Числови множества
Числови множества
От естествените до реалните числа
Концепцията за число започва да се формира още от дълбока древност, бидейки предмет на обсъждане на философи и мислители. Историята на числата е едновременно история на практическата необходимост и на интелектуалното любопитство — всяко разширение на числовото множество е следвало конкретна нужда: да се брои, да се дели, да се измерва, да се описват дългове и загуби, да се намерят страните на геометрични фигури.
Първо, разбира се, изучавани и описвани били естествените числа — числата, с които броим: \(1, 2, 3, \ldots\) Те получили названието естествени, защото в известен философски смисъл имат естествен произход, независещ от човека. Никога не ще разберем как сме се сблъскали с тях за пръв път — дали гениален ум от древността ги е открил или измислил — но остава общоприето, че естествените числа просто са се появили пред нас.
Естествените числа са затворени относно събирането и умножението — сборът и произведението на две естествени числа отново е естествено. Това обаче не важи за изваждането и деленето: \(3 - 5\) и \(1 \div 3\) не дават естествени числа, което мотивира въвеждането на по-широки числови множества.
В зората на математиката решаването на линейни уравнения не винаги давало положителен резултат. Уравненията, при които решението е отрицателно, дълго се смятали за абсурдни. За пръв път отрицателните числа били използвани систематично за намиране на решенията на системи линейни уравнения в Древен Китай, около III в. пр. Хр. Постепенно нуждата от тях се налагала в търговията (за отбелязване на дългове) и счетоводството.
Символът \(\mathbb{Z}\) идва от немската дума Zahlen (числа). Целите числа са затворени относно събирането, изваждането и умножението, но не и относно деленето — \(5 \div 2\) не е цяло число.
Когато извършваме деление на две естествени числа, получаваме рационално число. Рационалните числа се записват като обикновени дроби \(\dfrac{p}{q}\) (числител \(p\) и знаменател \(q \neq 0\)), или еквивалентно като крайни или периодични десетични дроби. Ако \(|p| < |q|\) — дробта е правилна, ако \(|p| > |q|\) — неправилна.
Рационалните числа са познати на човечеството от дълбока древност — египтяните и вавилонците ги използвали за измерване на дължини и тегло хиляди години преди Хр. Символът \(\mathbb{Q}\) идва от латинската дума quotiens (частно). Множеството на положителните рационални числа се означава с \(\mathbb{Q}^+\).
Числа, които не могат да бъдат изразени като отношение на две цели числа, се наричат ирационални. Например числото \(2{,}5\) може да се представи като \(\frac{5}{2}\) и е рационално, докато \(\pi \approx 3{,}14159\ldots\) не може да се представи като дроб и е ирационално.
Най-ранната известна употреба на ирационални числа е в индийските Сулбасутри (около VIII–V в. пр. Хр.). За извършването на определени ритуали се изисквало да се построи огнен олтар с площ два пъти по-голяма от площта на даден квадратен олтар — задача, водеща до намирането на стойността на \(\sqrt{2}\) (известно и като число на Питагор). Индийските брамини имали нужда и от стойността на \(\pi\) за изчисляване на обиколки на кръгли олтари. Така те имплицитно приели концепцията за ирационалните числа.
В Древна Гърция откритието, че \(\sqrt{2}\) е ирационално, предизвикало истинско смущение сред питагорейците, чието кредо гласяло, че „всичко е число" (имайки предвид рационалните числа). Легендата разказва, че Хипас от Метапонт бил удавен в морето, след като разкрил това смущаващо откритие.
Обединението на рационалните и ирационалните числа формира реалните числа. Всяка точка от числовата ос съответства на точно едно реално число и обратно — тази фундаментална връзка прави реалните числа изключително мощен инструмент за описание на непрекъснати процеси.
Строгата конструкция на реалните числа е дело на XIX в. — Ричард Дедекинд и Георг Кантор предложили различни, но еквивалентни подходи (т.нар. разрези на Дедекинд и редици на Кошѝ). Преди това реалните числа се използвали неформално — геометрично като точки от правата — в продължение на хиляди години.
Числовите множества са наредени по включване. Всяко естествено число е цяло, всяко цяло е рационално, а всяко рационално е реално. Ирационалните числа попадат в реалните, но не в рационалните:
Диаграма на включванията: \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}\) и \(\mathbb{I} \subset \mathbb{R}\), като \(\mathbb{Q} \cap \mathbb{I} = \emptyset\)
| Символ | Название | Примери | Историческа бележка |
|---|---|---|---|
| \(\mathbb{N}\) | Естествени числа | \(1, 2, 3, 100\) | Известни от праисторията; използвани за броене |
| \(\mathbb{Z}\) | Цели числа | \(-5, 0, 7\) | Систематично въведени в Древен Китай (ок. III в. пр. Хр.) |
| \(\mathbb{Q}\) | Рационални числа | \(\frac{1}{3}, -2{,}5, 0{,}\overline{6}\) | Използвани от египтяни и вавилонци за измерване |
| \(\mathbb{I}\) | Ирационални числа | \(\sqrt{2}, \pi, e\) | Открити имплицитно в индийските Сулбасутри; доказани от гръцките математици |
| \(\mathbb{R}\) | Реални числа | Всички точки от числовата ос | Строго конструирани от Дедекинд и Кантор (XIX в.) |
Запишете урок
Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна
- ›НВО по математика след 7 клас
- ›НВО по математика след 10 клас
- ›Кандидатстудентски изпити по математика
- ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)
- ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
- ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.
Харесва ли ви съдържанието?
Ако тази статия ви е била полезна, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.
Коментари
Публикуване на коментар