrt[3]{b} = \sqrt[3]{a^3 b}\)
7) Ако \(a \lt b\), то \(\sqrt[3]{a} \lt \sqrt[3]{b}\)

Ключова разлика от квадратния корен: \(\sqrt[3]{a}\) е дефиниран за всяко реално \(a\), включително \(a \lt 0\). Например \(\sqrt[3]{-8} = -2\), защото \((-2)^3 = -8\). Свойство 7) важи и за отрицателни числа.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача за пълното решение.

1

Пресметнете \(\sqrt[3]{27\cdot125}\).

▼

Решение Забелязваме, че \(27=3^3\) и \(125=5^3\). Прилагаме свойство 3): \[\sqrt[3]{3^3\cdot5^3}=\sqrt[3]{3^3}\cdot\sqrt[3]{5^3}=3\cdot5=15.\]

2

Пресметнете \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{1000}}\).

▼

Решение Прилагаме свойство 4): \[\sqrt[3]{\frac{27}{1000}}=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt[3]{10^3}}=\frac{3}{10}.\]

3

Сравнете \(a\) и \(b\), ако \(a=\bigl(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{4}\bigr)\bigl(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{4}\bigr)-\dfrac{\sqrt[3]{162}}{\sqrt[3]{2}}\) и \(b=-\sqrt[3]{2}\).

▼

Решение Прилагаме формулата \((x+y)(x-y)=x^2-y^2\) и свойство 4): \[a=\sqrt[3]{9^2}-\sqrt[3]{4^2}-\sqrt[3]{\frac{162}{2}}=\sqrt[3]{81}-\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{81}=-\sqrt[3]{16}.\] За \(b\) внасяме \(-\sqrt[3]{2}\) под корена по свойство 6): \[b=-\sqrt[3]{2}=-2\sqrt[3]{2}... \text{ по-точно: }b=-\sqrt[3]{2^3\cdot2}=-\sqrt[3]{16}.\] Следователно \(a=b=-\sqrt[3]{16}\).

4

Сравнете \(a=\sqrt[3]{-4}\) и \(b=\sqrt[3]{-10}\).

▼

Решение Тъй като \(-4 \gt -10\), от свойство 7) следва \(\sqrt[3]{-4} \gt \sqrt[3]{-10}\), т.е. \(a \gt b\).

5

Сравнете \(a=3\) и \(b=\sqrt[3]{17}\).

▼

Решение Записваме \(a=3=\sqrt[3]{3^3}=\sqrt[3]{27}\). Тъй като \(27 \gt 17\), от свойство 7) следва \(\sqrt[3]{27} \gt \sqrt[3]{17}\), т.е. \(a \gt b\).

6

Изнесете множител пред корена: \(\sqrt[3]{40a^4b^3}\).

▼

Решение Разлагаме: \(40=2^3\cdot5\), \(a^4=a^3\cdot a\). Тогава: \[\sqrt[3]{2^3\cdot a^3\cdot b^3\cdot 5a}=2ab\sqrt[3]{5a}.\]

7

Изнесете множител пред корена: \(\sqrt[3]{27xy^3z^5}\).

▼

Решение Разлагаме: \(27=3^3\), \(z^5=z^3\cdot z^2\). Тогава: \[\sqrt[3]{3^3\cdot y^3\cdot z^3\cdot x\cdot z^2}=3yz\sqrt[3]{xz^2}.\]

8

Внесете множителя под корена: \(3x\sqrt[3]{\dfrac{y}{9x}}\), при \(x\neq0\).

▼

Решение Прилагаме свойство 6) — внасяме \(3x\) под корена като \((3x)^3=27x^3\): \[3x\sqrt[3]{\frac{y}{9x}}=\sqrt[3]{27x^3\cdot\frac{y}{9x}}=\sqrt[3]{3x^2y}.\]

9

Извършете означеното действие: \(\sqrt[3]{\dfrac{2x^3y}{z^3}}:\sqrt[3]{\dfrac{16}{x^6y}}\), при \(x,y,z\neq0\).

▼

Решение \[\frac{\sqrt[3]{2x^3y}}{\sqrt[3]{z^3}}:\frac{\sqrt[3]{16}}{\sqrt[3]{x^6y}}=\frac{x\sqrt[3]{2y}}{z}\cdot\frac{x^2\sqrt[3]{y}}{2\sqrt[3]{2}}=\frac{x^3}{2z}\cdot\frac{\sqrt[3]{2y}\cdot\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{2}}=\frac{x^3}{2z}\sqrt[3]{y^2}.\] Забележка: \(\frac{\sqrt[3]{2y}\cdot\sqrt[3]{y}}{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[3]{\frac{2y^2}{2}}=\sqrt[3]{y^2}\). Отговор: \(\dfrac{x^3\sqrt[3]{y^2}}{2z}\).

10

Опростете: \(\dfrac{a+\sqrt[3]{a^2}}{\sqrt[3]{a}+1}+\dfrac{\sqrt[3]{a}-a}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}\).

▼

Решение Заместваме \(a=\sqrt[3]{a^3}\): \[\frac{\sqrt[3]{a^2}(\sqrt[3]{a}+1)}{\sqrt[3]{a}+1}+\frac{\sqrt[3]{a}(1-\sqrt[3]{a^2})}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}\] \[=\sqrt[3]{a^2}+\frac{\sqrt[3]{a}(1-\sqrt[3]{a})(1+\sqrt[3]{a})}{\sqrt[3]{a}-1}+\sqrt[3]{a}\] \[=\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}(1+\sqrt[3]{a})+\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{a}=0.\]

11

Опростете: \(2\sqrt[3]{ab}+\dfrac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\dfrac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}\).

▼

Решение Използваме \(a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})\) и \(a-b=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})\): \[2\sqrt[3]{ab}+(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})-(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})\] \[=2\sqrt[3]{ab}-2\sqrt[3]{ab}=0.\]

12

Докажете: \(\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\cdot\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}=-1\).

▼

Решение Прилагаме свойство 3): \[A=\sqrt[3]{(7-5\sqrt{2})(7+5\sqrt{2})}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1.\quad\blacksquare\]

13

Опростете: \(\dfrac{b}{a-b}\sqrt[3]{(a^2+b^2-2ab)(a^2-b^2)(a+b)}\cdot\dfrac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}\), при \(a\neq\pm b\).

▼

Решение Разлагаме: \(a^2+b^2-2ab=(a-b)^2\), \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\). Подкоренното произведение: \[(a-b)^2(a-b)(a+b)(a+b)=(a-b)^3(a+b)^2.\] Следователно: \[\frac{b}{a-b}\cdot(a-b)\sqrt[3]{(a+b)^2}\cdot\frac{a^3-b^3}{\sqrt[3]{(a+b)^2}}=b(a^3-b^3).\]

14

Рационализирайте знаменателя: \(\dfrac{\sqrt[3]{18}}{2\sqrt[3]{3ab}}\).

▼

Решение Умножаваме числителя и знаменателя по \(\sqrt[3]{9a^2b^2}\), за да получим \(\sqrt[3]{(3ab)^3}=3ab\) в знаменателя: \[\frac{\sqrt[3]{18}}{2\sqrt[3]{3ab}}\cdot\frac{\sqrt[3]{9a^2b^2}}{\sqrt[3]{9a^2b^2}}=\frac{\sqrt[3]{162a^2b^2}}{2\cdot3ab}=\frac{\sqrt[3]{27\cdot6\cdot a^2b^2}}{6ab}=\frac{3\sqrt[3]{6a^2b^2}}{6ab}=\frac{\sqrt[3]{6a^2b^2}}{2ab}.\]

15

Рационализирайте знаменателя: \(\dfrac{8}{1+\sqrt[3]{3}}\).

▼

Решение Използваме \((a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\) с \(a=1\), \(b=\sqrt[3]{3}\). Умножаваме по \(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\): \[\frac{8(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{(1+\sqrt[3]{3})(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}=\frac{8(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{1^3+(\sqrt[3]{3})^3}=\frac{8(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{4}=2(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}).\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1 — Пресмятане а) \(\sqrt[3]{216\cdot125\cdot64}\);  б) \(\sqrt[3]{169}\cdot\sqrt[3]{39}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{9}}\);  в) \(\sqrt[3]{\dfrac{27}{512}}+\sqrt[3]{\dfrac{-1}{8}}\);  г) \(\sqrt[3]{\dfrac{81}{3^7}}+\sqrt[3]{\dfrac{5}{9^2}}:\sqrt[3]{\dfrac{9}{25}}\).

Задача 2 — Изнасяне на множител а) \(\sqrt[3]{a^4b^2c^7}\);  б) \(\sqrt[3]{\dfrac{1}{16}x^5y^3z^9}\);  в) \(\sqrt[3]{-64a^2b^{11}c^{13}}\);  г) \(\sqrt[3]{-\dfrac{1}{81}m^{13}p^6n^{12}}\).

Задача 3 — Рационализиране а) \(\dfrac{2a}{\sqrt[3]{3xy}}\);  б) \(\dfrac{7}{\sqrt[3]{2}-1}\);  в) \(\dfrac{x+y}{\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{y^2}}\);  г) \(\dfrac{1}{\sqrt[3]{36}-\sqrt[3]{30}+\sqrt[3]{25}}\).

Задача 4 — Внасяне под корена а) \(\dfrac{2}{ab}\sqrt[3]{5a}\), при \(a,b\neq0\);  б) \(-\dfrac{3}{b}\sqrt[3]{2b^3c}\);  в) \(-\dfrac{5}{2}\sqrt[3]{4}\);  г) \(\dfrac{1}{2}\sqrt[3]{-8x^2y}\).

Задача 5 — Опростяване \[\left[\sqrt[3]{(n^2+1)\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}+\sqrt[3]{(n^2-1)\sqrt{1-\dfrac{1}{n^2}}}\right]^{-2}\]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Корен трети — свойства и задачи

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1\(\sqrt[3]{a^3} =\)

\(a^2\) \(a\) \(\sqrt{a}\)

2За разлика от квадратния корен, кубичният корен е дефиниран:

Само за неотрицателни числа За всички реални числа, включително отрицателните Само за положителни числа

3\(\sqrt[3]{27\cdot125} =\)

\(45\) \(15\) \(3375\)

4\(\sqrt[3]{\dfrac{27}{1000}} =\)

\(\dfrac{9}{100}\) \(\dfrac{3}{10}\) \(\dfrac{1}{3}\)

5Ако \(a \lt b\), то:

\(\sqrt[3]{a} \gt \sqrt[3]{b}\) \(\sqrt[3]{a} \lt \sqrt[3]{b}\) Не може да се определи

6Сравнете \(\sqrt[3]{-4}\) и \(\sqrt[3]{-10}\):

\(\sqrt[3]{-4} \lt \sqrt[3]{-10}\) \(\sqrt[3]{-4} \gt \sqrt[3]{-10}\) \(\sqrt[3]{-4} = \sqrt[3]{-10}\)

7Сравнете \(3\) и \(\sqrt[3]{17}\):

\(3 \lt \sqrt[3]{17}\) \(3 \gt \sqrt[3]{17}\) \(3 = \sqrt[3]{17}\)

8\(\sqrt[3]{40a^4b^3} =\)

\(ab\sqrt[3]{5a}\) \(2ab\sqrt[3]{5a}\) \(4ab\sqrt[3]{5a}\)

9\(\sqrt[3]{27xy^3z^5} =\)

\(3y\sqrt[3]{xz^5}\) \(3yz\sqrt[3]{xz^2}\) \(3yz^2\sqrt[3]{x}\)

10\(\sqrt[3]{7-5\sqrt{2}}\cdot\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}} =\)

\(1\) \(-1\) \(\sqrt[3]{-1}\neq-1\)

11При рационализиране на \(\dfrac{8}{1+\sqrt[3]{3}}\) умножаваме по:

\(1+\sqrt[3]{3}\) \(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\) \(1+\sqrt[3]{9}\)

12\(\dfrac{8}{1+\sqrt[3]{3}}\) след рационализиране е равно на:

\(4(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})\) \(2(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})\) \(8(1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})\)

13Свойство 6) гласи: \(a\sqrt[3]{b} =\)

\(\sqrt[3]{ab}\) \(\sqrt[3]{a^3b}\) \(\sqrt[3]{a^2b}\)

14Резултатът от З3: \(a=\bigl(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{4}\bigr)\bigl(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{4}\bigr)-\dfrac{\sqrt[3]{162}}{\sqrt[3]{2}}\) е равен на:

\(-\sqrt[3]{8}\) \(-\sqrt[3]{16}\) \(\sqrt[3]{16}\)

15Резултатите от З10 и З11 (опростяване) са равни на:

\(1\) \(0\) \(\sqrt[3]{a}\)

---

Свързани уроци

▶

Корен n-ти. Свойства

Определение на корен n-ти, свойства и действия с корени — разработени задачи и тест.

Преглед на урока →

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по корен трети:

Видео урок — Корен трети. Свойства и задачи

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆