Геометрична прогресия 10 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Алгебра › Геометрична прогресия
Геометрична прогресия
Теория, решени задачи и тест
Определение, формули за общ член и сума, свойства, 4 разработени задачи, 29 задачи за самостоятелна работа и тест
Формули за общ член и сума, свойства на средногеометричния член и методи за решаване на системи при задачи с геометрична прогресия
Теория
Определение 1: Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като предходният се умножи с едно и също число, се нарича геометрична прогресия. Това число се нарича частно на прогресията и се означава с \(q\).
Означения: \(a_1\) — първи член; \(a_n\) — \(n\)-ти член (общ член); \(q\) — частно; \(n\) — брой на членовете; \(S_n\) — сума на първите \(n\) члена.
Основни формули:
• Общ член: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
• Сума (формула 1): \(S_n = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q} = a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)\)
• При \(q=1\): \(S_n = n\cdot a_1\)
• Общ член: \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\)
• Сума (формула 1): \(S_n = \dfrac{a_1 - a_n q}{1-q} = a_1\cdot\dfrac{1-q^n}{1-q}\quad (q\neq 1)\)
• При \(q=1\): \(S_n = n\cdot a_1\)
Свойства на геометричната прогресия:
1) Средногеометричен член: \(a_k^2 = a_{k-1}\cdot a_{k+1}\) — всеки среден член е средногеометричен на двата си съседа;
2) Симетрия: \(a_1\cdot a_n = a_2\cdot a_{n-1} = a_k\cdot a_s\) (при \(k+s=1+n\)) — произведението на симетрично отдалечени членове е константа.
3) Крайна ГП се определя от \(a_1\), \(q\) и \(n\); безкрайна — само от \(a_1\) и \(q\).
1) Средногеометричен член: \(a_k^2 = a_{k-1}\cdot a_{k+1}\) — всеки среден член е средногеометричен на двата си съседа;
2) Симетрия: \(a_1\cdot a_n = a_2\cdot a_{n-1} = a_k\cdot a_s\) (при \(k+s=1+n\)) — произведението на симетрично отдалечени членове е константа.
3) Крайна ГП се определя от \(a_1\), \(q\) и \(n\); безкрайна — само от \(a_1\) и \(q\).
Полезен трик при системи: Ако имаме \(a_m = a_1 q^{m-1}\) и \(a_k = a_1 q^{k-1}\), то \(\dfrac{a_k}{a_m} = q^{k-m}\). Това позволява намирането на \(q\) без явно пресмятане на \(a_1\).
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Намерете първия член и сумата на геометрична прогресия, ако \(n=5\), \(q=3\) и \(a_n=162\).
▼
Решение
Тъй като \(n=5\), имаме \(a_5=162\). От формулата за общия член:
\[a_5 = a_1\cdot q^4 \implies 162 = a_1\cdot 3^4 = a_1\cdot 81 \implies a_1 = \frac{162}{81} = 2.\]
Намираме \(S_5\):
\[S_5 = \frac{a_1 - a_n\cdot q}{1-q} = \frac{2 - 162\cdot 3}{1-3} = \frac{2-486}{-2} = \frac{-484}{-2} = 242.\]
Отговор: \(a_1=2\), \(S_5=242\).
2
Намерете частното и четвъртия член на геометрична прогресия, за която \(a_5=2\) и \(a_7=32\).
▼
Решение
Прилагайки формулата за общия член: \(a_5=a_1q^4=2\) и \(a_7=a_1q^6=32\). Делим:
\[\frac{a_1q^6}{a_1q^4}=\frac{32}{2} \implies q^2=16 \implies q=\pm 4.\]
От \(a_1q^4=2\): \(a_1=\dfrac{2}{4^4}=\dfrac{2}{256}=\dfrac{1}{128}\) (за двете стойности на \(q\)).
Намираме \(a_4=a_1q^3\): \[\text{При } q=4:\; a_4=\frac{1}{128}\cdot 64=\frac{1}{2}.\] \[\text{При } q=-4:\; a_4=\frac{1}{128}\cdot(-64)=-\frac{1}{2}.\] Отговор: \(q=\pm4\), \(a_4=\pm\dfrac{1}{2}\).
Намираме \(a_4=a_1q^3\): \[\text{При } q=4:\; a_4=\frac{1}{128}\cdot 64=\frac{1}{2}.\] \[\text{При } q=-4:\; a_4=\frac{1}{128}\cdot(-64)=-\frac{1}{2}.\] Отговор: \(q=\pm4\), \(a_4=\pm\dfrac{1}{2}\).
3
Намерете \(x\), ако числата \(x+3\), \(x+\dfrac{1}{2}\) и \(x-\dfrac{3}{4}\) образуват геометрична прогресия.
▼
Решение
Прилагаме свойство 1: средният член е средногеометричен на съседните, т.е. \(a_2^2=a_1\cdot a_3\):
\[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = (x+3)\left(x-\frac{3}{4}\right).\]
Разкриваме: \(x^2+x+\dfrac{1}{4} = x^2+3x-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{9}{4}\).
\[x^2+x+\frac{1}{4} = x^2+\frac{9x}{4}-\frac{9}{4} \implies x - \frac{9x}{4} = -\frac{9}{4}-\frac{1}{4} \implies -\frac{5x}{4}=-\frac{10}{4} \implies x=2.\]
Отговор: \(x=2\).
4
Хипотенузата на правоъгълен триъгълник е \(1\). Намерете катетите, ако страните образуват геометрична прогресия.
▼
Решение
Нека катетите са \(a < b\) и хипотенузата \(c=1\). Страните образуват ГП: \(a,\; b=aq,\; c=aq^2=1\).
От Питагоровата теорема: \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a^2+a^2q^2=1\).
От \(aq^2=1\) следва \(q^2=\dfrac{1}{a}\). Заместваме: \[a^2+a^2\cdot\frac{1}{a}=1 \implies a^2+a=1 \implies a^2+a-1=0.\] \[a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\quad\text{(вземаме положителния корен)}.\] Намираме \(b\): \(q^2=\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}\), \(q>0\) (катетите са положителни), откъдето: \[b=aq=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\] Отговор: \(a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\), \(b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\).
От Питагоровата теорема: \(a^2+b^2=c^2 \Rightarrow a^2+a^2q^2=1\).
От \(aq^2=1\) следва \(q^2=\dfrac{1}{a}\). Заместваме: \[a^2+a^2\cdot\frac{1}{a}=1 \implies a^2+a=1 \implies a^2+a-1=0.\] \[a=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\quad\text{(вземаме положителния корен)}.\] Намираме \(b\): \(q^2=\dfrac{1}{a}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-1}\), \(q>0\) (катетите са положителни), откъдето: \[b=aq=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\cdot\sqrt{\frac{2}{\sqrt{5}-1}}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}.\] Отговор: \(a=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\), \(b=\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}}\).
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Намерете частното и четвъртия член на геометрична прогресия, за която \(a_7=3\) и \(a_{10}=24\).
Задача 2Намерете \(x\) и \(y\), ако числата \(x\), \(2x\), \(y+10\) и \(4y\) образуват геометрична прогресия.
Задача 3Пресметнете \(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{32}+\dfrac{1}{64}+\dfrac{1}{128}+\dfrac{1}{256}\).
Задача 4Намерете геометрична прогресия, за която \(a_3-a_1=16\) и \(a_5-a_3=144\).
Задача 5Намерете геометрична прогресия, за която \(S_n=4-\dfrac{4}{2^n}\) за всяко \(n\in\mathbb{N}\).
Задача 6Вторият и петият член са съответно \(14\) и \(112\). Намерете сбора на първите 6 члена.
Задача 7Решете системата \(\begin{cases}x+4y=3\\\dfrac{x}{y}+\dfrac{2y}{x}=3.\end{cases}\) Нека \((x,y)\) е решение с \(x>y\). Разглеждаме ГП с \(a_1=x\), \(a_2=y\). Намерете всички \(n\), за които \(a_n<0{,}001\).
Задача 8ГП с \(a_2=2\), \(a_5=16\) и \(a_1\cdot a_2\cdots a_n=1024\). Намерете \(n\).
Задача 9Крайна ГП с \(a_5-a_1=15\), \(a_4-a_2=6\) и \(S_n=255\). Намерете \(a_1\), \(q\) и \(n\) (прогресията е растяща). Пресметнете \(U_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{a_k}\).
Задача 10\(S_{10}=33\cdot S_5\). Намерете частното.
Задача 11Намалява ГП с \(a_3=32\sqrt{2}\) и \(a_5=\dfrac{16}{\sqrt{2}}\). Намерете частното.
Задача 12Намерете 7-членна ГП, ако сумата от първите три члена е \(14\), а от последните три е \(224\).
Задача 13Намерете частното на ГП \(a_1,\ldots,a_9\), ако \(\dfrac{a_9}{a_2}=-\dfrac{1}{128}\).
Задача 14\(a_2=10\), \(a_5=-80\).
а) Намерете първите пет члена.
б) Намерете броя на членовете, ако \(S=425\).
а) Намерете първите пет члена.
б) Намерете броя на членовете, ако \(S=425\).
Задача 15Намерете \(a_1\) и \(q\), ако \(a_2+a_5-a_4=10\) и \(a_3+a_6-a_5=20\).
Задача 16\(a_1=-4\sqrt{2}\), \(a_4=16\). Намерете \(a_8\).
Задача 17\(a_5-a_4=576\) и \(a_2-a_1=9\). Намерете \(S_4\).
Задача 18Четири числа в ГП: сумата от крайните е \(-49\), сумата от средните е \(14\). Намерете ги.
Задача 19Четири числа в ГП: вторият е с \(35\) по-малък от първия, третият е с \(560\) по-голям от четвъртия. Намерете ги.
Задача 20Четири числа в ГП: третият е с \(9\) по-голям от първия, вторият е с \(18\) по-голям от четвъртия. Намерете ги.
Задача 21ГП с \(q=\tfrac{1}{3}\), \(a_4=\tfrac{1}{54}\) и \(S=\tfrac{121}{162}\). Намерете \(n\).
Задача 22Намерете \(a_1\) и \(q\), ако \(a_4-a_2=-\tfrac{45}{32}\) и \(a_6-a_4=-\tfrac{45}{512}\).
Задача 23\(q=3\), \(S_6=1820\). Намерете \(a_1\) и \(a_5\).
Задача 24Произведението на първите три члена е \(1728\), сумата им е \(63\). Намерете \(a_1\) и \(q\).
Задача 25\(a_1=3\), \(a_2=12\), последен член \(3072\). Намерете \(n\).
Задача 26Нечетен брой членове. Докажете, че \(S\cdot S'=\sum a_k^2\), където \(S'\) е сумата на ГП с \(a_1\) и \(-q\).
Задача 27Намерете общия член на \(5,\,11,\,29,\ldots\), ако разликите на съседни членове образуват ГП.
Задача 28За ГП намерете:
а) \(a_1\) и \(a_5\) при \(q=\tfrac{1}{2}\), \(n=5\), \(S_5=3\tfrac{7}{8}\);
б) \(q\) и \(n\) при \(a_1=3\), \(a_n=96\), \(S_n=189\);
в) \(a_1\) и \(q\) при \(\tfrac{a_{10}}{a_8}=9\), \(a_4+a_6=540\);
г) \(n\) при \(a_6-a_4=216\), \(a_3-a_1=8\), \(S_n=40\).
а) \(a_1\) и \(a_5\) при \(q=\tfrac{1}{2}\), \(n=5\), \(S_5=3\tfrac{7}{8}\);
б) \(q\) и \(n\) при \(a_1=3\), \(a_n=96\), \(S_n=189\);
в) \(a_1\) и \(q\) при \(\tfrac{a_{10}}{a_8}=9\), \(a_4+a_6=540\);
г) \(n\) при \(a_6-a_4=216\), \(a_3-a_1=8\), \(S_n=40\).
Задача 29ГП \(b_1,b_2,\ldots\):
а) \(b_2+b_5-b_4=10\), \(b_3+b_6-b_5=20\). Намерете \(a_1\) и \(q\).
б) Докажете, че редицата \(b_2-b_1, b_3-b_2,\ldots\) също е ГП.
а) \(b_2+b_5-b_4=10\), \(b_3+b_6-b_5=20\). Намерете \(a_1\) и \(q\).
б) Докажете, че редицата \(b_2-b_1, b_3-b_2,\ldots\) също е ГП.
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Геометрична прогресия
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по геометрична прогресия:
Видео урок — Геометрична прогресия. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар