Неравенства между страни и ъгли в триъгълник. Неравенство на триъгълника 7 клас

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › 7 клас › Геометрия › Неравенства в триъгълник

Неравенства в триъгълник
Теореми и задачи

Пълен урок с теореми, следствия, разработени задачи, самостоятелна работа и интерактивен тест

7 клас 4 теореми 3 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Неравенства между страни и ъгли в триъгълник — теореми, следствия и задачи за 7 клас

Теория

Теорема 1: В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.

Теорема 2: В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

Следствие 1: В правоъгълния триъгълник хипотенузата е по-голяма от всеки катет.

Следствие 2: Перпендикулярът от точка към права е по-малък от всяка наклонена от същата точка.

Теорема 3 (Триъгълно неравенство): В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две.

Следствие 3: Всяка страна е по-голяма от разликата на другите две страни.

Теорема 4: Ако всяка от три отсечки е по-малка от сбора на другите две, то съществува триъгълник с тези страни.

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Върху продължението на основата \(AB\) на равнобедрения \(\triangle ABC\) е взета точка \(M\) такава, че \(B\) е между \(A\) и \(M\). Докажете, че \(AC<CM\).

▼

Решение Нека \(D\) е точка от продължението на \(AB\) отвъд \(A\). Означаваме \(\sphericalangle BAC=\sphericalangle ABC=\alpha\), \(\sphericalangle ACB=\gamma\), \(\sphericalangle BMC=\beta\) и \(\sphericalangle BCM=\delta\).

Тъй като \(\sphericalangle DAC\) и \(\sphericalangle MBC\) са външни ъгли на \(\triangle ABC\): \[\sphericalangle DAC=\sphericalangle MBC=\alpha+\gamma.\] Но \(\sphericalangle DAC\) е и външен ъгъл на \(\triangle AMC\): \[\sphericalangle DAC=\beta+\gamma+\delta.\] Следователно \(\alpha+\gamma=\beta+\gamma+\delta\), откъдето \(\alpha=\beta+\delta\), т.е. \(\alpha>\beta\). По Теорема 2: \(CM>AC\). ■

2

Даден е триъгълник със страни \(a\), \(b\), \(c\), където \(a\) е най-голямата. Докажете, че отсечките \(2a\), \(b\) и \(c\) не могат да бъдат страни на триъгълник.

▼

Решение По Теорема 4, за да съществува триъгълник с дадени три страни, всяка трябва да е по-малка от сбора на другите две. За страни \(2a\), \(b\), \(c\) е нужно по-специално: \(2a<b+c\).

Тъй като \(a\) е най-голяма: \(a>b\) и \(a>c\). Събираме: \[a+a>b+c \;\Rightarrow\; 2a>b+c.\] Това е в противоречие с необходимото условие \(2a<b+c\). Следователно \(2a\), \(b\), \(c\) не могат да са страни на триъгълник. ■

3

Докажете, че сборът от трите височини на триъгълника е по-малък от периметъра му.

▼

Решение Означаваме \(BC=a\), \(AC=b\), \(AB=c\) и съответните им височини \(h_a\), \(h_b\), \(h_c\).

В правоъгълния \(\triangle AEC\) хипотенузата е \(AC=b\). По Следствие 1: \(b>h_c\).
В правоъгълния \(\triangle BFC\) хипотенузата е \(BC=a\). По Следствие 1: \(a>h_b\).
В правоъгълния \(\triangle ABD\) хипотенузата е \(AB=c\). По Следствие 1: \(c>h_a\).

Събираме трите неравенства: \[a+b+c>h_a+h_b+h_c.\ \blacksquare\]

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1В \(\triangle ABC\) \(CH\) е височина, а \(N\) е произволна точка от \(AH\). Докажете, че \(AC>NC\).

Задача 2Височините от \(A\) и \(B\) на остроъгълния \(\triangle ABC\) се пресичат в \(O\). Докажете, че \(AB>AO\) и \(AB>BO\).

Задача 3В остроъгълния \(\triangle ABC\) \(\alpha=70°\) и \(\beta<\gamma\). Докажете, че \(\beta>20°\) и \(\beta<55°\).

Задача 4Ако \(AC>BC\) и \(CL\) е ъглополовяща в \(\triangle ABC\), докажете, че \(\sphericalangle ALC>90°\).

Задача 5Докажете, че ъглите при основата на равнобедрен триъгълник са остри.

Задача 6В \(\triangle ABC\) ъглите при \(A\) и \(B\) са \(\alpha\) и \(\beta\). Определете положението на петата \(H\) на височината от \(C\) в зависимост от \(\alpha\) и \(\beta\).

Задача 7Две от страните на триъгълник са \(1\) cm и \(3\) cm. Третата страна е цяло число сантиметри. Намерете периметъра на триъгълника.

Задача 8Правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle A=90°\)). Върху \(AB\) точките \(P\) и \(Q\): \(\sphericalangle PCQ=\sphericalangle QCB\). Коя от \(PQ\) и \(QB\) е по-голяма?

Задача 9Правоъгълен \(\triangle ABC\) (\(\sphericalangle A=90°\)). Върху \(AB\) точките \(P,Q,T\): \(\sphericalangle PCQ=\sphericalangle QCT=\sphericalangle TCB\). Коя от \(PQ\), \(QT\), \(TB\) е най-голяма и коя е най-малка?

Задача 10Докажете, че ако ъглополовяща на триъгълник разполовява периметъра му, то триъгълникът е равнобедрен.

Задача 11В \(\triangle ABC\) \(AC>BC\), \(CM\) е медиана, \(CL\) е ъглополовяща, \(CH\) е височина. Докажете, че \(L\) е между \(M\) и \(H\).

Задача 12В \(\triangle ABC\) \(AC>BC\), \(CM\) е медиана, \(CL\) е ъглополовяща. Докажете, че \(CM>CL\).

Задача 13Докажете, че разстоянието от произволна точка \(P\) от основата \(AB\) на равнобедрения \(\triangle ABC\) до върха \(C\) е по-малко от бедрото \(AC\).

Задача 14Докажете, че ако разстоянието от връх до произволна точка от срещулежащата страна е по-малко от всяка от другите две страни, то триъгълникът е равнобедрен.

Задача 15В \(\triangle ABC\) точка \(P\) е вътрешна. Докажете, че \(\sphericalangle APB>\sphericalangle ACB\).

Задача 16Докажете, че ако срещуположните ъгли на четириъгълник са равни, то срещуположните страни също са равни.

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Неравенства в триъгълник

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1В триъгълник срещу по-голяма страна лежи:

по-малък ъгъл по-голям ъгъл прав ъгъл тъп ъгъл

2В правоъгълен триъгълник хипотенузата е:

равна на сбора на катетите по-голяма от всеки катет по-малка от катетите равна на по-дългия катет

3Триъгълното неравенство гласи, че всяка страна е:

по-голяма от сбора на другите две по-малка от сбора на другите две равна на разликата на другите две по-малка от разликата на другите две

4В задача 1, от \(\alpha=\beta+\delta\) следва, че \(\alpha\) и \(\beta\) са в отношение:

\(\alpha=\beta\) \(\alpha<\beta\) \(\alpha>\beta\) не може да се определи

5В задача 1, от \(\alpha>\beta\) и Теорема 2 следва:

\(AC>CM\) \(CM>AC\) \(AC=CM\) \(AB>CM\)

6В задача 2, защо \(2a\), \(b\), \(c\) не могат да са страни на триъгълник?

защото \(2a=b+c\) защото \(2a>b+c\) защото \(2a<b\) защото \(b<c\)

7В задача 3, защо \(b>h_c\)?

защото \(b\) е катет защото \(b\) е хипотенуза в \(\triangle AEC\) и е по-голяма от катета \(h_c\) защото триъгълното неравенство защото \(h_c\) е страна на \(\triangle ABC\)

8Всяка страна на триъгълник е по-голяма от:

сбора на другите две разликата на другите две страни периметъра средната страна

9Дадени са страни \(1\), \(3\) и \(x\) (цяло число). Кое е единственото допустимо \(x\)?

\(x=1\) \(x=2\) \(x=3\) \(x=4\)

10В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи:

по-малка страна по-голяма страна страна с единична дължина равна страна

11Перпендикулярът от точка до права е по-малък от:

разстоянието до средата на правата всяка наклонена спусната от същата точка хипотенузата дължината на правата

12Периметърът на триъгълника е по-голям от сбора на трите височини. Основата на тезата е:

триъгълното неравенство хипотенузата е по-голяма от всеки катет (Следствие 1) Теорема 2 свойство на равнобедрените триъгълници

13Ако \(a<b+c\), \(b<a+c\) и \(c<a+b\), тогава:

\(a\), \(b\), \(c\) не могат да са страни на триъгълник съществува триъгълник със страни \(a\), \(b\), \(c\) триъгълникът е правоъгълен \(a=b=c\)

14В задача 1, \(\sphericalangle DAC\) е външен ъгъл на \(\triangle ABC\) и е равен на:

\(\alpha\) \(\alpha+\gamma\) \(\gamma\) \(\beta+\delta\)

15Задача 7: страните са \(1\), \(3\) и цяло число \(x\). Периметърът е:

\(5\) \(6\) \(7\) \(8\)

---

Видео урок

Видео урок — Неравенства в триъгълник

---

Използвана литература

1. 1.Сборник за 7 клас, П. Рангелова и др., Коала Прес, Пловдив, 2020
2. 2.Тест Математика 7 клас, Д. Гълъбова и др., Веди, София, 2020
3. 3.Сборник задачи по математика за 7 клас, М. Лилкова и др., Просвета, София
4. 4.Книга за ученика за 7 клас, З. Паскалева и др., Архимед, София, 2018
5. 5.Текуща подготовка по математика за НВО в 7 клас, Б. Савова и др., Просвета, 2020
6. 6.Нови пробни изпити за НВО след 7 клас, Регалия 6, 2015
7. 7.Тестове по математика, Л. Любенов, Ц. Байчева, изд. DOMINO, 2017
8. 8.Нови тематични тестове за 7 клас, М. Рангелова, Коала Прес, 2008
9. 9.Учебно помагало за ЗИП по математика за 7 клас, И. Тонов, Т. Тонова, Просвета, 2011
10. 10.Тестове по математика за 7 клас, Л. Дилкина, К. Бекриев, Коала Прес, 2014
11. 11.Сборник контролни работи и тестове, П. Рангелова, Коала Прес, 2009
12. 12.Сп. Математика; Сп. Математика+

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆