Аритметична прогресия 10 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Алгебра › Аритметична прогресия
Аритметична прогресия
Теория, решени задачи и тест
Определение, формули за общ член и сума, свойства, 5 разработени задачи, 49 задачи за самостоятелна работа и тест
Формули за общ член и сума, свойства на средния член и методи за съставяне на системи при задачи с аритметична прогресия
Теория
Определение 1: Числова редица, в която всеки член след първия се получава като към предходния се прибави едно и също число, се нарича аритметична прогресия. Това число се нарича разлика на прогресията и се означава с \(d\).
Означения: \(a_1\) — първи член; \(a_n\) — \(n\)-ти член; \(n\) — брой на членовете; \(S_n\) — сума на първите \(n\) члена; \(d\) — разлика.
Основни формули:
• Общ член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
• Сума (формула 1): \(S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
• Сума (формула 2): \(S_n = \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n\)
• Общ член: \(a_n = a_1 + (n-1)d\)
• Сума (формула 1): \(S_n = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n\)
• Сума (формула 2): \(S_n = \dfrac{2a_1+(n-1)d}{2}\cdot n\)
Свойства на аритметичната прогресия:
1) Среден член: \(2a_k = a_{k-1}+a_{k+1}\) — всеки среден член е средноаритметично на двата си съседа;
2) Симетрия: \(a_1+a_n = a_2+a_{n-1} = \ldots = a_k+a_{n+1-k}\) — сумата на симетрично отдалечени членове е константа.
3) Безкрайна АП се определя еднозначно от \(a_1\) и \(d\). Крайна — от \(a_1\), \(d\) и \(n\).
1) Среден член: \(2a_k = a_{k-1}+a_{k+1}\) — всеки среден член е средноаритметично на двата си съседа;
2) Симетрия: \(a_1+a_n = a_2+a_{n-1} = \ldots = a_k+a_{n+1-k}\) — сумата на симетрично отдалечени членове е константа.
3) Безкрайна АП се определя еднозначно от \(a_1\) и \(d\). Крайна — от \(a_1\), \(d\) и \(n\).
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Намерете аритметична прогресия от шест члена, ако третият и петият й член са съответно \(7\) и \(10\).
▼
Решение
От формулата за общия член: \(a_3 = a_1+2d = 7\) и \(a_5 = a_1+4d = 10\). Системата:
\[\begin{cases} a_1+2d=7 \\ a_1+4d=10. \end{cases}\]
Изваждаме първото от второто: \(2d=3 \Rightarrow d=\dfrac{3}{2}\). Намираме \(a_1 = 7-2\cdot\dfrac{3}{2}=4\).
Членовете на прогресията: \[a_1=4;\quad a_2=5{,}5;\quad a_3=7;\quad a_4=8{,}5;\quad a_5=10;\quad a_6=11{,}5.\]
Членовете на прогресията: \[a_1=4;\quad a_2=5{,}5;\quad a_3=7;\quad a_4=8{,}5;\quad a_5=10;\quad a_6=11{,}5.\]
2
Намерете аритметична прогресия, ако сумата от първите три члена е \(15\), а произведението им е \(80\).
▼
Решение
Нека \(a_1, a_2=a_1+d, a_3=a_1+2d\). Условията: \(a_1+a_2+a_3=15\) и \(a_1 a_2 a_3=80\).
Сумата: \(3a_1+3d=15 \Rightarrow a_1+d=5 \Rightarrow a_2=5\) (средният член е 5).
Изразяваме \(a_1=5-d\) и заместваме в произведението: \[(5-d)\cdot 5\cdot(5+d)=80 \Rightarrow (5-d)(5+d)=16 \Rightarrow 25-d^2=16 \Rightarrow d^2=9 \Rightarrow d=\pm 3.\]
• При \(d=3\): \(a_1=2,\; a_2=5,\; a_3=8\).
• При \(d=-3\): \(a_1=8,\; a_2=5,\; a_3=2\).
Сумата: \(3a_1+3d=15 \Rightarrow a_1+d=5 \Rightarrow a_2=5\) (средният член е 5).
Изразяваме \(a_1=5-d\) и заместваме в произведението: \[(5-d)\cdot 5\cdot(5+d)=80 \Rightarrow (5-d)(5+d)=16 \Rightarrow 25-d^2=16 \Rightarrow d^2=9 \Rightarrow d=\pm 3.\]
• При \(d=3\): \(a_1=2,\; a_2=5,\; a_3=8\).
• При \(d=-3\): \(a_1=8,\; a_2=5,\; a_3=2\).
3
Намерете броя на членовете на аритметична прогресия, ако \(a_2=4\), \(a_7=19\) и сборът на всички членове е \(210\).
▼
Решение
От \(a_2=4\) и \(a_7=19\) съставяме системата:
\[\begin{cases} a_1+d=4 \\ a_1+6d=19, \end{cases}\]
откъдето \(5d=15 \Rightarrow d=3\) и \(a_1=1\).
Заместваме в \(S_n=210\): \[\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n = 210 \Rightarrow \frac{(3n-1)n}{2}=210 \Rightarrow 3n^2-n-420=0.\] Дискриминантата: \(\Delta = 1+5040=5041=71^2\). Корени: \(n=\dfrac{1+71}{6}=12\) (вземаме \(n\in\mathbb{N}\)).
Отговор: \(n=12\).
Заместваме в \(S_n=210\): \[\frac{2\cdot 1+(n-1)\cdot 3}{2}\cdot n = 210 \Rightarrow \frac{(3n-1)n}{2}=210 \Rightarrow 3n^2-n-420=0.\] Дискриминантата: \(\Delta = 1+5040=5041=71^2\). Корени: \(n=\dfrac{1+71}{6}=12\) (вземаме \(n\in\mathbb{N}\)).
Отговор: \(n=12\).
4
Сумата на третия и деветия член на аритметична прогресия е равна на \(8\). Намерете сумата на първите \(11\) члена.
▼
Решение
Изразяваме \(a_3+a_9\):
\[a_3+a_9 = (a_1+2d)+(a_1+8d) = 2a_1+10d = 8.\]
Сумата на първите 11 члена:
\[S_{11}=\frac{2a_1+(11-1)d}{2}\cdot 11 = \frac{2a_1+10d}{2}\cdot 11 = \frac{8}{2}\cdot 11 = 44.\]
Отговор: \(S_{11}=44\).
5
Тринадесетият член на аритметична прогресия е равен на \(5\). Намерете сумата на първите \(25\) члена.
▼
Решение
\(a_{13}=a_1+12d=5\). Пресмятаме \(S_{25}\):
\[S_{25}=\frac{2a_1+24d}{2}\cdot 25 = \frac{2(a_1+12d)}{2}\cdot 25 = (a_1+12d)\cdot 25 = 5\cdot 25=125.\]
Отговор: \(S_{25}=125\).
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Между числата \(8\) и \(85\) да се вместят \(6\) числа, които заедно с дадените да образуват аритметична прогресия.
Задача 2Намерете първия член и сумата на аритметична прогресия, за която \(d=-\tfrac{1}{4}\), \(n=13\) и \(a_n=1\).
Задача 3Докажете, че \(1+2+3+\ldots+10+9+8+\ldots+2+1=100\).
Задача 4Докажете, че \(1+2+3+\ldots+(n-1)+n+(n-1)+\ldots+2+1=n^2\).
Задача 5Нека \(S_n\) е сумата от първите \(n\) члена на аритметична прогресия. Намерете първите 3 члена, ако:
а) \(S_n=5n^2+3n\); б) \(S_n=6n^2-5n\); в) \(S_n=3n^2\).
а) \(S_n=5n^2+3n\); б) \(S_n=6n^2-5n\); в) \(S_n=3n^2\).
Задача 6Сумата на третия и деветия член на аритметична прогресия е равна на най-малката стойност на тричлена \(2x^2-4x+10\). Намерете сумата от първите \(11\) члена.
Задача 7В аритметична прогресия \(a_8=11{,}2\), \(a_{15}=19{,}6\). Намерете броя на членовете, по-малки от \(30\).
Задача 8Аритметична прогресия има \(7\) члена. Първият е \(11\), последният е \(35\). Колко члена има друга прогресия с крайни членове \(38\) и \(13\), ако четвъртите членове на двете са равни?
Задача 9Докажете, че ако \(a\), \(b\), \(c\) образуват аритметична прогресия, то \(a^2+8bc=(2b+c)^2\). Вярно ли е обратното?
Задача 10Намерете сумата от първите \(25\) члена на аритметична прогресия, за която \(a_3+a_8+a_{10}+a_{16}+a_{18}+a_{23}=114\).
Задача 11Дадена е аритметична прогресия с \(a_3=8\), \(a_5=14\) и \(a_1+a_2+\ldots+a_n=100\). Намерете \(n\).
Задача 12Петият и деветнадесетият член са съответно \(9\) и \(37\). Намерете сбора на първите \(29\) члена.
Задача 13Намерете всички аритметични прогресии, за които \(a_3^2-a_1 a_9=3\), \(a_1^2+a_5^2=2\) и \(S_6<0\).
Задача 14Сумата на \(a_{13}\) и \(a_{16}\) е \(4\). На колко е равна сумата от първите \(28\) члена?
Задача 15Намерете \(a_1\) и \(d\), ако \(a_2+a_3=14\) и \(a_3+a_5=26\).
Задача 16Сумата \(S_n=n^2+n\). Кой е третият член на прогресията?
Задача 17Дадено е \(a_3+a_5+a_{16}+a_{18}=40\). На колко е равно \(a_8+a_{13}\)?
Задача 18Сумата \(S_n=2n^2-n\). Намерете \(a_1\) и \(d\).
Задача 19Сумата на първия и петия член е \(\tfrac{5}{3}\), произведението на третия и четвъртия е \(\tfrac{65}{72}\). Намерете \(S_{17}\).
Задача 20Намерете \(a_1\) и \(d\), ако \(a_2+a_8=10\) и \(a_3+a_{14}=31\).
Задача 21Намерете \(a_1\) и \(d\), ако \(a_6-2a_3=2\) и \(S_6+2S_3=75\).
Задача 22За \(x^2-2qx+q+2=0\) намерете стойностите на \(q\), при които корените \(x_1\), \(x_2\) са реални и числата \(a_1=x_1 x_2\), \(a_2=x_1+x_2\), \(a_{30}=x_1^2+x_2^2\) образуват аритметична прогресия.
Задача 23За \(x^2+2ax+3=0\) намерете стойностите на \(a\), при които корените са реални и \(2x_1-x_2\), \(|x_1-x_2|\), \(2x_2-x_1\) образуват аритметична прогресия.
Задача 24Намерете \(a_1\) и \(d\), ако \(a_3+a_5-a_1=25\) и \(a_4+a_6-a_2=29\).
Задача 25Дадено е \(a_4+a_6+a_8+a_{10}=40\). Намерете \(a_5+a_9\).
Задача 26Сумата на първите \(5\) члена на растяща прогресия е \(15\), произведението им е \(1155\). Намерете \(60\)-тия член.
Задача 27Сумата на първия и петия член е \(5\), произведението на третия и четвъртия е \(\tfrac{65}{4}\). Намерете \(S_7\).
Задача 28Дадена е прогресия с \(a_1=-11\), \(a_2=-8\), \(a_1+\ldots+a_n=91\). Намерете \(a_n\).
Задача 29Дадена е прогресия с \(43\) члена, за която \(a_{15}+a_{43}=111{,}5\). Намерете \(a_{29}\).
Задача 30Нека \(x\in[0,\tfrac{\pi}{2}]\) и \(\cos x\), \(\cos 2x\), \(\cos 3x\) са различни и са 1-ви, 3-ти и 5-ти член на аритметична прогресия. Намерете \(S_8\).
Задача 31Дадена е прогресия с \(8a_3-13=a_8\) и \(a_4+a_6=a_7+4\).
а) Намерете общия член \(a_n\).
б) Намерете сумата на членовете, удовлетворяващи \(x^2-140x+4800<0\).
а) Намерете общия член \(a_n\).
б) Намерете сумата на членовете, удовлетворяващи \(x^2-140x+4800<0\).
Задача 32Намерете броя на членовете на прогресия, в която \(S=112\), \(a_2\cdot d=30\) и \(a_3+a_5=32\). Напишете първите три члена.
Задача 33Турист изкачва \(800\) m за първия час, а всеки следващ час — с \(25\) m по-малко. Колко часа са му необходими за \(5700\) m?
Задача 34\(a_9\div a_2=5\) (цяло деление); \(a_{13}\div a_6 = 2\) с остатък \(5\). Намерете \(a_1\) и \(d\).
Задача 35Сумата на три числа в аритметична прогресия е \(2\), сумата от квадратите им е \(\tfrac{14}{9}\). Намерете числата.
Задача 36Сумата на втория, четвъртия и шестия член е \(18\), произведението им е \(-168\). Намерете \(a_1\) и \(d\).
Задача 37При каква стойност на \(d\) за прогресия с \(a_7=3\) произведението \(a_4\cdot a_9\) е най-голямо?
Задача 38Изчислете:
\[(1^2+3^2+5^2+\ldots+199^2)-(2^2+4^2+6^2+\ldots+200^2).\]
Задача 39\(a_1=429\), \(d=-22\), \(S_n=3069\). Намерете \(n\).
Задача 40Намерете естествени числа в аритметична прогресия, ако произведението на първите три е \(6\), а на първите четири е \(24\).
Задача 41\(a_3+a_9=6\), \(a_3\cdot a_9=\tfrac{135}{16}\). Намерете \(S_{15}\).
Задача 42Вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник образуват аритметична прогресия с \(a_{\min}=120°\) и \(d=5°\). Намерете броя на страните.
Задача 43Докажете, че \(\dfrac{1}{a_1 a_2}+\dfrac{1}{a_2 a_3}+\ldots+\dfrac{1}{a_{n-1}a_n}=\dfrac{n-1}{a_1 a_n}\) при \(a_i\neq 0\).
Задача 44Дадена е прогресия с \(a_1=1\), в която \(a_1\), \(a_n\), \(S_n\) също образуват прогресия и \(S_n^2+7a_1<4a_n^2\).
а) Намерете \(n\). б) Намерете \(a_2,a_3,\ldots,a_n\).
а) Намерете \(n\). б) Намерете \(a_2,a_3,\ldots,a_n\).
Задача 45\(x_1,y_1,x_2,y_2\) образуват АП. \(x_1\), \(x_2\) са корени на \(x^2+ax+b=0\); \(y_1\), \(y_2\) са корени на \(x^2-6x+c=0\). Намерете \(a\), \(b\), \(c\) при \(a+b+c=0\).
Задача 46За аритметична прогресия намерете:
а) \(a_1\) и \(n\) при \(d=4\), \(a_n=50\), \(S_n=330\);
б) \(S_{10}\) при \(a_3+a_5+a_8=18\), \(a_4+a_2=-2\);
в) \(a_1\) и \(d\) при \(a_6:a_9=3:5\) и \(a_5=\tfrac{a_7+6}{2}\);
г) Първите три члена при \(S_5-S_2-a_5=0{,}1\) и \(S_4+a_7=0{,}1\).
а) \(a_1\) и \(n\) при \(d=4\), \(a_n=50\), \(S_n=330\);
б) \(S_{10}\) при \(a_3+a_5+a_8=18\), \(a_4+a_2=-2\);
в) \(a_1\) и \(d\) при \(a_6:a_9=3:5\) и \(a_5=\tfrac{a_7+6}{2}\);
г) Първите три члена при \(S_5-S_2-a_5=0{,}1\) и \(S_4+a_7=0{,}1\).
Задача 47\(a_8=a_1^3\) и \(a_1^2\), \(a_1^4\) са членове на прогресията (\(d\neq 0\)). Намерете \(a_1\) и \(d\).
Задача 48а) Докажете: \(a_1-3a_2+3a_3-a_4=0\).
б) При \(a_{m+n}=a\) и \(a_{n-m}=b\) намерете \(a_n\).
б) При \(a_{m+n}=a\) и \(a_{n-m}=b\) намерете \(a_n\).
Задача 49Нека \(n\) и \(k\) са естествени числа, такива че \(\dfrac{6n}{1+2+\ldots+n}=k\). Намерете сумата от всички такива \(n\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Аритметична прогресия
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео урок
Още обяснени и решени задачи по аритметична прогресия:
Видео урок — Аритметична прогресия. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар