Ирационални изрази 10 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆

Математика › Алгебра › Ирационални изрази

Ирационални изрази
Дефиниционна област и рационализиране

Определение, нормален вид, подобни радикали, дефиниционна област, рационализиране на знаменател — 7 разработени задачи, 17 задачи за самостоятелна работа и онлайн тест

Ирационални изрази Дефиниционна област Рационализиране Радикали Спрегнат израз Д-р Атанас Илчев

Как се намира дефиниционната област на ирационален израз и как се рационализира знаменател, съдържащ корен

Теория

Определение 1: Алгебричен израз, който съдържа радикал (корен), се нарича ирационален израз.

Примери за ирационални изрази: \(\dfrac{5}{\sqrt{x^2-3}}\), \(\sqrt{4x^3-2x^2+3x-4}\), \(7\sqrt{x^2-1}+3\) и т.н.

Определение 2: Множеството от всички допустими стойности на дадена променлива в израз се нарича дефиниционно множество (ДМ), дефиниционна област (ДО) или допустими стойности на израза.

Определение 3: Казваме, че един радикал е в нормален вид, ако подкоренната му величина не съдържа знаменател и не съдържа множители, които могат да се изнесат пред радикала.

Например \(\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2}\) е в нормален вид, докато \(\sqrt{4(x^2+y^2)}\) не е в нормален вид, защото множителят \(4\) може да се изнесе пред корена: \(\sqrt{4(x^2+y^2)}=2\sqrt{x^2+y^2}\).

Определение 4: Два радикала са подобни, ако имат еднакви подкоренни величини в нормалния си вид.

Например \(-7\sqrt{xy^3}\) и \(\dfrac{3}{25}\sqrt{xy^3}\) са подобни радикали.

Правила за дефиниционна област:
• За квадратен корен \(\sqrt{f(x)}\): изисква се \(f(x)\geq 0\).
• За дроб \(\dfrac{A}{B}\): изисква се \(B\neq 0\).
• За \(\dfrac{A}{\sqrt{f(x)}}\): изисква се \(f(x)>0\) (корен в знаменател — строго положително).
• При няколко условия ДО е сечението на всички поотделни ДО.

Рационализиране на знаменател: Означава да се премахне радикалът от знаменателя на дробта.
• При прост корен \(\sqrt{a}\): умножаваме числителя и знаменателя по \(\sqrt{a}\).
• При сбор/разлика \(a\pm b\): умножаваме по спрегнатия израз \(a\mp b\), използвайки \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Определете дефиниционното множество на израза \(\sqrt{x-5}\).

▼

Решение За да съществува квадратен корен, подкоренната величина трябва да е неотрицателна: \[\text{ДО: } x-5\geq 0 \implies x\geq 5,\] следователно ДО: \(x\in[5,+\infty)\).

2

Определете дефиниционното множество на израза \(\dfrac{x+1}{\sqrt{3-x}}\).

▼

Решение Изразът е дроб, чийто знаменател съдържа квадратен корен. Затова трябва едновременно:
• подкоренната величина да е неотрицателна: \(3-x\geq 0\);
• знаменателят да е ненулев: \(\sqrt{3-x}\neq 0\), т.е. \(3-x\neq 0\).
Двете условия заедно дават \(3-x>0\), т.е. \(x<3\).
Следователно ДО: \(x\in(-\infty,3)\).

3

Определете дефиниционното множество на израза \(\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}\).

▼

Решение В израза имаме два квадратни радикала, затова трябва и двете подкоренни величини да са неотрицателни едновременно: \[\text{ДО: } x-4\geq 0 \text{ и } x-1\geq 0,\] т.е. \(x\geq 4\) и \(x\geq 1\). Сечението на двете множества е \(x\geq 4\).
Следователно ДО: \(x\in[4,+\infty)\).

4

Рационализирайте знаменателя на дробта \(\dfrac{4}{\sqrt{6}}\).

▼

Решение Умножаваме числителя и знаменателя по \(\sqrt{6}\): \[\frac{4}{\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{6}}\cdot\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}=\frac{4\sqrt{6}}{6}=\frac{2\sqrt{6}}{3}.\]

5

Рационализирайте знаменателя на дробта \(\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\).

▼

Решение Когато знаменателят е разлика на два корена, умножаваме числителя и знаменателя по спрегнатия израз на знаменателя, а именно \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\). Целта е да приложим формулата \((a-b)(a+b)=a^2-b^2\), при \(a=\sqrt{3}\), \(b=\sqrt{2}\): \[\frac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{2(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{3-2}=2(\sqrt{3}+\sqrt{2}).\]

6

Опростете израза \(\dfrac{\sqrt{2x}}{4+\sqrt{2x}}-\dfrac{\sqrt{2x}}{4-\sqrt{2x}}\).

▼

Решение ДО: \(2x\geq 0\) и \(4+\sqrt{2x}\neq 0\) и \(4-\sqrt{2x}\neq 0\), т.е. \(x\geq 0\) и \(x\neq 8\).
Привеждаме под общ знаменател \((4+\sqrt{2x})(4-\sqrt{2x})=16-2x\). Разширяваме: първата дроб по \((4-\sqrt{2x})\), втората по \((4+\sqrt{2x})\): \[\frac{\sqrt{2x}(4-\sqrt{2x})-\sqrt{2x}(4+\sqrt{2x})}{16-2x}=\frac{4\sqrt{2x}-2x-4\sqrt{2x}-2x}{16-2x}=\frac{-4x}{16-2x}.\] Опростяваме: \(\dfrac{-4x}{16-2x}=\dfrac{-4x}{-2(x-8)}=\dfrac{2x}{x-8}\).
Отговор: \(\dfrac{2x}{x-8}\), ДО: \(x\in[0,8)\cup(8,+\infty)\setminus\{0\}\) или по-точно \(x\in(0,8)\cup(8,+\infty)\).

7

Докажете, че \(\left(\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}+\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}-\dfrac{6\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}\right):\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}=\sqrt{2}-1\).

▼

Доказателство Означаваме лявата страна с \(A\). Привеждаме израза в скобите под общ знаменател \(\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)\): \[A=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^2+\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)^2-(6\sqrt{2}-1)((\sqrt{2})^2-1)}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}\cdot\frac{2\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}.\] Разкриваме скобите. Числителят на дробта: \[\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)^2=\sqrt{2}(3+2\sqrt{2})=3\sqrt{2}+4,\] \[\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)^2=\sqrt{2}(3-2\sqrt{2})=3\sqrt{2}-4,\] \[(6\sqrt{2}-1)(2-1)=6\sqrt{2}-1.\] Числителят = \(3\sqrt{2}+4+3\sqrt{2}-4-(6\sqrt{2}-1)=6\sqrt{2}-6\sqrt{2}+1=1\).
Знаменателят: \(\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=\sqrt{2}(2-1)=\sqrt{2}\).
Делителят \(\dfrac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}\).
Следователно: \[A=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2(\sqrt{2}-1)}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{1}.\] Опростяваме крачка по крачка: \[A=\frac{1}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}\cdot\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=\frac{2(\sqrt{2}-1)}{2(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}.\] Рационализираме: умножаваме по \(\dfrac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}\): \[\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2-1}=(\sqrt{2}-1)^2.\] Всъщност по-директно: накрая сме получили \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+1}\). Рационализираме: \[\frac{1}{\sqrt{2}+1}\cdot\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}-1}{2-1}=\sqrt{2}-1.\] Следователно \(A=\sqrt{2}-1=B\). \(\blacksquare\)

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Да се определят допустимите стойности на \(x\) в израза:
а) \(\sqrt{x^2-49}\);  б) \(\dfrac{4x}{\sqrt{x-9}}\);  в) \(\sqrt{x-9}+\sqrt{x^2-4}\);  г) \(\dfrac{7x-1}{\sqrt{4x^2-25}}+\dfrac{1}{\sqrt{x+6}}\).

Задача 2Рационализирайте знаменателя на дробта:
а) \(\dfrac{4}{\sqrt{7}}\);  б) \(\dfrac{3x}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\);  в) \(\dfrac{21}{\sqrt{3}-\sqrt{5}}\);  г) \(\dfrac{1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{10}}\).

Задача 3Опростете израза \(\dfrac{1-\sqrt{y}}{1+\sqrt{y}}+\dfrac{1+\sqrt{y}}{1-\sqrt{y}}\).

Задача 4Докажете равенството \(\dfrac{15}{\sqrt{6}+1}+\dfrac{4}{\sqrt{6}-2}-\dfrac{12}{3-\sqrt{6}}=\sqrt{6}-11\).

Задача 5Да се опрости ирационалният израз:
а) \(C=\left(\dfrac{3}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1-x}\right):\left(\dfrac{3}{\sqrt{1-x^2}}+1\right)\);
б) \(D=\sqrt{10+x+6\sqrt{x+1}}+\sqrt{5-x+2\sqrt{4-x}}\).

Задача 6Докажете верността на равенството \(\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}+\dfrac{5}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}\).

Задача 7Опростете израза при \(0

Задача 8Опростете ирационалния израз и намерете дефиниционната му област: \(\dfrac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}}:\dfrac{1}{x^2-\sqrt{x}}\).

Задача 9Опростете ирационалния израз (\(a>b>0\)): \[\dfrac{\left(\sqrt{a^2+a\sqrt{a^2-b^2}}\right)-\left(\sqrt{a^2-a\sqrt{a^2-b^2}}\right)^2}{2\sqrt{a^3b}}\cdot\left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}+\sqrt{\dfrac{b}{a}}-2\right).\]

Задача 10Опростете израза и намерете дефиниционната му област: \[\dfrac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2-4b}{\displaystyle(a-b):\!\left(\sqrt{\tfrac{1}{b}}+3\sqrt{\tfrac{1}{a}}\right)}:\dfrac{a+9b+6\sqrt{ab}}{\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}}}.\]

Задача 11Опростете ирационалния израз и намерете ДО: \[\left(\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}-\dfrac{\sqrt{1+x}}{1+\sqrt{x}}\right)^2-\left(\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{1+x}}-\dfrac{\sqrt{1+x}}{1-\sqrt{x}}\right)^2.\]

Задача 12Опростете ирационалния израз и намерете ДО: \[\left(\dfrac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{a+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{a-1}}\right):\!\left(1+\sqrt{\dfrac{a+1}{a-1}}\right).\]

Задача 13Опростете ирационалния израз и намерете ДО: \[\dfrac{\sqrt{(x+2)^2-8x}}{\sqrt{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}}.\]

Задача 14Опростете израза и намерете ДО: \[\dfrac{\sqrt{1-x^2}-1}{x}\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{1-x^2}+x-1}+\dfrac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}\right).\]

Задача 15Опростете израза и намерете ДО: \[\left(\dfrac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}-\dfrac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}\right):\dfrac{4\sqrt{a^2-a^2b^2}}{(5b)^2}.\]

Задача 16Опростете израза и намерете ДО: \[\left(\sqrt{1-x^2}+1\right):\left(\dfrac{1}{\sqrt{1+x}}+\sqrt{1-x}\right).\]

Задача 17Опростете израза и намерете ДО: \[\left(\dfrac{\sqrt{3}+1}{1+\sqrt{3}+\sqrt{t}}+\dfrac{\sqrt{3}-1}{1-\sqrt{3}+\sqrt{t}}\right)\cdot\left(\sqrt{t}-\dfrac{2}{\sqrt{t}}+2\right).\]

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Ирационални изрази

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Ирационален израз е израз, който:

Съдържа само числа Съдържа радикал (корен) Съдържа само дроби

2ДО на \(\sqrt{x-5}\) е:

\(x>5\) \(x\geq 5\) \(x\leq 5\)

3ДО на \(\dfrac{x+1}{\sqrt{3-x}}\) е:

\(x\leq 3\) \(x<3\) \(x\geq 3\)

4ДО на \(\sqrt{x-4}+\sqrt{x-1}\) е:

\(x\geq 1\) \(x\geq 4\) \(1\leq x\leq 4\)

5Рационализираният вид на \(\dfrac{4}{\sqrt{6}}\) е:

\(\dfrac{4\sqrt{6}}{6}\) \(\dfrac{2\sqrt{6}}{3}\) \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)

6Спрегнатият израз на \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) е:

\(\sqrt{3}-\sqrt{2}\) \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) \(-\sqrt{3}-\sqrt{2}\)

7Рационализираният вид на \(\dfrac{2}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}\) е:

\(2(\sqrt{3}-\sqrt{2})\) \(2(\sqrt{3}+\sqrt{2})\) \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

8Радикалът \(\sqrt{4(x^2+y^2)}\) в нормален вид е:

\(4\sqrt{x^2+y^2}\) \(2\sqrt{x^2+y^2}\) \(\sqrt{4x^2+4y^2}\)

9ДО на \(\dfrac{4x}{\sqrt{x-9}}\) е:

\(x\geq 9\) \(x>9\) \(x\leq 9\)

10Два радикала са подобни, когато:

Имат еднакви коефициенти Имат еднакви подкоренни величини в нормален вид Са с еднакви знаци

11Резултатът от \(\dfrac{\sqrt{2x}}{4+\sqrt{2x}}-\dfrac{\sqrt{2x}}{4-\sqrt{2x}}\) при ДО е:

\(\dfrac{4x}{x-8}\) \(\dfrac{2x}{x-8}\) \(\dfrac{-4x}{16-2x}\)

12При рационализиране с спрегнат израз използваме формулата:

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) \(a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\)

13ДО на \(\sqrt{x^2-49}\) е:

\(x\geq 7\) \(x\leq -7\) или \(x\geq 7\) \(-7\leq x\leq 7\)

14Радикалът е в нормален вид, ако подкоренната величина:

Е по-голяма от нула Не съдържа знаменател и няма множители, изнасяеми пред радикала Е цяло число

15Изразът от Задача 7 (Доказателство) след рационализиране накрая дава:

\(\sqrt{2}+1\) \(\sqrt{2}-1\) \(2\sqrt{2}-1\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи, свързани с ирационалните изрази:

Видео урок — Ирационални изрази. Дефиниционна област. Рационализиране

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆