Пермутации, вариации и комбинации 8 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 8 клас › Комбинаторика › Пермутации, вариации и комбинации

Пермутации, вариации и комбинации
Без повторение

Пълен урок с определения, формули, решени задачи, самостоятелна работа, 2 видео урока и интерактивен тест

8 класКомбинаторика 10 разработени задачи15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Пермутации, вариации и комбинации без повторение — формули, решени задачи и тест по комбинаторика

Преди да преминем към решаването на задачи, нека да припомним някои важни факти, които ще използваме.

Всички обекти на едно крайно множество могат да се избират и подреждат по определени правила и условия. Клонът на математиката, занимаващ се с въпросите за определянето на броя на тези избори, се нарича комбинаторика.

Определения и основни правила

Определение 1: Пермутации от \(n\) елемента без повторение се наричат всички подреждания на тези \(n\) елемента, като всеки участва само веднъж, а мястото му е от значение.

Броят на всички пермутации: \[P_n=n(n-1)(n-2)\ldots1=n!.\]

Определение 2: Вариации от \(n\) елемента от \(k\)-ти клас (\(k<n\)) без повторения — съединения с \(k\) различни елемента от дадените \(n\), които се различават по елементите или по реда им.

Броят на вариациите: \[V^k_n=n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1).\]

Пермутациите от \(n\) елемента са вариации от \(n\) елемента от \(n\)-ти клас.

Определение 3: Комбинации без повторения от \(n\) елемента от \(k\)-ти клас — подмножества с \(k\) различни елемента, при които редът не е от значение.

Броят на комбинациите: \[C^k_n=\frac{n(n-1)\ldots(n-k+1)}{k!}=\frac{V^k_n}{P_k},\quad k\leq n.\]

Умножение на възможности: Ако \(a\) се избира по \(n\) начина, а при всеки избор на \(a\) елементът \(b\) — по \(m\) начина, тогава двойката \((a;b)\) се избира по \(n\cdot m\) начина. Правилото се обобщава за повече обекти.

Събиране на възможности: Ако \(a\) се избира по \(n\) начина, а \(b\) — по \(m\) различни от тях, то \(a\) или \(b\) се избират по \(n+m\) начина.

Произведението \(1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\) означаваме \(n!\). Пример: \(5!=120\); \(10!=3\,628\,800\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

По колко различни начина могат да се подредят 8 книги на библиотечен рафт?

▼

Решение \[P_8=8!=1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8=\mathbf{40\,320}\ \text{начина}.\]

2

Петима приятели отишли на гости у Иван. По колко начина могат да седнат на пет различни стола?

▼

Решение \[P_5=5!=\mathbf{120}\ \text{начина}.\]

3

Телефонен номер от 6 различни цифри. Ако номерът започва с \(032\), колко са възможностите за останалите 3 цифри?

▼

Решение Вече използвани: \(\{0,2,3\}\). Останали: \(\{1,4,5,6,7,8,9\}\) — 7 цифри. \[V^3_7=7\cdot6\cdot5=\mathbf{210}.\]

4

Ученици от летен лагер могат да посещават 10 мероприятия. По колко начина може да се направи програма за ден с 5 от тях?

▼

Решение \[V^5_{10}=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6=\mathbf{30\,240}\ \text{начина}.\]

5

В кутия — 20 топчета с различни цветове. По колко начина могат да се изберат 4?

▼

Решение \[C^4_{20}=\frac{20\cdot19\cdot18\cdot17}{1\cdot2\cdot3\cdot4}=\mathbf{4845}\ \text{начина}.\]

6

12 различни точки в равнината. Колко отсечки могат да се построят с краища тези точки?

▼

Решение \[C^2_{12}=\frac{12\cdot11}{2}=\mathbf{66}.\]

7

Паролата на сейф е 8 различни цифри — първите 4 четни, останалите нечетни. Максимален брой опити?

▼

Решение Четни: \(\{0,2,4,6,8\}\) — 5 бр.; нечетни: \(\{1,3,5,7,9\}\) — 5 бр. Редът има значение → вариации: \[V^4_5\cdot V^4_5=(5\cdot4\cdot3\cdot2)^2=120\cdot120=\mathbf{14\,400}.\]

8

Намерете \(x\), ако \(V^{2}_x=2x\).

▼

Решение \[x(x-1)=2x \;\Rightarrow\; x^2-3x=0 \;\Rightarrow\; x(x-3)=0.\] Тъй като \(x>0\): \(\mathbf{x=3}\).

9

Колко различни комплекта от 4 молива и 3 химикалки могат да се направят от 9 различни молива и 8 различни химикалки?

▼

Решение \[C^4_9\cdot C^3_8=126\cdot56=\mathbf{7056}.\]

10

Кутия с 9 бели, 6 червени и 8 зелени топки. По колко начина се изтеглят 3 бели, 4 зелени и 3 червени?

▼

Решение \[C^3_9\cdot C^4_8\cdot C^3_6=84\cdot70\cdot20=\mathbf{117\,600}.\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Колко четирицифрени числа съдържат цифрите \(9,8,7,6\) точно по веднъж?

Задача 2Колко петцифрени числа с цифри от \(\{3,4,5,6,7,8,9\}\) без повторения?

Задача 3Колко фиша могат да се попълнят при „6 от 49" на БСТ?

Задача 4От 20 спортисти се избират 6 за щафетно бягане. По колко начина?

Задача 5По колко начина се избират 5 войника за дежурство от 30?

Задача 6Рафт с 10 книги (4 от един автор). По колко начина се подреждат, ако 4-те: а) са заедно; б) не са заедно?

Задача 78 разноцветни топчета в редица, 2 предварително определени: а) едно до друго; б) не едно до друго — по колко начина?

Задача 84 момчета и 5 момичета се подреждат за снимка (момчетата прави, момичетата седнали). По колко начина?

Задача 9Колко четни четирицифрени числа от цифрите \(2,3,5,6,8,9\)?

Задача 10Парола от 7 различни цифри — 3 четни, 4 нечетни. Максимален брой опити?

Задача 11Купа с 9 бели и 13 червени топки. По колко начина се изтеглят 4 бели и 2 червени?

Задача 12Изпитване с 15 алг., 8 геом., 7 комб. задачи. Варианти от 25 алг., 18 геом., 5 комб.?

Задача 13Намерете \(x\): а) \(V^4_x=6\cdot V^3_x\); б) \(C^2_x=\dfrac{P_6}{P_2\cdot P_5}\); в) \(C^2_x+C^2_{x+1}=36\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Пермутации, вариации и комбинации

Изберете верния отговор, след което натиснете КРАЙ.

1На колко е равна пермутацията \(P_6\)?

\(120\) \(720\) \(360\) \(30\)

2Коя е вярната формула за вариации без повторение?

\(V_n^k=\dfrac{n!}{k!}\) \(V_n^k=n+k\) \(V_n^k=n(n-1)\ldots(n-k+1)\) \(V_n^k=\dfrac{k!}{n!}\)

3На колко е равна комбинацията \(C_8^3\)?

\(56\) \(24\) \(336\) \(64\)

4Кога използваме пермутации?

Когато редът няма значение Когато подреждаме всички елементи и редът има значение Само при четни числа Само при задачи с точки в равнината

5На колко е равна вариацията \(V_7^3\)?

\(35\) \(210\) \(343\) \(21\)

6На колко е равна комбинацията \(C_{10}^2\)?

\(20\) \(45\) \(90\) \(100\)

7Колко четирицифрени числа с различни цифри се образуват с \(1,2,3,9\)?

\(12\) \(16\) \(24\) \(36\)

8Колко четирицифрени числа с различни цифри се образуват с \(0,1,3,7\)?

\(18\) \(24\) \(12\) \(16\)

9Парола от 8 различни цифри — 4 четни, 4 нечетни. Брой всички възможности?

\(1200\) \(2400\) \(7200\) \(14400\)

10Кое е вярно за пермутациите?

\(P_n=n!\) \(P_n=n+k\) \(P_n=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) \(P_n=C_n^k\)

11При комбинациите без повторение:

редът винаги има значение използваме всички елементи редът не е от значение винаги \(k=n\)

12На колко е равна комбинацията \(C_9^4\)?

\(84\) \(126\) \(56\) \(36\)

13Колко отсечки се определят с 12 различни точки в равнината?

\(12\) \(24\) \(48\) \(66\)

14Ако \(V_x^2=2x\), намерете \(x\).

\(3\) \(2\) \(4\) \(6\)

15На колко е равна вариацията \(V_{10}^5\)?

\(3780\) \(5040\) \(30240\) \(15120\)

---

Видео уроци

Видео урок 1 — Пермутации, вариации и комбинации

Видео урок 2 — Допълнителни задачи по комбинаторика

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, 2018
5. 5.Текуща подготовка за НВО 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало ЗИП 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆