Ирационални уравнения 10 клас
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Математика › Алгебра › Ирационални уравнения
Ирационални уравнения
Решени задачи и тест
Метод на повдигане на квадрат, задължителна проверка, решения с полагане (субституция) — 6 разработени задачи и 18 групи задачи за самостоятелна работа
Как се решават ирационални уравнения с един и два квадратни радикала и кога е подходящо да се използва полагане
Теория
Определение 1: Ирационално уравнение е такова уравнение, в което неизвестното се съдържа под знак за коренуване.
Когато решаваме ирационални уравнения, нашата цел е да ги сведем до уравнение от вид \(f(x)=g(x)\), без корени. Това постигаме, като повдигаме двете страни на подходяща степен.
⚠ Важно: От уравнението \(f(x)=g(x)\) като следствие се получава \(f^2(x)=g^2(x)\). Последното обаче може да има допълнителни корени, които не са корени на изходното. Затова след намирането на евентуалните решения е задължително да се прави проверка в първоначалното уравнение.
Алгоритъм за решаване на ирационално уравнение:
1. Изолирайте един от радикалите (прехвърлете го сам в едната страна).
2. Повдигнете двете страни на квадрат (или подходяща степен).
3. Ако остане радикал — повторете стъпки 1–2.
4. Решете полученото рационално уравнение.
5. Проверете всяко намерено решение в оригиналното уравнение.
1. Изолирайте един от радикалите (прехвърлете го сам в едната страна).
2. Повдигнете двете страни на квадрат (или подходяща степен).
3. Ако остане радикал — повторете стъпки 1–2.
4. Решете полученото рационално уравнение.
5. Проверете всяко намерено решение в оригиналното уравнение.
Полагане (субституция): Когато в уравнението се среща един и същ израз под корен повече от веднъж, е удачно да се направи полагане \(t = \sqrt{(\ldots)}\). Така ирационалното уравнение се свежда до квадратно (или линейно) относно \(t\), след което се връщаме в положеното.
Разработени задачи
Кликнете върху задача, за да видите пълното решение с проверка.
1
Решете уравнението \(\sqrt{x+3}=1\).
▼
Решение
Повдигаме двете страни на квадрат:
\[(\sqrt{x+3})^2=1^2 \implies x+3=1 \implies x=-2.\]
✓ Проверка: \(\sqrt{-2+3}=\sqrt{1}=1\) — вярно.
Отговор: \(x=-2\).
Отговор: \(x=-2\).
2
Решете уравнението \(3+\sqrt{x-6}=5\).
▼
Решение
Изолираме радикала: \(\sqrt{x-6}=2\). Повдигаме на квадрат:
\[(\sqrt{x-6})^2=2^2 \implies x-6=4 \implies x=10.\]
✓ Проверка: \(3+\sqrt{10-6}=3+\sqrt{4}=3+2=5\) — вярно.
Отговор: \(x=10\).
Отговор: \(x=10\).
3
Решете уравнението \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{4(x-1)}=0\).
▼
Решение
Записваме \(\sqrt{3x+1}=\sqrt{4(x-1)}\). Повдигаме на квадрат:
\[3x+1=4(x-1) \implies 3x+1=4x-4 \implies x=5.\]
✓ Проверка: \(\sqrt{16}-\sqrt{16}=0\) — вярно.
Отговор: \(x=5\).
Отговор: \(x=5\).
4
Решете уравнението \(\sqrt{x+7}-\sqrt{x-2}=1\).
▼
Решение
Изолираме единия радикал: \(\sqrt{x+7}=1+\sqrt{x-2}\). Повдигаме на квадрат и прилагаме формулата \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\) при \(a=1\), \(b=\sqrt{x-2}\):
\[x+7=1+2\sqrt{x-2}+(x-2) \implies x+7=x-1+2\sqrt{x-2}.\]
Прехвърляме: \(8=2\sqrt{x-2} \implies \sqrt{x-2}=4\). Повдигаме отново:
\[x-2=16 \implies x=18.\]
✓ Проверка: \(\sqrt{25}-\sqrt{16}=5-4=1\) — вярно.
Отговор: \(x=18\).
Отговор: \(x=18\).
5
Решете уравнението \(x-5\sqrt{x+2}+6=0\) чрез полагане.
▼
Решение
Преобразуваме: \((x+2)-5\sqrt{x+2}+4=0\), т.е. \((\sqrt{x+2})^2-5\sqrt{x+2}+4=0\).
Полагаме \(t=\sqrt{x+2}\) (\(t\geq 0\)). Получаваме квадратно уравнение: \[t^2-5t+4=0 \implies t_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2} \implies t_1=4,\; t_2=1.\] Връщаме в положеното:
• \(\sqrt{x+2}=4 \implies x+2=16 \implies x_1=14\);
• \(\sqrt{x+2}=1 \implies x+2=1 \implies x_2=-1\). ✓ Проверка:
• \(x=14\): \(14-5\cdot\sqrt{16}+6=14-20+6=0\) — вярно;
• \(x=-1\): \(-1-5\cdot\sqrt{1}+6=-1-5+6=0\) — вярно.
Отговор: \(x_1=14\), \(x_2=-1\).
Полагаме \(t=\sqrt{x+2}\) (\(t\geq 0\)). Получаваме квадратно уравнение: \[t^2-5t+4=0 \implies t_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2} \implies t_1=4,\; t_2=1.\] Връщаме в положеното:
• \(\sqrt{x+2}=4 \implies x+2=16 \implies x_1=14\);
• \(\sqrt{x+2}=1 \implies x+2=1 \implies x_2=-1\). ✓ Проверка:
• \(x=14\): \(14-5\cdot\sqrt{16}+6=14-20+6=0\) — вярно;
• \(x=-1\): \(-1-5\cdot\sqrt{1}+6=-1-5+6=0\) — вярно.
Отговор: \(x_1=14\), \(x_2=-1\).
6
Решете уравнението \(\sqrt{2-x}-\dfrac{x-2}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{x^2-6x+8}\).
▼
Решение
Забелязваме \(x-2=-(2-x)\) и \(x^2-6x+8=(x-4)(x-2)=(x-4)\cdot(-(2-x))=(2-x)(4-x)\). Записваме:
\[\sqrt{2-x}+\frac{2-x}{\sqrt{2-x}}=\sqrt{(2-x)(4-x)}.\]
Полагаме \(t=2-x\) (\(t>0\), тъй като \(\sqrt{2-x}\) е в знаменател). Уравнението се превръща в:
\[\sqrt{t}+\frac{t}{\sqrt{t}}=\sqrt{t(t+2)}.\]
Умножаваме по \(\sqrt{t}\):
\[t+t=t\sqrt{t+2} \implies 2t=t\sqrt{t+2}.\]
Тъй като \(t\neq 0\), делим на \(t\): \(2=\sqrt{t+2}\). Повдигаме на квадрат: \(4=t+2 \implies t=2\).
Проверка за \(t\): \(\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2\cdot 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) — вярно.
Връщаме: \(2-x=2 \implies x=0\).
✓ Проверка за x=0: \(\sqrt{2}-\frac{-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) — вярно.
Отговор: \(x=0\).
Проверка за \(t\): \(\sqrt{2}+\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{2\cdot 4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) — вярно.
Връщаме: \(2-x=2 \implies x=0\).
✓ Проверка за x=0: \(\sqrt{2}-\frac{-2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}\) и \(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\) — вярно.
Отговор: \(x=0\).
Задачи за самостоятелна работа
Задача 1Решете ирационалните уравнения:
а) \(\sqrt{x+18}=5\); б) \(\sqrt{x-3}=-3\); в) \(\sqrt{x^2-7}=3\); г) \(y-\sqrt{y+7}=5\); д) \(\sqrt{x-7}+x=9\).
а) \(\sqrt{x+18}=5\); б) \(\sqrt{x-3}=-3\); в) \(\sqrt{x^2-7}=3\); г) \(y-\sqrt{y+7}=5\); д) \(\sqrt{x-7}+x=9\).
Задача 2Решете ирационалните уравнения:
а) \(2\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+6}=0\); б) \(\sqrt{5x-3}-\sqrt{x-4}=0\); в) \(\sqrt{x(x+5)+15}=\sqrt{6x-8}\).
а) \(2\sqrt{x+3}-\sqrt{5x+6}=0\); б) \(\sqrt{5x-3}-\sqrt{x-4}=0\); в) \(\sqrt{x(x+5)+15}=\sqrt{6x-8}\).
Задача 3Решете ирационалните уравнения:
а) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5\); б) \(\sqrt{2y+1}-\sqrt{y-3}=2\); в) \(\sqrt{3z+7}-\sqrt{z+1}=2\);
г) \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4\); д) \(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x+1}=-1\); е) \(\sqrt{25-x}+\sqrt{9+x}=2\).
а) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{x+7}=5\); б) \(\sqrt{2y+1}-\sqrt{y-3}=2\); в) \(\sqrt{3z+7}-\sqrt{z+1}=2\);
г) \(\sqrt{x+4}+\sqrt{x-4}=4\); д) \(\sqrt{2x+3}-\sqrt{5x+1}=-1\); е) \(\sqrt{25-x}+\sqrt{9+x}=2\).
Задача 4Решете чрез подходящо полагане:
а) \(x^2-4x+\sqrt{x^2-4x+4}=8\); б) \(2x^2+x+\sqrt{2x^2+x+4}=26\);
в) \(\sqrt{\tfrac{x+5}{x}}+4\sqrt{\tfrac{x}{x+5}}=4\); г) \(\sqrt{4x^2+3x+14}-\sqrt{4x^2+3x+3}=1\); д) \(\sqrt{5x^2+3x+1}+\sqrt{5x^2+3x+8}=7\).
а) \(x^2-4x+\sqrt{x^2-4x+4}=8\); б) \(2x^2+x+\sqrt{2x^2+x+4}=26\);
в) \(\sqrt{\tfrac{x+5}{x}}+4\sqrt{\tfrac{x}{x+5}}=4\); г) \(\sqrt{4x^2+3x+14}-\sqrt{4x^2+3x+3}=1\); д) \(\sqrt{5x^2+3x+1}+\sqrt{5x^2+3x+8}=7\).
Задача 5Решете ирационалните уравнения:
а) \(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}=1\); б) \(x+\sqrt{x-1}=7\); г) \(\sqrt{x^2-6x+9}=x-3\); д) \(\sqrt{2x^2-4x+2}+\sqrt{2x^2+4x+2}=2\sqrt{2}\).
а) \(\sqrt{3x-2}-\sqrt{x+3}=1\); б) \(x+\sqrt{x-1}=7\); г) \(\sqrt{x^2-6x+9}=x-3\); д) \(\sqrt{2x^2-4x+2}+\sqrt{2x^2+4x+2}=2\sqrt{2}\).
Задача 6Решете уравненията:
а) \(\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1\); б) \(\sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{3x+4}\); в) \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2\); г) \(\sqrt{2-x}+\dfrac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2\).
а) \(\sqrt{x+2}-\sqrt{2x-3}=1\); б) \(\sqrt{x-3}+\sqrt{2x+1}=\sqrt{3x+4}\); в) \(\sqrt{3x+1}-\sqrt{x-1}=2\); г) \(\sqrt{2-x}+\dfrac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2\).
Задача 7Дадено е уравнението \(x-\sqrt{9-x^2}=a\), където \(a\) е реален параметър.
а) Решете при \(a=3\).
б) Ако \(a\in(-3,3)\), решете в зависимост от \(a\).
а) Решете при \(a=3\).
б) Ако \(a\in(-3,3)\), решете в зависимост от \(a\).
Задача 8Решете уравненията:
а) \(2x-\sqrt{x^2+9}=3\); б) \(\sqrt{2x-6}+\sqrt{x+4}=5\); в) \(2+x=4\sqrt{x-1}\);
г) \(x+6+\sqrt{x+6}=20\); д) \(\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}=1\).
а) \(2x-\sqrt{x^2+9}=3\); б) \(\sqrt{2x-6}+\sqrt{x+4}=5\); в) \(2+x=4\sqrt{x-1}\);
г) \(x+6+\sqrt{x+6}=20\); д) \(\sqrt{x^2+5x+3}-\sqrt{x^2+5x-2}=1\).
Задача 9Решете ирационалните уравнения:
а) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x+7}\); б) \(\sqrt{5x-1}-\sqrt{x+2}=1\); в) \(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}\);
г) \(\sqrt{2x^2+3x-2}=x+2\); д) \(\sqrt{x+5}-\sqrt{20-x}=1\).
а) \(\sqrt{x+2}+\sqrt{2x+3}=\sqrt{3x+7}\); б) \(\sqrt{5x-1}-\sqrt{x+2}=1\); в) \(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}\);
г) \(\sqrt{2x^2+3x-2}=x+2\); д) \(\sqrt{x+5}-\sqrt{20-x}=1\).
Задача 10Решете ирационалните уравнения:
а) \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1\); б) \(\sqrt{3x+3}-3x=1\); в) \(\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2\); г) \(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}=1\).
а) \(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}=1\); б) \(\sqrt{3x+3}-3x=1\); в) \(\sqrt{22-x}-\sqrt{10-x}=2\); г) \(\sqrt{1-x}+\sqrt{1-x}=1\).
Задача 11Намерете най-малкия корен на уравнението \(\sqrt{\dfrac{x+2}{3x+1}}+\sqrt{\dfrac{3x+1}{x+2}}=\dfrac{5}{2}\).
Задача 12Намерете най-големия корен на уравнението \(\sqrt{\dfrac{x+1}{x}}+2\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}=3\).
Задача 13Решете уравненията:
а) \(\sqrt{10-x^2}+\sqrt{x^2+3}=5\); б) \(\sqrt{x^2+8}=2x+1\); в) \(\sqrt{x-2}=x-4\);
г) \(\sqrt{4+2x-x^2}=x-2\); д) \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=1\).
а) \(\sqrt{10-x^2}+\sqrt{x^2+3}=5\); б) \(\sqrt{x^2+8}=2x+1\); в) \(\sqrt{x-2}=x-4\);
г) \(\sqrt{4+2x-x^2}=x-2\); д) \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=1\).
Задача 14Решете ирационалните уравнения:
б) \(\sqrt{7x+2}+\sqrt{x+2}=6\); в) \(\sqrt{3x^2-1}=x+1\); г) \(2x+1=\sqrt{x^2+2}\);
д) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1\); е) \(\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-6}=6\); ж) \(\sqrt{1+4x-x^2}=x-1\); з) \((x^2-4)\sqrt{x+1}=0\).
б) \(\sqrt{7x+2}+\sqrt{x+2}=6\); в) \(\sqrt{3x^2-1}=x+1\); г) \(2x+1=\sqrt{x^2+2}\);
д) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{2x+3}=1\); е) \(\sqrt{x-1}\cdot\sqrt{x-6}=6\); ж) \(\sqrt{1+4x-x^2}=x-1\); з) \((x^2-4)\sqrt{x+1}=0\).
Задача 15Решете уравненията:
а) \(\sqrt{x-2}+\sqrt{2x-3}=\sqrt{x+2}\); в) \(\sqrt{3x+10}-\sqrt{x+4}=2\); г) \(x^2+3x+\sqrt{x^2+3x+6}=14\);
д) \(\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7\); е) \(3x^2+3x+\sqrt{x^2+x+25}=5\); ж) \(\sqrt{-x^2+5x-4}-\sqrt{x-1}=0\).
а) \(\sqrt{x-2}+\sqrt{2x-3}=\sqrt{x+2}\); в) \(\sqrt{3x+10}-\sqrt{x+4}=2\); г) \(x^2+3x+\sqrt{x^2+3x+6}=14\);
д) \(\sqrt{x^2-3x+5}+x^2=3x+7\); е) \(3x^2+3x+\sqrt{x^2+x+25}=5\); ж) \(\sqrt{-x^2+5x-4}-\sqrt{x-1}=0\).
Задача 16Решете уравненията:
а) \(x\sqrt{3x+1}-2x^2+5\sqrt{3x+1}-10x=0\); б) \(x\sqrt{3x+1}-2x^2+7\sqrt{3x+1}-14x=0\);
в) \(\sqrt{y+2}+\sqrt{2y}=4\); г) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5\); д) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{2x+9}=-2\); е) \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+4}=3\).
а) \(x\sqrt{3x+1}-2x^2+5\sqrt{3x+1}-10x=0\); б) \(x\sqrt{3x+1}-2x^2+7\sqrt{3x+1}-14x=0\);
в) \(\sqrt{y+2}+\sqrt{2y}=4\); г) \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+6}=5\); д) \(\sqrt{x+1}-\sqrt{2x+9}=-2\); е) \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2+4}=3\).
Задача 17Решете ирационалните уравнения:
а) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{x-1}}=14-2x\); б) \(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}\);
в) \(\sqrt{2x-1}=x-1\); г) \(\sqrt{2x^2+2}+2x^2+2=6\); д) \(\sqrt{5+4x-x^2}=2x-1\); е) \(\sqrt{2x^2-x-2}=-x\).
а) \(\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{x-1}}=14-2x\); б) \(\sqrt{3x+4}+\sqrt{x-4}=2\sqrt{x}\);
в) \(\sqrt{2x-1}=x-1\); г) \(\sqrt{2x^2+2}+2x^2+2=6\); д) \(\sqrt{5+4x-x^2}=2x-1\); е) \(\sqrt{2x^2-x-2}=-x\).
Задача 18Решете уравненията:
а) \(\sqrt{4+\sqrt{2x^2-17}}=x+2\); б) \(\dfrac{\sqrt{x^2+x+6}+\sqrt{x^2-x-4}}{\sqrt{x^2+x+6}-\sqrt{x^2-x-4}}=5\);
в) \(\sqrt{2x-1}=2+\sqrt{x-4}\); г) \(2\sqrt{5+3x}-\sqrt{2x+5}=\sqrt{5}\);
д) \(\dfrac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{x-\sqrt{1+x^2}}=x-3\); е) \(\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x-1}=\sqrt{x^2-1}\).
а) \(\sqrt{4+\sqrt{2x^2-17}}=x+2\); б) \(\dfrac{\sqrt{x^2+x+6}+\sqrt{x^2-x-4}}{\sqrt{x^2+x+6}-\sqrt{x^2-x-4}}=5\);
в) \(\sqrt{2x-1}=2+\sqrt{x-4}\); г) \(2\sqrt{5+3x}-\sqrt{2x+5}=\sqrt{5}\);
д) \(\dfrac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{x}{x-\sqrt{1+x^2}}=x-3\); е) \(\sqrt{4x^2+9x+5}-\sqrt{2x^2+x-1}=\sqrt{x^2-1}\).
Онлайн тест
15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки
Тест: Ирационални уравнения
Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.
Видео уроци
Още обяснени и решени задачи по ирационални уравнения:
Видео урок 1 — Ирационални уравнения. Решени задачи
Видео урок 2 — Ирационални уравнения. Решени задачи
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
🎓 Подготовка за изпити
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
📚 Текущо обучение и студенти
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆
гл.ас. д-р Атанас Илчев◆
Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆
Подготовка за НВО, ДЗИ, кандидатстудентски изпити◆
Коментари
Публикуване на коментар