Числови редици 10 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Математически анализ и университетска математика◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Математически анализ и университетска математика◆

Математика › Висша математика › Числови редици

Числови редици
Определение, монотонност и ограниченост

Задаване на редица, растящи и намаляващи редици, ограниченост, 5 разработени задачи и 10 задачи за самостоятелна работа

Числови редици Общ член Монотонност Ограниченост Редица на Фибоначи Висша математика Д-р Атанас Илчев

Три начина за задаване на редица, свойства на монотонност и ограниченост с подробно решени примери

Теория

Ако по някакво правило на всяко естествено число съпоставим реално число, казваме, че сме задали числова редица.

Определение 1: Всяка числова функция \(f\colon\mathbb{N}\to\mathbb{R}\), определена в множеството на естествените числа, се нарича числова редица. Стойностите \(a_n=f(n)\) на тази функция се наричат членове на редицата.

Редицата \(a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\) се означава с \(\{a_n\}_{n=1}^{\infty}\), а \(a_n\) се нарича общ член на редицата.

Крайна и безкрайна редица:
• \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10\) — крайна числова редица;
• \(1,\,\tfrac{1}{2},\,\tfrac{1}{4},\,\tfrac{1}{8},\,\ldots,\,\tfrac{1}{2^n},\,\ldots\) — безкрайна числова редица.

Начини за задаване на числова редица:
1. Формула за общия член: напр. \(a_n=2n\) задава редицата \(2,4,6,8,\ldots,2n,\ldots\);
2. Рекурентна формула: напр. \(a_1=a_2=1\) и \(a_n=a_{n-2}+a_{n-1}\) дава редицата \(1,1,2,3,5,8,13,21,\ldots\) — редицата на Фибоначи;
3. Описание: напр. \(n\)-тият член е \(n\)-тото просто число: \(2,3,5,7,11,13,17,19,\ldots\)

Определение 2: Редицата \(\{a_n\}\) е растяща (намаляваща), ако за всяко \(n\in\mathbb{N}\) е изпълнено \(a_n\leq a_{n+1}\) (съответно \(a_n\geq a_{n+1}\)).

Определение 3: Редицата \(\{a_n\}\) е строго растяща (строго намаляваща), ако за всяко \(n\in\mathbb{N}\) е изпълнено \(a_n < a_{n+1}\) (съответно \(a_n > a_{n+1}\)).

Определение 4: Редицата \(\{a_n\}\) е монотонна, ако тя е растяща или намаляваща.

Метод за изследване на монотонност:
Формираме \(a_{n+1} - a_n\) (или разглеждаме \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) при положителни членове) и определяме знака за \(n\in\mathbb{N}\):
• Ако \(a_{n+1}-a_n > 0\) за всяко \(n\) → строго растяща;
• Ако \(a_{n+1}-a_n < 0\) за всяко \(n\) → строго намаляваща.

Определение 5: Редицата \(\{a_n\}\) е ограничена отгоре, ако съществува \(A\in\mathbb{R}\) такова, че \(a_n\leq A\) за всяко \(n\). Числото \(A\) се нарича горна граница.

Определение 6: Редицата \(\{a_n\}\) е ограничена отдолу, ако съществува \(B\in\mathbb{R}\) такова, че \(a_n\geq B\) за всяко \(n\). Числото \(B\) се нарича долна граница.

Определение 7: Редицата \(\{a_n\}\) е ограничена, ако тя е ограничена отгоре и отдолу едновременно.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите пълното решение.

1

Напишете първите 4 члена на редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{2n+3}{3n+2}\).

▼

Решение Заместваме \(n=1,2,3,4\) в общия член: \[a_1=\frac{2\cdot1+3}{3\cdot1+2}=\frac{5}{5}=1;\quad a_2=\frac{2\cdot2+3}{3\cdot2+2}=\frac{7}{8};\quad a_3=\frac{2\cdot3+3}{3\cdot3+2}=\frac{9}{11};\quad a_4=\frac{2\cdot4+3}{3\cdot4+2}=\frac{11}{14}.\] Отговор: \(1,\;\dfrac{7}{8},\;\dfrac{9}{11},\;\dfrac{11}{14}\).

2

Напишете първите 4 члена на редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{n}{2^n}\).

▼

Решение Заместваме \(n=1,2,3,4\): \[a_1=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2};\quad a_2=\frac{2}{2^2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2};\quad a_3=\frac{3}{2^3}=\frac{3}{8};\quad a_4=\frac{4}{2^4}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}.\] Отговор: \(\dfrac{1}{2},\;\dfrac{1}{2},\;\dfrac{3}{8},\;\dfrac{1}{4}\).

3

Общият член на числова редица е \(\displaystyle a_n=\frac{2n^2-1}{n+3}\). Намерете \(a_3\), \(a_5\) и \(a_{n+1}\).

▼

Решение \[a_3=\frac{2\cdot9-1}{3+3}=\frac{17}{6};\quad a_5=\frac{2\cdot25-1}{5+3}=\frac{49}{8}.\] За \(a_{n+1}\) заместваме \(n\) с \(n+1\) в общия член: \[a_{n+1}=\frac{2(n+1)^2-1}{(n+1)+3}=\frac{2(n^2+2n+1)-1}{n+4}=\frac{2n^2+4n+1}{n+4}.\] Отговор: \(a_3=\dfrac{17}{6}\); \(a_5=\dfrac{49}{8}\); \(a_{n+1}=\dfrac{2n^2+4n+1}{n+4}\).

4

Изследвайте монотонността на редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{3n-1}{5n+2}\).

▼

Решение Формираме \(a_{n+1}\): \[a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{5(n+1)+2}=\frac{3n+2}{5n+7}.\] Разглеждаме разликата \(a_{n+1}-a_n\): \[a_{n+1}-a_n=\frac{3n+2}{5n+7}-\frac{3n-1}{5n+2}=\frac{(3n+2)(5n+2)-(3n-1)(5n+7)}{(5n+7)(5n+2)}.\] Числителят: \((3n+2)(5n+2)-(3n-1)(5n+7)=15n^2+6n+10n+4-(15n^2+21n-5n-7)=11\). Следователно: \[a_{n+1}-a_n=\frac{11}{(5n+7)(5n+2)}>0\quad\text{за всяко }n\in\mathbb{N}.\] По Определение 3 редицата е строго растяща.

5

Изследвайте монотонността на редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{6-n}{2+5n}\).

▼

Решение Формираме \(a_{n+1}\): \[a_{n+1}=\frac{6-(n+1)}{2+5(n+1)}=\frac{5-n}{5n+7}.\] Разглеждаме разликата \(a_{n+1}-a_n\): \[a_{n+1}-a_n=\frac{5-n}{5n+7}-\frac{6-n}{2+5n}=\frac{(5-n)(2+5n)-(5n+7)(6-n)}{(5n+7)(2+5n)}.\] Числителят: \((5-n)(2+5n)-(5n+7)(6-n)=10+25n-2n-5n^2-(30n-5n^2+42-7n)=10+23n-5n^2-30n+5n^2-42+7n=-32\). Следователно: \[a_{n+1}-a_n=\frac{-32}{(5n+7)(2+5n)}<0\quad\text{за всяко }n\in\mathbb{N}.\] По Определение 3 редицата е строго намаляваща.

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Запишете първите 5 члена на редицата с общ член:
а) \(a_n=2^{-n}+n+1\);  б) \(b_n=\dfrac{2n^2+1}{n+1}\);  в) \((-1)^n+(n-2)^2\).

Задача 2Запишете първите 4 члена на редицата, зададена чрез:
а) \(a_1=a_2=1\), \(a_{n+1}=2a_n-a_{n-1}\) при \(n\geq 2\);
б) \(a_1=2\), \(a_2=5\), \(a_{n+1}=a_n-2a_{n-1}\) при \(n\geq 2\).

Задача 3Намерете първите 6 члена на рекурентната редица \(a_{n+2}=5a_{n+1}-6a_n\), ако \(a_1=2\) и \(a_2=5\).

Задача 4Покажете, че редицата с общ член \(a_n=2^n+3^n+4^n\) удовлетворява за всяко \(n\in\mathbb{N}\) рекурентната връзка \(a_{n+3}-9a_{n+2}+26a_{n+1}-24a_n=0\).

Задача 5Покажете, че редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{n^2+n-2}{n^2+3n}\) е растяща.

Задача 6Покажете, че редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{n}{(n+1)^2}\) е намаляваща.

Задача 7Покажете, че редицата с общ член \(a_n=3n-n^2\) е ограничена отгоре.

Задача 8Намерете първите три члена на редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\left(1+n\right)^{\sin\frac{\pi n}{2}}\).

Задача 9Покажете, че редицата с общ член \(a_n=n^2+3n+3\) е ограничена отдолу.

Задача 10Покажете, че редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{2n+1}{3n-1}\) е ограничена.

---

Онлайн тест

10 въпроса • 6 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Числови редици

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Числова редица е функция \(f\colon\mathbb{N}\to\):

\(\mathbb{N}\) \(\mathbb{R}\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Q}\)

2Ако \(a_n=\dfrac{2n+3}{3n+2}\), то \(a_1\) е:

\(\dfrac{5}{8}\) \(1\) \(\dfrac{7}{8}\) \(\dfrac{9}{11}\)

3Редицата \(1,1,2,3,5,8,13,\ldots\) се задава с рекурентната формула:

\(a_n=2a_{n-1}\) \(a_n=a_{n-1}+a_{n-2}\) \(a_n=a_{n-1}\cdot a_{n-2}\) \(a_n=n\)

4Редицата е строго растяща, ако за всяко \(n\):

\(a_n\leq a_{n+1}\) \(a_n < a_{n+1}\) \(a_n = a_{n+1}\) \(a_n > a_{n+1}\)

5Редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{3n-1}{5n+2}\) е:

Строго намаляваща Строго растяща Константна Немонотонна

6Редицата с общ член \(\displaystyle a_n=\frac{6-n}{2+5n}\) е:

Строго растяща Строго намаляваща Константна Ограничена отгоре

7Ако \(a_n=\dfrac{2n^2-1}{n+3}\), то \(a_5\) е:

\(\dfrac{17}{6}\) \(\dfrac{49}{8}\) \(\dfrac{49}{6}\) \(\dfrac{17}{8}\)

8Редицата \(\{a_n\}\) е ограничена, ако:

Само ограничена отгоре Ограничена отгоре и отдолу Само ограничена отдолу Монотонна

9За изследване на монотонност разглеждаме:

\(a_n \cdot a_{n+1}\) \(a_{n+1} - a_n\) и неговия знак Само нечетните членове Граничната стойност

10Ако \(a_n=\dfrac{n}{2^n}\), то третият член \(a_3\) е:

\(\dfrac{1}{2}\) \(\dfrac{3}{8}\) \(\dfrac{3}{4}\) \(\dfrac{1}{4}\)

---

Видео урок

Още обяснени и решени задачи по числови редици:

Видео урок — Числови редици. Монотонност и ограниченост

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Математически анализ и университетска математика◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ Математически анализ и университетска математика◆