Множества. Основни понятия - обединение, сечение, разлика и допълнение на множества

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆

Математика › Теория на множествата

Теория на множествата
Определения, операции и задачи

Пълен урок с определения, аксиоми, операции с множества, доказателства и интерактивен тест

Теория на множествата 4 разработени задачи 15 въпроса тест Д-р Атанас Илчев

Множество, подмножество, обединение, сечение, разлика, закони на Де Морган — въведение в теорията на множествата

Основоположник на теорията на множествата е Георг Кантор (1845–1918) (повече за историята виж тук). Понятието множество е фундаментално и не се определя чрез други понятия, а се описва интуитивно. Най-общо казано, множество е всяка съвкупност от определени и различни един от друг обекти, които човек може да приеме като едно цяло.

Примери: нашата азбука (30 букви); учениците в класната стая; молекулите в човешкото тяло; звездите в Млечния път. Едно множество е добре дефинирано, ако за всеки елемент \(x\) е ясно дали \(x\) принадлежи или не принадлежи към него.

Определения и аксиоми

Определение 1: Множество от множества ще наричаме фамилия от множества.

Множествата бележим с главни латински букви \(A, B, C, \ldots\), а елементите — с малки букви \(a, b, c, \ldots, x, y, z\) или с малки букви от гръцката азбука \(\alpha, \beta, \gamma, \ldots\)

Определение 2: \(x \in A\) (четем „\(x\) принадлежи на \(A\)") — елементът \(x\) принадлежи на множеството \(A\). \(x \notin A\) — елементът \(x\) не принадлежи на \(A\).

Например за \(A=\{1,2,3,4,5\}\): \(1\in A\), \(4\in A\), но \(0\notin A\), \(10\notin A\).

Множествата могат да бъдат зададени чрез изброяване или чрез свойство: \(A=\{x:f(x)\}\). Например „множеството \(B\) от корените на \(x^2-5x+6=0\)" се записва \(B=\{x:x^2-5x+6=0\}=\{2,3\}\).

Познатите числови множества:

\(\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,\ldots\}\) — естествени числа
\(\mathbb{Z}=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\) — цели числа
\(\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}:p\in\mathbb{Z},\, q\in\mathbb{Z},\, q\neq 0\right\}\) — рационални числа
\(\mathbb{I}\) — ирационални числа;  \(\mathbb{R}\) — реални числа;  \(\mathbb{C}\) — комплексни числа

Определение 3: Броят на елементите на множеството \(A\) означаваме с \(|A|\) и го наричаме мощност на \(A\). Например: \(B=\{2,4,6,8,10\} \Rightarrow |B|=5\).

Определение 4: Множеството, което не съдържа нито един елемент, се нарича празно множество и се означава с \(\emptyset\).

Аксиома за обема: Ако за всяко \(x\) е изпълнено \(x\in A \iff x\in B\), то \(A=B\).

Аксиома за отделянето (подмножество): Ако \(B=\{x:P(x)=\text{истина},\, x\in A\}\), то \(B\) е множество и \(B\) се нарича подмножество на \(A\).
Записваме \(B\subseteq A\). Ако \(A\neq B\) — пишем \(B\subset A\).

\(B\subset A\)

Аксиома за степента: Съвкупността от всички подмножества на множеството \(A\) е множество.

Операции с множества

Определение 5 — Обединение: \[A\cup B=\{x:x\in A\ \text{или}\ x\in B\}.\] Пример: \(A=\{1,2,3,4,5\}\), \(B=\{3,4,5,6,7,8,9\}\) \(\Rightarrow\) \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).

Определение 6 — Сечение: \[A\cap B=\{x:x\in A\ \text{и}\ x\in B\}.\] Пример: \(A=\{a,b,c,d,e\}\), \(B=\{c,d,e,f,g\}\) \(\Rightarrow\) \(A\cap B=\{c,d,e\}\).

Определение 7 — Разлика: \[A\setminus B=\{x:x\in A\ \text{и}\ x\notin B\}.\] Пример: \(A=\{a,b,c,d,e\}\), \(B=\{c,d,e\}\) \(\Rightarrow\) \(A\setminus B=\{a,b\}\).
Следствие: ако \(A\subseteq B\), то \(A\setminus B=\emptyset\); ако \(A\cap B=\emptyset\), то \(A\setminus B=A\).

Определение 8 — Симетрична разлика: \[A\triangle B=(A\setminus B)\cup(B\setminus A).\]

Определение 9 — Универсум: Множеството, на което всички множества са подмножества, се нарича универсално множество (универсум) и се бележи с \(U\).

Определение 10 — Допълнение: \(\overline{A}=U\setminus A\) — допълнение на \(A\) до \(U\).

\(A\cup B\)

\(A\cap B\)

\(A\setminus B\)

\(A\triangle B\)

Свойства и закони

1. Идемпотентност: \(A\cup A=A\) и \(A\cap A=A\).

2. Комутативност: \(A\cup B=B\cup A\);  \(A\cap B=B\cap A\);  \(A\triangle B=B\triangle A\).

3. Асоциативност: \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\);  \((A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)\);  \((A\triangle B)\triangle C=A\triangle(B\triangle C)\).

4. Дистрибутивност: \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\);  \((A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)\).

Закони на Де Морган: За произволни множества \(A\) и \(B\): \[\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B} \qquad \text{и} \qquad \overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}.\]

---

Разработени задачи

Кликнете върху задача, за да видите решението.

1

Дадено е множеството \(A=\left\{21,\,\frac{11}{3},\,\frac{3}{12},\,\sqrt{28},\,-1\right\}\). Намерете мощността \(|A|\).

▼

Решение От Определение 3, мощността е броят на елементите. Очевидно \(|A|=5\).

2

Дадени са \(A=\{2,3,4,8\}\), \(B=\{1,3,4,8\}\), \(C=\{2,4,8,9\}\). Намерете \((A\cap C)\cup(B\cap C)\).

▼

Решение \(A\cap C=\{2,4,8\}\) и \(B\cap C=\{4,8\}\), следователно: \[(A\cap C)\cup(B\cap C)=\{2,4,8\}.\]

3

Докажете, че \((A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup(B\cap C)\).

▼

Решение Нека \(M=(A\cup B)\cap C\) и \(N=(A\cap C)\cup(B\cap C)\). Ще докажем \(M\subseteq N\) и \(N\subseteq M\).

I. \(M\subseteq N\): Ако \(M=\emptyset\), то \(\emptyset\subseteq N\) е вярно. Нека \(M\neq\emptyset\) и \(x\in M\), т.е. \(x\in(A\cup B)\) и \(x\in C\). Три случая:
— \(x\in A\), \(x\in B\), \(x\in C\): \(x\in(A\cap C)\) и \(x\in(B\cap C)\), следователно \(x\in N\).
— \(x\in A\), \(x\notin B\), \(x\in C\): \(x\in(A\cap C)\), следователно \(x\in N\).
— \(x\notin A\), \(x\in B\), \(x\in C\): \(x\in(B\cap C)\), следователно \(x\in N\).
Следователно \(M\subseteq N\).

II. \(N\subseteq M\): Ако \(N=\emptyset\), то \(\emptyset\subseteq M\) е вярно. Нека \(N\neq\emptyset\) и \(x\in N\). Три случая:
— \(x\in(A\cap C)\) и \(x\in(B\cap C)\): \(x\in A\), \(x\in B\), \(x\in C\), следователно \(x\in(A\cup B)\) и \(x\in C\), т.е. \(x\in M\).
— \(x\in(A\cap C)\) и \(x\notin(B\cap C)\): \(x\in A\), \(x\in C\), следователно \(x\in(A\cup B)\) и \(x\in C\), т.е. \(x\in M\).
— \(x\notin(A\cap C)\) и \(x\in(B\cap C)\): \(x\in B\), \(x\in C\), следователно \(x\in(A\cup B)\) и \(x\in C\), т.е. \(x\in M\).
Следователно \(N\subseteq M\). Равенството е доказано. ■

4

Докажете, че \((A\cap B)\setminus C=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\).

▼

Решение Нека \(M=(A\cap B)\setminus C\) и \(N=(A\setminus C)\cap(B\setminus C)\). Ще докажем \(M\subseteq N\) и \(N\subseteq M\).

I. \(M\subseteq N\): Ако \(M=\emptyset\), то \(\emptyset\subseteq N\) е вярно. Нека \(x\in M\), следователно \(x\in(A\cap B)\) и \(x\notin C\), т.е. \(x\in A\), \(x\in B\) и \(x\notin C\). Следователно \(x\in(A\setminus C)\) и \(x\in(B\setminus C)\), т.е. \(x\in N\).

II. \(N\subseteq M\): Ако \(N=\emptyset\), то \(\emptyset\subseteq M\) е вярно. Нека \(x\in N\), следователно \(x\in(A\setminus C)\) и \(x\in(B\setminus C)\), т.е. \(x\in A\), \(x\in B\) и \(x\notin C\). Следователно \(x\in(A\cap B)\) и \(x\notin C\), т.е. \(x\in M\).

Равенството е доказано. ■

---

Задачи за самостоятелна работа

Задача 1Дадени са \(A=\{2,3,4,5,6\}\), \(B=\{1,3,6,12\}\), \(C=\{1,4,6,15\}\). Намерете \((A\cup B)\cap(B\cup C)\).

Задача 2Докажете, че \((A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap(B\cup C)\).

Задача 3Докажете, че \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\).

Задача 4Проверете вярно ли е \((A\cap B)\setminus(A\setminus C)=A\cap B\cap C\).

Задача 5Докажете, че \(A\setminus(A\cap B)=A\setminus B\).

Задача 6Ако \(A=\{1,2\}\), \(B=\{1,2,4,5\}\), \(C=\{5,7,9,10\}\) намерете: а) \(A\cup B\); б) \(A\cap B\); в) \((A\cup B)\cup C\); г) \((A\cap B)\cap C\); д) \((A\cup B)\cap C\); е) \((A\cap B)\cup C\).

Задача 7\(U=\{1,2,\ldots,10\}\), \(A=\{x\in U: x \text{ е просто}\}\), \(B=\{x\in U: x \text{ е нечетно}\}\). Покажете, че \(A\cap B=A\setminus\{2\}\).

Задача 8\(U=\{a,b,c,d,e,f,g\}\), \(A=\{a,b,c,d\}\), \(B=\{a,b,c,d,e,f\}\), \(C=\{a,b,g\}\). Намерете \(\overline{A}\), \(\overline{B}\), \(\overline{C}\), \(A\setminus B\), \(B\setminus C\), \(A\cap B\), \(A\cup B\) и \(B\cap C\).

Задача 9\(U=\{x\in\mathbb{Z}:-5{<}x{<}5\}\), \(A=\{x\in\mathbb{Z}:-2{<}x{<}3\}\). Опишете \(\overline{A}\), \(\overline{A}\cap A\), \(A\cap U\) и \(A\cup U\).

Задача 10Докажете, че \(A\cap(B\setminus A)=\emptyset\).

Задача 11\(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{2,3,4,5\}\), \(C=\{1,3,4,5,6,7\}\). Проверете \(A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)\).

Задача 12\(A=\{1,3,5,7,9\}\), \(B=\{3,5,8\}\). Намерете \(A\triangle B\).

Задача 13Проверете равенствата: а) \(B\cup\left(\bigcup_{i=1}^{3}A_i\right)=\bigcap_{i=1}^{3}(B\cup A_i)\); б) \(B\cup\left(\bigcap_{i=1}^{3}A_i\right)=\bigcup_{i=1}^{3}(B\cap A_i)\).

Задача 14Покажете, че \(\overline{A\cup(B\cap C)}=(\overline{C}\cup\overline{B})\cap\overline{A}\).

Задача 15\(A=\{0,2,4,6,8\}\), \(B=\{0,1,2,3,4\}\), \(C=\{0,3,6,9\}\). Намерете \(A\cup B\cup C\) и \(A\cap B\cap C\).

Задача 16Докажете законите на Де Морган в общ вид: а) \(\overline{\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i}=\bigcap_{i=1}^{\infty}\overline{A_i}\); б) \(\overline{\bigcap_{i=1}^{\infty}A_i}=\bigcup_{i=1}^{\infty}\overline{A_i}\).

Задача 17Докажете формулата за включване-изключване: \(|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\).

Задача 18Покажете, че \((A\setminus B)\setminus C=(A\setminus C)\setminus(B\setminus C)\).

Задача 19\(A=\{0,2,4,6,8,10\}\), \(B=\{0,1,2,3,4,5,6\}\), \(C=\{4,5,6,7,8,9,10\}\). Намерете: а) \(A\cap B\cap C\); б) \(A\cup B\cup C\); в) \((A\cup B)\cap C\); г) \((A\cap B)\cup C\).

Задача 20Начертайте диаграми на Ойлер–Вен за: а) \(A\cap(B\cup C)\); б) \(\overline{A}\cap\overline{B}\cap\overline{C}\); в) \((A\setminus B)\cup(A\setminus C)\cup(B\setminus C)\).

Задача 21Начертайте диаграми на Ойлер–Вен за: а) \(A\cap(B\setminus C)\); б) \((A\cap B)\cup(A\cap C)\); в) \((A\cap\overline{B})\cup(A\cap\overline{C})\).

Задача 22Начертайте диаграми на Ойлер–Вен за: а) \((A\cap B)\cup(C\cap D)\); б) \(\overline{A}\cup\overline{B}\cup\overline{C}\cup\overline{D}\); в) \(A\setminus(B\cap C\cap D)\).

---

Онлайн тест

15 въпроса • 4 точки за верен отговор • максимум 60 точки

Тест: Теория на множествата

Изберете верния отговор за всеки въпрос, след което натиснете КРАЙ.

1Мощността \(|A|\) на \(A=\{1,2,3,4,5\}\) е:

4 5 6 неопределена

2За \(A=\{1,2,3,4\}\) е вярно, че:

\(5\in A\) \(3\in A\) \(0\in A\) \(6\in A\)

3\(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{3,4,5\}\). Намерете \(A\cup B\).

\(\{3\}\) \(\{1,2,3,4,5\}\) \(\{1,2\}\) \(\{4,5\}\)

4\(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{3,4,5\}\). Намерете \(A\cap B\).

\(\{1,2,3,4,5\}\) \(\{3\}\) \(\emptyset\) \(\{1,2\}\)

5\(A=\{a,b,c,d,e\}\), \(B=\{c,d,e\}\). Намерете \(A\setminus B\).

\(\{c,d,e\}\) \(\{a,b\}\) \(\{a,b,c,d,e\}\) \(\emptyset\)

6\(A=\{2,3,4,8\}\), \(C=\{2,4,8,9\}\). Намерете \(A\cap C\).

\(\{2,3,4,8,9\}\) \(\{2,4,8\}\) \(\{3,9\}\) \(\{4,8\}\)

7Кой е правилният закон на Де Морган?

\(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\) \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cap\overline{B}\) \(\overline{A\cup B}=A\cap B\)

8Мощността на празното множество \(|\emptyset|\) е:

1 0 неопределена безкрайност

9\(B\subseteq A\) означава, че:

\(A\) е подмножество на \(B\) \(B\) е подмножество на \(A\) \(A=B\) \(A\cap B=\emptyset\)

10\(A=\{1,3,5,7,9\}\), \(B=\{3,5,8\}\). Намерете \(A\triangle B\).

\(\{3,5\}\) \(\{1,7,8,9\}\) \(\{1,3,5,7,8,9\}\) \(\{1,7,9\}\)

11Кое от следните е свойство на идемпотентност?

\(A\cup B=B\cup A\) \(A\cap A=A\) \((A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)\) \(\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}\)

12\(A\cup\emptyset\) е равно на:

\(\emptyset\) \(A\) \(U\) \(\overline{A}\)

13\(A\cap\emptyset\) е равно на:

\(A\) \(U\) \(\emptyset\) \(\overline{A}\)

14\(A=\{2,3,4,8\}\), \(B=\{1,3,4,8\}\), \(C=\{2,4,8,9\}\). Намерете \((A\cap C)\cup(B\cap C)\).

\(\{4,8\}\) \(\{2,4,8\}\) \(\{2,3,4,8,9\}\) \(\{3,9\}\)

15\(A\cap U\) е равно на (където \(U\) е универсумът):

\(U\) \(A\) \(\emptyset\) \(\overline{A}\)

---

Видео уроци

Видео урок — Теория на множествата

---

Използвана литература

1. 1.Дискретна математика, Светла Бойчева, Стефка Толева-Стоименова, изд. Сиела 2018 г.
2. 2.Увод в дискретната математика, Красимир Манев, изд. КЛМН 2012 г.
3. 3.Въведение в дискретната математика, Христо Кискинов, Пловдивско университетско издателство

Запишете урок

Индивидуални и групови онлайн уроци по математика за цялата страна

🎓 Подготовка за изпити

• ›НВО по математика след 7 клас
• ›НВО по математика след 10 клас
• ›Кандидатстудентски изпити по математика
• ›Прием в университети в чужбина (ISEE, SAT, A-Level)

📚 Текущо обучение и студенти

• ›Усвояване на текущия учебен материал (всички класове)
• ›Студенти: Мат. анализ, Линейна алгебра, Аналитична геометрия, Диф. уравнения, Теория на вероятностите, Статистика и др.

✆ 0883 375 433 ☎ Viber

Харесва ли ви съдържанието?

Ако този урок ви е бил полезен, можете да подкрепите създаването на нови безплатни материали.

📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆ 📞 Онлайн уроци по математика за цялата страна◆ гл.ас. д-р Атанас Илчев◆ Индивидуални и групови уроци • Тел: 0883 375 433◆ ISEE Upper Level • Подготовка за американски колеж◆