Квадрат 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Квадрат

Квадрат
Дефиниции, свойства и задачи

Пълен урок с определения, свойства, разработени задачи, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас 2 определения 3 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Квадрат — определения, свойства и решени задачи за 7 клас

Определения

Определение 1: Правоъгълник с две равни съседни страни се нарича квадрат.

Определение 2: Ромб с прав ъгъл се нарича квадрат.

Свойства на квадрата

Квадратът притежава всички свойства на:
• Успоредника — срещуположните страни са равни и успоредни, диагоналите взаимно се разполовяват;
• Правоъгълника — всички ъгли са прави, диагоналите са равни;
• Ромба — всички страни са равни, диагоналите са взаимно перпендикулярни и са ъглополовящи.

Формули: За квадрат с страна \(a\) и диагонал \(d\):
Периметър: \(P=4a\);  Лице: \(S=a^2\);  Диагонал: \(d=a\sqrt{2}\);  \(S=\dfrac{d^2}{2}\).

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

В квадрата \(ABCD\) диагоналите \(AC\) и \(BD\) се пресичат в \(O\). Разстоянието от \(O\) до \(AB\) е \(7\) cm. Намерете периметъра и лицето на квадрата.

▼

Решение

1

Разстоянието от \(O\) до \(AB\) е \(OE=7\) cm

2

Точката \(O\) е симетричен център на квадрата и се намира на равни разстояния от страните: \(OE=\dfrac{AB}{2}\)

3

\(AB=2\times7=14\) cm

4

Периметър: \(P=4\times14=\mathbf{56}\) cm

5

Лице: \(S=14^2=\mathbf{196}\) cm²

2

Докажете, че правоъгълник с перпендикулярни диагонали е квадрат.

▼

Решение Нека \(ABCD\) е правоъгълник с \(AC\perp BD\).

1

В правоъгълника диагоналите са равни и се разполовяват: \(AO=BO=CO=DO\)

2

\(AC\perp BD\) → четирите триъгълника \(AOB\), \(BOC\), \(COD\), \(DOA\) са равнобедрени правоъгълни с равни хипотенузи

3

От еднаквостта на триъгълниците: \(AB=BC=CD=DA\)

4

Правоъгълник с равни страни е квадрат. ■

3

Точката \(M\) е произволна точка от страната \(BC\) на квадрата \(ABCD\). Ъглополовящата на \(\sphericalangle MAD\) пресича страната \(DC\) в \(P\). Докажете, че \(AM=DP+MB\).

▼

Решение Построяваме \(BK=DP\) върху \(BC\) (\(K\in BC\), \(K\) между \(B\) и \(M\)).

1

Разглеждаме \(\triangle APD\) и \(\triangle AKB\): \(AD=AB\) (страна на квадрата), \(DP=BK\) (по построение), \(\sphericalangle ADP=\sphericalangle ABK=90°\) → по I признак \(\triangle APD\cong\triangle AKB\)

2

От еднаквостта: \(\sphericalangle DAP=\sphericalangle BAK\) → \(\sphericalangle KAM=\sphericalangle DAP=\sphericalangle DAM/2\) (тъй като \(AP\) е ъглополовяща) → \(AK\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle BAM\), т.е. \(\sphericalangle BAK=\sphericalangle MAK=45°-\sphericalangle BAM/2\)

3

Следва \(\sphericalangle KAM=\sphericalangle AKM\) → \(\triangle AKM\) е равнобедрен → \(AM=KM=KB+BM=DP+MB\). ■

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Точките \(E\) и \(F\) от диагонала \(AC\) на квадрата \(ABCD\) са такива, че \(AE=CF=AB\). Докажете, че \(BEDF\) е ромб и намерете ъглите му.

Задача 2В квадрата \(ABCD\) точката \(E\in AB\). Перпендикулярът от \(C\) към \(CE\) пресича правата \(AD\) в \(F\). Ъглополовящата на \(\sphericalangle ECF\) пресича \(AB\) в \(M\). Докажете, че \(MC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle FME\).

Задача 3Външно за квадрата \(ABCD\) са построени равностранните \(\triangle ABM\) и \(\triangle BCN\). Намерете ъглите на \(\triangle MND\).

Задача 4В квадрата \(ABCD\) е построен лъч от \(B\), минаващ вътрешно и образуващ ъгъл \(65°\) с \(BC\). Ако \(Q\) е петата на перпендикуляра от \(D\) към лъча, намерете \(\sphericalangle DCQ\).

Задача 5В квадрата \(ABCD\) е вписан равностранният \(\triangle APQ\), като \(P\in BC\) и \(Q\in DC\). Ако средата на \(AQ\) е \(F\) и \(DF=2\) cm, намерете периметъра на \(\triangle APQ\).

Задача 6Точките \(E\) и \(F\) са от диагонала \(AC\) на квадрата \(ABCD\) с \(AE=CF\). Докажете, че \(BFDE\) е ромб.

Задача 7Точките \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\) са съответно върху страните \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\) на квадрата \(ABCD\). Докажете, че \(MP\perp NQ\) тогава и само тогава, когато \(AM+CP=BN+DQ\).

Задача 8Повторение на задача 1 с по-детайлно доказателство: \(AE=CF=AB\), \(BEDF\) е ромб — намерете точните градусни мерки на ъглите.

Задача 9В квадрата \(ABCD\) точките \(M\), \(N\), \(P\) и \(Q\) са съответно от страните \(AB\), \(BC\), \(CD\) и \(AD\) така, че \(MP\perp NQ\). Докажете, че \(MP=NQ\).

Задача 10През върха \(A\) на квадрата \(ABCD\) е построена права, пресичаща \(BC\) в \(M\). Ъглополовящата на \(\sphericalangle MAD\) пресича \(DC\) в \(P\). Докажете, че \(AP=DP+MB\).

Задача 11В квадрата \(ABCD\) точката \(E\in AB\). Перпендикулярът от \(C\) към \(CE\) пресича правата \(AD\) в \(F\). Ъглополовящата на \(\sphericalangle ECF\) пресича \(AB\) в \(M\). Докажете, че \(MC\) е ъглополовяща на \(\sphericalangle FME\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Квадрат

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Квадрат е:

ромб с равни диагонали правоъгълник с две равни съседни страни успоредник с равни диагонали трапец с четири равни страни

2Квадратът може да се дефинира и като:

правоъгълник с равни диагонали ромб с прав ъгъл успоредник с прав ъгъл ромб с равни диагонали

3Диагоналите на квадрата са:

само равни равни, взаимно перпендикулярни, разполовяват се и са ъглополовящи само перпендикулярни неравни и перпендикулярни

4В квадрат с \(OE=7\) cm (разстояние от центъра до страна), страната е:

\(7\) cm \(14\) cm \(28\) cm \(3{,}5\) cm

5Периметърът на квадрата с страна \(14\) cm е:

\(28\) cm \(56\) cm \(196\) cm \(14\) cm

6Лицето на квадрата с страна \(14\) cm е:

\(56\) cm² \(196\) cm² \(28\) cm² \(98\) cm²

7Правоъгълник с взаимно перпендикулярни диагонали е:

ромб квадрат трапец обикновен правоъгълник

8Диагоналът на квадрат с страна \(a\) е:

\(a\) \(a\sqrt{2}\) \(2a\) \(a^2\)

9Лицето на квадрат с диагонал \(d\) се изразява като:

\(S=d^2\) \(S=\dfrac{d^2}{2}\) \(S=2d^2\) \(S=4d\)

10Разстоянието от центъра \(O\) на квадрата до страна \(AB\) е равно на:

\(AB\) \(\dfrac{AB}{2}\) \(AB\sqrt{2}\) \(2\cdot AB\)

11Всички ъгли на квадрата са:

\(45°\) \(90°\) \(60°\) различни

12Квадратът е едновременно:

само правоъгълник правоъгълник и ромб само ромб трапец и ромб

13Диагоналите на квадрата делят всеки ъгъл на:

два ъгъла по \(30°\) два ъгъла по \(45°\) два ъгъла по \(60°\) два неравни ъгъла

14В квадрат с диагонал \(d\), разстоянието от центъра \(O\) до всеки връх е:

\(d\) \(\dfrac{d}{2}\) \(d\sqrt{2}\) \(\dfrac{d}{4}\)

15Диагоналите на квадрата разделят фигурата на колко еднакви правоъгълни равнобедрени триъгълника?

2 4 6 8

---

Видео урок

Видео урок — Квадрат

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆