Комбинирани задачи от аритметична и геометрична прогресии 10 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Алгебра › АП и ГП — задачи с връзка
Аритметична и геометрична прогресия
Задачи с връзка между двете
Задачи, в които членовете на едната прогресия са свързани с членовете на другата — 3 разработени задачи, 19 задачи за самостоятелна работа и тест
Как се прилагат свойствата на двата типа прогресии в задачи, в които членовете на едната са свързани с членовете на другата
В определени задачи имаме дадена аритметична или геометрична прогресия и след като извършим дадени аритметични действия с техните членове, получаваме съответно геометрична или аритметична прогресия. Много често се налага търсенето на членовете им, техните суми и т.н. Ето защо за решаването на такъв тип задачи е много важно да знаем всички свойства и на двата вида прогресии.
Ключови свойства за напомняне:
• АП — среден член: \(2a_k = a_{k-1}+a_{k+1}\) (всеки среден член е средноаритметично на съседните);
• ГП — среден член: \(a_k^2 = a_{k-1}\cdot a_{k+1}\) (всеки среден член е средногеометрично на съседните);
• АП — общ член: \(a_n = a_1+(n-1)d\); ГП — общ член: \(a_n = a_1\cdot q^{n-1}\);
• Произведение на три члена на ГП: \(a_1\cdot a_2\cdot a_3 = (a_1q)^3\) ⇒ \(a_1q = \sqrt[3]{a_1\cdot a_2\cdot a_3}\).
• АП — среден член: \(2a_k = a_{k-1}+a_{k+1}\) (всеки среден член е средноаритметично на съседните);
• ГП — среден член: \(a_k^2 = a_{k-1}\cdot a_{k+1}\) (всеки среден член е средногеометрично на съседните);
• АП — общ член: \(a_n = a_1+(n-1)d\); ГП — общ член: \(a_n = a_1\cdot q^{n-1}\);
• Произведение на три члена на ГП: \(a_1\cdot a_2\cdot a_3 = (a_1q)^3\) ⇒ \(a_1q = \sqrt[3]{a_1\cdot a_2\cdot a_3}\).
Разработени задачи
Кликнете върху задача за пълното решение.
1
Числата \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\) образуват намаляваща геометрична прогресия, а числата \(a_1\), \(a_2+2\) и \(a_3\) са последователни членове на аритметична прогресия. Намерете \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\), ако \(a_1\cdot a_2\cdot a_3=512\).
▼
Решение
Изразяваме \(a_2=a_1q\) и \(a_3=a_1q^2\). Членовете на АП са \(a_1,\; a_1q+2,\; a_1q^2\).
От свойството на АП (средният член е средноаритметично): \(2(a_1q+2)=a_1+a_1q^2\), откъдето: \[2a_1q+4=a_1+a_1q^2.\] От \(a_1\cdot a_2\cdot a_3=512\): \(a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2=(a_1q)^3=512=8^3\), следователно \(a_1q=8\), т.е. \(a_1=\dfrac{8}{q}\).
Заместваме \(a_1q=8\) и \(a_1=\dfrac{8}{q}\) в уравнението: \[\frac{8}{q}+\frac{8}{q}\cdot q^2 - 20 = 0 \implies \frac{8+8q^2-20q}{q}=0 \implies 8q^2-20q+8=0.\] Делим на 4: \(2q^2-5q+2=0 \implies q_{1,2}=\dfrac{5\pm 3}{4}\), откъдето \(q_1=2\) и \(q_2=\dfrac{1}{2}\).
Тъй като прогресията е намаляваща, \(q=\dfrac{1}{2}\). Следователно \(a_1=16\), \(a_2=8\), \(a_3=4\).
Проверка: АП: \(16;\; 10;\; 4\) — разлика \(-6\) ✓; произведение \(16\cdot8\cdot4=512\) ✓.
От свойството на АП (средният член е средноаритметично): \(2(a_1q+2)=a_1+a_1q^2\), откъдето: \[2a_1q+4=a_1+a_1q^2.\] От \(a_1\cdot a_2\cdot a_3=512\): \(a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2=(a_1q)^3=512=8^3\), следователно \(a_1q=8\), т.е. \(a_1=\dfrac{8}{q}\).
Заместваме \(a_1q=8\) и \(a_1=\dfrac{8}{q}\) в уравнението: \[\frac{8}{q}+\frac{8}{q}\cdot q^2 - 20 = 0 \implies \frac{8+8q^2-20q}{q}=0 \implies 8q^2-20q+8=0.\] Делим на 4: \(2q^2-5q+2=0 \implies q_{1,2}=\dfrac{5\pm 3}{4}\), откъдето \(q_1=2\) и \(q_2=\dfrac{1}{2}\).
Тъй като прогресията е намаляваща, \(q=\dfrac{1}{2}\). Следователно \(a_1=16\), \(a_2=8\), \(a_3=4\).
Проверка: АП: \(16;\; 10;\; 4\) — разлика \(-6\) ✓; произведение \(16\cdot8\cdot4=512\) ✓.
2
За аритметичната прогресия \(\{a_n\}\) и геометричната прогресия \(\{b_n\}\) са в сила равенствата \(a_1=b_1\), \(a_4=b_3\) и \(a_2 a_3=8+b_2^2\). Намерете разликата на аритметичната прогресия.
▼
Решение
От свойството на ГП: \(b_2^2=b_1\cdot b_3\). Заместваме в условието \(a_2a_3=8+b_2^2\):
\[a_2a_3=8+b_1\cdot b_3.\]
Тъй като \(b_1=a_1\) и \(b_3=a_4\):
\[a_2a_3-a_1a_4=8.\]
Заместваме с \(a_2=a_1+d\), \(a_3=a_1+2d\), \(a_4=a_1+3d\):
\[(a_1+d)(a_1+2d)-a_1(a_1+3d)=8.\]
\[a_1^2+2a_1d+a_1d+2d^2-a_1^2-3a_1d=8 \implies 2d^2=8 \implies d^2=4 \implies d=\pm 2.\]
Отговор: \(d=\pm 2\).
3
Три числа, образуващи геометрична прогресия, имат сбор \(93\). Те са 1-ви, 2-ри и 7-ми член на аритметична прогресия. Намерете тези три числа.
▼
Решение
Нека ГП е \(\{a_n\}\) и АП е \(\{b_n\}\). Условията: \(a_1+a_2+a_3=93\) и \(a_1=b_1\), \(a_2=b_2\), \(a_3=b_7\).
От свойството на ГП: \(a_2^2=a_1\cdot a_3\), т.е. \(b_2^2=b_1\cdot b_7\). Изразяваме: \((b_1+d)^2=b_1(b_1+6d)\). \[b_1^2+2b_1d+d^2=b_1^2+6b_1d \implies d^2-4b_1d=0 \implies d(d-4b_1)=0.\] Следователно \(d=0\) или \(d=4b_1=4a_1\).
Случай 1: \(d=0\) → \(b_1=b_2=b_7=31\) → \(a_1=a_2=a_3=31\). Проверка: \(31+31+31=93\) ✓.
Случай 2: \(d=4a_1\). От \(a_1+a_2+a_3=93\) и \(a_2=b_1+d=a_1+4a_1=5a_1\), \(a_3=b_1+6d=a_1+24a_1=25a_1\): \[a_1+5a_1+25a_1=93 \implies 31a_1=93 \implies a_1=3.\] Следователно \(a_2=15\), \(a_3=75\), \(d=12\). Проверка: \(3+15+75=93\) ✓; ГП: \(15^2=225=3\cdot75\) ✓.
Отговор: \((31,\,31,\,31)\) или \((3,\,15,\,75)\).
От свойството на ГП: \(a_2^2=a_1\cdot a_3\), т.е. \(b_2^2=b_1\cdot b_7\). Изразяваме: \((b_1+d)^2=b_1(b_1+6d)\). \[b_1^2+2b_1d+d^2=b_1^2+6b_1d \implies d^2-4b_1d=0 \implies d(d-4b_1)=0.\] Следователно \(d=0\) или \(d=4b_1=4a_1\).
Случай 1: \(d=0\) → \(b_1=b_2=b_7=31\) → \(a_1=a_2=a_3=31\). Проверка: \(31+31+31=93\) ✓.
Случай 2: \(d=4a_1\). От \(a_1+a_2+a_3=93\) и \(a_2=b_1+d=a_1+4a_1=5a_1\), \(a_3=b_1+6d=a_1+24a_1=25a_1\): \[a_1+5a_1+25a_1=93 \implies 31a_1=93 \implies a_1=3.\] Следователно \(a_2=15\), \(a_3=75\), \(d=12\). Проверка: \(3+15+75=93\) ✓; ГП: \(15^2=225=3\cdot75\) ✓.
Отговор: \((31,\,31,\,31)\) или \((3,\,15,\,75)\).
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Числата \(a\), \(b\), \(c\) образуват АП.
а) Докажете, че \(2\), \(a^2+4b^2+c^2\) и \(a^4+16b^4+c^4\) образуват ГП.
б) Намерете \(a\), \(b\), \(c\), ако сумата им е \(15\) и сумата от квадратите им е \(83\).
а) Докажете, че \(2\), \(a^2+4b^2+c^2\) и \(a^4+16b^4+c^4\) образуват ГП.
б) Намерете \(a\), \(b\), \(c\), ако сумата им е \(15\) и сумата от квадратите им е \(83\).
Задача 2Ако към четири числа, образуващи растяща АП, се прибавят съответно \(5\), \(6\), \(9\) и \(15\), се получават четири последователни члена на ГП. Намерете числата.
Задача 3Дадена е АП с 5-ти член \(-5\) и 11-ти член \(19\). Растяща ГП има първи член, равен на разликата на АП. Ако сумата на първите три члена на ГП е с \(20\) по-малка от сумата на първите \(16\) члена на АП, намерете частното на ГП.
Задача 4Три числа с сума \(21\) са последователни членове на растяща АП. Като се прибавят съответно \(1\), \(5\) и \(15\), се получават последователни членове на ГП. Намерете числата.
Задача 5Дадени са АП с \(a_1=100\), \(d=100\) и ГП с \(b_1=2\), \(q=2\). Намерете най-малкото \(n\), за което \(a_n < b_n\).
Задача 6Сборът на три числа, образуващи АП, е \(12\). Ако към третото число се прибави \(2\), ще получим ГП. Намерете числата.
Задача 7За членовете на АП \(\{a_n\}\) и ГП \(\{b_n\}\) важат: \(a_1=2b_1=2\), \(a_6=3b_2\), \(a_{15}=4b_3\). Намерете първите три члена на двете прогресии.
Задача 8За членовете на АП \(\{a_n\}\) и растяща ГП \(\{b_n\}\) важат: \(a_1=b_1\), \(a_2=b_2+1\), \(a_3=b_3-1\), \(b_1+b_2+b_3=21\). Намерете броя \(n\) на членовете на АП, ако \(S_n=55\).
Задача 9Сборът на първите десет члена на АП е \(155\), а сборът от първите два члена на ГП е \(9\). Намерете двете прогресии, ако \(a_1\) и \(d\) на АП са съответно равни на частното и първия член на ГП.
Задача 10Три числа образуват ГП. Ако третия член намалим с \(64\), получаваме АП. Ако след това втория член на АП намалим с \(8\), получаваме ГП. Намерете първоначалните три числа.
Задача 11Намерете трицифрено число, за което: 1) цифрите му образуват ГП; 2) ако го намалим с \(297\), получаваме число от същите цифри в обратен ред; 3) ако към цифрите прибавим съответно \(8\), \(5\), \(1\), получените числа образуват АП.
Задача 12Естествените числа \(a_1,a_2,a_3\) (АП) и \(b_1,b_2,b_3\) (ГП) удовлетворяват: сборът им е \(192\); \(b_1=a_2\); \(b_3-a_1=102\); \(b_3-a_3=90\). Намерете шестте числа.
Задача 13Четири числа \(a_k, a_l, a_m, a_n\) от АП образуват ГП. Докажете, че \(k-l\), \(l-m\), \(m-n\) също образуват ГП.
Задача 14Намерете четири числа, първите три от които образуват ГП, а последните три — АП. Сборът на крайните е \(14\), на средните е \(12\).
Задача 15Сборът на три числа в растяща АП е \(51\). Ако от тях извадим съответно \(1\), \(7\) и \(8\), получаваме ГП.
а) Намерете числата.
б) Колко последователни члена (от първия) трябва да се вземат от АП, за да е сборът им \(555\)?
а) Намерете числата.
б) Колко последователни члена (от първия) трябва да се вземат от АП, за да е сборът им \(555\)?
Задача 16Първият, третият и петият член на ГП са съответно 1-ви, 4-ти и 16-ти член на АП. Намерете четвъртия член на АП, ако \(a_1=5\).
Задача 17Първият, третият и петият член на ГП са съответно 1-ви, 4-ти и 16-ти член на АП. Намерете четвъртия член на АП, ако разликата й е \(d=3\).
Задача 18Три числа образуват АП. Ако увеличим третото с \(9\) или намалим второто с \(2\), ще получим ГП. Намерете числата.
Задача 19Три положителни числа образуват ГП. Ако към второто прибавим \(8\), ще образуват АП. Ако след това към третото прибавим \(64\), отново ще образуват ГП. Намерете числата.
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: АП и ГП — задачи с връзка
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео уроци
Още обяснени и решени задачи за връзката между АП и ГП:
Видео урок 1 — АП и ГП. Задачи с връзка между двете прогресии
Видео урок 2 — АП и ГП. Задачи с връзка между двете прогресии
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар